下一页总目录 章目录 返回 上一页第 3章 正弦交流电路
3.2 正弦量的相量表示法
3.4 电阻元件的交流电路
3.1 正弦电压与电流
3.3 电阻元件、电感元件与电容元件
3.5 电感元件的交流电路
3.10 交流电路的频率特性
3.9 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.11 功率因数的提高
3.8 阻抗的串联与并联
3.7 电阻、电感与电容元件串联交流电路
3.6 电容元件的交流电路下一页总目录 章目录 返回 上一页第 3章 正弦交流电路
1,理解正弦量的特征及其各种表示方法；
2,理解电路基本定律的相量形式及阻抗；
熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，
会画相量图。；
3,掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；
4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；
5.了解提高功率因数的意义和方法。
本章要求下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1 正弦电压与电流正弦量：
随时间按正弦规律做周期变化的量。
i
Ru
+
_
_?
_
i
t?
u
+ _
正弦交流电的优越性：
便于传输；易于变换便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
正半周 负半周
i
Ru
+
_
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1 正弦电压与电流设正弦交流电流：
角频率,决定正弦量变化快慢幅值,决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
初相角,决定正弦量起始位置
tIi s i nm
Im
2?
T
i
t?O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1.1 频率与周期周期 T,变化一周所需的时间 （ s）
角频率,πf
T
πω 22 （ rad/s）
Tf
1?频率 f,（ Hz）
T
* 无线通信频率,30 kHz ~ 30GMHz
* 电网频率,我国 50 Hz,美国,日本 60 Hz
* 高频炉频率,200 ~ 300 kHZ
* 中频炉频率,500 ~ 8000 Hz
i
t?O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1.2 幅值与有效值有效值,与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。
幅值,Im,Um,Em
则有 T ti
TI 0
2 d1
交流 直流
dtRiT 20? RTI 2?
T ttωIT1 0 22m ds i n2mI?
幅值必须大写,
下标加 m。
同理：
2
mUU?
2
mEE?
有效值必须大写下一页总目录 章目录 返回 上一页给出了观察正弦波的起点或参考点 。,
3.1.3初相位与相位差
ψt相位：
注意：
交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
0)( ttψ
初相位,表示正弦量在 t =0时的相角。
反映正弦量变化的进程。
i
t ω
)s i n (m ψtωIi
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)s i n ( 2m ψtωIi
)s i n ( 1m ψtωUu
如：
)()( 21 tt
21 ψψ
若 0
21 ψψ?
电压超前 电流?
两 同频率 的正弦量之间的初相位之差。
3.1.3 相位差?：
u
i
u i
ω tO
下一页总目录 章目录 返回 上一页电流超前电压
9021 ψψ?
90
电压与电流 同相 021 ψψ?
电流超前电压?021 ψψ?
电压与电流反相
18021 ψψ?
u i
ω t
ui
O
u i
ω t
ui
90°
O
u i
ω t
u
i
O ω t
u iu i
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
② 不同频率的正弦量比较无意义。
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，
与计时的选择起点无关。
注意,
t
i
2i1i
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.2 正弦量的相量表示法瞬时值表达式 )s i n (
m tUu
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
波形图
１,正弦量的表示方法重点必须小写相量 ψUU
u
t ωO
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2.正弦量用旋转有向线段表示
ω
)(s i nm ψtUu设正弦量,
若,有向线段长度 =
mU
ω有向线段以速度 按逆时针方向旋转则,该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
有向线段与横轴夹角 = 初相位?
1u
1tω
u0? x
y
O
mU
ψ
u
t ω
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
+j
+1
Ab
a
r
0
3,正弦量的相量表示复数表示形式设 A为复数,
(1) 代数式 A =a + jb
a
bψ ar c t an?
22 bar 复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中,ψra c o s?
ψrb s i n?
(2) 三角式
)s i nj( c o ss i njc o s ψψrψr ψrA
由欧拉公式,
2j
ees i n jj ψψψ
,2 eec o s
jj ψψ
ψ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 指数式 ψrA je?
ψψψ s i njc o se j可得,
)(s i nm ψtωUu设正弦量,
相量,表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量
ψrrrjrbaA ψ jes i nc o sj
(4) 极坐标 式 ψrA?
相量表示,
相量的模 =正弦量的有效值相量辐角 =正弦量的初相角ψUUeU ψ j?
下一页总目录 章目录 返回 上一页电压的幅值相量
① 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
注意,
)(s i nm ψtωIi？ =
② 只有正弦量才能用相量表示，
非正弦量不能用相量表示。
③ 只有 同频率 的正弦量才能画在同一相量图上。
I?
U?
相量的模 =正弦量的最大值相量辐角 =正弦量的初相角ψUeUU ψ mjmm
或：
ψIeI ψ mjm
下一页总目录 章目录 返回 上一页
⑤ 相量的书写方式
模 用最大值表示,则用符号：
mm I U,
④ 相量的两种表示形式相量图,把相量表示在复平面的图形
实际应用中，模多采用有效值，符号,I U,
可不画坐标轴 I?
U?
如：已知 )V45(s i n2 2 0 tωu
Ve2 2 0 j 4 5mU? Ve
2
220 j 4 5U?则 或
)j s i nc o s(e j ψψUψUUU ψ
相量式,
下一页总目录 章目录 返回 上一页
90je?旋转 因子：
90
B?
j90s i nj90c o se j 9 0
⑥ ―j‖的数学意义和物理意义
ψrA je设相量
C?
A?
ψ
+1
+j
o
相量 乘以,
将逆时针旋转,得到
A90je
B?
90
A?
