第五章 齿轮机构及其设计
§ 5-1 齿轮机构的类型和应用
§ 5-2 瞬时传动比与齿廓曲线
§ 5-3 渐开线和渐开线齿廓啮合传动的特点
§ 5-4 渐开线圆柱齿轮及其基本齿廓
§ 5-5 渐开线齿廓的加工原理
§ 5-6 渐开线齿轮加工中的几个问题
§ 5-7 渐开线齿轮啮合传动计算
§ 5-8 变位齿轮传动的类型、应用和变位
系数的选择
§ 5-9 斜齿圆柱齿轮传动
§ 5-10 交错轴斜齿轮传动机构
§ 5-11 蜗杆传动机构
§ 5-12 圆锥齿轮传动机构
5-1 齿轮机构的类型和应用
? 齿轮机构 (gears)是现代机械中应用最广泛
的一种传动机构，与其它传动机构相比，齿
轮机构的优点是：结构紧凑，工作可靠，效
率高，寿命长，能保证恒定的传动比，而且
其传递的功率与适用的速度范围大。
? 齿轮机构是通过一对对齿面的的依次啮
合来传递两轴之间的运动和动力的。
? 按照一对齿轮传递的的相对运动是平面
运动还是空间运动，分为 平面齿轮机构和空
间齿轮机构。
?平面齿轮机构,作平面相对运动的齿轮机构
称为平面齿轮机构。（两轴线平行的齿轮机
构）例如：直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿
轮传动、人字齿轮传动。
?空间齿轮机构,作空间相对运动的齿轮机构
称为空间齿轮机构。（两轴线不平行的齿轮
机构）例如：两轴相交的锥齿轮传动；两轴
交错的蜗杆传动、交错轴斜齿轮传动。
? 根据一对齿轮传动的传动比是否恒定，
齿轮机构分 定传动比和变传动比齿轮机构。
? 定传动比齿轮机构的类型很多，根据两
传动轴线的相对位置，它可分为三类：
1,平行轴齿轮机构 (gears with parallel axes)。
? 两齿轮的传动轴线平行，属于平面齿轮
机构。
外啮合直齿轮 内啮合直齿轮
斜齿圆柱齿轮 人字齿圆柱齿轮
齿轮齿条传动
2,相交轴齿轮机构 (gears with intersecting
axes)
两齿轮的传动轴线相交于一点，属于空
间齿轮机构。
直齿圆锥齿轮传动
3,交错轴齿轮机构 (gears with skew axes)
两齿轮的传动轴线为空间任意交 错位置，
是空间齿轮机构。
蜗轮蜗杆传动两轴相交错的斜齿 圆柱齿轮机构
§ 5-2 瞬时传动比与齿廓曲线
?一、齿廓啮合基本定律
co
coi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
1
2
2
1
12 z
z
n
ni ??
coco 2211 ?? ?
?按三心定理,C点为两齿轮
的相对速度瞬心。
?瞬时传动比为：
P13
P23
P12
?节圆：
?分别以 o1,o2为圆心，以
o1c,o2c为半经的圆 c1和
c2, 称为齿轮的节圆。
?节点：
?在齿轮机构中，相对速
度瞬心 C称为节点 。
两齿廓在任意位置啮合接
触时，过接触点所作两齿
廓的公法线必通过节点 C，
它们的传动比等于连心线
o1o2被节点所分成的两段
线段的反比。
——— 齿廓啮合基本定律
co
co
i
1
2
2
1
12 ?? ?
?
? 两齿轮要实现 定传动比 传动，齿廓
曲线必须满足：
? 无论齿廓在何处接触,节点 C为连心
线上的一个 固定点 。
c ons t
co
co
i ???
1
2
2
1
12 ?
?
? 两齿轮啮合传动时，节点 C在两轮各自
运动的平面上的轨迹称为 相对瞬心线 。
? 节点 C在轮 1的运动平面上的轨迹是以
O1为圆心,O1C为半径的圆。
? 节点 C在轮 2的运动平面上的轨迹是以
O2为圆心，为 O2C半径的圆。
? 这两个圆分别称为齿轮的 节圆 。
? 节圆就是齿轮的 相对瞬心线 。
ω2
ω1
n
n
p
齿廓啮合基本定律
对齿轮传动的基本要求是保证
瞬时传动比,i
12=?1/?2= C
两齿廓在任一瞬时（即任意点 k接
触时）的传动比,i12=?1/?2=？ !
k
o1
o2
3
P13
P23
(P12)点 p是两齿轮廓在点 K接触时的相对速度瞬心，
PO
POi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
故有 Vp=?1o1p=?2o2p
1
2
由此可见，两轮的瞬时传
动比与瞬时接触点的 公法线把
连心线 分成的两段线段成反比。
k1
结论
1,要使两齿轮的瞬时传动比为一常数，
则不论两齿廓在任何位置接触，过接触点所
作的两齿廓公法线都必须与连心线交于一定
点 C, 这就是平面齿廓啮合基本定律。
2,定点 p称为节点, 以 o1和 o2为圆
心，过节点 p 所作的两相切圆称为节
圆，其半径用 r '和 r2'表示。
1r?
2r?
a?
中心距
?
1
2
12 r
ri
?
?? 21 rra ?????
又
12
1 1 i
ar
?
?
???
12
121
2 1 i
ia
r
?
?
??
3,凡能满足齿廓啮合基本定律
的一对齿廓称为共轭齿廓,理论上
有无穷多对共轭齿廓，其中以渐开
线齿廓应用最广。
结论
? 如果要求齿轮的传动比按某一规律变化
（ 变传动比传动 ），齿廓每个瞬时的啮合
节点 C不再是固定点，而应在 o1o2线上按一
定规律移动。
节点 C的轨迹不再是, 圆,,而是, 非
圆曲线,,称为节曲线。
二、共轭齿廓的形成
凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称
为 共轭齿廓 。
共轭齿廓啮合时，两齿廓在啮合点相切，
其啮合点公法线通过节点 C。 只要给出中心距 a，
传动比 i12和一个齿轮的齿廓，就可以求出与之
共轭的另一个齿轮的齿廓。
共轭齿廓可以用齿廓法线法、动瞬心线法、
包络线法等方法求得。
§ 5-3 渐开线和渐开线齿廓啮
合传动的特点
?一、渐开线和渐开线方程
?二、渐开线 齿廓啮合传动的特点
1、渐开线的形成及其特性
?渐开线的形成：
? 当直线 x-x沿半径为 rb
的圆作纯滚动时，该直线
上任一点 K的轨迹称为 该
圆的 渐开线,该圆称为渐
开线的 基圆,直线称为渐
开线的 发生线 。角 θk称为
渐开线 AK 段的 展角 。
一、渐开线和渐开线方程
K0
K
N
发生线
k?
O
基圆
rb
rk
当直线沿一圆周作相切纯滚动时，直线上任一点在与该
圆固联的平面上的轨迹 k0k,称为该圆的渐开线。
渐开线形成 2
1、渐开线的形成及其特性
一、渐开线和渐开线方程
渐开线的性质
? 1）发生线在基圆上滚过的
线段长度等于基圆上被滚过
的圆弧长度；
?4）渐开线的形状仅
取决于其基圆的大小。
?3）基圆内无渐开线；
?2）渐开线上任一点的法
线切于基圆； ρk
?基圆越小，渐开线越弯曲。
KO1
Σ2
o1
rb2
o2
Σ3
?
K
N2
N1 KO1
Σ1
2,渐开线方程
? 式中 αk称为渐开线在 k点 的 压力角,θk为 展角，
θk称为 压力角 αk的 渐开线函数,常用 invαk表示。
kbkkb rr ??? t a n)( ??
?由渐开线的性质：
kkk ??? ?? t an
?压力角,K点作用力 F的方向（渐开线的法线方向）
与该点速度 vk方向的夹角。
k
b
k r
r
OK
ON ???c os
kkkk
kbk
i nv
rr
????
?
???
?
t a n
c os
?渐开线方程：
Pk
Vk
k?
k?
rb
? 渐开线上点Ｋ的压力角
N
发生线
K0
K
O
基圆
k?
rk
在不考虑摩擦力、重力和惯性
力的条件下，一对齿廓相互啮合时，
齿轮上接触点Ｋ所受到的正压力方
向与受力点速度方向之间所夹的锐
角，称为齿轮齿廓在该点的压力角。
NOK=
k?
k
b
k r
r??co s
1、传动比恒定不变
? 一对渐开线齿廓啮合能满
足齿廓啮合基本定律并能实
现定传动比传动，即
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
co
co
i
?
?
?
?
??
?
?
二、渐开线 齿廓啮合传动的特点
N2
N1
o2
o1
可以证明渐开线齿轮齿廓的啮合
传动满足齿廓啮合基本定律。
1b
2b
'
1
'
2
1
2
2
1
12 r
r
r
r
po
poi ???
?
??
P
rb2
1
rb1
'r2
'r1
k1
k2
2
啮合线是两基圆的一条内公切线
?啮合线 —— 两齿廓啮合点在机架相
固连的坐标系中的轨迹
啮合线与齿廓接触点的公法线，
正压力方向线都是两基圆的一条
内公切线。
齿轮的啮合过程
2、中心距变动不影响传动比
? 不论一对齿轮安装的中心距如何，其传动
比总等于其 基圆半径的反比,即
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
co
co
i ?
?
?
???
?
?
?这种中心矩的改变而其传动比不变的性质，称
为渐开线的 可分性 。
2
1
N1
N2
tt
o1
o2
P
2??
o'2
t t' ' p'
N1'
2N?
rb1
rb2
3、啮合角是随中心距而定
的常数
r1'
'r2
?啮合角 —— 过节点所作的两
节圆的内公切线 (t — t)与两
齿廓接触点的公法线所夹的
锐角。用 ?'表示。
一对齿廓啮合过程中，
啮合角始终为常数。当中心
距加大时，啮合角随中心距
的变化而改变。
啮合角在数值上等于
节圆上的压力角。
2
2b
1
1b
r
r
r
rco s
?
?
?
?? ?
rb2
?'
?'
§ 5-4 渐开线圆柱齿轮及其基本
齿廓
?一、齿轮的各部分名称
?二、渐开线齿轮的基本参数与基本齿廓
?三、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
一、齿轮的各部分名称
1>齿顶圆, 以齿轮的轴心为圆心，过齿轮各轮齿顶
端所作的圆称为齿顶圆。
Diameter—— da
Radius—— ra
2>齿根圆, 以齿轮的轴心为圆心，过齿轮各齿槽底
所作的圆,称为齿根圆。
Diameter—— df
Radius—— rf
3>齿厚, 任意圆周上一个轮齿的两侧齿廓间的弧
线长度称为该圆上的齿厚, si 不同圆周上的齿厚不同
4>齿槽宽,相邻两轮齿间的空间称为齿槽，任意圆
周上齿槽两侧齿廓间的弧线长度,称为该圆上的齿槽
宽,ei
5>齿距 (周节 ),任意圆周上相邻两齿同侧齿廓间的 弧
线长度 称为该圆上的齿距, pi
?注, 1,在同一圆周上齿距等于齿厚槽宽之和
pi=si+ei
? 2,基节,(基圆齿距 )沿基圆所量得的相邻两齿
同测齿廓之间的弧线长度成为基节,Pb
6>分度圆, 为了便于齿廓各部分尺寸的计算, 在齿轮
上选择一个圆作为计算的基准,该圆称为齿轮的分度
圆 。 (标准齿轮分度圆与节圆重合且 s=e)
Diameter—— d Radius—— r
分度圆上的符号,
直径 半径 齿距 齿厚 齿槽宽
d r p s e
齿距 p=s+e
7>齿顶高, ha─位于分度圆与齿顶圆之间的轮齿
部分成为齿顶,齿顶的径向高度称为齿顶高 。
8>齿根高, hf─位于分度圆与齿根圆之间的轮齿
部分称为齿根, 齿根的径向高度称为齿根高,
9>齿全高 (全齿高 /齿高 ),h─齿顶圆与齿根圆之间
的径向距离,即齿顶高于齿根高之和称为齿高,
h=ha+hf
齿轮基本尺寸的名称和符号
iii esp ??同一圆上
齿根圆（ df 和 rf）
齿顶圆（ da 和 ra）
分度圆（ d 和 r）
基圆（ db 和 rb）
四圆
三弧 齿厚 si
齿槽宽 ei
齿距 pi
三高
齿顶高 ha
齿根高 hf
齿全高 h fa hhh ??
rf
齿根圆
rb
基圆
ra
齿顶圆
齿距 pi 齿厚 si 齿槽宽 ei
ri
齿顶高 ha
齿根高 hf
分度圆
r
o
内齿轮
?与外齿轮的不同点：
?（ 1）内齿轮的齿顶圆小于分度圆，齿根圆大于
分度圆；
?（ 2）内齿轮的齿廓是内凹的，其齿厚和槽宽分
别对应于外齿轮的槽宽和齿厚。
二、渐开线齿轮的基本参数与基本
齿廓
分度圆直径
zpd ??
1.齿数 z
zpd
?
?
2,模数 m (module)
齿轮分度圆周长为
取 为模数, 其单位为mp ??
mzd
mp
?
? ?
mm
从而得
? 模数反映了齿轮的轮齿各部分尺寸的大小，
当齿数不变时，模数越大，齿距、齿厚、齿高和
分度圆直径都相应增大。
同一渐开线齿廓上, 压力
角不同； rk越小, αk越小, 基圆
上的 αk =0。
)a r cc o s ( kbk rr??
3、分度圆压力角 (简称压力角 ):
渐开线齿廓上任一点 K的压力角
压力角 是决定渐开线齿廓形状的一个基本参
数 。 国标规定分度圆压力角 α=20° 。
有时 α=15°, 25° 。
2
1
co s
)ar cc o s (
??
?
?
?
rr
rr
b
b
或 ?c o smz
分度圆上的压力角用 α表示
重新定义分度圆,齿轮上 压力角和模数均为
标准值的圆称为分度圆 。
齿数、模数、压力角 为渐开线齿轮的 三个
基本参数。
齿数、模数一定时，分度圆一定；若压力
角不同，则基圆不同，渐开线齿廓形状就不同。
? 齿顶高系数 ha*,ha*= ha /m
? 齿顶高,ha = ha* m
? 顶隙系数 c*,c*=c / m
? 顶隙,c = c* m
? 齿根高, hf =（ ha* + c*） m
?4、其他齿形参数
?正常齿标准 ha*=1,c*=0.25
? ha = m,c=0.25m，
? hf =1.25m
? 全齿高 h=2.25m
? 非标准短齿 ha*=0.8,c*=0.3
1) 齿条同侧齿廓为平行的直线。齿廓上各点具有相同
的压力角，即为齿形角，等于分度圆上的压力角。
2) 与齿顶线平行的任一直线上具有相同的齿距 p=?m
3) 与齿顶线平行且齿厚 s等于齿槽宽 e的直线称为 分度
线,它是计算齿条尺寸的基准线。
5、基本齿廓
（ 2）凡与齿条分度线平行的任一直线上的齿距和模数都等于分
度线上的齿距和模数。
（ 1）同侧齿廓为互相平行的直线,。
（ 3）齿条齿廓上各点的压力角均相等，且数值上等齿条齿形角。
?
p
s e
h a
h f
齿顶线
分度线
齿根线
?n n
齿形角
齿轮齿条啮合
三、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几
何尺寸
?标准齿轮 —— 模数、压力角、齿顶高系
数、顶隙系数均为标准值，且分度圆齿
厚等于齿槽宽的齿轮，称为标准齿轮。
§ 5-5 渐开线齿廓的加工原理
齿轮的加工方法有铸造、热轧、冲压、
模锻、粉末冶金和切削法等，切削法加工
从加工原理上可概括为 仿形法 (forming
method)和范成法 (generating method)。
一、仿形法 (forming method)
1,铣齿 (gear milling)
仿形法是利用与齿轮的齿槽形状相
同的刀具直接加工出齿轮齿廓的。
? 仿形法加工齿轮时，刀具的形状与齿轮
的齿槽形状相同。用一般铣床即可以铣去齿
槽的金属而形成齿轮的轮齿。
?当 模数、压力角一定 时，渐开线 齿廓形状 随 齿数 的
变化而变化。
? 一般，对同一模数和压力角的齿轮，只有 8把
或 15把铣刀。各号铣刀的齿形是按该组内齿数最
少的齿轮的齿形制作的。
? 仿形法加工齿轮精度较低，是由于存在分度误差、
对中误差和齿形误差。
?渐开线的形状取决于基圆直径，
? 拉刀拉齿主要用来拉削 内齿轮,拉刀
的最终形状与齿轮的完整的齿槽空间相同，
它是仿形法加工的一种，因拉刀的制造成
本高，故它适用于批量生产的情况。
? 2,拉刀拉齿 (gear broaching)
二、范成法 (generating method)
? 齿轮与齿轮啮合或齿轮与齿条啮合时，
其齿廓互为 共轭的包络线,利用此原理加工
齿轮的方法称为 范成法,它是一种最常用的
齿轮加工方法。
（ 1）插齿
? 范成法加工齿轮时，常用的方法有：
插齿和滚齿 。
?齿轮插刀
?齿条插刀
1,刀具及其齿形
? 范成法加工齿轮时，常用的刀具有：齿轮插刀、
齿条插刀（又称梳刀）、滚刀等。
?刀具的齿形
齿条型插刀
齿轮插刀的
形状与外
齿轮相似
2,切削过程中的运动
齿轮插刀加工齿轮时，刀具的 节圆 与齿坯 节圆
相切并作纯滚动，齿条插刀加工齿轮时，刀具的 节
线 与被加工齿轮齿坯的 节圆相切 并作纯滚动，该运
动称为 范成运动 。
1) 范成运动 (generating motion)
00 // zzi ?? ??
