土力学与土质学
第 3章 土中应力计算
基本内容：
掌握土中三种应力（ 自重应力, 基底压力 以及各种
荷载条件下的土中 附加应力） 计算方法。
学习基本要求
1,掌握土中自重应力计算；
2,掌握基底压力和基底附加压力分布与计算；
3,掌握 圆形 面积均布荷载,矩形 面积均布荷载,矩
形 面积 三角形 分布荷载以及 条形 荷载等条件下的土中
竖向附加应力计算方法；
4,了解地基中其他应力分量的计算公式。
3.1 概述
3.1.1 土中应力计算的目的及方法
※ 土中应力增量将引起土的 变形,从而使建筑物发
生下沉、倾斜及水平位移等；
※ 土中应力过大时，也会导致土的 强度 破坏，甚至
使土体发生滑动而 失稳 。
※ 因此，研究土体的 变形、强度 及 稳定性 等力学问
题时，都必须掌握先掌握土中应力状态。所以计算土中
应力分布是土力学的重要内容。
※ 计算土中应力分布可利用弹性力学理论，因为：
●土的 分散性 影响；
●土的 非均质性 和 非理想弹性 的影响；
● 地基土可视为 半无限体 。
3.1 概述
3.1.2 土中一点应力状态分析
通过平面应力问题分析，一点的应力状态可由 σx，
σy,τxy或最大、最小主应力 σ1,σ3完全确定。
2
xy
2yxyx
3
1 τ）
2
σσ
（
2
σσ
σ
σ
为：点的最大,最小主 应的由材料力学的知 识材料
?
?
?
?
?
令,
2
)
2
(
22
3122
31
?????
????
?????
????
xy
yx
yx
q
p
平衡方程
0s i nc o sc o s
0c o ss i ns i n
1
3
???
???
??????
??????
dsdsds
dsdsds
??
??
s in
c o s
q
qp
?
??斜截面的应力：
二、应力符号规定
在用摩尔圆进行分
析时，法向应力仍
以压为正，剪 应力
方向的符号规定则
与材料力学 相反。
材料力学 中规定剪
应力以顺 时针方向
为正,土力学 中则
规定剪 应力以逆时
针方向为正。
3.2 土中自重应力计算
由于土本身的 有效重力 引起的应力称为自
重应力。自重应力一般是自土体形成之日
起就产生于土中。
※ 均质土自重应力计算；
※ 成层土自重应力计算；
※ 有地下水土时自重应力计算；
※ 存在隔水层时水土自重应力计算；
※ 土中 水平自重应力。
在深度 z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力
σ cz（称竖向自重应力）等于单位面积上土柱体的重力 W，
如下图所示。在深度 z处土的自重应力为：
? 3.2.1 均质土自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
从 上 式可知, 自重应力随深度 z线性 增加, 呈 三角形 分布图形 。
zAzAAWcz ??? ???
式中, ? 为土的重度,KN/m3 ；
A 为土柱体的截面积,m2。
? 3.2.2 成层土自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
式中,n为从地面到深度 z处的土层数 ；
hi 为第 I层土的厚度,m。
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，
设各土层的厚度为 hi，重度为 ?i，则在深度 z处土的自
重应力计算公式为,
i
n
i inncz
hhhh ?
?
?????
12211
????? ?
zhn
i i
??
?1
成层土的自重应力沿深度呈 折线 分布，转折点位于
γ值发生变化的土层界面上。
? 3.2.3 有地下水土时自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的 性质 确定
是否需要考虑水的 浮力 作用。通常认为水下的 砂性土 是应该考
虑浮力作用的。 粘性土 则视其物理状态而定，一般认为，若水
下的粘性土其液性指数 IL＞ 1,则土处于流动状态，土颗粒之
间存在着大量自由水，可认为土体受到水 浮力 作用；若 IL≤ 0，
则土处于 固体 状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍
不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用；若 0＜ IL＜
1,土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的浮力作用就较难肯定，
在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。若地下水
位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按 有效重
度 ?’计算，其计算方法同成层土体情况。
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应考虑其上的
静水压力 作用。
? 3.2.4 存在隔水层时土的自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
γi— 第 i层土的天然重度, 对地下水
位以下的土取有效重度, 取 γ’i ；
hw— 地下水到隔水层的距离 (m)。
天然地面
地下水位
不透水层
h
4
? ? h ?? ? ?h ?? ? ' ? h ?