相量 乘以,
将顺时针旋转,得到 C?
A-j90e?90
A?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
V45
2
220U？
正误判断
1.已知：
)V45(s i n2 2 0 tωu
Ve220 45mU?？
有效值
)A30(s i n24 tω？
Ae4 j 3 0I?
3.已知,复数瞬时值j45?
)A60(s i n10 tωi？
最大值
V100?U？
Ve1 0 0 j 1 5U？
负号2.已知,A6010I?
4.已知：
V15100U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
1U?
20
2U?
45
2U?1U?
落后于 1U?2U?
超前落后？
解,(1) 相量式
(2) 相量图例 1,将 u1,u2 用相量表示
V)45(s i n21 1 02 tωu
V)20(s i n22 2 01 tωu
+1
+j
V202201U?
V451102U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2,已知
)A60s i nj60c o s11()A30s i nj30c o s1 2,7 (
有效值 I =16.8 A
)A 30 ( 3 1 4s i n2.7 12 1 ti
)A 60 ( 3 1 4s i n211 2 ti
。 iii 21
A) 1 0,9 314(s i n21 6,8 ti
求：
A301 2,7 1I?
A60112I?
A6011A301 2,721 III
A1 0,91 6,8j 3,1 8 ) A-1 6,5(
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3,图示电路是三相四线制电源，
已知三个电源的电压分别为：
)V1 2 0( 3 1 4s i n22 2 0B tu
V314s i n2220A tu?
)V1 2 0( 3 1 4s i n22 2 0C tu
试求 uAB,并画出相量图。
N
C
A
N
B
+
–
+
+
-
+
AU?
BU?
–
CU?
–
ABU?
–
解,(1) 用相量法计算：
V02 2 0AU?
V1 2 02 2 0BU?
V1 2 02 2 0CU?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)V30(s i n23 8 0AB tωu所以
(2) 相量图由 KVL定律可知
AU?
BU?
CU?
B-U?
ABU?
30
V120220V0220BAAB UUU
V)120(s i nj)120(c o s220V220ABU?
)V0,8 6 6j0,51(2 2 0
V301,7 3220
V303 8 0
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.3.1 电阻元件。
描述消耗电能的性质
iRu?根据欧姆定律,
即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系线性电阻
S
lR
金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关,表达式为：
表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
0dd 00 tRituiW t 2t
电阻的能量
R
i
u
+
_
3.3 电阻元件、电感元件与电容元件下一页总目录 章目录 返回 上一页描述线圈通有电流时产生磁场、
储存磁场能量的性质。
1,物理意义
i
N Φ
i
ψL电感,( H,mH)
线性电感,L为常数 ; 非线性电感,L不为常数
3.3.2 电感元件电流通过 N匝 线圈产生 (磁链 )N Φψ?
电流通过 一匝 线圈产生 (磁通 )Φ
u
i?
+
-
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。
l
NSμL 2?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
( H )l NSμL
2
自感电动势：
t
iL
t
ψe
L d
d
d
d
2,自感电动势方向的判定
(1) 自感电动势的参考方向规定,自感电动势的参考方向 与电流参考方向相同,
或与磁通的参考 方向符合 右手螺旋定则。
i
u
+
-
eL
+
-
L
电感元件的符号
S — 线圈横截面积（ m2）
l —线圈长度（ m）
N —线圈匝数
μ—介质的磁导率（ H/m）
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 自感电动势瞬时极性的判别
t
iLe
L d
d 0 <
eL与参考方向相反
eL具有阻碍电流变化的性质
eL实
+
-
eLu
i
+
- +
-
eL实
-
+
t
i
d
di? 0
eLu
i
+
- +
-
eL与参考方向相同
0 >
t
iLe
L d
d
i 0
t
i
d
d
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 电感元件储能
2
2
1 LiW?
t
iLeu
L d
d根据基尔霍夫定律可得：
将上式两边同乘上 i,并积分，则得：
2
0 0 2
1dd LiiLituit i
即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。
磁场能下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1,有一电感元件,L=0.2H,电流 i 如图所示，求电感元件中产生的自感电动势 eL和两端电压 u的波形。
解：当 4 m s0 t 时
mAti?
0,2 Vdd tiLe L
则：
0,2 V Leu所以当 6 m s4 m s t 时
mA12)2( ti
0,4 V2 ) V(0,2dd tiLe L
2 4 6
2
4
/mAi
/mstO
2 4 6-0.2
0.4 /VLe
/mst
2 4 6
-0.4
0.2
/Vu
/mst
O
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
0,4 V Leu所以由图可见：
(1)电流正值增大时,eL为负，
电流正值减小时,eL为正；
(2)电流的变化率 di/dt大，则 eL
大；反映电感阻碍电流变化的性质。
(3)电感两端电压 u和通过它的电流 i的波形是不一样的。
2 4 6
2
4
/mAi
/mstO
2 4 6-0.2
0.4 /VLe
/mst
2 4 6
-0.4
0.2
/Vu
/mst
O
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2,在上例中，试计算在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量。
解：在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量是相等的。
J1016
J)10(40,2
2
1
2
1
7
232
LiW所以即,4m s?t 时的磁场能下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.3.3 电容元件描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。
电容：
u
qC? )(F
u
i
C
+
_
电容元件电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。
( F )d SC
S — 极板面积（ m2）
d —板间距离（ m）
ε—介电常数（ F/m）
t
uCi
d
d?当电压 u变化时，在电路中产生电流,
下一页总目录 章目录 返回 上一页电容元件储能
2
2
1 CuW?
将上式两边同乘上 u，并积分，则得：
2
0 0 2
1dd CuuCutuit u
即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；
当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。
电场能根据：
t
uCi
d
d?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
1,电压与电流的关系设
tωUu s i nm?