?齿轮插刀插齿,插刀与被加工齿轮应保持恒定
传动比的回转运动。
? 由于这种加工方法利用齿轮的啮合
原理，若改变 插刀与毛坯的传动比,用
一把刀具可以加工出不同齿数的齿轮。
? 当齿轮插刀的齿数增加到无穷多时，
齿轮插刀就变成齿条插刀了。
0
2
1 mzrv ?? ??
?齿条插刀插齿：插刀的移动速度应与被加工齿
轮分度圆的线速度相等。
2)切削运动 (cutting motion)及其它运动
切削运动,刀具沿齿轮毛坯轴向的切削运
动 —— 主运动。
?让刀运动,插齿刀具返回时，为避免擦伤已
加工出的齿廓，工件后退的运动。
?进给运动, 为了加工出全齿高，刀具沿齿轮
毛坯径向的进给运动。
? 由于齿条插刀的长度有限，在加工
几个齿之后，必须退回到原来的位置，
这就造成机床结构复杂且难以保证分齿
精度；为解决这个矛盾并克服插齿过程
中 切削不连续 的缺点，生产中多用 滚齿
加工。
3,滚齿加工 (hobbing)的特点
? 滚刀相当于直线齿形的螺杆，滚刀旋转
时，相当于直线齿廓的齿条沿其轴线方向连
续不断移动，从而可以加工任意齿数的齿轮。
? 滚齿法既可以加工直齿轮，又能很方便
地加工出斜齿轮，它是齿轮加工中普遍应用
的方法。
4,标准齿轮及变位齿轮加工
? 齿条插刀的 分度线 （中线）与被加工的齿轮的
分度圆 相切并作纯滚动时，刀具移动的线速度等于
轮坯分度圆的线速度时,v=ωr,加工出齿轮的分
度圆压力角等于刀具的齿形角，分度圆齿厚等于刀
具分度线上的齿槽宽，齿顶高为 ha* m,齿根高为
hf =（ ha* + c*） m，这种齿轮称为 标准齿轮。
?1) 标准齿轮 (standard gear)加工
齿条刀中线与齿轮坯
分度圆相切纯滚动。这
样切出轮必为标准齿轮：
刀顶线?
刀根线
齿顶线
?
2m? 2m?
*
* 分度线（中线）
S=e
*ha=ham
*hf =(ha+c*)m
p
分度圆
ham(h
a +c*)m*
*
s
?
?m
中线
*
*
*
*2
?m
标准齿轮的切制
? 刀具分度线（中线）与齿轮的分度圆拉开
(或移近 )一定距离 xm。
2) 变位齿轮 (profile shift gear)加工
分度圆
中线中线中线 (中线 )(中线 )
(中线 )
正变位齿轮
x>0
负变位齿轮
x<0
? 当刀具分度线（中线）与齿轮的分度圆拉开 (或
移近 )一定距离 xm,刀具上与分度线平行且与齿轮
分度圆相切的直线称为 节线 。此时 节线与齿轮的分
度圆作纯滚动,仍然应该保证,v=ωr
? 这种改变刀具位置，使其分度线与轮坯
分度圆的距离为 xm时，加工出的齿轮称为 变
位齿轮, X— 变位系数
?当刀具分度线 远离轮坯,与轮坯分度圆拉开
时,x为正，称为 正变位,xm > 0；
?当刀具分度线 移进 轮坯，与轮坯分度圆相割
时,x为负, 称为 负变位,xm< 0。
分度圆 分度圆
节线 节线
节线
齿条刀中线相对于被切齿轮分度圆可能有三种情况
(中线 ) 中线中线中线 (中线 )(中线 )
(中线 )
径向变位量
X—— 径向变位系数
标准齿轮
x=0 正变位齿轮 x>0 负变位齿轮 x<0
齿顶高 ha= ham,
齿根高 hf = (ha +c*)m。
齿厚 s等 于齿槽宽 e,
*
*
齿顶高 ha> ham,
齿根高 hf < (ha +c*)m。
齿厚 s大于齿槽宽 e,
*
* *
S < e,
ha< ham,
hf >(ha+c*)m。
*
变位齿轮的切制
刀具节线与轮
坯的分度圆相切，
齿轮的分度圆齿厚
应于刀具节线上的
槽宽。
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
t an2
2
t an2
2
xme
xms
?? t a n221 xmmKKes ??????
分度圆齿厚 S
?? x mt gmS 22 ??
被切齿轮分度圆齿厚等于
齿条刀节线上的齿槽宽
分度圆 d = mzp = ?m
pb= ?mcos ?基圆
db= mzcos ?
分度线
分度圆
节线
xmtg? ?m2 xmtg?
?
P
基圆
分度线
节线
xmtg? ?m2 xmtg?
?
? 1、正变位齿轮 (long-addendum gear),x > 0,齿
顶高增大，齿根高减小，分度圆齿厚和齿根圆齿厚
比标准齿轮都增大，齿顶变尖。 s > e
? 负变位齿轮 (short-addendum gear),x <
0,齿顶高减小，齿根高增大，分度圆齿厚
和齿根圆齿厚都比标准齿轮减小。 s< e
?2、变位齿轮的主要参数 —— ｍ,z,α与标
准齿轮相同，不改变，因此 分度圆和基圆 也
不变。
负变位齿轮
正变位齿轮
标准齿轮
分度圆
3、用同一把齿条刀切出齿数相同的标准齿轮、正变
位齿轮及负变位齿轮的轮齿，它们的齿廓是相同基
圆上的渐开线 (齿形一样 )，只是取渐开线的不同部位
作为齿廓 。
§ 5-6 渐开线齿轮加工中的几个
问题
? 一、齿厚计算和测量
? 二、根切现象及其避免方法
一、齿厚计算和测量
在设计、制造和检验齿轮时，经常需
要知道某圆周上的齿厚，如为了确定一对
啮合齿轮的齿侧间隙需要知道节圆齿厚，
为检验齿顶强度需要知道齿顶厚，在齿轮
加工中，为检验和控制加工进刀量或检验
齿轮精度，经常测量弦齿厚或公法线长度
等。
1,任意圆上的弧齿厚
)(2 ?? i n vi n vr
r
rss
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齿顶厚：
? ?aba rra r c c o s??
???
??
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i n vi n vr
r
r
ss bbbb
c o sc o s
)(2
??
???
基圆齿厚：
2.公法线长度 (base tangent length)
弧齿厚无法测量，测弦齿厚需要齿顶圆作定位
基准，测量精度低。为此用 直线长度表示齿厚 。
? 作渐开线齿轮基圆的切线，必为两侧齿廓的法线，
因此称之为渐开线齿轮的 公法线 。用 WK 表示。
? 测量时，用卡尺卡爪跨过轮齿,卡爪间的距
离即公法线长度。
?对于 变位齿轮,
?对于 标准齿轮,
在测量公法线时，必须首先确定跨齿数
k,当齿效 z一定时，如果跨齿数太多，卡尺
的卡爪就可能与齿轮顶部的棱角接触，如
果跨齿数太少，卡爪就可能与齿根部的非
渐开线接触，其测量的结果都不是真正的
公法线。
? 为了使卡尺的卡爪与齿廓中部的渐开
线接触，对于标准齿轮，其跨齿数
?对于变位齿轮：
二、根切现象及其避免方法
? 1,根切现象 (undercutting)及产生原因
? 2,避免根切的方法
1,根切现象 (undercutting)及产生原因
? 根切,用范成法加工渐开线齿轮过程中，有
时刀具齿顶会把被加工齿轮根部渐开线齿廓切去
一部分，这种现象称为根切。
? 产生的原因,刀具的齿顶线（圆）超过了极
限啮合点。
齿廓根切 —— 用范成法切制齿轮时，有时刀具会把轮齿根部已
切制好的渐开线齿廓再切去一部分，这种现象称为齿廓根切。
产生根切的原因
当刀具齿顶线与啮合线的交点超过啮合极限点 N之外,便将
根部已切制出的渐开线齿廓再切去一部分。
齿轮根切现象
r
rb
0
p
B1
齿顶线 B
2
刀 刃 Ⅱ?
N
节线
?根切产生的原因
移距变位法：
?变位量 xm
?不根切的条件：
2,避免根切的方法
? 对于正常齿，若齿数少于 17，必须采用正
变位防根切；
17
17
m i n
zx ??
?不产生根切最少变为系数：
?当 α=20°, ha*=1时，
? 当 x=0时，即加工 标准齿轮 而不根切的条件：
? ?
?2
*
s in
2 xhz a ??
?即：不产生根切最少齿数
?2) 改变刀具齿形参数,增大齿形角 α或者
减小齿顶高系数 ha*,可使 zmin减小，以避
免根切。
?避免根切的方法：
? 1) 选用齿轮齿数 z > zmin
? 3) 当 z < zmin 时，只能 用正变位。
§ 5-7 渐开线齿轮啮合传动计算
?一、一对渐开线齿轮的正确啮合条件
?二、齿轮传动的啮合角 —— 无侧隙啮合方式
?三、中心距及中心矩变动系数
?四、渐开线齿轮连续传动条件
?五、渐开线齿轮传动的滑动系数
?六、变位齿轮传动的几何尺寸计算
一、一对渐开线齿轮的正确啮合条件
一对渐开线齿廓是能够满足定传动
比传动的，但并不表明任意两个渐开
线齿轮都能正确啮合传动。
要能够正确啮合传动，必须满足正
确啮合条件。
一对渐开线齿轮的啮
合点都应在理论啮合线 N1N2
上，如有两对齿同时参与
啮合，则啮合点必同时在
N1N2上，并且为使每对轮齿
都能正确地进入啮合，即
在交替啮合时，轮齿既不
脱开又不相互嵌入，要求
前一对轮齿在啮合线上 K点
啮合 (尚未脱离啮合 )时，后
一对轮齿就应在另一点 B2
进入接触。
?两齿轮正确啮合：
? KB2的长度即为齿轮的
法向齿距 pn,也为基
圆齿距 pb 。
?一对渐开线齿轮的正确啮合条件
?两轮的模数和压力角分别相等，即：
一对渐开线齿轮的啮合传动
kN2
N1
k
o1
o2
1?
2?
两齿轮的相邻两对轮齿分别 K在和 K'同时接触，
才能使两个渐开线齿轮搭配起来并正确的传动。
齿轮的啮合过程
欲使两齿轮正确啮合，两轮的法节必须相等。
k
k1
o1
N2
N1
k1k
2k
o2
k k
N1
o1
1?
N2
o22?
2k?N2
N1
o1
o2
2n1n pp ?
2n1n pp ?
2n1n pp ?
)( nb pp ?? b2b1b ppp ???
2211 co sco s ???? mmp b ???一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件是：
两轮的模数相等，两轮的压力角相等。 mmm 21 ??
????? 21
法节,齿轮上两相邻轮齿同侧齿廓在法线上的距离。用 pn表示。
二、齿轮传动的啮合角 —— 无侧隙
啮合方程式
为了使齿轮在正转和反转两个方向的传动
中避免撞击，要求相啮合的两轮齿的齿侧没有
间隙。
—— 无侧隙啮合
a a'
'r2
'r1
P
? 无侧隙啮合传动条件
一齿轮轮齿的节圆齿厚必
须等于另一齿轮节圆齿槽宽 。
21 es ??? 12 es ???
? 无侧隙啮合传动
一个齿轮齿厚的两侧齿廓与
其相啮合的另一个齿轮的齿槽两
侧齿廓在两条啮合线上均紧密相
切接触。
b b'
齿轮的啮合过程
? 一对标准齿轮 （ s=e） 啮合时，只要保
证两轮分度圆相切 —— 标准安装,就可以保
证 无侧隙啮合传动 。
实际啮合要求有微量的侧隙，以保证
润滑、装配误差或热膨胀的需要。这由制
造时的最小齿厚减薄量来保证，设计时仍
按 无侧隙啮合计算。
mchrr
mhrr
af
aa
)( **22
*
11
???
??
?标准齿轮的标准安装：
mcrrrra fa *2121 ?????
? 若一对标准齿轮实际中心距 a’大于 a—— 非标
准安装,节圆与分度圆分离，顶隙大于 c*m,齿
侧产生间隙。
? 一对变位齿轮啮合，两节圆作纯滚动。
p1’=p2’
? 为保证无侧隙啮合，一齿轮的节圆齿
厚应等于其相啮合的齿轮的节圆槽宽，
s’1=e’2,s’2=e’1
—— 变位齿轮无侧隙啮合条件?即：
? 变为齿轮的分度圆齿厚是变化的，如何保证
无侧隙啮合传动？
?将
?得：
?代入：
??? tg
zz
xxi n vi n v
21
21 )(2'
?
???
两变位齿轮必须按由此式求得的 啮合角 安
装时, 才能保证无侧隙啮合 。
??? t an)(2
21
21
zz
xxi n vi n v
?
????
无侧隙啮合方程：
三、中心距 a及中心矩变动系数 y
变位齿轮传动的实际中心距 （无侧隙啮合的中心距）
??
?
???
????????
c osc os)(
c os)(
21
2121
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?? ???? c osc os)(
2
1
21 zzma
—— 中心距与啮合角关系
y称为 中心矩变动系数
)(21 21 zzma ??
?? ??? c o sc o saa
ymaaa ?????? )1
c o s
c o s(
?
?
? ?
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c o s
rrrra 2b1b
21
变位齿轮传动的中心距 a' 及中心距 变动系数 y
? ?
????
c o s
c o s)rr(a 21
ymrra 21 ????
m
aay ??? y— 分度圆分离系数,
aa ??
aa ?? 时 y > 0
时 y < 0当
式中 )(
2 21 zz
ma ??
? ?
???
c o s
c o saa
1r?
o1
r2
r1
o2
2r?
aa ??
aa ??
两分度圆分离 ；
两分度圆相割。
四、渐开线齿轮连续传动条件
?1、重合度的基本概念
?2、重合度的计算
?3、重合度的物理意义及影响因素
一对渐开线轮齿的啮合过程
?1
?2
N1
N2
o2
o1
rb2
rb1
ra2
B2
B1
ra1
一对轮齿在啮合线上啮合的
起始点 —— 从动轮 2的齿顶圆与
啮合线 N1N2的交点 B2
啮合的终止点 —— 主动轮的齿顶
圆与啮合线 N1N2的交点 B1。
实际啮合线
理论啮合线
1、重合度的基本概念
? 公法 N1N2为啮
合点的轨迹，称为
渐开线齿轮的 理论
啮合线,切点 N1和
N2称为极限啮合点 。
? 线段 B1B2为一
对齿廓实际参与的
线段，称为 实际啮
合线。
?1
?2
N1
N2
o2
o1
rb2
rb1
ra2
B2
B1
ra1
当齿顶圆加大,B1,B2
趋于 N1,N2,实际啮合线
加长，但永远不会超过
N1N2 。
两轮轮齿啮合过程中，
并非全部齿廓都参加工作，
只限于从齿顶到齿根的一
段齿廓参与啮合，成为齿
廓工作段。
主动轮推动从动轮在 K
点啮合尚未脱开时，后一
对轮齿在 B2点已经开始啮
合，传动没有中断，即传
动连续，不会引起冲击，
传动平稳。
一对齿轮啮合时，必
须满足正确啮合条件，但
仅仅满足这个条件还不能
保证传动连续。
连续传动条件
B1B2<Pb B1B2=Pb B1B2>Pb
为保证连续定角速比传动的条件为,B1B2>Pb
N2 B1
B2
N1
?1?1
B2B1N2
N1
?1
N1
B2
B1N
2
传动中断
不连续
始终有一对
轮齿啮合
有时一对、有时
两对轮齿啮合，
传动连续
? 为保证齿轮传动的连续性，实际啮合线长
度应大于基圆齿距 pb。
? 实际啮合线与基圆齿距的比值称 为重合度,
用 ε表示。
121 ??
bp
BB
?