? ? ' ? h ?? ? ? ? h 3 + h 4 )
? ? h 1 + ? ? h ?
? ?h 1
? ? h ?? ? ?h ?? ? ' ? h ?
h
2
h
3
h
1
? c 线
? ??? ' 4
? ? ?? ' 3
? ?
? ?
wwi
n
i icz
hh ??? ?? ?
? 1
总之：在地下水位以下, 如埋藏有 不
透水层,由于不透水层中不存在水的
浮力, 所以层面及层面以下的自重应
力应按上覆土层的 水土总重 计 。
折线图遇地下水时 折线往回收 ；遇不透水层时有一 突跃值 。
? 3.2.5 土中水平自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
μ为泊松比, K0— 也叫侧压系数, （ 0.33~0.72）, 通过实验测定 。
假定在自重作用下，没有侧向变形和剪切变形。
根据弹性力学理论和土体侧限条件，则水平自重应
力 σcx,σcy有：
水平自重应力：
czcycx K ??? 0??
竖向自重应力,z
cz ?? ?
静止土压力系数：
?
?
?? 10K
例题：
例 1：计算如图所示水下地基中的自重应力分布。
例 2：某工程地基如上图所示，若地下水位从地表下 1.5m迅速降
到 4.5m，假设降水后土的 重度 不变，试计算降水前后粉质粘土
层中土的竖向应力分布图。
3.3 基底压力计算
※ 建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称 基底压
力 （地基反力）。也就是作用于基础底面土层单
位面积的压力，单位为 kPa。
※ 基底压力分布及其 影响因素,
相对刚度、地基土的性质、基础大小、形状和
埋深、作用在基础上的荷载大小、分布和性质等。
荷载 和 土性 的影响
※ 当荷载较小时, 基底压力分布形状如图 a,接近于弹性理论解；
荷载增大后, 基底压力呈 马鞍形 (图 b)；荷载再增大时, 边缘塑性
破坏区逐渐扩大, 所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡,
基底压力图形可变为 抛物线型 (图 d)以至 倒钟形 分布 (图 c)。
※ 刚性基础放在砂土地基表面时, 由于砂颗粒之间无粘结力, 其
基底压力分布更易发展成图 d所示的抛物线形；而在粘性土地基表
面上的刚性基础, 其基底压力分布易成图 b所示的马鞍形 。
※ 根据弹性理论中 圣维南 原理, 在总荷载保持定值的前提下, 地
表下一定深度处, 基底压力分布对土中应力分布的影响并不显著,
而只决定于荷载合力的大小和作用点位置 。 因此, 除了在基础设
计中, 对于面积较大的片筏基础, 箱形基础等需要考虑基底压力
的分布形状的影响外, 对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单
独基础和墙下条形基础等, 其基底压力可近似地按直线分布的图
形计算, 即可以采用材料力学计算方法进行简化计算 。
3.3 基底压力计算
? 3.3.2 基底压力简化计算
3.3 基底压力计算
式中 p — 作用任基础上的竖向力设计值 (kN)；
G — 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重 (kN)；
G=?GAd,?G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取 20kN/m3，
但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取 10kN/m3；
d — 基础埋深，必须从设计地 面或室内外平均设计地面算起 (m)；
A — 基底面积 (m 2)，对矩形基础 A＝ lb,l和 b分别为其的长 和宽 。对于荷载
沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压力设计值 p(kPa)计
算,A改为 b(m)，而 F及 G则为基础截面内的相应值 (kN/m)。
基底压力分布是很复杂的，一般并非线形分布。当基础有一定
刚度且基底尺寸较小时，工程上常将基底压力假定为线形分布，
应用材料力学理论进行简化计算。
（ 1）轴心荷载下的基底压力计算
A
GFp ??