② 大小关系：
R
UI?
③ 相位关系,u,i 相位相同根据欧姆定律,iRu?
tω
R
U2
R
tωU
R
ui s i ns i nm
tωI2tωI s i ns i nm
① 频率相同
0 iu相位差,?
I?
U?相量图
3.4 电阻元件的交流电路
R
i
u
+
_
相量式：
0II?
RIUU 0
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,功率关系
iup
(1) 瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积小写
tωIU 2mm s i n?
)2c o s(121 mm tωIU
结论,（耗能元件）,且随时间变化。0?p
tωUu
tωIi
s i n2
s i n2
p
i
ω t
u
O
ω t
p
O
i u
下一页总目录 章目录 返回 上一页瞬时功率在一个周期内的平均值
TT tiuTtpTP 00 d1d1
UIttωUIT T
0
)dc o s 2(11
大写
ttωIUT T d)2c o s(1211
0 mm?
(2) 平均功率 (有功功率 )P
IUP 单位,瓦（ W） 2 RI?
P
RU
2
R
i
u
+
_
p p
ω tO
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)90(s i n2 tωLI ω
基本 关系式：
① 频率相同
② U =I? L
③ 电压超前电流 90?
90iu ψψ?相位差
1,电压与电流的关系
90
t
iLeu
L d
d
3.5 电感元件的交流电路设：
tωIi s i n2?
i
u
+
-
eL
+
-
L
t
tωILu
d
)s i nd( m?
)90(s i n2 tωUu
ω t
u i i
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)90(s i n2 tωLωIu
tωIi s i n2?
或
L
UI
LXIU?
则,
感抗 (Ω)
电感 L具有通直阻交的作用直流,f = 0,XL =0，电感 L视为 短路定义,LfLX L 2
fLπX L 2?
L ωIU有效值,
交流,f XL
下一页总目录 章目录 返回 上一页
LfπLωX L 2
感抗 XL是频率的函数 LX
可得相量式：
)(jj LXILωIU
fL
UI
2?
电感电路复数形式的欧姆定律
U?
I?相量图
90IU超前 )90(s i n2 tωLωIu
tωIi s i n2?根据：
0II?
9090 LI ωUU?
L
I
U
I
U?j90
则：
LXI,
fO
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,功率关系
(1) 瞬时功率
0d)(2s i n
d
1
o
o
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
T
(2) 平均功率
)90(s i ns i nmm tωtωIUuip
tωUI 2s i n?
tωIUtωtωIU 2s i n2c o ss i n mmmm
)90(s i n2 tωLωIu
tωIi s i n2?
L是非耗能元件下一页总目录 章目录 返回 上一页储能
p <0+
p >0
分析,瞬时功率,uip tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
p <0
放能 储能 放能
电感 L是储能元件。
tω
i
u
o
p
tωo
结论：
纯电感不消耗能量,只和电源进行能量交换（能量的吞吐 )。
可逆的能量转换过程下一页总目录 章目录 返回 上一页用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用 瞬时功率达到的最大值表征，即
LL X
UXIIUQ 22
单位,var
(3) 无功功率 Q
uip瞬时功率,tωUI 2s i n?
例 1,把一个 0.1H的电感接到 f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求 I，如保持 U不变，而电源
f = 5000Hz,这时 I为多少？
解,(1) 当 f = 50Hz 时
3 1,4 Ω0,1503,1 422 fLX L?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3 1 8 m A
3 1,4
10
LX
UI
（ 2）当 f = 5000Hz 时
3 1 4 0 Ω0,15 0 0 03,1 422 fLX L
3,1 8 m A
3 1 4 0
10
LX
UI
所以电感元件具有通低频阻高频的特性练习题,1.一只 L=20mH的电感线圈，通以
)A30s i n ( 3 1 425 ti 的电流求 (1)感抗 XL;(2)线圈两端的电压 u;
(3)有功功率和无功功率。
下一页总目录 章目录 返回 上一页电流与电压的变化率成正比。
t
uCi
d
d?基本 关系式：
1.电流与电压的关系
① 频率相同
② I =U?C
③ 电流超前电压 90?
90iu ψψ?相位差则：
)90s i n (2 tωCωU
tωωUC
t
uCi c o s2
d
d
3.6 电容元件的交流电路
u
i
C
+
_设：
tωUu s i n2?
i
tω
u i
90
u
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)90(s i n2 tωCU ωi
tωUu s i n2?
C ωUI 或 I
Cω
U 1?
CXIU?
则,
容抗 （ Ω ）定义：
CfπCω
X C
2
11
有效值所以电容 C具有隔直通交的作用
Cfπ
X C
2
1?
XC
直流,XC,电容 C视为 开路?
交流,f
下一页总目录 章目录 返回 上一页
fCπX C 2
1?
容抗 XC是频率的函数可得相量式
CXICωIU
j1j
则：
电容电路中复数形式的欧姆定律
U?
I?
相量图
90UI超前
CωXC
1?
CX,I
f
)(2 CfπUI?
O
)90(s i n2 tωCU ωi
tωUu s i n2?
由：
CU ωII j90
0UU?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2.功率关系
(1) 瞬时功率
u
i
C
+
_
(2) 平均功率 Ｐ
)90(s i n2 tωCU ωi
tωUu s i n2?
由
0d)(2s i n
d
1
0
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
0
T
)90(s i ns i nmm tωtωIUuip
tωUI 2s i n?tωIU 2s i n
2
mm?