CBCBBB 2121 ??
同理
)(c os2 222 ??? ??? tgtgmzCB a
又由于
?? co smPP bn ??
o1
02
ra1
rb1
N2 B
1
N1CB2
ra2r
b2
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2
1
P
BB
2a21a1
n
21
a ? ????? ???????
?
)tgtg(c o s2mz 1a1 ? ?????
而
1111 CNNBCB ??
2、重合度的计算
3、重合度的物理意义及影响因素
?重合度的大小表明同时参与啮合轮齿对数的平
均值；
??=1,表明始终只有一对轮齿啮合；
??<1, 表明齿轮传动有部分时间不连续，产生冲击；
表明同时有 1.3对轮齿参
与啮合。在实际啮合线
B1B2的两端各有一段 0.3Pb
长度上（ B1K段和 B2D段 ）
有 两对齿啮合，称为 双齿
啮合区 ；在节点 C附近 D K
段的 0.7Pb长度上为 一对齿
啮合，称为 单齿啮合区 。
B1B2=1.3Pb?>1，如 ?=1.3
3.1??
Pb
1.3Pb
B1 B2
0.3Pb
KK'
双对齿
啮合区
双对齿
啮合区单对齿啮合区
0.3Pb0.7Pb
Pb
? 1）齿顶高系数 ha*
? 2）齿数 z1,z2
? 3）啮合角 α′
为了改善传动的平稳性，提高承载
能力，希望增大重合度 ε,但不能任意增
大，受以下因素影响。
?齿顶高系数 ha*增大,齿顶圆压力角增大 ；齿顶
圆增大，实际啮合线增大，重合度 ε也增大。
*
*
*
2
c o s
2
1
c o s
2
1
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a
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hz
z
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r
r
r
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?
?
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?
?
?
? 1）齿顶高系数 ha*
?齿数增多，重合度 ε增大。
)]t a n( t a n)t a n( t a n[2 1 2211 ?????? ?????? aa zz
? 2）齿数 z1,z2
?当 z2增至无穷多时，变成齿条,z1不变
CBCBBB 2121 ??
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*
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mhCNNB a???
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]
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a
a
h
z
m
BB
???
?
?当 z1,z2都增至无穷多时,ε趋于 εmax
两轮均变为齿条，吻合为一体，无啮合运动。
ε 随 z增多而增大，但直齿圆柱齿轮的 ε不可
能超过 1.981。
? 若其他条件不变，增大安装中心距，会使
啮合角增大，重合度 ε减小。
?? c o sc o s aa ???
)]t a n( t a n)t a n( t a n[
2
1
2211 ?????? ?????? aa zz
? 3）啮合角 α′
因而渐开线齿轮传动的可分性受到传动连续
性的制约，必须保证合 ε>1。
?重合度 ε随啮合角的增大而减小。
六、变位齿轮传动的几何尺寸计算
变位齿轮的 分度圆、基圆 与标准齿轮相同。
齿厚改变
?? x mt gmS 2
2
??
齿高如何改变？
正变位 齿轮的齿根高：
变位齿轮的中心距
变位齿轮的 齿顶高
为使齿轮传动具有 标准顶隙,一齿轮的
齿顶高 与 另一齿轮的变位系数 有关。因而，
不宜单独确定一个变位齿轮的毛坯外因直径。
?为保证传动的 标准顶隙, 变位齿轮的全齿高
?△ y为 齿顶高变动系数, 在外啮合传动中恒为正值 。
令
得
?变位齿轮的 全齿高恒小于 或等于标准
齿轮的全齿高。
直齿圆柱齿轮机构的基本尺寸内容回顾
已知 a',z1,z2,m,ha, c*,?，*
)zz(m21a 21 ???
y
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分配 x1,x2。
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BB?
§ 5-8 变位齿轮传动的类型、应用和
变位系数的选择
?一、渐开线齿轮传动的类型
?二、变位齿轮的应用
?三、变位系数的选择及设计举例
一、渐开线齿轮传动的类型
?1、标准齿轮传动（ x∑=x1=x2=0)
?2,高度变位齿轮传动（ x∑=x1+x2=0,x1=-x2)
?3、角度变位齿轮传动（ x∑=x1+x2≠0）
1、标准齿轮传动
由无侧隙啮合方程：
??? t an)(2
21
21
zz
xxi n vi n v
?
????
)0( 21 ???? xxx
aa ??
?? ??
?? c o sc o s aa ???
?得：
?由中心距和啮合角关系：
?得：
表明：当两标准齿轮作无侧隙啮合传动时,
啮合角 等于分 度圆压力角, 节圆与分度圆
重合, 中心距等于两分度圆半径之和 。
m i n2m i n1,zzzz ??
?这类齿轮的优点：设计简单，重合度大，不会
发生干涉。缺点：抗弯能力弱，齿根部分磨损
严重，结构尺寸大。
为避免根切，两齿轮的齿数必须满足：
2,高度变位齿轮传动 ),0(
2121 xxxxx ??????
0
,0
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aa
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21
21
zz
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aa
xxxx
??
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????
,
,0 2121
??
传动中，两轮的 全齿高不变,但每个齿
轮的 齿顶高和齿根高已不是标准值。
mxchh
mxchh
mxhh
mxhh
af
af
aa
aa
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)(
)(
)(
2
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2
1
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1
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2
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*
1
???
???
??
??
表明：在无侧隙啮合传动中，节圆与分度圆重合。
这种齿轮传动称为 高度变位齿轮传动 。
由于两齿轮的变位量的绝对值相等，又称为
等变位齿轮传动 。
为使两齿轮都不发生根切
34
s i n
4
0
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)(24
s i n
)(2
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*
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a
a
a
h
zz
xx
xxh
zz
xh
z
两齿轮的齿数和必
须大于等于两倍的不发
生根切的最少齿数。通
常 小齿轮采用正变位,
大齿轮采用负变位 。
?高度变位齿轮传动 与 标准齿轮 传动相比，优点,
?可减小机构尺寸；
?可相对提高两轮承载能力；
?可改善齿轮的磨损情况。
?以上两种变位传动又称为 零传动 。
3、角度变位齿轮传动
?? ??
????,021 xxx
)0( 21 ???? xxx
? 1）正传动
? 2）负传动
1）正传动
? x∑=x1+x2>0,
? α′ > α，
? a′ > a
y > 0,
△ y > 0.
表明；无侧隙啮合传动时，节圆与分度圆不重合，
分离了 ym,因 △ y > 0,两轮的 全齿高比标准齿
轮降低了 △ ym。
优点：
减小机构尺寸，提高承载能力和接触强度,
减轻齿轮磨损，配凑中心距。
2）负传动
? x∑=x1+x2<0,
? α′<α，
? a′<a，
? y <0,
? 但△ y > 0.
?表明：无侧隙啮合传动
时，两分度圆相交。
? 优点：
? 配凑中心距
二、变位齿轮的应用
? 1、避免轮齿根切
? 2、配凑中心距
? 3、提高齿轮的承载能力
? 4、修复已磨损的旧齿轮
只要合理地选择变位系数，变位齿轮的承裁能
力可比标准齿轮提高 20％ 以上，而制造变位齿轮又
不需要特殊的机床、刀具和工艺方法，因此，在齿
轮传动设计中，应尽量扩大变位齿轮的应用。
?1、避免轮齿根切
为使齿轮传动的结构紧凑，应尽量减少小齿
轮的齿数，当 时，可用正变位以避免
根切。 m inzz ?
?2、配凑中心距
变位齿轮传动设计中，在齿数 z1,z2一定的情
况下，若改变变位系数 x1,x2值，可改变齿轮传
动中心距，从而满足不同中心距的要求 。
当采用 α′ > α的正传动时，可以提高齿轮的
接触强度和弯曲强度，若适当选择变位系数 x1、
x2, 还能大幅度降低滑动系数，提高齿轮的耐磨
损和抗胶合能力 。
?3、提高齿轮的承载能力
?4、修复已磨损的旧齿轮
齿轮传动中，一般小齿轮磨损较严重，大齿轮
磨损较轻，若利用负变位修复磨损较轻的大齿轮齿
面，重新配制一个正变位的小齿轮，就可以节省一
个大齿轮的制造费用，还能改善其传动性能。
标准齿轮不仅基本参数是标值,s=e=πm/2，
而且齿高也是标准值；
? 零变位齿轮的变位系数 x=0,也具有标准的
基本参数,s=e=πm/2,但与该齿轮啮合的是变
位齿轮，故该齿轮的齿高比标准齿轮的齿高降低
了 △ ym,已不是标准值。
?标准齿轮与零变位齿轮的区别
? 变位齿轮是指单个齿轮是正变位齿
轮 (x>0)或负变位齿轮 (x<0)。
? 传动类型则是按一对相啮合的齿轮
的变位系数之和来区分的。
?变位齿轮与传动类型
?当 x1+x2>0时,该对齿轮传动称为正传动；
?当 x1+x2<0时，该对齿轮传动称为负传动；
?当 x1+x2=0时，该对齿轮传动称为零传动。
? 在这三种传动类型中的齿轮都可能既
有正变位齿轮又有负变位齿轮，只看 x1+x2
属于哪一种即可。
三、变位系数的选择及设计举例
要充分发挥变位齿轮的优越性，关键是正确
合理地选择变位系数。变位系数的选择是一个复
杂的综合问题，人们已对此作过大量研究工作，
提出了许多实用的方法。尽管由于齿轮的材料、
热处理和使用条件的不同，选择变位系数时应有
不同的侧重，但一股来说，均应尽可能地增大齿
轮传动的啮合角。 (即增大总变位系数 ),并使二齿
轮齿根处的最大滑动系数相等 。
1)齿轮啮合时不产生干涉；
2)齿轮加工时不产生根切或仅有微量根切；
3)齿轮的齿顶厚 sa>0.4m；
4)齿轮啮合时重合度 ε>=1.2。
为保证变位齿轮能正常啮合传动，选择
和分配变位系数必须满以下基本限制条件
?变位系数的选择
§ 5-9 斜齿圆柱齿轮传动
?一、斜齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点
?二、斜齿轮的基本参数
?三、斜齿轮传动的几何尺寸计算
?四、斜齿轮的正确啮合条件
?五、斜齿轮传动的重合度
?六、斜齿轮的法面齿形及当量齿数
?七、斜齿轮传动优缺点
一,斜齿轮齿廓曲面的形成
?直齿圆柱齿轮
k'0
k
k'
k0
渐开线 直 齿圆柱齿轮齿面的形成
N'
当发生面沿基圆柱作纯
滚动时，若平行于齿轮的轴
线的直线 kk‘在空间的轨迹
为直齿圆柱齿轮的齿面。 O
接触线
渐开线形成 2
渐开线斜齿圆柱齿轮齿面的形成 N'
当发生面沿基圆柱作纯滚动时，
而若与基圆柱母线成一夹角 ?b的直
线在空间的轨迹则为斜齿圆柱齿轮
的渐开螺旋面。
k'0k
0
k
k'
O
接触线
斜齿轮齿面的
形成
一对斜齿轮啮合时，齿面上的接
触线由短变长，再由长变短，减少了
传动时的冲击和噪音，提高了传动平
稳性，故斜齿轮适用于重载高速传动。
? 渐开螺旋面与同轴线的任一圆柱面的交线为
螺旋线，不同圆柱面上的螺旋角不同。
?斜齿圆柱齿轮
L
dtg b
b
?? ??
L
dtg ?? ?
??b
?db
?d
ddtgtg bb ???
斜齿轮的螺旋角 β
基圆柱上的螺旋角 βb
分度圆螺旋角为 β为
? 将斜齿轮沿分度圆柱展开，螺旋线变成一
条斜直线，与轴线的夹角 β—— 分度圆上的螺旋
角，称为斜齿轮的螺旋角。
旋向
左旋
右旋
二、斜齿轮的基本参数
? 由于斜齿圆柱齿轮的齿面为渐开螺旋面，
因而在不同方向的截面上其轮齿的齿形各不
相同，故斜齿轮有两套基本参数，即：
? 在垂直于齿轮回转轴线的截面内定义为
端面参数 (下角标为 t)； 在垂直于轮齿方向的
截面内定义为 法面参数 (下角标为 n)。
? 由于加工斜齿轮时，刀具沿螺旋线方向进刀，
所以斜齿轮的法面参数是和刀具参数相同的标准
值，即 法面参数 是标准参数。
?c o stn pp ?
?1、端面模数参数与法面模数的关系
?co stn mm ?
法面参数 mn,?n,han,cn 法面
参数为标准值。
* *
端面参数 mt,?t,hat,ct 。 计
算的基本尺寸是在端面上计量的。
* *
端面齿距 pt
法面齿距 pt
?
又有
ttnn mpmp ?? ??,
斜齿轮的啮合
不论从法面或端面来看，斜齿轮
的齿顶高和齿根高都是相等的，故有：
nantata mhmhh ** ??
2、齿顶高系数及顶隙系数
nnan
ttatf
mch
mchh
)(
)(
**
**
??
??
?
?
c o s
c o s
**
**
nt
anat
cc
hh
?
?
?
斜齿轮的啮合
ab
ac
ttg ??
在 ?abc中
??? co sttgtg n ??
在 ?a'b'c中
ba
catg
n ??
???
?
?
由于 ab = a'b'
直齿条
?
?t
3、法面压力角和端面压力角
（用斜齿条说明）
斜齿条
a c
b
a'
b'
法面
?n
?4、法面变位系数 xn与端面变位系数 xt
?c osnt
ttnn
xx
mxmx
?
?
?5,分度圆柱螺旋角 β与基圆柱螺旋角 βb
tb
bb
dd
dd
?
??
c os
t a nt a n
?
?
tb ??? co st ant an ?
三、斜齿轮传动的几何尺寸计算
? 斜齿轮传动的几何尺寸计算在端面
内进行，从端面看，斜齿轮啮合与直齿
轮完全相同，只要将端面参数代入直齿
轮计算公式即可。
（ 2）由法面参数求得的端面参数表达式代入基本尺寸
计算公式中。
基本尺寸计算
（ 1）端面参数代入相应的直齿圆柱齿
轮基本尺寸计算公式中。
例如,zmd
t? tb
dd ?c o s?
tt mp ?? tttb mp ?? co s?
例如：
zmzmd nt ?co s??
，
??? c o s
n
tt
mmp ??
tb dd ?c o s?
四、斜齿轮的正确啮合条件
? 一对斜齿轮传动其两轮啮合处的轮齿倾斜方
向必须一致，这样才能使一轮的齿厚落在另一轮
的齿槽内，从而使两齿廓螺旋面相切。
?外啮合时,β1= -β2
?内啮合时,β1=β2
β
? 由于啮合时斜齿轮端面同直齿轮，所
以 端面模数和压力角分别相等 ；又由于 β相
同,所以 法面模数和压力角 也相同 。
?一对 斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件,
)(
21
21
21
21
??
??
???
?
??
??
??
nnn
nnn
mmm
21
21
tt
tt mm
?? ?
?或
b
a P
BB 21??
直齿圆柱齿轮传动，沿整个齿宽在 B2B2线进行啮合，又沿整
个齿宽同时在 B1B1脱离啮合，所以其重合度为：
故斜齿圆柱齿轮传动的重合度
大于直齿圆柱齿轮，其增量为：
bt
b
p
B t g ??
? ?
对于斜齿圆柱齿轮传动，从前
端面进入啮合到后端面脱离啮合，其
在啮合线上的长度比直齿圆柱齿轮增
加了 btg?b。 直齿圆柱齿轮的啮合面
B1
B1
B2
B2
B
B1
B1 B2
B2
?b
斜齿圆柱齿轮的啮合面
五、斜齿轮传动的重合度
tb tgtg ??? co s?
而
??? c o s/c o s tnbt mp ?