? 3.3.2 基底压力简化计算
3.3 基底压力计算
式中, pmax, pmin — 分别为基础底面边
缘的最大、最小压力设计值 (kPa)；
R — 竖向荷载的合力,(kN)；
M — 作用于基础底面形心的力矩设
计值 (kN,m)W — 基础底面的抵抗矩,(m3)
（ 2）偏心荷载下的基底压力计算
W
M
A
R
p
p ??
m i n
m a x
? 3.3.2 基底压力简化计算
3.3 基底压力计算
① 当 e＜ l/6时，基底压力分布图呈梯形 [图 (b)]；
② 当 e=l/6时，则呈三角形 [图 (c)]；
③ 当 e＞ l/6时，按计算结果，距偏心荷载较
远的基底边缘反力为负值，即 p min<0 [图 (c)]
（ 2）偏心荷载下的基底压力计算
)61(
m i n
m a x
l
e
A
R
p
p ??
3.3 基底压力计算
3.3.3 基底附加压力计算
※ 一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下
的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地
基的附加应力和变形。
※ 基底附加压力 是基础底面处地基土在初始应力基础
上 增加 的压力。该处的初始应力为基础底面处土的自重
应力 σ cd，现有压力为基底压力 p，所以基底附加压力 p0
等于基底压力 p与自重应力 σ cd的差，即：
cdpp ???0
3.4 土中附加压力
※ 土中的附加应力 是由建筑物荷载所引起的应力增量，
（即土在初始应力基础上 增加 的应力）。假设地基土是
均匀, 连续, 各向同性 的半无限空间 线形弹性体,一般
采用将基底附加压力当作作用在弹性半无限体表面上的
局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。
● 竖向集中力作用 ；
● 任意分布荷载作用下 ；
● 均布矩形荷载作用 ；
● 矩形面积三角形分布荷载作用 ；
● 圆形面积均布荷载作用 ；
● 条形荷载作用 ；
? 3.4.1 竖向集中力作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中
力 P时，半无限体内任意点 M的应力可由 布西奈斯克 解计算，
如下图所示。工程中常用的竖向正应力 sz及地表上距集中
力为 r处的竖向位移 w（沉降）可表示成如下形式：
P
K— 土的竖向附加应力系数，是 r/z的函数，可由表 3.3查得。
? 3.4.2 任意分布荷载作用下土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，如
下方法处理：当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，
可以把分布荷载分割为许多 集中力,然后用布西奈斯克公式和
叠加原理 计算土中应力。当基础底面的形状及分布荷载都是有
规律时，则可以通过 积分求解 得相应的土中应力。
? 3.4.3 均布矩形荷载作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
在地基表面作用一分布于矩形面积 (l× b)上的均布荷载 p，计算
矩形面积中点下深度 z处 M点的竖向应力 σ z值，可从下式解得：
。均布矩形荷载强度，—
可得；查表），（
系数，均布荷载土的附加应力
k P ap
b
m
b
l
fK
K
c
c
4.3,?
?
可用 角点法 计算矩形均布荷载任意点下的附加应力。
? 3.4.3 均布矩形荷载作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
矩形面积均布荷载作用下土中任意点下的附加应力计算可利用
下式和 叠加 原理求解，此法称为 角点法 。
? 3.4.4 矩形面积三角形分布荷载作用
3.4 土中附加压力
当地基表面作用矩形面积 (l× b)三角形分布荷载时，为计算
荷载为零的角点下的竖向应力值 ?z1，可将坐标原点取在荷载
为零的角点上，相应的竖向应力值 ?z可 用下式计算：
（ 1）荷载强度为零的角点下 ?z=Kt1 pt
??
?
??
?
?????? 222
2
221 1)1(
1
2 nmn
n
nm
mnK
t ?
（ 2）荷载强度最大的角点下 ?z=Kt2 pt
（ 3）任意点下的附加应力 亦可按角点法计算。
※ 应力系数 at是 n=l/b和 m=z/b的函数,注意 这里 b值不是
指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长。
? 3.4.5 圆形面积均布荷载作用
3.4 土中附加压力
（ 2）周边下土的附加应力计算公式：
为了计算圆形面积上作用均布荷载 p时土中任一点 M(r,z)的
竖向正应力，可采用原点设在圆心 O的极坐标 (如下图 )，
由公式在圆面积范围内积分求得：
（ 1）圆心下土的附加应力计算公式：
pK rz ??