C是非耗能元件下一页总目录 章目录 返回 上一页瞬时功率,uip tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
充电
p <0
放电
+
p >0
充电
p <0
放电
p
tωo
所以电容 C是储能元件。
结论：
纯电容不消耗能量,只和电源进行能量交换（能量的吞吐 )。
u
i
o tω
u,i
下一页总目录 章目录 返回 上一页同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
(3) 无功功率 Q
C
C X
UXIUIQ 22
tωUIp s i n 2所以单位,var
为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
tωIi s i n2?
)90(s i n2 tωUu
则：
下一页总目录 章目录 返回 上一页指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中：
R
Ui?
R
UI?
R
ui?
R
UI
在电感电路中：
LX
ui?
Lω
ui?
Lω
UI?
LωIU j?
LXI
U?
LXI
U j?
t
iLu
d
d?
在电容电路中：
CωIU
CXiu
CωUI j
CωI
U
j
1?
【 练习 】
下一页总目录 章目录 返回 上一页实际的电阻、电容电阻的主要指标
1,标称值
2,额定功率
3,允许误差种类,
碳膜、金属膜、
线绕、可变电阻电容的主要指标
1,标称值
2,耐压
3,允许误差种类,
云母、陶瓷、涤纶电解、可变电容等一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。
下一页总目录 章目录 返回 上一页电阻的标称值误差标称值
10%（ E12）? 5% （ E24）
1.0,1.2,1.5、
1.8,2.2,2.7、
3.3,3.9,4.7、
5.6,6.8,8.2
电阻的标称值 = 标称值?10n
1.0,1.1,1.2,1.3、
1.5,1.6,1.8,2.0、
2.2,2.4,2.7,3.0、
3.3,3.6,3.9,4.3、
4.7,5.1,5.6,6.2、
6.8,7.5,8.2,9.1等下一页总目录 章目录 返回 上一页电阻器的色环表示法四环 五环倍率
10n
误差有效数字误差黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
误差,? 1% 2 0.5 0.2 0.1 5 10
有效数字倍率
10n
下一页总目录 章目录 返回 上一页的电阻表示 %51.5
如电阻的 4个色环颜色依次为：
绿、棕、金、金 ——
如电阻的 5个色环颜色依次为：
棕、绿、黑、金、红 —— 的电阻表示 %20.15
四环倍率
10n
误差有效数字五环有效数字误差倍率
10n
动画下一页总目录 章目录 返回 上一页单一参数电路中的基本关系参数
LωX L jj?
t
iLu
d
d?L
Cω
X C 1jj
t
uCi
d
d?C
R
基本关系
iRu?
阻抗
R
相量式
RIU
IXU L j?
IXU C j
相量图
U?
I?
U?
I?
U?
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.7单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数 电路图(参考方向 ) 阻抗电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式功 率有功功率 无功功率
R
i
u iRu? R
设则
tωU2u s i n?
tωI2i s i n?
IRU? RIU
U?I?
u,i 同相
0
L
tiLu dd?
C tuCi dd?
LXj
CXj?
设则
)90ts i n ( 2 LI ωu
则
LX
IXU
L
L
cX
IXU
C
C?/1
u领先 i 90°
U?
I?
U?
I?
LXIU j?
CXIU j
0
0
LXI
UI
2
基本关系
+
-
i
u
+
-
i
u
+
-
tωI2i s i n?
设
RI
UI
2
UI?
CXI2-
tωI2i s i n?
)90s i n ( 2 t CI ωu u落后 i 90°
下一页总目录 章目录 返回 上一页
21 IRIRU
交流电路,与参数 R,L,C、
间的关系如何？
U? I?
1,电流、电压的关系
U =IR + I?L + I 1/? C?
直流电路两电阻串联时
3.7 RLC串联的交流电路设,tωs i nIi 2?
RLC串联交流电路中
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
下一页总目录 章目录 返回 上一页
tωIi s i n2?设：
)90(s i n)
1
(2
)90(s i n)(2
s i n2
tω
Cω
I
tωLωI
tωIRu则
(1) 瞬时值表达式根据 KVL可得：
CLR uuuu
tiCtiLiR d1dd
为同频率正弦量
1,电流、电压的关系
3.7 RLC串联的交流电路
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2)相量法
CL
CL
XXRI
XIXIRIU
j
)j()(j
CLR UUUU
0II?设
（参考相量）
)j( CC XIU
)(j LL XIU
则
RIU R
总电压与总电流的相量关系式
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
1)相量式下一页总目录 章目录 返回 上一页
CL XX RIU j
CL XX RZ j令则 ZIU
Z 的模表示 u,i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u,i 的相位差。
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
阻抗复数形式的欧姆定律注意根据
iu
i
u
I
UZ
I
U
I
UZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页电路参数 与电路性质的关系：
22 )(
CL XXRI
UZ阻抗模：
CL XX RZZ j?
R
XXψψ CL
iu
a r c t a n?阻抗角：
R
CL ω?/1a r c t a n
当 XL >XC 时,? > 0,u 超前 i 呈 感性当 XL < XC 时,? < 0,u 滞后 i 呈 容性当 XL = XC 时,? = 0,u,i 同相 呈 电阻性
由电路参数决定。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2) 相量图
LU?
I?
CL UU
U?
RU?
(? > 0 感性 )
XL > XC
参考相量由电压三角形可得,
c o sUU R?
s i nUU x?
U?
RU?
CL UU
XU
电压三角形
CU?
I?RU?
(? < 0 容性 )
XL < XC
CU?
LU?
CL UU U?