故
nm
B
?
??
?
s i n?
斜齿圆柱齿轮传动的重合度
???? ?? a
由此可知，螺旋角
?? ??
轴向重合度端面重合度
bt
b
p
B tg ??
? ?
重合度增量
? 斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样，用
端面参数 代入公式，即可求得斜齿轮的 端
面重合度。
nmB ??? ? s i n?
??? ??? ??
? 为保证斜齿轮的重合度 εγ≥2,齿宽 Β应满足：
?由于 β增大会使轴向力增大，为限制过大的轴向
力，取：
六、斜齿轮的法面齿形及当量齿数
? 仿形法加工斜齿轮
时，刀具沿螺旋形齿槽
方向进刀，其刀具形状
应与齿轮的法面齿形相
同。
? 由于斜齿轮的 端面
齿形为渐开线,而法面
齿形复杂，一般用近似
方法求法面齿形。
? 过斜齿圆柱齿轮分度圆柱
螺旋线上的 C点作某一轮齿的法
面，该法面将分度圆柱剖开，
剖面为一椭圆,C点附近的齿形
可看作斜齿轮的法面齿形，
?节点 C处的曲率半径为：
? 以 ρ为半径, 作一个 假想
的直齿轮的 分度圆, 并设 假
想的直齿轮的模数和压力角
分别等于该斜齿轮的 mn,αn；
? 该直齿轮的齿形就与斜
齿轮的法面齿形非常接近,
这个假想的直齿轮就称为斜
齿轮的 当量齿轮, 当量齿轮
齿数称为 当量齿数 Zv。
?当量齿轮及当量齿数 ---
在研究斜齿轮法面齿形时，
可以虚拟一个与斜齿轮的
法面齿形相当的直齿轮，
称这个虚拟的直齿轮为该
斜齿的当量齿轮,其齿数
则称为 当量齿数,用 Zv表
示。
???
?
322 co sco sco s
2 z
m
zm
m
d
m
Z
n
t
nn
v ????
?
?
c
d
n
n
c
?
当量齿轮，
模数 mn，
齿数 zv.
vn zm??2
?
??
2
22
co s22/
)co s2/( d
d
d
b
a ???
?3co s
zZ
v ?
七、斜齿轮传动优缺点
?（ 一 ） 优点：
? 1,啮合性能好 。
? 2,重合度大 。
? 3,结构紧凑, Zmin小 。
?3co svzz ?
?? 33m i nm i n c o s17c o s ?? vzz
?（二） 缺点：
? 有 轴向力，采用人字齿轮
（ 4）斜齿轮在工作时有轴向推
力 Fa,且 ??,Fa?,用人字齿轮
可克服轴向推力。
螺旋角 ?的大小对斜齿
轮传动的质量有很大
影响，一般取 80 ～ 150
?? 33m inm in c o s17c o s ?? vzz
02
k
FaF Fn
?b
k'
o1
M
(a)
(b)
（ 1）在传动中，其轮齿逐
渐进入和逐渐脱开啮合，
传动平稳，冲击和噪声小；
（ 2）重合度大，故承载能
力高，运动平稳，适用于
高速传动；
（ 3）不产生根切的最小齿数
比直齿轮少，故结构紧凑；
§ 5-10 交错轴斜齿轮传动机构
?一、几何参数关系与几何尺寸
?二、正确啮合条件
?三、传动比及从动轮转向
?四、交错轴斜齿轮传动的优缺点
§ 5-11 蜗杆传动机构
?一、蜗杆蜗轮的形成
?二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件
?三、蜗杆传动的基本参数
?四、蜗杆传动的几何尺寸计算
?五、蜗杆传动的优缺点
一、蜗杆蜗轮的形成
?1,蜗杆, 蜗轮的形成
?2,蜗杆的分类
1,蜗杆、蜗轮的形成
? 蜗杆传动是用来传递 空间两交错轴 间的
运动和动力的, 它由蜗杆和蜗轮组成 。 一般
其轴交错角 ∑等于 90o。
? 为改善原交错轴斜齿轮传动
的点接触的啮合情况，在蜗杆传
动中，采取了两项措施,一是 将
蜗轮圆柱面上的直母线做成与蜗
杆轴同心的圆弧形，使它部分地
包住蜗杆,二是 采用, 对偶法,
加工蜗轮轮齿，即是采用与蜗杆
形状相同的滚刀 (为加工出顶隙，
蜗杆滚刀的外圆直径要略大于标
准蜗杆外径 )，并保持蜗杆蜗轮啮
合时的中心距与啮合传动关系去
加工蜗轮。这样加工出的蜗轮与
蜗杆啮合时，可保持线接触，提
高其承载能力。
2、蜗杆的分类
γ
β1
β2
2） 根据头数分
单头
多头
双头
?1） 根据旋向分
左旋
右旋
阿基米德蜗杆
延伸渐开线蜗杆
渐开线蜗杆
圆柱蜗杆
环面蜗杆
3） 根据蜗杆的外形分
圆柱蜗杆的齿顶位于圆柱面上，而环面蜗杆的齿
顶位于圆弧回转面上。环面蜗杆传动比圆柱蜗杆传动
的承载能力大且效率高，但制造和安装精度要求高，
成本也高。
?蜗杆的加工,蜗杆多在车床上粗加工而后经磨
制而成。
加工时随车刀放置的位置和姿态的不
同，可得三种齿廓形状的蜗杆。
? 将车刀刃放置于蜗杆轴线的同一平面内，加
工出的蜗杆的轴剖面 Ⅰ — Ⅰ 为直线齿形，与轴线
垂直的端面内的齿形为 阿基米德螺线,故称之为
阿基米德蜗杆。因它的加工工艺性好，在生产中
应用最为广泛。
1）阿基米德蜗杆
? 将车刀刃放在蜗杆齿面的法向位置，这样
加工出来的蜗杆，在法向剖面内为直线齿廓，
其端面齿形为 延伸渐开线,因而称之为延伸渐
开线蜗杆，或称之为 法向直廓蜗杆 。
2）延伸渐开线蜗杆
将车刀刃与蜗杆的基圆柱相切，这样加工
出来的蜗杆的 端面为渐开线齿形,故称为渐开
线蜗杆。
3）渐开线蜗杆
二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件
? 过蜗杆轴线并垂直于蜗轮轴线的平面, 称为
蜗杆传动的 中间平面 。
?在中间平面内蜗杆与蜗轮的啮合相当于齿轮齿
条的啮合 。
正确啮合条件
（ 1） m=mt2=mx1
（ 2） α=αt2=αx1
（ 3） γ=β2（ 等值同向）
在中间平面内其模数和压
力角应分别相等 。
三、蜗杆传动的基本参数
? mx1 = mt2=m
? αx=20° —— 阿基米德蜗杆
? αn= 20°
?1、模数 m和压力角 α
?2、齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*
?ha*=1,c*=0.2
?3、蜗杆头数 z1,蜗轮齿数 z2与传动比 i12
?i12=ω1/ω2=z2/z1
为获得大传动比，应采用单头蜗杆，即 z1=1，
但其传动效率低。为了提高效率应增加蜗杆的头数，
但这又会造成蜗杆加工的因难。一般取 z1 =1,2,4、
6。动力传动中，为提高效率，常用多头蜗杆。单
头蜗杆传动不仅可以得到大传动比，而且传动具有
自锁性，常用于起重装置中。
?4、蜗杆直径 d1和蜗杆导程角 γ
为保证蜗杆与蜗轮能够很好地啮合，蜗轮多
用与蜗杆尺寸、形状相当的滚刀加工。而对于同
一模数 m,蜗杆又可有不同的直径 d1,为了减少蜗
轮滚刀的数量，在 GB中规定了 d1与 m的匹配值。
1
1
1
11
1
t an
d
mz
d
pz
d
l x ???
??
?
πmx1
l
πd1
γ
?t an
1
1
zmd ?
为保证蜗杆分度圆直径 d1和模数 m均为标
准系列，蜗杆导程角 γ不能随便取值，必须按
上式计算而得。当 m一定时，增大 d1值，可以
提高蜗杆轴的强度和刚度；增大 γ值，可提高
蜗杆传动的效率。对于要求高效率的传动，
常采用 γ=15°～ 30°,此时应采用多头蜗杆。
当要求蜗杆传动具有自锁性能时，
应取 γ<= 3° 30' 。 z1 =1
四、蜗杆传动的几何尺寸计算
?蜗杆直径 d1按标准选取
蜗杆、蜗轮的齿顶高、齿根高、齿顶圆
直径和齿根圆直径等尺寸，可参照圆柱齿轮
相应公式计算，必须注意蜗杆传动的顶隙系
数 c*=0.2。
利用变位修正蜗杆蜗轮传动，不仅可以满足
不同中心距的要求，而且还能提高传动的承载能
力。由于蜗轮蜗杆啮合相当于齿轮齿条啮合，而
且蜗轮滚刀与标准蜗杆相同，是不变位的，因而
只需对蜗轮采取适当的变位即可。蜗杆蜗轮的齿
顶圆直径按下式计算
五、蜗杆传动的优缺点
?1、可实现空间交错轴间的很大传动比，结
构紧凑。
?2、蜗杆传动为线接触，传动平稳，噪声小。
?3、当蜗杆导程角很小时，传动具有自锁性。
? 优点：
?1、机械效率低
?2、易发热和磨损
?3、轴向力大
? 缺点：
§ 5-12 圆锥齿轮传动机构
?一、圆锥齿轮的应用
?二、直齿圆锥齿轮的齿形 —— 背锥及当量齿数
?三、直齿圆锥齿轮的基本参数及啮合特点
?四、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算
一、圆锥齿轮的应用
? 圆锥齿轮机构用于传递两相交轴之间的运动
和动力。一般 Σ=δ1+ δ2 =90°
直齿
斜齿
曲线齿
?圆锥齿轮
圆锥齿轮的轮齿是分布在一个圆锥面上的。与
圆柱齿轮相对应，在圆锥齿轮上有齿顶圆锥、分度
圆锥和齿根圆锥等等。又因圆锥齿轮是一个锥体，
故有大端和小端之分。为了计算和测量的方便，通
常取圆锥齿轮 大端 的参数为 标准值,。
?轮齿分布在圆锥体上，直
齿圆锥齿轮传动中有 五对圆锥,
分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆
锥、基圆锥、节圆锥。
δ—— 分度圆锥角
二、直齿圆锥齿轮的齿形 ——
背锥及当量齿数
?1、直齿圆锥齿轮齿廓曲面的形成
一对圆锥齿轮传动时，
其锥顶交于点 O,在距锥顶
不等的截面上的轮齿大小不
等，锥齿轮的轮齿是自大端
向锥顶收缩的。为计算和测
量的方便，通常研究大端的
齿形，并取 大端的齿形参数
为标推值。
在圆锥齿轮传动中，两轮绕各自的轴线回转，只
有与锥顶 O等距的对应点才能相互啮合，故圆锥齿轮
的共扼齿廓应分布在以锥顶 O为球心的球面上。圆锥
齿轮的齿廓曲面应为渐开锥面。
形成,平面 1在基圆锥 2上作纯
滚动时，该平面上过锥顶点 O
的任一直线 OK的轨迹即为渐开
线锥面。该锥面与以 O为球心，
以锥距 R为半径的球面的交线
为 球面渐开线 AK,它应是圆
锥齿轮的大端齿廓曲线。
? 直齿圆锥齿轮齿廓曲面为 球面渐开曲面 。。
但球面无法展开成平面，这样，圆锥齿轮的设
计计算就产生了困难，为此应寻求一种代替球
面渐开线的 近似的计算方法。
? 球面渐开线的形成 -- 与基圆锥相切于 NO',且半径 R等于基
圆锥的锥距的扇形平面沿基圆锥作相切纯滚动时，该平面上一
点 K在空间形成一条球面渐开线，半径逐渐减小的一系列球面
渐开线的集合，就组成了球面渐开面。
k N'
N
(b)
o'
o'
k0 O
(a)
k'
k'0
2、背锥和当量齿数
圆锥齿轮的轴剖面，其
中 ΔOAA 代表 分度圆锥 (通常
就是 节圆锥 ),ΔObb代表 齿顶
圆锥, ΔOcc代表 齿根圆锥 。 r
为分度圆半径，以锥顶 O为
圆心，以 OA (分度圆锥长，
又称为 锥距 R)为半径的圆应
为 球面的投影 。
若以 球面渐开线 作圆锥齿轮的齿廓，则 圆弧
bAc即为齿轮大端与轴剖面的交线,该 球面曲线 是
不能展开成平面的。
ΔO1AA即为背锥在圆锥齿轮轴剖面上的投影。由于
背锥母线 O1A与圆锥齿轮的分度圆锥母线相互垂直，
将球面渐开线 bAc投影到背锥上得到的点 b’Ac’,b’,c’
分别与球面渐上的 b,c点非常接近，故可用 背锥上的
齿形近似地作为圆锥齿轮的大端齿形 。
过轮齿大端上 A点作
球面的切线 O1A,与齿轮
的轴线交于 O1点。设想以
OO1为轴线，以 O1A作母
线形成的回转面也为圆锥
面，它与圆锥齿轮大端切
于 A点，称为圆锥齿轮的
背锥 。
? 将脊锥展成平面，
得到一个扇形齿轮,其
齿数等于圆锥齿轮的实
际齿数 Z,它的分度圆
半径为 rv= O1A, 其 模
数 m,压力角 α, ha *取
标准值，分别与圆锥齿
轮大端参数相同。用该
扇形齿轮的齿形，近似
地作为圆锥齿轮的大端
齿形。
? 将扇形补足为完整的直齿圆柱齿轮, 则齿数 z
增加到 zv,该虚拟的 圆柱齿轮 称为锥齿轮的 当量齿
轮, 齿数 zv称为该锥齿轮的 当量齿数 。
当量齿轮是齿形
与直齿圆锥齿轮大端齿
形十分近似的一个虚拟
的直齿圆柱齿轮。引入
当量齿轮概念后，可将
直齿圆柱齿轮的某些原
理近 似 的应用到圆锥
齿轮上。
与球面相切于大端
节圆处的圆锥，称为大
端的背锥，背锥展开成
扇形齿轮，假想将扇形
齿轮补全为完整的圆形
齿轮，此即为 当量齿轮,
其齿数称为 当量齿数 。
当量齿数参数：
vv
v
mzr
mzr
r
2
1
c o s2c o s
?
??
??
?
?
co s
co s
m i nm i n v
v
zz
z
z
?
?
三、直齿圆锥齿轮的基本参数及
啮合特点
?1、直齿圆锥齿轮的基本参数
?2、直齿圆锥齿轮的啮合传动
1、直齿圆锥齿轮的基本参数
? 圆锥齿轮的轮齿自大端到小端逐渐收
缩，由于大端尺寸最大，测量方便，数值
的相对误差最小，因此规定圆锥齿轮的各
项参数和尺寸均以大端为准。
? α=20°
? ha*=1
c*=0.2
2、直齿圆锥齿轮的啮合传动
圆锥齿轮的当量齿轮不仅可用来描述
其轮齿的齿形，还能近似地来研究圆锥齿
轮的啮合传动。
? 1) 正确啮合条件：大端的模数和压力角分别相等。
mmm ?? 21
??? ?? 21
?2) 重合度：按当量齿轮计算。
?3)直齿圆锥齿轮不发生根切的最小齿数
? zmin=zvmincosδ
根锥角顶锥角，
齿根角，齿顶角，
????
????
fa
fa
??
??
四、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算
aa ??? ??
ff ??? ??
?几何尺寸计算
21
1
2
1
2
1
2
2
1
12
t a nc o t
s i n
s i n
??
?
?
?
?
??
????
r
r
z
z
i
12
1
2
1
90
c o t
??
?
??
?
?
z
z
a r c
Σ=δ1+ δ2 =90°
r1
01
02p
?
r2
?1 O
2
2
2
1
2
2
2
1 2 zz
mrrR ????
mchh
mhh
af
aa
)( **
*
??
?
?c o s2 aa hdd ??
?co s2 ff hdd ??
R
htg a
a ??
R
htg f
f ??
aa ??? ??
ff ??? ??