式中,m=z/r0, K0, Kr分别为附加应力系数，查表 3.11可得。
? 3.4.6 条形荷载作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
（ 2）三角形分布条形荷载作用
条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题，对路堤、
堤坝以及长宽比 l／ b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进
行处理。
（ 1）均布条形荷载作用下
ttz
t
z pKnm
mn
n
m
n
mmp ??
?
??
?
?
??
?????
22)1(
)1()1a r c t a n( a r c t a n
??
? 3.4.7 地基土的非均匀性对附加应力的影响
3.4 土中附加压力
在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中
附加应力的计算与土的性质无关。但是，地基土往往是由软硬
不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应
属于双层地基的应力分布问题。有两种情况：一种是坚硬土层
上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；即 E1＜ E2时，则
土中附加应力分布将发生 应力集中 的现象。另一种是软弱土层
上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况，即 E1＞ E2，则土中
附加应力将发生 扩散现象 。
(a) 应力集中 (b) 应力扩散
本章小结
介绍了土的自重应力计算, 各种荷载条件下的土中
附 加 应 力 计 算 及 其 分 布 规 律 等 。
土中应力指土体在自身重力, 建 （ 构 ） 筑物荷载及
其他因素作用下附加应力 。 土中应力过大时, 会使土体
因强度不够发生破坏, 甚至使土体发生滑动 失稳, 引起
土体 变形, 使建筑物发生 沉降, 倾斜 以及水需平位移 。
注意,土是三相体, 具有各向异性和非线性 。 为简便
起见, 但仍采用弹性理论公式, 将地基土视作均匀的,
连续的, 各向同性的半无限体, 满足实际工程的要求 。
土中自重应力的计算可归纳为, 而土中附加应力
的计算可归纳为公式 介绍了 。pKz ???
巩固与提高
问题：
1,地基中自重应力的分布有什么特点？
2,为什么自重应力和附加应力的计算方法不同？
3,影响基底压力分布的因素有哪些？
4,目前根据什么假设计算地基中的附加应力？
这些假设是否合理可行？
作业
P59 思考题,3.2 ； 3.3 ； 3.5； 3.6 ； 3.8。
习题,3.1； 3.2 ； 3.3； 3.5； 3.6。
第 3章 土中应力计算
基本内容：
掌握土中三种应力（ 自重应力, 基底压力 以及各种
荷载条件下的土中 附加应力） 计算方法。
学习基本要求
1,掌握土中自重应力计算；
2,掌握基底压力和基底附加压力分布与计算；
3,掌握 圆形 面积均布荷载,矩形 面积均布荷载,矩
形 面积 三角形 分布荷载以及 条形 荷载等条件下的土中
竖向附加应力计算方法；
4,了解地基中其他应力分量的计算公式。
3.1 概述
3.1.1 土中应力计算的目的及方法
※ 土中应力增量将引起土的 变形,从而使建筑物发
生下沉、倾斜及水平位移等；
※ 土中应力过大时，也会导致土的 强度 破坏，甚至
使土体发生滑动而 失稳 。
※ 因此，研究土体的 变形、强度 及 稳定性 等力学问
题时，都必须掌握先掌握土中应力状态。所以计算土中
应力分布是土力学的重要内容。
※ 计算土中应力分布可利用弹性力学理论，因为：
●土的 分散性 影响；
●土的 非均质性 和 非理想弹性 的影响；
● 地基土可视为 半无限体 。
3.1 概述
3.1.2 土中一点应力状态分析
通过平面应力问题分析，一点的应力状态可由 σx，
σy,τxy或最大、最小主应力 σ1,σ3完全确定。
2
xy
2yxyx
3
1 τ）
2
σσ
（
2
σσ
σ
σ
为：点的最大,最小主 应的由材料力学的知 识材料
?
?
?
?
?
令,
2
)
2
(
22
3122
31
?????
????
?????
????
xy
yx
yx
q
p
平衡方程
0s i nc o sc o s
0c o ss i ns i n
1
3
???
???
??????
??????
dsdsds
dsdsds
??
??
s in
c o s
q
qp
?