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页由相量图可求得,
R
XX
XXRZ
CL
CL
a r c t a n
)( 22
ZI
XRI
XXRI
UUUU
CL
CLR
)(
)(
22
22
22
2) 相量图由阻抗三角形：
c o sZR?
s i nZX?
U?
RU?
CL UU
XU
Z
R
CL XXX
电压三角形阻抗三角形下一页总目录 章目录 返回 上一页
2.功率关系
t ωIt ωUiup s i n)(s i n mm
t ω UIt ω IU 2s i ns i ns i nc o s 2mm
储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。
(1) 瞬时功率
)(s i n
s i n
m
m
t ωUu
t ωIi
设：
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 平均功率 P （有功功率）
cosUIP?所以
c o s
) ] d(2c o sc o s[
1
d
1
0
0
UI
ttωUIUI
T
tp
T
P
T
T
单位,W
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
cos?称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 无功功率 Q
单位,var?s i nUIQ?
总电压 总电流 u 与 i 的夹角根据电压三角形可得：
RIIUUIP R 2c o s
电阻消耗的电能
)()( 2 CLCLCL XXIIUUIUIUQ
根据电压三角形可得：
U?
RU?
XU?
电感和电容与电源之间的能量互换下一页总目录 章目录 返回 上一页
(4) 视在功率 S
电路中总电压与总电流有效值的乘积。
2IZUIS 单位,V·A
注,SN＝ UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。
22 QPS QPS
P,Q,S 都不是正弦量，不能用相量表示。
下一页总目录 章目录 返回 上一页阻抗三角形,电压三角形,功率三角形
S
Q
P
22 )( CL XXRZ
s i n
c o s
ZX
ZR
2)(
CL
2
R UUUU
s i n
c o s
UU
UU
X
R
22 QPS
s i n
c o s
SQ
SP
RU?
U?
CL UU
将电压三角形的有效值同除 I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘 I得到功率三角形
R
CL XX?
Z
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
已知,
)V20314(s i n2220 tu
F40 μ1 2 7 m H,,Ω30 CLR
求,(1)电流的有效值 I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值； (3) 作相量图； (4)有功功率 P、
无功功率 Q和视在功率 S。
在 RLC串联交流电路中，
解：,Ω4010127314
3LωX L
,Ω80
1040314
11
6- CωX C
,Ω508 0 )( 4 030)( 2222 CL XXRZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(1)
4,4 AA
50
2 2 0
Z
UI
)A733 1 4(s i n244 ti,
- 5 330 80-40a r c t a na r c t a n R XX CL?
73,- 5 3 iiu ψψψ 所以因为?
(2)
方法 1：
)V73314(s i n2132 tu R
1 3 2 V3 0 V4,4 IRU R
)V1 6 33 1 4(s i n21 7 6 tu L
1 7 6 VV404,4 LL IXU
下一页总目录 章目录 返回 上一页方法 1：
)V17314(s i n2352 tu C
3 5 2 V804,4 CC IXU
53 U?
LU?
CU?
CL UU
I?
RU?
通过计算可看出：
CLR UUUU
CLR UUUU
而是
(3)相量图
(4)
5 8 0,8 W
)W53(c o s4,4220c o s
UIP
或 5 8 0,8 W
2 RIIUP R
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(4)
- 7 7 4,4 v a r
) v a r53(s i n4,42 2 0s i n
UIQ
或 - 7 7 4,4 v a r)()( 2
CLCL XXIIU-UQ
呈容性方法 2：复数运算
Ω5350j 4 0 )30()(j CL XXRZ
A734,4A
53-50
202 2 0
Z
UI
V7313230V734,4 RIU R
V1 6 31 7 6V7340j 4,4j LL XIU
V17-352V7380j 4,4j CC XIU
V202 2 0U?
解：
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2：
已知,F1 μ.0,2k Ω CR
在 RC串联交流电路中，
解：
Ω3,2 kk Ω100,15 0 03,1 42 11 6- CωX C
,k Ω3,7 7k Ω3,22 2222 CXRZ
输入电压 5 0 0 H z1 V,
1 fU
(1)求输出电压 U2,并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系 (2)当将电容 C改为 时,
求 (1)中各项； (3)当将频率改为 4000Hz时,再求
(1)中各项。
Fμ20
R
C
1U?
+
_
+
_
I?
2U?
方法 1：
(1)
下一页总目录 章目录 返回 上一页
0,2 7 m AmA
3,7 7
11
Z
UI
- 5 823,2-a r c t a na r c t a n RX C?
0,5 4 V2V0,2 72 IRU
大小和相位关系
54%
1
2?
U
U 2U? 1U?
比 超前?58
方法 2：复数运算
V011U?解：设
V580,5 4V583,7 7 2V013,22 212 jUZRU
下一页总目录 章目录 返回 上一页方法 3：相量图
0,5 4 VVco s 5 81co s12UU
12 UU
I?
58
- 5 823,2-a r c t a na r c t a n RX C?
RΩ1610205 0 03,1 42 11 6- CωX C
,k Ω222 CXRZ
0a r c t a n RX C?
1Vc o s 112 UUU?
1U?
CU?
I?2U?
V011U?
解：设下一页总目录 章目录 返回 上一页
（ 3）
Ω004100,14 0 0 03,1 42 11 6- CωX C
,k Ω2,0 422 CXRZ - 1 1,3a r c t a n
R
X C?
0,9 8 Vc o s12UU
31,1
1U?
CU?
I?2U?
大小和相位关系
98%
1
2?
U
U 2U? 1U?
比 超前?311.