§ 5-1 齿轮机构的类型和应用
§ 5-2 瞬时传动比与齿廓曲线
§ 5-3 渐开线和渐开线齿廓啮合传动的特点
§ 5-4 渐开线圆柱齿轮及其基本齿廓
§ 5-5 渐开线齿廓的加工原理
§ 5-6 渐开线齿轮加工中的几个问题
§ 5-7 渐开线齿轮啮合传动计算
§ 5-8 变位齿轮传动的类型、应用和变位
系数的选择
§ 5-9 斜齿圆柱齿轮传动
§ 5-10 交错轴斜齿轮传动机构
§ 5-11 蜗杆传动机构
§ 5-12 圆锥齿轮传动机构
5-1 齿轮机构的类型和应用
? 齿轮机构 (gears)是现代机械中应用最广泛
的一种传动机构，与其它传动机构相比，齿
轮机构的优点是：结构紧凑，工作可靠，效
率高，寿命长，能保证恒定的传动比，而且
其传递的功率与适用的速度范围大。
? 齿轮机构是通过一对对齿面的的依次啮
合来传递两轴之间的运动和动力的。
? 按照一对齿轮传递的的相对运动是平面
运动还是空间运动，分为 平面齿轮机构和空
间齿轮机构。
?平面齿轮机构,作平面相对运动的齿轮机构
称为平面齿轮机构。（两轴线平行的齿轮机
构）例如：直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿
轮传动、人字齿轮传动。
?空间齿轮机构,作空间相对运动的齿轮机构
称为空间齿轮机构。（两轴线不平行的齿轮
机构）例如：两轴相交的锥齿轮传动；两轴
交错的蜗杆传动、交错轴斜齿轮传动。
? 根据一对齿轮传动的传动比是否恒定，
齿轮机构分 定传动比和变传动比齿轮机构。
? 定传动比齿轮机构的类型很多，根据两
传动轴线的相对位置，它可分为三类：
1,平行轴齿轮机构 (gears with parallel axes)。
? 两齿轮的传动轴线平行，属于平面齿轮
机构。
外啮合直齿轮 内啮合直齿轮
斜齿圆柱齿轮 人字齿圆柱齿轮
齿轮齿条传动
2,相交轴齿轮机构 (gears with intersecting
axes)
两齿轮的传动轴线相交于一点，属于空
间齿轮机构。
直齿圆锥齿轮传动
3,交错轴齿轮机构 (gears with skew axes)
两齿轮的传动轴线为空间任意交 错位置，
是空间齿轮机构。
蜗轮蜗杆传动两轴相交错的斜齿 圆柱齿轮机构
§ 5-2 瞬时传动比与齿廓曲线
?一、齿廓啮合基本定律
co
coi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
1
2
2
1
12 z
z
n
ni ??
coco 2211 ?? ?
?按三心定理,C点为两齿轮
的相对速度瞬心。
?瞬时传动比为：
P13
P23
P12
?节圆：
?分别以 o1,o2为圆心，以
o1c,o2c为半经的圆 c1和
c2, 称为齿轮的节圆。
?节点：
?在齿轮机构中，相对速
度瞬心 C称为节点 。
两齿廓在任意位置啮合接
触时，过接触点所作两齿
廓的公法线必通过节点 C，
它们的传动比等于连心线
o1o2被节点所分成的两段
线段的反比。
——— 齿廓啮合基本定律
co
co
i
1
2
2
1
12 ?? ?
?
? 两齿轮要实现 定传动比 传动，齿廓
曲线必须满足：
? 无论齿廓在何处接触,节点 C为连心
线上的一个 固定点 。
c ons t
co
co
i ???
1
2
2
1
12 ?
?
? 两齿轮啮合传动时，节点 C在两轮各自
运动的平面上的轨迹称为 相对瞬心线 。
? 节点 C在轮 1的运动平面上的轨迹是以
O1为圆心,O1C为半径的圆。
? 节点 C在轮 2的运动平面上的轨迹是以
O2为圆心，为 O2C半径的圆。
? 这两个圆分别称为齿轮的 节圆 。
? 节圆就是齿轮的 相对瞬心线 。
ω2
ω1
n
n
p
齿廓啮合基本定律
对齿轮传动的基本要求是保证
瞬时传动比,i
12=?1/?2= C
两齿廓在任一瞬时（即任意点 k接
触时）的传动比,i12=?1/?2=？ !
k
o1
o2
3
P13
P23
(P12)点 p是两齿轮廓在点 K接触时的相对速度瞬心，
PO
POi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
故有 Vp=?1o1p=?2o2p
1
2
由此可见，两轮的瞬时传
动比与瞬时接触点的 公法线把
连心线 分成的两段线段成反比。
k1
结论
1,要使两齿轮的瞬时传动比为一常数，
则不论两齿廓在任何位置接触，过接触点所
作的两齿廓公法线都必须与连心线交于一定
点 C, 这就是平面齿廓啮合基本定律。
2,定点 p称为节点, 以 o1和 o2为圆
心，过节点 p 所作的两相切圆称为节
圆，其半径用 r '和 r2'表示。
1r?
2r?
a?
中心距
?
1
2
12 r
ri
?
?? 21 rra ?????
又
12
1 1 i
ar
?
?
???
12
121
2 1 i
ia
r
?
?
??
3,凡能满足齿廓啮合基本定律
的一对齿廓称为共轭齿廓,理论上
有无穷多对共轭齿廓，其中以渐开
线齿廓应用最广。
结论
? 如果要求齿轮的传动比按某一规律变化
（ 变传动比传动 ），齿廓每个瞬时的啮合
节点 C不再是固定点，而应在 o1o2线上按一
定规律移动。
节点 C的轨迹不再是, 圆,,而是, 非
圆曲线,,称为节曲线。
二、共轭齿廓的形成
凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称
为 共轭齿廓 。
共轭齿廓啮合时，两齿廓在啮合点相切，
其啮合点公法线通过节点 C。 只要给出中心距 a，
传动比 i12和一个齿轮的齿廓，就可以求出与之
共轭的另一个齿轮的齿廓。
共轭齿廓可以用齿廓法线法、动瞬心线法、
包络线法等方法求得。
§ 5-3 渐开线和渐开线齿廓啮
合传动的特点
?一、渐开线和渐开线方程
?二、渐开线 齿廓啮合传动的特点
1、渐开线的形成及其特性
?渐开线的形成：
? 当直线 x-x沿半径为 rb
的圆作纯滚动时，该直线
上任一点 K的轨迹称为 该
圆的 渐开线,该圆称为渐
开线的 基圆,直线称为渐
开线的 发生线 。角 θk称为
渐开线 AK 段的 展角 。
一、渐开线和渐开线方程
K0
K
N
发生线
k?
O
基圆
rb
rk
当直线沿一圆周作相切纯滚动时，直线上任一点在与该
圆固联的平面上的轨迹 k0k,称为该圆的渐开线。
渐开线形成 2
1、渐开线的形成及其特性
一、渐开线和渐开线方程
渐开线的性质
? 1）发生线在基圆上滚过的
线段长度等于基圆上被滚过
的圆弧长度；
?4）渐开线的形状仅
取决于其基圆的大小。
?3）基圆内无渐开线；
?2）渐开线上任一点的法
线切于基圆； ρk
?基圆越小，渐开线越弯曲。
KO1
Σ2
o1
rb2
o2
Σ3
?
K
N2
N1 KO1
Σ1
2,渐开线方程
? 式中 αk称为渐开线在 k点 的 压力角,θk为 展角，
θk称为 压力角 αk的 渐开线函数,常用 invαk表示。
kbkkb rr ??? t a n)( ??
?由渐开线的性质：
kkk ??? ?? t an
?压力角,K点作用力 F的方向（渐开线的法线方向）
与该点速度 vk方向的夹角。
k
b
k r
r
OK
ON ???c os
kkkk
kbk
i nv
rr
????
?
???
?
t a n
c os
?渐开线方程：
Pk
Vk
k?
k?
rb
? 渐开线上点Ｋ的压力角
N
发生线
K0
K
O
基圆
k?
rk
在不考虑摩擦力、重力和惯性
力的条件下，一对齿廓相互啮合时，
齿轮上接触点Ｋ所受到的正压力方
向与受力点速度方向之间所夹的锐
角，称为齿轮齿廓在该点的压力角。
NOK=
k?
k
b
k r
r??co s
1、传动比恒定不变
? 一对渐开线齿廓啮合能满
足齿廓啮合基本定律并能实
现定传动比传动，即
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
co
co
i
?
?
?
?
??
?
?
二、渐开线 齿廓啮合传动的特点
N2
N1
o2
o1
可以证明渐开线齿轮齿廓的啮合
传动满足齿廓啮合基本定律。
1b
2b
'
1
'
2
1
2
2
1
12 r
r
r
r
po
poi ???
?
??
P
rb2
1
rb1
'r2
'r1
k1
k2
2
啮合线是两基圆的一条内公切线
?啮合线 —— 两齿廓啮合点在机架相
固连的坐标系中的轨迹
啮合线与齿廓接触点的公法线，
正压力方向线都是两基圆的一条
内公切线。
齿轮的啮合过程
2、中心距变动不影响传动比
? 不论一对齿轮安装的中心距如何，其传动
比总等于其 基圆半径的反比,即
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
co
co
i ?
?
?
???
?
?
?这种中心矩的改变而其传动比不变的性质，称
为渐开线的 可分性 。
2
1
N1
N2
tt
o1
o2
P
2??
o'2
t t' ' p'
N1'
2N?
rb1
rb2
3、啮合角是随中心距而定
的常数
r1'
'r2
?啮合角 —— 过节点所作的两
节圆的内公切线 (t — t)与两
齿廓接触点的公法线所夹的
锐角。用 ?'表示。
一对齿廓啮合过程中，
啮合角始终为常数。当中心
距加大时，啮合角随中心距
的变化而改变。
啮合角在数值上等于
节圆上的压力角。
2
2b
1
1b
r
r
r
rco s
?
?
?
?? ?
rb2
?'
?'
§ 5-4 渐开线圆柱齿轮及其基本
齿廓
?一、齿轮的各部分名称
?二、渐开线齿轮的基本参数与基本齿廓
?三、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
一、齿轮的各部分名称
1>齿顶圆, 以齿轮的轴心为圆心，过齿轮各轮齿顶
端所作的圆称为齿顶圆。
Diameter—— da
Radius—— ra
2>齿根圆, 以齿轮的轴心为圆心，过齿轮各齿槽底
所作的圆,称为齿根圆。
Diameter—— df
Radius—— rf
3>齿厚, 任意圆周上一个轮齿的两侧齿廓间的弧
线长度称为该圆上的齿厚, si 不同圆周上的齿厚不同
4>齿槽宽,相邻两轮齿间的空间称为齿槽，任意圆
周上齿槽两侧齿廓间的弧线长度,称为该圆上的齿槽
宽,ei
5>齿距 (周节 ),任意圆周上相邻两齿同侧齿廓间的 弧
线长度 称为该圆上的齿距, pi
?注, 1,在同一圆周上齿距等于齿厚槽宽之和
pi=si+ei
? 2,基节,(基圆齿距 )沿基圆所量得的相邻两齿
同测齿廓之间的弧线长度成为基节,Pb
6>分度圆, 为了便于齿廓各部分尺寸的计算, 在齿轮
上选择一个圆作为计算的基准,该圆称为齿轮的分度
圆 。 (标准齿轮分度圆与节圆重合且 s=e)
Diameter—— d Radius—— r
分度圆上的符号,
直径 半径 齿距 齿厚 齿槽宽
d r p s e
齿距 p=s+e
7>齿顶高, ha─位于分度圆与齿顶圆之间的轮齿
部分成为齿顶,齿顶的径向高度称为齿顶高 。
8>齿根高, hf─位于分度圆与齿根圆之间的轮齿
部分称为齿根, 齿根的径向高度称为齿根高,
9>齿全高 (全齿高 /齿高 ),h─齿顶圆与齿根圆之间
的径向距离,即齿顶高于齿根高之和称为齿高,
h=ha+hf
齿轮基本尺寸的名称和符号
iii esp ??同一圆上
齿根圆（ df 和 rf）
齿顶圆（ da 和 ra）
分度圆（ d 和 r）
基圆（ db 和 rb）
四圆
三弧 齿厚 si
齿槽宽 ei
齿距 pi
三高
齿顶高 ha
齿根高 hf
齿全高 h fa hhh ??
rf
齿根圆
rb
基圆
ra
齿顶圆
齿距 pi 齿厚 si 齿槽宽 ei
ri
齿顶高 ha
齿根高 hf
分度圆
r
o
内齿轮
?与外齿轮的不同点：
?（ 1）内齿轮的齿顶圆小于分度圆，齿根圆大于
分度圆；
?（ 2）内齿轮的齿廓是内凹的，其齿厚和槽宽分
别对应于外齿轮的槽宽和齿厚。
二、渐开线齿轮的基本参数与基本
齿廓
分度圆直径
zpd ??
1.齿数 z
zpd
?
?
2,模数 m (module)
齿轮分度圆周长为
取 为模数, 其单位为mp ??
mzd
mp
?
? ?
mm
从而得
? 模数反映了齿轮的轮齿各部分尺寸的大小，
当齿数不变时，模数越大，齿距、齿厚、齿高和
分度圆直径都相应增大。
同一渐开线齿廓上, 压力
角不同； rk越小, αk越小, 基圆
上的 αk =0。
)a r cc o s ( kbk rr??
3、分度圆压力角 (简称压力角 ):
渐开线齿廓上任一点 K的压力角
压力角 是决定渐开线齿廓形状的一个基本参
数 。 国标规定分度圆压力角 α=20° 。
有时 α=15°, 25° 。
2
1
co s
)ar cc o s (
??
?
?
?
rr
rr
b
b
或 ?c o smz
分度圆上的压力角用 α表示
重新定义分度圆,齿轮上 压力角和模数均为
标准值的圆称为分度圆 。
齿数、模数、压力角 为渐开线齿轮的 三个
基本参数。
齿数、模数一定时，分度圆一定；若压力
角不同，则基圆不同，渐开线齿廓形状就不同。
? 齿顶高系数 ha*,ha*= ha /m
? 齿顶高,ha = ha* m
? 顶隙系数 c*,c*=c / m
? 顶隙,c = c* m
? 齿根高, hf =（ ha* + c*） m
?4、其他齿形参数
?正常齿标准 ha*=1,c*=0.25
? ha = m,c=0.25m，
? hf =1.25m
? 全齿高 h=2.25m
? 非标准短齿 ha*=0.8,c*=0.3
1) 齿条同侧齿廓为平行的直线。齿廓上各点具有相同
的压力角，即为齿形角，等于分度圆上的压力角。
2) 与齿顶线平行的任一直线上具有相同的齿距 p=?m
3) 与齿顶线平行且齿厚 s等于齿槽宽 e的直线称为 分度
线,它是计算齿条尺寸的基准线。
5、基本齿廓
（ 2）凡与齿条分度线平行的任一直线上的齿距和模数都等于分
度线上的齿距和模数。
（ 1）同侧齿廓为互相平行的直线,。
（ 3）齿条齿廓上各点的压力角均相等，且数值上等齿条齿形角。
?
p
s e
h a
h f
齿顶线
分度线
齿根线
?n n
齿形角
齿轮齿条啮合
三、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几
何尺寸
?标准齿轮 —— 模数、压力角、齿顶高系
数、顶隙系数均为标准值，且分度圆齿
厚等于齿槽宽的齿轮，称为标准齿轮。
§ 5-5 渐开线齿廓的加工原理
齿轮的加工方法有铸造、热轧、冲压、
模锻、粉末冶金和切削法等，切削法加工
从加工原理上可概括为 仿形法 (forming
method)和范成法 (generating method)。
一、仿形法 (forming method)
1,铣齿 (gear milling)
仿形法是利用与齿轮的齿槽形状相
同的刀具直接加工出齿轮齿廓的。
? 仿形法加工齿轮时，刀具的形状与齿轮
的齿槽形状相同。用一般铣床即可以铣去齿
槽的金属而形成齿轮的轮齿。
?当 模数、压力角一定 时，渐开线 齿廓形状 随 齿数 的
变化而变化。
? 一般，对同一模数和压力角的齿轮，只有 8把
或 15把铣刀。各号铣刀的齿形是按该组内齿数最
少的齿轮的齿形制作的。
? 仿形法加工齿轮精度较低，是由于存在分度误差、
对中误差和齿形误差。
?渐开线的形状取决于基圆直径，
? 拉刀拉齿主要用来拉削 内齿轮,拉刀
的最终形状与齿轮的完整的齿槽空间相同，
它是仿形法加工的一种，因拉刀的制造成
本高，故它适用于批量生产的情况。
? 2,拉刀拉齿 (gear broaching)
二、范成法 (generating method)
? 齿轮与齿轮啮合或齿轮与齿条啮合时，
其齿廓互为 共轭的包络线,利用此原理加工
齿轮的方法称为 范成法,它是一种最常用的
齿轮加工方法。
（ 1）插齿
? 范成法加工齿轮时，常用的方法有：
插齿和滚齿 。
?齿轮插刀
?齿条插刀
1,刀具及其齿形
? 范成法加工齿轮时，常用的刀具有：齿轮插刀、
齿条插刀（又称梳刀）、滚刀等。
?刀具的齿形
齿条型插刀
齿轮插刀的
形状与外
齿轮相似
2,切削过程中的运动
齿轮插刀加工齿轮时，刀具的 节圆 与齿坯 节圆
相切并作纯滚动，齿条插刀加工齿轮时，刀具的 节
线 与被加工齿轮齿坯的 节圆相切 并作纯滚动，该运
动称为 范成运动 。
1) 范成运动 (generating motion)
00 // zzi ?? ??