??斜截面的应力：
二、应力符号规定
在用摩尔圆进行分
析时，法向应力仍
以压为正，剪 应力
方向的符号规定则
与材料力学 相反。
材料力学 中规定剪
应力以顺 时针方向
为正,土力学 中则
规定剪 应力以逆时
针方向为正。
3.2 土中自重应力计算
由于土本身的 有效重力 引起的应力称为自
重应力。自重应力一般是自土体形成之日
起就产生于土中。
※ 均质土自重应力计算；
※ 成层土自重应力计算；
※ 有地下水土时自重应力计算；
※ 存在隔水层时水土自重应力计算；
※ 土中 水平自重应力。
在深度 z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力
σ cz（称竖向自重应力）等于单位面积上土柱体的重力 W，
如下图所示。在深度 z处土的自重应力为：
? 3.2.1 均质土自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
从 上 式可知, 自重应力随深度 z线性 增加, 呈 三角形 分布图形 。
zAzAAWcz ??? ???
式中, ? 为土的重度,KN/m3 ；
A 为土柱体的截面积,m2。
? 3.2.2 成层土自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
式中,n为从地面到深度 z处的土层数 ；
hi 为第 I层土的厚度,m。
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，
设各土层的厚度为 hi，重度为 ?i，则在深度 z处土的自
重应力计算公式为,
i
n
i inncz
hhhh ?
?
?????
12211
????? ?
zhn
i i
??
?1
成层土的自重应力沿深度呈 折线 分布，转折点位于
γ值发生变化的土层界面上。
? 3.2.3 有地下水土时自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的 性质 确定
是否需要考虑水的 浮力 作用。通常认为水下的 砂性土 是应该考
虑浮力作用的。 粘性土 则视其物理状态而定，一般认为，若水
下的粘性土其液性指数 IL＞ 1,则土处于流动状态，土颗粒之
间存在着大量自由水，可认为土体受到水 浮力 作用；若 IL≤ 0，
则土处于 固体 状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍
不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用；若 0＜ IL＜
1,土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的浮力作用就较难肯定，
在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。若地下水
位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按 有效重
度 ?’计算，其计算方法同成层土体情况。
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应考虑其上的
静水压力 作用。
? 3.2.4 存在隔水层时土的自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
γi— 第 i层土的天然重度, 对地下水
位以下的土取有效重度, 取 γ’i ；
hw— 地下水到隔水层的距离 (m)。
天然地面
地下水位
不透水层
h
4
? ? h ?? ? ?h ?? ? ' ? h ?
? ? ' ? h ?? ? ? ? h 3 + h 4 )
? ? h 1 + ? ? h ?
? ?h 1
? ? h ?? ? ?h ?? ? ' ? h ?
h
2
h
3
h
1
? c 线
? ??? ' 4
? ? ?? ' 3
? ?
? ?
wwi
n
i icz
hh ??? ?? ?
? 1
总之：在地下水位以下, 如埋藏有 不
透水层,由于不透水层中不存在水的
浮力, 所以层面及层面以下的自重应
力应按上覆土层的 水土总重 计 。
折线图遇地下水时 折线往回收 ；遇不透水层时有一 突跃值 。
? 3.2.5 土中水平自重应力计算
3.2 土中自重应力计算
μ为泊松比, K0— 也叫侧压系数, （ 0.33~0.72）, 通过实验测定 。
假定在自重作用下，没有侧向变形和剪切变形。
根据弹性力学理论和土体侧限条件，则水平自重应
力 σcx,σcy有：
水平自重应力：
czcycx K ??? 0??
竖向自重应力,z
cz ?? ?
静止土压力系数：
?
?