从本例中可了解两个实际问题：
(1)串联电容 C可起到隔直通交的作用 (只要选 择合适的 C，使 )RX
C(2)RC串联电路也是一种移相电路,改变 C,R
或 f 都可达到移相的目的 。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
1.假设 R,L,C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？
cos2.RLC串联电路的 是否一定小于 1？
UU R?
UUU,U CL
3.RLC串联电路中是否会出现,
的情况？
4.在 RLC串联电路中，当 L>C时,u超前 i
,当 L<C时,u滞后 i,这样分析对吗？
下一页总目录 章目录 返回 上一页正误判断
Z
UI?？
？
Z
UI?
Z
ui?？
Z
UI？
在 RLC串联电路中，
Z
UI？
？
U
UU CL a r c t a n?
？
R
XX CL a r c t a n?
R
CL
U
UU a r c t a n?？
？
CX
LXR
UI
？
CLR UUUU
？CLR uuuu
？ )
CL XXRZ j(
R
CωLω a r c t a n?？
？
CL XXRZ
0II?设下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.8 阻抗的串联与并联
3.8.1阻抗的串联
U
ZZ
ZU
21
2
2
Z
UI
分压公式：
21 ZZZ
对于阻抗模一般
21 ZZZ注意：
IZZ
IZIZUUU
)( 21
2121
U
ZZ
ZU
21
1
1
+
U? Z
-
I?
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
通式,
kkk XRZZ j
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.8 阻抗的串联与并联解：
同理：
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
Ω3010j58,6 6
4)j ( 92,5 )( 6,1 621
ZZZ
A022
3010
30220
Z
UI
V5 5,62 3 9,8
22V5 5,61 0,922Vj 9 )( 6,1 611
IZU
V581 0 3,622Vj 4 )( 2,522 IZU
j9 Ω6,1 61Z
例 1:有两个阻抗
j4 Ω2,52Z
它们串联接在 V30220U? 的电源 ;
求,I? 和
21 UU,
并作相量图。
下一页总目录 章目录 返回 上一页或利用分压公式：
1U?
U?
I?
2U?
58
30
55.6
21 UUU注意：
相量图
21 UUU
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
V581 0 3,6
V30220
j58,6 6
j42,5
21
2
2
U
ZZ
Z
U
V55,623 9,8
V30220
j58,6 6
j96,1 6
21
1
1
U
ZZ
Z
U
下一页总目录 章目录 返回 上一页下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？
两个阻抗串联时,在什么情况下,
21 ZZZ 成立。
7 Ω?Z U=14V? 10 Ω?Z U=70V?
(a)
3?
4?
V1
V2
6V
8V
+
_
U?
6?
8?
30V
40V
(b)
V1
V2
+
_
U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.8.2 阻抗并联
21
21 Z
U
Z
UIII
I
ZZ
ZI
21
1
2
分流公式：
21
21
ZZ
ZZZ
Z
UI
对于阻抗模一般
21
111
ZZZ注意：
21
111
ZZZ
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
+
U? Z
-
I?
I
ZZ
ZI
21
2
1
通式,
k
11
ZZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2:
解,
同理：
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
Ω2 6,54,4 7
1 0,51 1,8
1650
j68j43
3710535
21
21
ZZ
ZZ
Z
A5344A
535
0220
1
1
Z
UI
A3722A
3701
0220
2
2
Z
UI
j4 Ω31Z
有两个阻抗
j6 Ω82Z
它们并联接在
V0220U? 的电源上 ;
求,I?和
21 II,
并作相量图。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
21 III
相量图
1I?
U?
I?
2I?
53
37
26.5
21 III注意：
A2 6,54 9,2
2 6,54,4 7
0220
Z
UI
或
A2 6,54 9,2
A3722A53-44 21
III
下一页总目录 章目录 返回 上一页导纳：阻抗的倒数当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因此常应用导纳计算。
如,
1111 j CL XX RZ
导纳,
1
j
1111
2
1
2
1
2
1
1
2
11
2
1
111
1111
1
)j(
)j(
)(
)j(
)j(
11
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
XXR
XXR
XXRZ
Y
CL
CL
CL
CL
CL
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页导纳,
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2
2
1
1 Z
RG? 称为该支路的电导
2
1
1
L1 Z
XB L? 称为该支路的感纳
2
1
1
C1 Z
XB C? 称为该支路的容纳
211211 )( CL BBGY 称为该支路的导纳模
（ 单位：西门子 S）
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页导纳,
1
11
1 a r c t a n G
BB CL 称为该支路电流与电压之间的相位差
2j
2222
2
2 )j(
1 eYBBG
Z
Y CL同理：
21
111
ZZZ因为
21 YYY所以通式, kkk BjGYY
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
同阻抗串联形式相同下一页总目录 章目录 返回 上一页用导纳计算并联交流电路时
UYUYUY
Z
U
Z
U
III
21
21
21
例 3 用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
S530,2S535 11
1
1 ZY
S370,1S
3710
11
2
2 ZY
S2 6,50,2 2 4
S370,1S530,221
YYY
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3,用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
注意：导纳计算的方法适用于多支路并联的电路
A5344
A022053-0,211
UYI
同理,
A3722
A02 2 0370,122
UYI
A2 6,54 9,2
A02202 6,50,2 2 4
UYI
下一页总目录 章目录 返回 上一页下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？
21
111
ZZZ
两个阻抗并联时,在什么情况下,
成立。
Ω2?Z I=8A? Ω2?Z I=8A?
(c)
4A
4?
4A
4?
A2
I?
A1
(d)
4A
4?
4A
4?
A2
I?