?齿轮插刀插齿,插刀与被加工齿轮应保持恒定
传动比的回转运动。
? 由于这种加工方法利用齿轮的啮合
原理，若改变 插刀与毛坯的传动比,用
一把刀具可以加工出不同齿数的齿轮。
? 当齿轮插刀的齿数增加到无穷多时，
齿轮插刀就变成齿条插刀了。
0
2
1 mzrv ?? ??
?齿条插刀插齿：插刀的移动速度应与被加工齿
轮分度圆的线速度相等。
2)切削运动 (cutting motion)及其它运动
切削运动,刀具沿齿轮毛坯轴向的切削运
动 —— 主运动。
?让刀运动,插齿刀具返回时，为避免擦伤已
加工出的齿廓，工件后退的运动。
?进给运动, 为了加工出全齿高，刀具沿齿轮
毛坯径向的进给运动。
? 由于齿条插刀的长度有限，在加工
几个齿之后，必须退回到原来的位置，
这就造成机床结构复杂且难以保证分齿
精度；为解决这个矛盾并克服插齿过程
中 切削不连续 的缺点，生产中多用 滚齿
加工。
3,滚齿加工 (hobbing)的特点
? 滚刀相当于直线齿形的螺杆，滚刀旋转
时，相当于直线齿廓的齿条沿其轴线方向连
续不断移动，从而可以加工任意齿数的齿轮。
? 滚齿法既可以加工直齿轮，又能很方便
地加工出斜齿轮，它是齿轮加工中普遍应用
的方法。
4,标准齿轮及变位齿轮加工
? 齿条插刀的 分度线 （中线）与被加工的齿轮的
分度圆 相切并作纯滚动时，刀具移动的线速度等于
轮坯分度圆的线速度时,v=ωr,加工出齿轮的分
度圆压力角等于刀具的齿形角，分度圆齿厚等于刀
具分度线上的齿槽宽，齿顶高为 ha* m,齿根高为
hf =（ ha* + c*） m，这种齿轮称为 标准齿轮。
?1) 标准齿轮 (standard gear)加工
齿条刀中线与齿轮坯
分度圆相切纯滚动。这
样切出轮必为标准齿轮：
刀顶线?
刀根线
齿顶线
?
2m? 2m?
*
* 分度线（中线）
S=e
*ha=ham
*hf =(ha+c*)m
p
分度圆
ham(h
a +c*)m*
*
s
?
?m
中线
*
*
*
*2
?m
标准齿轮的切制
? 刀具分度线（中线）与齿轮的分度圆拉开
(或移近 )一定距离 xm。
2) 变位齿轮 (profile shift gear)加工
分度圆
中线中线中线 (中线 )(中线 )
(中线 )
正变位齿轮
x>0
负变位齿轮
x<0
? 当刀具分度线（中线）与齿轮的分度圆拉开 (或
移近 )一定距离 xm,刀具上与分度线平行且与齿轮
分度圆相切的直线称为 节线 。此时 节线与齿轮的分
度圆作纯滚动,仍然应该保证,v=ωr
? 这种改变刀具位置，使其分度线与轮坯
分度圆的距离为 xm时，加工出的齿轮称为 变
位齿轮, X— 变位系数
?当刀具分度线 远离轮坯,与轮坯分度圆拉开
时,x为正，称为 正变位,xm > 0；
?当刀具分度线 移进 轮坯，与轮坯分度圆相割
时,x为负, 称为 负变位,xm< 0。
分度圆 分度圆
节线 节线
节线
齿条刀中线相对于被切齿轮分度圆可能有三种情况
(中线 ) 中线中线中线 (中线 )(中线 )
(中线 )
径向变位量
X—— 径向变位系数
标准齿轮
x=0 正变位齿轮 x>0 负变位齿轮 x<0
齿顶高 ha= ham,
齿根高 hf = (ha +c*)m。
齿厚 s等 于齿槽宽 e,
*
*
齿顶高 ha> ham,
齿根高 hf < (ha +c*)m。
齿厚 s大于齿槽宽 e,
*
* *
S < e,
ha< ham,
hf >(ha+c*)m。
*
变位齿轮的切制
刀具节线与轮
坯的分度圆相切，
齿轮的分度圆齿厚
应于刀具节线上的
槽宽。
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
t an2
2
t an2
2
xme
xms
?? t a n221 xmmKKes ??????
分度圆齿厚 S
?? x mt gmS 22 ??
被切齿轮分度圆齿厚等于
齿条刀节线上的齿槽宽
分度圆 d = mzp = ?m
pb= ?mcos ?基圆
db= mzcos ?
分度线
分度圆
节线
xmtg? ?m2 xmtg?
?
P
基圆
分度线
节线
xmtg? ?m2 xmtg?
?
? 1、正变位齿轮 (long-addendum gear),x > 0,齿
顶高增大，齿根高减小，分度圆齿厚和齿根圆齿厚
比标准齿轮都增大，齿顶变尖。 s > e
? 负变位齿轮 (short-addendum gear),x <
0,齿顶高减小，齿根高增大，分度圆齿厚
和齿根圆齿厚都比标准齿轮减小。 s< e
?2、变位齿轮的主要参数 —— ｍ,z,α与标
准齿轮相同，不改变，因此 分度圆和基圆 也
不变。
负变位齿轮
正变位齿轮
标准齿轮
分度圆
3、用同一把齿条刀切出齿数相同的标准齿轮、正变
位齿轮及负变位齿轮的轮齿，它们的齿廓是相同基
圆上的渐开线 (齿形一样 )，只是取渐开线的不同部位
作为齿廓 。
§ 5-6 渐开线齿轮加工中的几个
问题
? 一、齿厚计算和测量
? 二、根切现象及其避免方法
一、齿厚计算和测量
在设计、制造和检验齿轮时，经常需
要知道某圆周上的齿厚，如为了确定一对
啮合齿轮的齿侧间隙需要知道节圆齿厚，
为检验齿顶强度需要知道齿顶厚，在齿轮
加工中，为检验和控制加工进刀量或检验
齿轮精度，经常测量弦齿厚或公法线长度
等。
1,任意圆上的弧齿厚
)(2 ?? i n vi n vr
r
rss
ii
i
i ???
? ???? ??????? irsB OCB OB 22
? ??? i n vi n vrs i ??? 2
?
?
?
?
?
?
???
???
aa
aa
a
a
i n vi n v
mz
s
d
i n vi n vr
r
r
ss
??
?? )(2
齿顶厚：
? ?aba rra r c c o s??
???
??
i n vmzs
i n vi n vr
r
r
ss bbbb
c o sc o s
)(2
??
???
基圆齿厚：
2.公法线长度 (base tangent length)
弧齿厚无法测量，测弦齿厚需要齿顶圆作定位
基准，测量精度低。为此用 直线长度表示齿厚 。
? 作渐开线齿轮基圆的切线，必为两侧齿廓的法线，
因此称之为渐开线齿轮的 公法线 。用 WK 表示。
? 测量时，用卡尺卡爪跨过轮齿,卡爪间的距
离即公法线长度。
?对于 变位齿轮,
?对于 标准齿轮,
在测量公法线时，必须首先确定跨齿数
k,当齿效 z一定时，如果跨齿数太多，卡尺
的卡爪就可能与齿轮顶部的棱角接触，如
果跨齿数太少，卡爪就可能与齿根部的非
渐开线接触，其测量的结果都不是真正的
公法线。
? 为了使卡尺的卡爪与齿廓中部的渐开
线接触，对于标准齿轮，其跨齿数
?对于变位齿轮：
二、根切现象及其避免方法
? 1,根切现象 (undercutting)及产生原因
? 2,避免根切的方法
1,根切现象 (undercutting)及产生原因
? 根切,用范成法加工渐开线齿轮过程中，有
时刀具齿顶会把被加工齿轮根部渐开线齿廓切去
一部分，这种现象称为根切。
? 产生的原因,刀具的齿顶线（圆）超过了极
限啮合点。
齿廓根切 —— 用范成法切制齿轮时，有时刀具会把轮齿根部已
切制好的渐开线齿廓再切去一部分，这种现象称为齿廓根切。
产生根切的原因
当刀具齿顶线与啮合线的交点超过啮合极限点 N之外,便将
根部已切制出的渐开线齿廓再切去一部分。
齿轮根切现象
r
rb
0
p
B1
齿顶线 B
2
刀 刃 Ⅱ?
N
节线
?根切产生的原因
移距变位法：
?变位量 xm
?不根切的条件：
2,避免根切的方法
? 对于正常齿，若齿数少于 17，必须采用正
变位防根切；
17
17
m i n
zx ??
?不产生根切最少变为系数：
?当 α=20°, ha*=1时，
? 当 x=0时，即加工 标准齿轮 而不根切的条件：
? ?
?2
*
s in
2 xhz a ??
?即：不产生根切最少齿数
?2) 改变刀具齿形参数,增大齿形角 α或者
减小齿顶高系数 ha*,可使 zmin减小，以避
免根切。
?避免根切的方法：
? 1) 选用齿轮齿数 z > zmin
? 3) 当 z < zmin 时，只能 用正变位。
§ 5-7 渐开线齿轮啮合传动计算
?一、一对渐开线齿轮的正确啮合条件
?二、齿轮传动的啮合角 —— 无侧隙啮合方式
?三、中心距及中心矩变动系数
?四、渐开线齿轮连续传动条件
?五、渐开线齿轮传动的滑动系数
?六、变位齿轮传动的几何尺寸计算
一、一对渐开线齿轮的正确啮合条件
一对渐开线齿廓是能够满足定传动
比传动的，但并不表明任意两个渐开
线齿轮都能正确啮合传动。
要能够正确啮合传动，必须满足正
确啮合条件。
一对渐开线齿轮的啮
合点都应在理论啮合线 N1N2
上，如有两对齿同时参与
啮合，则啮合点必同时在
N1N2上，并且为使每对轮齿
都能正确地进入啮合，即
在交替啮合时，轮齿既不
脱开又不相互嵌入，要求
前一对轮齿在啮合线上 K点
啮合 (尚未脱离啮合 )时，后
一对轮齿就应在另一点 B2
进入接触。
?两齿轮正确啮合：
? KB2的长度即为齿轮的
法向齿距 pn,也为基
圆齿距 pb 。
?一对渐开线齿轮的正确啮合条件
?两轮的模数和压力角分别相等，即：
一对渐开线齿轮的啮合传动
kN2
N1
k
o1
o2
1?
2?
两齿轮的相邻两对轮齿分别 K在和 K'同时接触，
才能使两个渐开线齿轮搭配起来并正确的传动。
齿轮的啮合过程
欲使两齿轮正确啮合，两轮的法节必须相等。
k
k1
o1
N2
N1
k1k
2k
o2
k k
N1
o1
1?
N2
o22?
2k?N2
N1
o1
o2
2n1n pp ?
2n1n pp ?
2n1n pp ?
)( nb pp ?? b2b1b ppp ???
2211 co sco s ???? mmp b ???一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件是：
两轮的模数相等，两轮的压力角相等。 mmm 21 ??
????? 21
法节,齿轮上两相邻轮齿同侧齿廓在法线上的距离。用 pn表示。
二、齿轮传动的啮合角 —— 无侧隙
啮合方程式
为了使齿轮在正转和反转两个方向的传动
中避免撞击，要求相啮合的两轮齿的齿侧没有
间隙。
—— 无侧隙啮合
a a'
'r2
'r1
P
? 无侧隙啮合传动条件
一齿轮轮齿的节圆齿厚必
须等于另一齿轮节圆齿槽宽 。
21 es ??? 12 es ???
? 无侧隙啮合传动
一个齿轮齿厚的两侧齿廓与
其相啮合的另一个齿轮的齿槽两
侧齿廓在两条啮合线上均紧密相
切接触。
b b'
齿轮的啮合过程
? 一对标准齿轮 （ s=e） 啮合时，只要保
证两轮分度圆相切 —— 标准安装,就可以保
证 无侧隙啮合传动 。
实际啮合要求有微量的侧隙，以保证
润滑、装配误差或热膨胀的需要。这由制
造时的最小齿厚减薄量来保证，设计时仍
按 无侧隙啮合计算。
mchrr
mhrr
af
aa
)( **22
*
11
???
??
?标准齿轮的标准安装：
mcrrrra fa *2121 ?????
? 若一对标准齿轮实际中心距 a’大于 a—— 非标
准安装,节圆与分度圆分离，顶隙大于 c*m,齿
侧产生间隙。
? 一对变位齿轮啮合，两节圆作纯滚动。
p1’=p2’
? 为保证无侧隙啮合，一齿轮的节圆齿
厚应等于其相啮合的齿轮的节圆槽宽，
s’1=e’2,s’2=e’1
—— 变位齿轮无侧隙啮合条件?即：
? 变为齿轮的分度圆齿厚是变化的，如何保证
无侧隙啮合传动？
?将
?得：
?代入：
??? tg
zz
xxi n vi n v
21
21 )(2'
?
???
两变位齿轮必须按由此式求得的 啮合角 安
装时, 才能保证无侧隙啮合 。
??? t an)(2
21
21
zz
xxi n vi n v
?
????
无侧隙啮合方程：
三、中心距 a及中心矩变动系数 y
变位齿轮传动的实际中心距 （无侧隙啮合的中心距）
??
?
???
????????
c osc os)(
c os)(
21
2121
rr
rrrra bb
?? c o sc o s aa ???
?? ???? c osc os)(
2
1
21 zzma
—— 中心距与啮合角关系
y称为 中心矩变动系数
)(21 21 zzma ??
?? ??? c o sc o saa
ymaaa ?????? )1
c o s
c o s(
?
?
? ?
???????
c o s
rrrra 2b1b
21
变位齿轮传动的中心距 a' 及中心距 变动系数 y
? ?
????
c o s
c o s)rr(a 21
ymrra 21 ????
m
aay ??? y— 分度圆分离系数,
aa ??
aa ?? 时 y > 0
时 y < 0当
式中 )(
2 21 zz
ma ??
? ?
???
c o s
c o saa
1r?
o1
r2
r1
o2
2r?
aa ??
aa ??
两分度圆分离 ；
两分度圆相割。
四、渐开线齿轮连续传动条件
?1、重合度的基本概念
?2、重合度的计算
?3、重合度的物理意义及影响因素
一对渐开线轮齿的啮合过程
?1
?2
N1
N2
o2
o1
rb2
rb1
ra2
B2
B1
ra1
一对轮齿在啮合线上啮合的
起始点 —— 从动轮 2的齿顶圆与
啮合线 N1N2的交点 B2
啮合的终止点 —— 主动轮的齿顶
圆与啮合线 N1N2的交点 B1。
实际啮合线
理论啮合线
1、重合度的基本概念
? 公法 N1N2为啮
合点的轨迹，称为
渐开线齿轮的 理论
啮合线,切点 N1和
N2称为极限啮合点 。
? 线段 B1B2为一
对齿廓实际参与的
线段，称为 实际啮
合线。
?1
?2
N1
N2
o2
o1
rb2
rb1
ra2
B2
B1
ra1
当齿顶圆加大,B1,B2
趋于 N1,N2,实际啮合线
加长，但永远不会超过
N1N2 。
两轮轮齿啮合过程中，
并非全部齿廓都参加工作，
只限于从齿顶到齿根的一
段齿廓参与啮合，成为齿
廓工作段。
主动轮推动从动轮在 K
点啮合尚未脱开时，后一
对轮齿在 B2点已经开始啮
合，传动没有中断，即传
动连续，不会引起冲击，
传动平稳。
一对齿轮啮合时，必
须满足正确啮合条件，但
仅仅满足这个条件还不能
保证传动连续。
连续传动条件
B1B2<Pb B1B2=Pb B1B2>Pb
为保证连续定角速比传动的条件为,B1B2>Pb
N2 B1
B2
N1
?1?1
B2B1N2
N1
?1
N1
B2
B1N
2
传动中断
不连续
始终有一对
轮齿啮合
有时一对、有时
两对轮齿啮合，
传动连续
? 为保证齿轮传动的连续性，实际啮合线长
度应大于基圆齿距 pb。
? 实际啮合线与基圆齿距的比值称 为重合度,
用 ε表示。
121 ??
bp
BB
?