?? 10K
例题：
例 1：计算如图所示水下地基中的自重应力分布。
例 2：某工程地基如上图所示，若地下水位从地表下 1.5m迅速降
到 4.5m，假设降水后土的 重度 不变，试计算降水前后粉质粘土
层中土的竖向应力分布图。
3.3 基底压力计算
※ 建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称 基底压
力 （地基反力）。也就是作用于基础底面土层单
位面积的压力，单位为 kPa。
※ 基底压力分布及其 影响因素,
相对刚度、地基土的性质、基础大小、形状和
埋深、作用在基础上的荷载大小、分布和性质等。
荷载 和 土性 的影响
※ 当荷载较小时, 基底压力分布形状如图 a,接近于弹性理论解；
荷载增大后, 基底压力呈 马鞍形 (图 b)；荷载再增大时, 边缘塑性
破坏区逐渐扩大, 所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡,
基底压力图形可变为 抛物线型 (图 d)以至 倒钟形 分布 (图 c)。
※ 刚性基础放在砂土地基表面时, 由于砂颗粒之间无粘结力, 其
基底压力分布更易发展成图 d所示的抛物线形；而在粘性土地基表
面上的刚性基础, 其基底压力分布易成图 b所示的马鞍形 。
※ 根据弹性理论中 圣维南 原理, 在总荷载保持定值的前提下, 地
表下一定深度处, 基底压力分布对土中应力分布的影响并不显著,
而只决定于荷载合力的大小和作用点位置 。 因此, 除了在基础设
计中, 对于面积较大的片筏基础, 箱形基础等需要考虑基底压力
的分布形状的影响外, 对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单
独基础和墙下条形基础等, 其基底压力可近似地按直线分布的图
形计算, 即可以采用材料力学计算方法进行简化计算 。
3.3 基底压力计算
? 3.3.2 基底压力简化计算
3.3 基底压力计算
式中 p — 作用任基础上的竖向力设计值 (kN)；
G — 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重 (kN)；
G=?GAd,?G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取 20kN/m3，
但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取 10kN/m3；
d — 基础埋深，必须从设计地 面或室内外平均设计地面算起 (m)；
A — 基底面积 (m 2)，对矩形基础 A＝ lb,l和 b分别为其的长 和宽 。对于荷载
沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压力设计值 p(kPa)计
算,A改为 b(m)，而 F及 G则为基础截面内的相应值 (kN/m)。
基底压力分布是很复杂的，一般并非线形分布。当基础有一定
刚度且基底尺寸较小时，工程上常将基底压力假定为线形分布，
应用材料力学理论进行简化计算。
（ 1）轴心荷载下的基底压力计算
A
GFp ??
? 3.3.2 基底压力简化计算
3.3 基底压力计算
式中, pmax, pmin — 分别为基础底面边
缘的最大、最小压力设计值 (kPa)；
R — 竖向荷载的合力,(kN)；
M — 作用于基础底面形心的力矩设
计值 (kN,m)W — 基础底面的抵抗矩,(m3)
（ 2）偏心荷载下的基底压力计算
W
M
A
R
p
p ??
m i n
m a x
? 3.3.2 基底压力简化计算
3.3 基底压力计算
① 当 e＜ l/6时，基底压力分布图呈梯形 [图 (b)]；
② 当 e=l/6时，则呈三角形 [图 (c)]；
③ 当 e＞ l/6时，按计算结果，距偏心荷载较
远的基底边缘反力为负值，即 p min<0 [图 (c)]
（ 2）偏心荷载下的基底压力计算
)61(
m i n
m a x
l
e
A
R
p
p ??
3.3 基底压力计算
3.3.3 基底附加压力计算
※ 一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下
的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地
基的附加应力和变形。
※ 基底附加压力 是基础底面处地基土在初始应力基础
上 增加 的压力。该处的初始应力为基础底面处土的自重
应力 σ cd，现有压力为基底压力 p，所以基底附加压力 p0
等于基底压力 p与自重应力 σ cd的差，即：
cdpp ???0
3.4 土中附加压力
※ 土中的附加应力 是由建筑物荷载所引起的应力增量，
（即土在初始应力基础上 增加 的应力）。假设地基土是
均匀, 连续, 各向同性 的半无限空间 线形弹性体,一般
采用将基底附加压力当作作用在弹性半无限体表面上的
局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。
● 竖向集中力作用 ；
● 任意分布荷载作用下 ；
● 均布矩形荷载作用 ；
● 矩形面积三角形分布荷载作用 ；
● 圆形面积均布荷载作用 ；
● 条形荷载作用 ；
? 3.4.1 竖向集中力作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中
力 P时，半无限体内任意点 M的应力可由 布西奈斯克 解计算，
如下图所示。工程中常用的竖向正应力 sz及地表上距集中
力为 r处的竖向位移 w（沉降）可表示成如下形式：
P
K— 土的竖向附加应力系数，是 r/z的函数，可由表 3.3查得。
? 3.4.2 任意分布荷载作用下土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，如
下方法处理：当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，
可以把分布荷载分割为许多 集中力,然后用布西奈斯克公式和
叠加原理 计算土中应力。当基础底面的形状及分布荷载都是有
规律时，则可以通过 积分求解 得相应的土中应力。
? 3.4.3 均布矩形荷载作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
在地基表面作用一分布于矩形面积 (l× b)上的均布荷载 p，计算
矩形面积中点下深度 z处 M点的竖向应力 σ z值，可从下式解得：
。均布矩形荷载强度，—
可得；查表），（
系数，均布荷载土的附加应力
k P ap
b
m
b
l
fK
K
c
c
4.3,?