A1
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,如果某支路的阻抗 Ω6)j8(Z,则其导纳
)S61j81(Y 对不对?
+
U?
-
CL
3,图示电路中,已知 CL XX?
则该电路呈感性,对不对?
1,图示电路中,已知
A1+
U?
-
R
A2 A3
CL
2 Ω RXX CL
电流表 A1的 读数为 3A,
试问 (1)A2和 A3的 读数为多少?
(2)并联等效阻抗 Z为多少?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.9 复杂 正弦交流电路的分析和计算
IU、若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗（ )表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。
C ω CL ωLRR
1jj,、
相量形式的基尔霍夫定律
0 K C LI? 0 K V LU?
电阻电路
RIU )(j LXIU
纯电感电路
)j( CXIU
纯电容电路 一般电路 ZIU
相量（复数）形式的欧姆定律下一页总目录 章目录 返回 上一页有功功率 P
有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，
或各支路有功功率之和。
i
i
1
2
i RIP
无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。
)( ii
i
1
2
i CL XXIQ
的相位差与为 iii IU无功功率 Q
i
1
ii s i n?∑
i
IUQ?或
i
1
ii c os
i
IUP或下一页总目录 章目录 返回 上一页一般正弦交流电路的解题步骤
1、根据原电路图画出相量模型图 (电路结构不变 )
Ee,Ii,Uu
X C,XL,RR CL
jj
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用相量法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
已知电源电压和电路参数，
电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。
一般用相量式计算,
2121( 2 ) i,iII I,
iIZZZ21 ( 1 ),
分析题目：
已知,
Vs i n2220 tωu?
Ω4 0 0,Ω2 0 0Ω1 0 0,Ω50 1 CL XX,RR
求,
i 21 ii,
+
U?
-
1R
CXj-
LXj
R
I?
1I? 2I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页解：用相量式计算
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
V0220U?
Ωj 1 2 0 0 )1 0 0(j11 LXRZ
Ω1 4 0jj2 CXZ
Ω334402 4 0 )j32050(]j 4 0 0j 2 0 0100 j 4 0 0 )(j 2 0 0 )( 1 0 050[Z
A330,5A334 4 0 02 2 0 ZUI
A5 9,6-0,8 9
A330,5
j 4 0 0j 2 0 01 0 0
j 4 0 0
21
2
1
I
ZZ
Z
I
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)A33(s i n20,5 tωi所以
)A5 9,6(s i n20,8 91 tωi
)A9 3,8(s i n20,52 tωi
同理：
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
A9 3,80,5
A330,5
j 4 0 0j 2 0 0100
j 2 0 0100
21
1
2
I
ZZ
Z
I
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2,下图电路中已知,I1=10A,UAB =100V，
求：总电压表和总电流表 的读数。
解题方法有两种,(1) 用相量 (复数 )计算
(2) 利用相量图分析求解分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数求总电流和电压
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页求,A,V 的读数已知,I1= 10A、
UAB =100V，
解法 1,用相量计算所以 A读数为 10安
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
即,V01 0 0
ABU?
为参考相量，ABU?设：
则,A45210A)]5j5/(100[
2I?
Aj 1 0A90101I?
A01021 III
下一页总目录 章目录 返回 上一页
Vj 1 0 0)Vj 1 0(L IU所以
V 读数为 141V?
求,A,V 的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
A01021 III因为
V4521 0 0
j 1 0 0 V1 0 0AB
UUU L
下一页总目录 章目录 返回 上一页解法 2,利用相量图分析求解 画相量图如下：
ABU?设 为参考相量,
由相量图可求得,I =10 A
ABU?
求,A,V 的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
1 0 A1?I 超前1I90ABU?
A,210
55
100
222
I
°45AB2 UI 滞后
10
1I?
I?
45°
210
2I?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
UL= I XL =100V
V =141V
由相量图可求得：
求,A,V 的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
ABU?设 为参考相量,
°90IU L 超前
100 ABU?
10
1I?
I?
45°
210
2I?
100
LU?
45°
U?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页由相量图可求得：
U?I?
解：
A10
2
200200
2
L
22
RXRZ
UI
Ω210
210
2 0 0
LXR所以
A2545s i n1045s i n21 II
A2545c o s2 II
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
例 3,已知,XRU
L V,2 0 0
。CL X,XR,I,
开关闭合后 u,i 同相。
,A102 II开关闭合前求,
2I?
45
1I?
(1)开关闭合前后 I2的值不变。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
解,(2)用相量计算
∵ 开关闭合后 u,i 同相，
21 III
Ac o s 4 52 II由实部相等可得
A45s i n21 II由虚部相等可得
Ω220
25
2 0 0
1
I
UX
C
A2545s i n1045s i n21 II
V,02 0 0U?设,
A4510 2 IXR L?，所以因为
Ω4522)4510/02 2 0(/ 22 IUZ
A0 II?所以
451090 0 1II所以下一页总目录 章目录 返回 上一页解,求各表读数
V220?U
A1 5,6
2
22
1I
A112?I
A11?I所以例 4,图示电路中已知,V3 1 4s i n22 2 0 tu?
A)90( 3 1 4s i n2112 ti
试求,各表读数及参数 R,L 和 C。
A)45( 3 1 4s i n221 ti
(1)复数计算 +
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
i
V
A11A9011451 5,621 III
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 相量图
1I?
2I? LU?
U?
45
RU?
I?
A11A111 5,6 22I根据相量图可得：
求参数 R,L,C
Ω10 LXR
方法 1：
H0,0 3 1 8
2
fπ
XL L
i
+
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
V
Ωj 1 010451 4,1
451 5,6
0220
1
1
I
UZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
Ω20?CX所以
Fμ1 5 9
203 1 4
1
2
1?