CBCBBB 2121 ??
同理
)(c os2 222 ??? ??? tgtgmzCB a
又由于
?? co smPP bn ??
o1
02
ra1
rb1
N2 B
1
N1CB2
ra2r
b2
? ?)tgtg(z)tgtg(z
2
1
P
BB
2a21a1
n
21
a ? ????? ???????
?
)tgtg(c o s2mz 1a1 ? ?????
而
1111 CNNBCB ??
2、重合度的计算
3、重合度的物理意义及影响因素
?重合度的大小表明同时参与啮合轮齿对数的平
均值；
??=1,表明始终只有一对轮齿啮合；
??<1, 表明齿轮传动有部分时间不连续，产生冲击；
表明同时有 1.3对轮齿参
与啮合。在实际啮合线
B1B2的两端各有一段 0.3Pb
长度上（ B1K段和 B2D段 ）
有 两对齿啮合，称为 双齿
啮合区 ；在节点 C附近 D K
段的 0.7Pb长度上为 一对齿
啮合，称为 单齿啮合区 。
B1B2=1.3Pb?>1，如 ?=1.3
3.1??
Pb
1.3Pb
B1 B2
0.3Pb
KK'
双对齿
啮合区
双对齿
啮合区单对齿啮合区
0.3Pb0.7Pb
Pb
? 1）齿顶高系数 ha*
? 2）齿数 z1,z2
? 3）啮合角 α′
为了改善传动的平稳性，提高承载
能力，希望增大重合度 ε,但不能任意增
大，受以下因素影响。
?齿顶高系数 ha*增大,齿顶圆压力角增大 ；齿顶
圆增大，实际啮合线增大，重合度 ε也增大。
*
*
*
2
c o s
2
1
c o s
2
1
c o s
c o s
a
a
aa
b
a
hz
z
mhmz
mz
mhr
r
r
r
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? 1）齿顶高系数 ha*
?齿数增多，重合度 ε增大。
)]t a n( t a n)t a n( t a n[2 1 2211 ?????? ?????? aa zz
? 2）齿数 z1,z2
?当 z2增至无穷多时，变成齿条,z1不变
CBCBBB 2121 ??
?s i n)(
*
111
mhCNNB a???
? ? ???? s i nt a nt a nc o s21 *11 mhmz aa ???
]
2s i n
4
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2
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c o s
*
11
21
?
??
?
??
?
a
a
h
z
m
BB
???
?
?当 z1,z2都增至无穷多时,ε趋于 εmax
两轮均变为齿条，吻合为一体，无啮合运动。
ε 随 z增多而增大，但直齿圆柱齿轮的 ε不可
能超过 1.981。
? 若其他条件不变，增大安装中心距，会使
啮合角增大，重合度 ε减小。
?? c o sc o s aa ???
)]t a n( t a n)t a n( t a n[
2
1
2211 ?????? ?????? aa zz
? 3）啮合角 α′
因而渐开线齿轮传动的可分性受到传动连续
性的制约，必须保证合 ε>1。
?重合度 ε随啮合角的增大而减小。
六、变位齿轮传动的几何尺寸计算
变位齿轮的 分度圆、基圆 与标准齿轮相同。
齿厚改变
?? x mt gmS 2
2
??
齿高如何改变？
正变位 齿轮的齿根高：
变位齿轮的中心距
变位齿轮的 齿顶高
为使齿轮传动具有 标准顶隙,一齿轮的
齿顶高 与 另一齿轮的变位系数 有关。因而，
不宜单独确定一个变位齿轮的毛坯外因直径。
?为保证传动的 标准顶隙, 变位齿轮的全齿高
?△ y为 齿顶高变动系数, 在外啮合传动中恒为正值 。
令
得
?变位齿轮的 全齿高恒小于 或等于标准
齿轮的全齿高。
直齿圆柱齿轮机构的基本尺寸内容回顾
已知 a',z1,z2,m,ha, c*,?，*
)zz(m21a 21 ???
y
? ?
???
c o s
c o saa
f
??
??? tgzz xxi n vi n v
21
21 )(2'
?
???
21 xx ?
m
aay ???
分配 x1,x2。
y
yxxy ??? 21?
,???? 2211 rr,rr ????
0xx 21 ??
0x,0x 21 ?? 21 xx ??
?2* s i n21 zxh a ??
121 ??
n
a P
BB?
§ 5-8 变位齿轮传动的类型、应用和
变位系数的选择
?一、渐开线齿轮传动的类型
?二、变位齿轮的应用
?三、变位系数的选择及设计举例
一、渐开线齿轮传动的类型
?1、标准齿轮传动（ x∑=x1=x2=0)
?2,高度变位齿轮传动（ x∑=x1+x2=0,x1=-x2)
?3、角度变位齿轮传动（ x∑=x1+x2≠0）
1、标准齿轮传动
由无侧隙啮合方程：
??? t an)(2
21
21
zz
xxi n vi n v
?
????
)0( 21 ???? xxx
aa ??
?? ??
?? c o sc o s aa ???
?得：
?由中心距和啮合角关系：
?得：
表明：当两标准齿轮作无侧隙啮合传动时,
啮合角 等于分 度圆压力角, 节圆与分度圆
重合, 中心距等于两分度圆半径之和 。
m i n2m i n1,zzzz ??
?这类齿轮的优点：设计简单，重合度大，不会
发生干涉。缺点：抗弯能力弱，齿根部分磨损
严重，结构尺寸大。
为避免根切，两齿轮的齿数必须满足：
2,高度变位齿轮传动 ),0(
2121 xxxxx ??????
0
,0
21 ?????
?
??
?
yxxy
m
aa
y
??? t an)(2
21
21
zz
xxi n vi n v
?
????
aa
xxxx
??
??
????
,
,0 2121
??
传动中，两轮的 全齿高不变,但每个齿
轮的 齿顶高和齿根高已不是标准值。
mxchh
mxchh
mxhh
mxhh
af
af
aa
aa
)(
)(
)(
)(
2
**
2
1
**
1
2
*
2
1
*
1
???
???
??
??
表明：在无侧隙啮合传动中，节圆与分度圆重合。
这种齿轮传动称为 高度变位齿轮传动 。
由于两齿轮的变位量的绝对值相等，又称为
等变位齿轮传动 。
为使两齿轮都不发生根切
34
s i n
4
0
s i n
)(24
s i n
)(2
2
*
21
21
2
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*
21
2
*
???
??
??
??
?
?
?
?
?
a
a
a
h
zz
xx
xxh
zz
xh
z
两齿轮的齿数和必
须大于等于两倍的不发
生根切的最少齿数。通
常 小齿轮采用正变位,
大齿轮采用负变位 。
?高度变位齿轮传动 与 标准齿轮 传动相比，优点,
?可减小机构尺寸；
?可相对提高两轮承载能力；
?可改善齿轮的磨损情况。
?以上两种变位传动又称为 零传动 。
3、角度变位齿轮传动
?? ??
????,021 xxx
)0( 21 ???? xxx
? 1）正传动
? 2）负传动
1）正传动
? x∑=x1+x2>0,
? α′ > α，
? a′ > a
y > 0,
△ y > 0.
表明；无侧隙啮合传动时，节圆与分度圆不重合，
分离了 ym,因 △ y > 0,两轮的 全齿高比标准齿
轮降低了 △ ym。
优点：
减小机构尺寸，提高承载能力和接触强度,
减轻齿轮磨损，配凑中心距。
2）负传动
? x∑=x1+x2<0,
? α′<α，
? a′<a，
? y <0,
? 但△ y > 0.
?表明：无侧隙啮合传动
时，两分度圆相交。
? 优点：
? 配凑中心距
二、变位齿轮的应用
? 1、避免轮齿根切
? 2、配凑中心距
? 3、提高齿轮的承载能力
? 4、修复已磨损的旧齿轮
只要合理地选择变位系数，变位齿轮的承裁能
力可比标准齿轮提高 20％ 以上，而制造变位齿轮又
不需要特殊的机床、刀具和工艺方法，因此，在齿
轮传动设计中，应尽量扩大变位齿轮的应用。
?1、避免轮齿根切
为使齿轮传动的结构紧凑，应尽量减少小齿
轮的齿数，当 时，可用正变位以避免
根切。 m inzz ?
?2、配凑中心距
变位齿轮传动设计中，在齿数 z1,z2一定的情
况下，若改变变位系数 x1,x2值，可改变齿轮传
动中心距，从而满足不同中心距的要求 。
当采用 α′ > α的正传动时，可以提高齿轮的
接触强度和弯曲强度，若适当选择变位系数 x1、
x2, 还能大幅度降低滑动系数，提高齿轮的耐磨
损和抗胶合能力 。
?3、提高齿轮的承载能力
?4、修复已磨损的旧齿轮
齿轮传动中，一般小齿轮磨损较严重，大齿轮
磨损较轻，若利用负变位修复磨损较轻的大齿轮齿
面，重新配制一个正变位的小齿轮，就可以节省一
个大齿轮的制造费用，还能改善其传动性能。
标准齿轮不仅基本参数是标值,s=e=πm/2，
而且齿高也是标准值；
? 零变位齿轮的变位系数 x=0,也具有标准的
基本参数,s=e=πm/2,但与该齿轮啮合的是变
位齿轮，故该齿轮的齿高比标准齿轮的齿高降低
了 △ ym,已不是标准值。
?标准齿轮与零变位齿轮的区别
? 变位齿轮是指单个齿轮是正变位齿
轮 (x>0)或负变位齿轮 (x<0)。
? 传动类型则是按一对相啮合的齿轮
的变位系数之和来区分的。
?变位齿轮与传动类型
?当 x1+x2>0时,该对齿轮传动称为正传动；
?当 x1+x2<0时，该对齿轮传动称为负传动；
?当 x1+x2=0时，该对齿轮传动称为零传动。
? 在这三种传动类型中的齿轮都可能既
有正变位齿轮又有负变位齿轮，只看 x1+x2
属于哪一种即可。
三、变位系数的选择及设计举例
要充分发挥变位齿轮的优越性，关键是正确
合理地选择变位系数。变位系数的选择是一个复
杂的综合问题，人们已对此作过大量研究工作，
提出了许多实用的方法。尽管由于齿轮的材料、
热处理和使用条件的不同，选择变位系数时应有
不同的侧重，但一股来说，均应尽可能地增大齿
轮传动的啮合角。 (即增大总变位系数 ),并使二齿
轮齿根处的最大滑动系数相等 。
1)齿轮啮合时不产生干涉；
2)齿轮加工时不产生根切或仅有微量根切；
3)齿轮的齿顶厚 sa>0.4m；
4)齿轮啮合时重合度 ε>=1.2。
为保证变位齿轮能正常啮合传动，选择
和分配变位系数必须满以下基本限制条件
?变位系数的选择
§ 5-9 斜齿圆柱齿轮传动
?一、斜齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点
?二、斜齿轮的基本参数
?三、斜齿轮传动的几何尺寸计算
?四、斜齿轮的正确啮合条件
?五、斜齿轮传动的重合度
?六、斜齿轮的法面齿形及当量齿数
?七、斜齿轮传动优缺点
一,斜齿轮齿廓曲面的形成
?直齿圆柱齿轮
k'0
k
k'
k0
渐开线 直 齿圆柱齿轮齿面的形成
N'
当发生面沿基圆柱作纯
滚动时，若平行于齿轮的轴
线的直线 kk‘在空间的轨迹
为直齿圆柱齿轮的齿面。 O
接触线
渐开线形成 2
渐开线斜齿圆柱齿轮齿面的形成 N'
当发生面沿基圆柱作纯滚动时，
而若与基圆柱母线成一夹角 ?b的直
线在空间的轨迹则为斜齿圆柱齿轮
的渐开螺旋面。
k'0k
0
k
k'
O
接触线
斜齿轮齿面的
形成
一对斜齿轮啮合时，齿面上的接
触线由短变长，再由长变短，减少了
传动时的冲击和噪音，提高了传动平
稳性，故斜齿轮适用于重载高速传动。
? 渐开螺旋面与同轴线的任一圆柱面的交线为
螺旋线，不同圆柱面上的螺旋角不同。
?斜齿圆柱齿轮
L
dtg b
b
?? ??
L
dtg ?? ?
??b
?db
?d
ddtgtg bb ???
斜齿轮的螺旋角 β
基圆柱上的螺旋角 βb
分度圆螺旋角为 β为
? 将斜齿轮沿分度圆柱展开，螺旋线变成一
条斜直线，与轴线的夹角 β—— 分度圆上的螺旋
角，称为斜齿轮的螺旋角。
旋向
左旋
右旋
二、斜齿轮的基本参数
? 由于斜齿圆柱齿轮的齿面为渐开螺旋面，
因而在不同方向的截面上其轮齿的齿形各不
相同，故斜齿轮有两套基本参数，即：
? 在垂直于齿轮回转轴线的截面内定义为
端面参数 (下角标为 t)； 在垂直于轮齿方向的
截面内定义为 法面参数 (下角标为 n)。
? 由于加工斜齿轮时，刀具沿螺旋线方向进刀，
所以斜齿轮的法面参数是和刀具参数相同的标准
值，即 法面参数 是标准参数。
?c o stn pp ?
?1、端面模数参数与法面模数的关系
?co stn mm ?
法面参数 mn,?n,han,cn 法面
参数为标准值。
* *
端面参数 mt,?t,hat,ct 。 计
算的基本尺寸是在端面上计量的。
* *
端面齿距 pt
法面齿距 pt
?
又有
ttnn mpmp ?? ??,
斜齿轮的啮合
不论从法面或端面来看，斜齿轮
的齿顶高和齿根高都是相等的，故有：
nantata mhmhh ** ??
2、齿顶高系数及顶隙系数
nnan
ttatf
mch
mchh
)(
)(
**
**
??
??
?
?
c o s
c o s
**
**
nt
anat
cc
hh
?
?
?
斜齿轮的啮合
ab
ac
ttg ??
在 ?abc中
??? co sttgtg n ??
在 ?a'b'c中
ba
catg
n ??
???
?
?
由于 ab = a'b'
直齿条
?
?t
3、法面压力角和端面压力角
（用斜齿条说明）
斜齿条
a c
b
a'
b'
法面
?n
?4、法面变位系数 xn与端面变位系数 xt
?c osnt
ttnn
xx
mxmx
?
?
?5,分度圆柱螺旋角 β与基圆柱螺旋角 βb
tb
bb
dd
dd
?
??
c os
t a nt a n
?
?
tb ??? co st ant an ?
三、斜齿轮传动的几何尺寸计算
? 斜齿轮传动的几何尺寸计算在端面
内进行，从端面看，斜齿轮啮合与直齿
轮完全相同，只要将端面参数代入直齿
轮计算公式即可。
（ 2）由法面参数求得的端面参数表达式代入基本尺寸
计算公式中。
基本尺寸计算
（ 1）端面参数代入相应的直齿圆柱齿
轮基本尺寸计算公式中。
例如,zmd
t? tb
dd ?c o s?
tt mp ?? tttb mp ?? co s?
例如：
zmzmd nt ?co s??
，
??? c o s
n
tt
mmp ??
tb dd ?c o s?
四、斜齿轮的正确啮合条件
? 一对斜齿轮传动其两轮啮合处的轮齿倾斜方
向必须一致，这样才能使一轮的齿厚落在另一轮
的齿槽内，从而使两齿廓螺旋面相切。
?外啮合时,β1= -β2
?内啮合时,β1=β2
β
? 由于啮合时斜齿轮端面同直齿轮，所
以 端面模数和压力角分别相等 ；又由于 β相
同,所以 法面模数和压力角 也相同 。
?一对 斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件,
)(
21
21
21
21
??
??
???
?
??
??
??
nnn
nnn
mmm
21
21
tt
tt mm
?? ?
?或
b
a P
BB 21??