?
可用 角点法 计算矩形均布荷载任意点下的附加应力。
? 3.4.3 均布矩形荷载作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
矩形面积均布荷载作用下土中任意点下的附加应力计算可利用
下式和 叠加 原理求解，此法称为 角点法 。
? 3.4.4 矩形面积三角形分布荷载作用
3.4 土中附加压力
当地基表面作用矩形面积 (l× b)三角形分布荷载时，为计算
荷载为零的角点下的竖向应力值 ?z1，可将坐标原点取在荷载
为零的角点上，相应的竖向应力值 ?z可 用下式计算：
（ 1）荷载强度为零的角点下 ?z=Kt1 pt
??
?
??
?
?????? 222
2
221 1)1(
1
2 nmn
n
nm
mnK
t ?
（ 2）荷载强度最大的角点下 ?z=Kt2 pt
（ 3）任意点下的附加应力 亦可按角点法计算。
※ 应力系数 at是 n=l/b和 m=z/b的函数,注意 这里 b值不是
指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长。
? 3.4.5 圆形面积均布荷载作用
3.4 土中附加压力
（ 2）周边下土的附加应力计算公式：
为了计算圆形面积上作用均布荷载 p时土中任一点 M(r,z)的
竖向正应力，可采用原点设在圆心 O的极坐标 (如下图 )，
由公式在圆面积范围内积分求得：
（ 1）圆心下土的附加应力计算公式：
pK rz ??
式中,m=z/r0, K0, Kr分别为附加应力系数，查表 3.11可得。
? 3.4.6 条形荷载作用土中附加应力计算
3.4 土中附加压力
（ 2）三角形分布条形荷载作用
条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题，对路堤、
堤坝以及长宽比 l／ b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进
行处理。
（ 1）均布条形荷载作用下
ttz
t
z pKnm
mn
n
m
n
mmp ??
?
??
?
?
??
?????
22)1(
)1()1a r c t a n( a r c t a n
??
? 3.4.7 地基土的非均匀性对附加应力的影响
3.4 土中附加压力
在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中
附加应力的计算与土的性质无关。但是，地基土往往是由软硬
不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应
属于双层地基的应力分布问题。有两种情况：一种是坚硬土层
上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；即 E1＜ E2时，则
土中附加应力分布将发生 应力集中 的现象。另一种是软弱土层
上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况，即 E1＞ E2，则土中
附加应力将发生 扩散现象 。
(a) 应力集中 (b) 应力扩散
本章小结
介绍了土的自重应力计算, 各种荷载条件下的土中
附 加 应 力 计 算 及 其 分 布 规 律 等 。
土中应力指土体在自身重力, 建 （ 构 ） 筑物荷载及
其他因素作用下附加应力 。 土中应力过大时, 会使土体
因强度不够发生破坏, 甚至使土体发生滑动 失稳, 引起
土体 变形, 使建筑物发生 沉降, 倾斜 以及水需平位移 。
注意,土是三相体, 具有各向异性和非线性 。 为简便
起见, 但仍采用弹性理论公式, 将地基土视作均匀的,
连续的, 各向同性的半无限体, 满足实际工程的要求 。
土中自重应力的计算可归纳为, 而土中附加应力
的计算可归纳为公式 介绍了 。pKz ???
巩固与提高
问题：
1,地基中自重应力的分布有什么特点？
2,为什么自重应力和附加应力的计算方法不同？
3,影响基底压力分布的因素有哪些？
4,目前根据什么假设计算地基中的附加应力？
这些假设是否合理可行？
作业
P59 思考题,3.2 ； 3.3 ； 3.5； 3.6 ； 3.8。
习题,3.1； 3.2 ； 3.3； 3.5； 3.6。