直齿圆柱齿轮传动，沿整个齿宽在 B2B2线进行啮合，又沿整
个齿宽同时在 B1B1脱离啮合，所以其重合度为：
故斜齿圆柱齿轮传动的重合度
大于直齿圆柱齿轮，其增量为：
bt
b
p
B t g ??
? ?
对于斜齿圆柱齿轮传动，从前
端面进入啮合到后端面脱离啮合，其
在啮合线上的长度比直齿圆柱齿轮增
加了 btg?b。 直齿圆柱齿轮的啮合面
B1
B1
B2
B2
B
B1
B1 B2
B2
?b
斜齿圆柱齿轮的啮合面
五、斜齿轮传动的重合度
tb tgtg ??? co s?
而
??? c o s/c o s tnbt mp ?
故
nm
B
?
??
?
s i n?
斜齿圆柱齿轮传动的重合度
???? ?? a
由此可知，螺旋角
?? ??
轴向重合度端面重合度
bt
b
p
B tg ??
? ?
重合度增量
? 斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样，用
端面参数 代入公式，即可求得斜齿轮的 端
面重合度。
nmB ??? ? s i n?
??? ??? ??
? 为保证斜齿轮的重合度 εγ≥2,齿宽 Β应满足：
?由于 β增大会使轴向力增大，为限制过大的轴向
力，取：
六、斜齿轮的法面齿形及当量齿数
? 仿形法加工斜齿轮
时，刀具沿螺旋形齿槽
方向进刀，其刀具形状
应与齿轮的法面齿形相
同。
? 由于斜齿轮的 端面
齿形为渐开线,而法面
齿形复杂，一般用近似
方法求法面齿形。
? 过斜齿圆柱齿轮分度圆柱
螺旋线上的 C点作某一轮齿的法
面，该法面将分度圆柱剖开，
剖面为一椭圆,C点附近的齿形
可看作斜齿轮的法面齿形，
?节点 C处的曲率半径为：
? 以 ρ为半径, 作一个 假想
的直齿轮的 分度圆, 并设 假
想的直齿轮的模数和压力角
分别等于该斜齿轮的 mn,αn；
? 该直齿轮的齿形就与斜
齿轮的法面齿形非常接近,
这个假想的直齿轮就称为斜
齿轮的 当量齿轮, 当量齿轮
齿数称为 当量齿数 Zv。
?当量齿轮及当量齿数 ---
在研究斜齿轮法面齿形时，
可以虚拟一个与斜齿轮的
法面齿形相当的直齿轮，
称这个虚拟的直齿轮为该
斜齿的当量齿轮,其齿数
则称为 当量齿数,用 Zv表
示。
???
?
322 co sco sco s
2 z
m
zm
m
d
m
Z
n
t
nn
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c
d
n
n
c
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当量齿轮，
模数 mn，
齿数 zv.
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2
22
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d
d
b
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zZ
v ?
七、斜齿轮传动优缺点
?（ 一 ） 优点：
? 1,啮合性能好 。
? 2,重合度大 。
? 3,结构紧凑, Zmin小 。
?3co svzz ?
?? 33m i nm i n c o s17c o s ?? vzz
?（二） 缺点：
? 有 轴向力，采用人字齿轮
（ 4）斜齿轮在工作时有轴向推
力 Fa,且 ??,Fa?,用人字齿轮
可克服轴向推力。
螺旋角 ?的大小对斜齿
轮传动的质量有很大
影响，一般取 80 ～ 150
?? 33m inm in c o s17c o s ?? vzz
02
k
FaF Fn
?b
k'
o1
M
(a)
(b)
（ 1）在传动中，其轮齿逐
渐进入和逐渐脱开啮合，
传动平稳，冲击和噪声小；
（ 2）重合度大，故承载能
力高，运动平稳，适用于
高速传动；
（ 3）不产生根切的最小齿数
比直齿轮少，故结构紧凑；
§ 5-10 交错轴斜齿轮传动机构
?一、几何参数关系与几何尺寸
?二、正确啮合条件
?三、传动比及从动轮转向
?四、交错轴斜齿轮传动的优缺点
§ 5-11 蜗杆传动机构
?一、蜗杆蜗轮的形成
?二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件
?三、蜗杆传动的基本参数
?四、蜗杆传动的几何尺寸计算
?五、蜗杆传动的优缺点
一、蜗杆蜗轮的形成
?1,蜗杆, 蜗轮的形成
?2,蜗杆的分类
1,蜗杆、蜗轮的形成
? 蜗杆传动是用来传递 空间两交错轴 间的
运动和动力的, 它由蜗杆和蜗轮组成 。 一般
其轴交错角 ∑等于 90o。
? 为改善原交错轴斜齿轮传动
的点接触的啮合情况，在蜗杆传
动中，采取了两项措施,一是 将
蜗轮圆柱面上的直母线做成与蜗
杆轴同心的圆弧形，使它部分地
包住蜗杆,二是 采用, 对偶法,
加工蜗轮轮齿，即是采用与蜗杆
形状相同的滚刀 (为加工出顶隙，
蜗杆滚刀的外圆直径要略大于标
准蜗杆外径 )，并保持蜗杆蜗轮啮
合时的中心距与啮合传动关系去
加工蜗轮。这样加工出的蜗轮与
蜗杆啮合时，可保持线接触，提
高其承载能力。
2、蜗杆的分类
γ
β1
β2
2） 根据头数分
单头
多头
双头
?1） 根据旋向分
左旋
右旋
阿基米德蜗杆
延伸渐开线蜗杆
渐开线蜗杆
圆柱蜗杆
环面蜗杆
3） 根据蜗杆的外形分
圆柱蜗杆的齿顶位于圆柱面上，而环面蜗杆的齿
顶位于圆弧回转面上。环面蜗杆传动比圆柱蜗杆传动
的承载能力大且效率高，但制造和安装精度要求高，
成本也高。
?蜗杆的加工,蜗杆多在车床上粗加工而后经磨
制而成。
加工时随车刀放置的位置和姿态的不
同，可得三种齿廓形状的蜗杆。
? 将车刀刃放置于蜗杆轴线的同一平面内，加
工出的蜗杆的轴剖面 Ⅰ — Ⅰ 为直线齿形，与轴线
垂直的端面内的齿形为 阿基米德螺线,故称之为
阿基米德蜗杆。因它的加工工艺性好，在生产中
应用最为广泛。
1）阿基米德蜗杆
? 将车刀刃放在蜗杆齿面的法向位置，这样
加工出来的蜗杆，在法向剖面内为直线齿廓，
其端面齿形为 延伸渐开线,因而称之为延伸渐
开线蜗杆，或称之为 法向直廓蜗杆 。
2）延伸渐开线蜗杆
将车刀刃与蜗杆的基圆柱相切，这样加工
出来的蜗杆的 端面为渐开线齿形,故称为渐开
线蜗杆。
3）渐开线蜗杆
二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件
? 过蜗杆轴线并垂直于蜗轮轴线的平面, 称为
蜗杆传动的 中间平面 。
?在中间平面内蜗杆与蜗轮的啮合相当于齿轮齿
条的啮合 。
正确啮合条件
（ 1） m=mt2=mx1
（ 2） α=αt2=αx1
（ 3） γ=β2（ 等值同向）
在中间平面内其模数和压
力角应分别相等 。
三、蜗杆传动的基本参数
? mx1 = mt2=m
? αx=20° —— 阿基米德蜗杆
? αn= 20°
?1、模数 m和压力角 α
?2、齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*
?ha*=1,c*=0.2
?3、蜗杆头数 z1,蜗轮齿数 z2与传动比 i12
?i12=ω1/ω2=z2/z1
为获得大传动比，应采用单头蜗杆，即 z1=1，
但其传动效率低。为了提高效率应增加蜗杆的头数，
但这又会造成蜗杆加工的因难。一般取 z1 =1,2,4、
6。动力传动中，为提高效率，常用多头蜗杆。单
头蜗杆传动不仅可以得到大传动比，而且传动具有
自锁性，常用于起重装置中。
?4、蜗杆直径 d1和蜗杆导程角 γ
为保证蜗杆与蜗轮能够很好地啮合，蜗轮多
用与蜗杆尺寸、形状相当的滚刀加工。而对于同
一模数 m,蜗杆又可有不同的直径 d1,为了减少蜗
轮滚刀的数量，在 GB中规定了 d1与 m的匹配值。
1
1
1
11
1
t an
d
mz
d
pz
d
l x ???
??
?
πmx1
l
πd1
γ
?t an
1
1
zmd ?
为保证蜗杆分度圆直径 d1和模数 m均为标
准系列，蜗杆导程角 γ不能随便取值，必须按
上式计算而得。当 m一定时，增大 d1值，可以
提高蜗杆轴的强度和刚度；增大 γ值，可提高
蜗杆传动的效率。对于要求高效率的传动，
常采用 γ=15°～ 30°,此时应采用多头蜗杆。
当要求蜗杆传动具有自锁性能时，
应取 γ<= 3° 30' 。 z1 =1
四、蜗杆传动的几何尺寸计算
?蜗杆直径 d1按标准选取
蜗杆、蜗轮的齿顶高、齿根高、齿顶圆
直径和齿根圆直径等尺寸，可参照圆柱齿轮
相应公式计算，必须注意蜗杆传动的顶隙系
数 c*=0.2。
利用变位修正蜗杆蜗轮传动，不仅可以满足
不同中心距的要求，而且还能提高传动的承载能
力。由于蜗轮蜗杆啮合相当于齿轮齿条啮合，而
且蜗轮滚刀与标准蜗杆相同，是不变位的，因而
只需对蜗轮采取适当的变位即可。蜗杆蜗轮的齿
顶圆直径按下式计算
五、蜗杆传动的优缺点
?1、可实现空间交错轴间的很大传动比，结
构紧凑。
?2、蜗杆传动为线接触，传动平稳，噪声小。
?3、当蜗杆导程角很小时，传动具有自锁性。
? 优点：
?1、机械效率低
?2、易发热和磨损
?3、轴向力大
? 缺点：
§ 5-12 圆锥齿轮传动机构
?一、圆锥齿轮的应用
?二、直齿圆锥齿轮的齿形 —— 背锥及当量齿数
?三、直齿圆锥齿轮的基本参数及啮合特点
?四、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算
一、圆锥齿轮的应用
? 圆锥齿轮机构用于传递两相交轴之间的运动
和动力。一般 Σ=δ1+ δ2 =90°
直齿
斜齿
曲线齿
?圆锥齿轮
圆锥齿轮的轮齿是分布在一个圆锥面上的。与
圆柱齿轮相对应，在圆锥齿轮上有齿顶圆锥、分度
圆锥和齿根圆锥等等。又因圆锥齿轮是一个锥体，
故有大端和小端之分。为了计算和测量的方便，通
常取圆锥齿轮 大端 的参数为 标准值,。
?轮齿分布在圆锥体上，直
齿圆锥齿轮传动中有 五对圆锥,
分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆
锥、基圆锥、节圆锥。
δ—— 分度圆锥角
二、直齿圆锥齿轮的齿形 ——
背锥及当量齿数
?1、直齿圆锥齿轮齿廓曲面的形成
一对圆锥齿轮传动时，
其锥顶交于点 O,在距锥顶
不等的截面上的轮齿大小不
等，锥齿轮的轮齿是自大端
向锥顶收缩的。为计算和测
量的方便，通常研究大端的
齿形，并取 大端的齿形参数
为标推值。
在圆锥齿轮传动中，两轮绕各自的轴线回转，只
有与锥顶 O等距的对应点才能相互啮合，故圆锥齿轮
的共扼齿廓应分布在以锥顶 O为球心的球面上。圆锥
齿轮的齿廓曲面应为渐开锥面。
形成,平面 1在基圆锥 2上作纯
滚动时，该平面上过锥顶点 O
的任一直线 OK的轨迹即为渐开
线锥面。该锥面与以 O为球心，
以锥距 R为半径的球面的交线
为 球面渐开线 AK,它应是圆
锥齿轮的大端齿廓曲线。
? 直齿圆锥齿轮齿廓曲面为 球面渐开曲面 。。
但球面无法展开成平面，这样，圆锥齿轮的设
计计算就产生了困难，为此应寻求一种代替球
面渐开线的 近似的计算方法。
? 球面渐开线的形成 -- 与基圆锥相切于 NO',且半径 R等于基
圆锥的锥距的扇形平面沿基圆锥作相切纯滚动时，该平面上一
点 K在空间形成一条球面渐开线，半径逐渐减小的一系列球面
渐开线的集合，就组成了球面渐开面。
k N'
N
(b)
o'
o'
k0 O
(a)
k'
k'0
2、背锥和当量齿数
圆锥齿轮的轴剖面，其
中 ΔOAA 代表 分度圆锥 (通常
就是 节圆锥 ),ΔObb代表 齿顶
圆锥, ΔOcc代表 齿根圆锥 。 r
为分度圆半径，以锥顶 O为
圆心，以 OA (分度圆锥长，
又称为 锥距 R)为半径的圆应
为 球面的投影 。
若以 球面渐开线 作圆锥齿轮的齿廓，则 圆弧
bAc即为齿轮大端与轴剖面的交线,该 球面曲线 是
不能展开成平面的。
ΔO1AA即为背锥在圆锥齿轮轴剖面上的投影。由于
背锥母线 O1A与圆锥齿轮的分度圆锥母线相互垂直，
将球面渐开线 bAc投影到背锥上得到的点 b’Ac’,b’,c’
分别与球面渐上的 b,c点非常接近，故可用 背锥上的
齿形近似地作为圆锥齿轮的大端齿形 。
过轮齿大端上 A点作
球面的切线 O1A,与齿轮
的轴线交于 O1点。设想以
OO1为轴线，以 O1A作母
线形成的回转面也为圆锥
面，它与圆锥齿轮大端切
于 A点，称为圆锥齿轮的
背锥 。
? 将脊锥展成平面，
得到一个扇形齿轮,其
齿数等于圆锥齿轮的实
际齿数 Z,它的分度圆
半径为 rv= O1A, 其 模
数 m,压力角 α, ha *取
标准值，分别与圆锥齿
轮大端参数相同。用该
扇形齿轮的齿形，近似
地作为圆锥齿轮的大端
齿形。
? 将扇形补足为完整的直齿圆柱齿轮, 则齿数 z
增加到 zv,该虚拟的 圆柱齿轮 称为锥齿轮的 当量齿
轮, 齿数 zv称为该锥齿轮的 当量齿数 。
当量齿轮是齿形
与直齿圆锥齿轮大端齿
形十分近似的一个虚拟
的直齿圆柱齿轮。引入
当量齿轮概念后，可将
直齿圆柱齿轮的某些原
理近 似 的应用到圆锥
齿轮上。
与球面相切于大端
节圆处的圆锥，称为大
端的背锥，背锥展开成
扇形齿轮，假想将扇形
齿轮补全为完整的圆形
齿轮，此即为 当量齿轮,
其齿数称为 当量齿数 。
当量齿数参数：
vv
v
mzr
mzr
r
2
1
c o s2c o s
?
??
??
?
?
co s
co s
m i nm i n v
v
zz
z
z
?
?
三、直齿圆锥齿轮的基本参数及
啮合特点
?1、直齿圆锥齿轮的基本参数
?2、直齿圆锥齿轮的啮合传动
1、直齿圆锥齿轮的基本参数
? 圆锥齿轮的轮齿自大端到小端逐渐收
缩，由于大端尺寸最大，测量方便，数值
的相对误差最小，因此规定圆锥齿轮的各
项参数和尺寸均以大端为准。
? α=20°
? ha*=1
c*=0.2
2、直齿圆锥齿轮的啮合传动
圆锥齿轮的当量齿轮不仅可用来描述
其轮齿的齿形，还能近似地来研究圆锥齿
轮的啮合传动。
? 1) 正确啮合条件：大端的模数和压力角分别相等。
mmm ?? 21
??? ?? 21
?2) 重合度：按当量齿轮计算。
?3)直齿圆锥齿轮不发生根切的最小齿数
? zmin=zvmincosδ
根锥角顶锥角，
齿根角，齿顶角，
????
????
fa
fa
??
??
四、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算
aa ??? ??
ff ??? ??
?几何尺寸计算
21
1
2
1
2
1
2
2
1
12
t a nc o t
s i n
s i n
??
?
?
?
?
??
????
r
r
z
z
i
12
1
2
1
90
c o t
??
?
??
?
?
z
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Σ=δ1+ δ2 =90°
r1
01
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2
1
2
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