CXfπ
C
方法 2：
Ω1 4,1
1
1 I
UZ
Ω1045c o s1 ZR
Ω1045s i n1 ZX L
45?
Z
LX
R
H0,0 3 1 8
2
fπ
XL L
Ω20
2
2 I
UZ
即,XC=20?
Fμ1 5 9=20×3 1 4 1=2 1=
CXfπ
C
Ω9020
9011
02 2 0
2
2
I
UZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 5,图示电路中,已知,U=220 V,?=50Hz,分析下列情况,
(1) K打开时,P=3872W,I=22A，求,I1,UR,UL
(2) K闭合后发现 P不变，但总电流减小，试说明
Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。
解,(1) K打开时,A22
1 II
c o sUIP?
0,8222 2 03 8 7 2c o s UI P?
V1760,8 V220co sUU R所以
V1320,6 V220s i nUU L
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
下一页总目录 章目录 返回 上一页
Ω8
22
3872
22 I
PR
Ω10 IUZ
Ω6 22L RZX
V1768V22 IRU R所以
V1 3 26V22 LL IXU
(2) 当合 K后 P不变 I 减小,
说明 Z2为纯电容负载相量图如图示,
1I?
2I?
U?
方法 2,A22
1 II
I?
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
下一页总目录 章目录 返回 上一页同第 2章计算复杂直流电路一样,支路电流法、
结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用 相量 表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用 阻抗或导纳 来表示，采用 相量法 计算。下面通过举例说明。
3.9 复杂正弦交流电路的分析与计算试用支路电流法求电流 I3。
1Z+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
例 1,图示电路中，已知
j 5 ) Ω5(
Ω,j 0,5 )0,1(
V,0227V,0230
3
21
21
Z
ZZ
UU
下一页总目录 章目录 返回 上一页解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程
13311
321 0
UIZIZ
III
23322 UIZIZ
代入已知数据，可得：
1Z
+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
V02 3 0j 5 )(5j 0,5 )( 0,1
0
31
321
II
III
V02 2 7j 5 )(5j 0,5 )( 0,1 31 II
解之，得,A4 6,1-3 1,3
3I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页应用叠加原理计算上例。
32
2
321
1
3 +×//+=′ ZZ
Z
ZZZ
U
I
例 2:
解,(1) 当
1U?
单独作用时同理（ 2）当
2U?
单独作用时
31
1
312
2
3 // ZZ
Z
ZZZ
UI
1Z+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
1Z 2Z
3I
+
2U?-3Z
+
1Z+
1U? -
2Z
3I
3Z
=
A4 6,1-3 1,3333 III
下一页总目录 章目录 返回 上一页应用戴维宁计算上例。例 3:
解,(1)断开 Z3支路，求开路电压
0U?
j 0,2 5 ) Ω0,05(
2
1
21
21
o
Z
ZZ
ZZ
Z
1Z+
1U? -
2Z
I?
+
2U?-
+
0U?-
1Z 2Z
0Z
(2)求等效内阻抗 0Z
1Z+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
A4 6,13 1,3
30
0
3 ZZ
UI(3)
V02 2 8,8 5
22
21
21
o
UZ
ZZ
UU
U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.10 交流电路的频率特性前面几节讨论电压与电流都是时间的函数,在时间领域内对电路进行分析,称为 时域分析。 本节主要讨论电压与电流是频率的函数；在频率领域内对电路进行分析,称为 频域分析。
相频特性,电压或电流的相位与频率的关系。
幅频特性,电压或电流的大小与频率的关系。
当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电流（响应）的大小和相位也随之改变。
频率特性或频率响应：
研究响应与频率的关系下一页总目录 章目录 返回 上一页滤波电路主要有：
低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
(1) 电路
3.10.1 RC滤波电路的频率特性滤波,即利用容抗或感抗随频率而改变的特性,对不同频率的输入信号产生不同的响应,让需要的某一频带的信号通过,抑制不需要的其它频率的信号。
输出信号电压ωU j
2
ωU j1 输入信号电压
1.低通滤波电路均为频率的函数
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 传递函数（转移函数）
电路输出电压与输入电压的比值。
CRω
Cω
R
Cω
ωU
ωU
ωT
j1
1
j
1
j
1
j
j
j
1
2
RC
1
o
设,
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
ωωT
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωT
2
j
a r c t a n
1
1
j1
1
j
o
o
o
则,
下一页总目录 章目录 返回 上一页频率特性幅频特性,
0
22
1
1
1
1
j
ω
ωCRω
ωT
相频特性：
0
a r c t a na r c t a n ωωCRωω )(?
(3) 特性曲线? 0?0?
1 0.707 0ωT j
0?45-?90-
0
a r c t a n
1
1
j1
1
j
0
2
0
ω
ω
ω
ω
ωT
ω
ω
下一页总目录 章目录 返回 上一页频率特性曲线
0
0
当? <?0时,|T(j? )| 变化不大接近等于 1；
当? >?0时,|T(j? )|明显下降,信号衰减较大。
0.707
jT
0?0
1
一阶 RC低通滤波器具有 低通 滤波 特性
0?0?
1 0.707 0ωT j
0?45-?90-
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
45-
90-
下一页总目录 章目录 返回 上一页通频带：
把 0<0的 频率范围称为低通滤波电路的 通频带 。0称为 截止频率 (或半功率点频率,3dB频率 )。
频率特性曲线通频带,0<0
截止频率,?0=1/RC
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
0
0
0.707
jT
0?0
1
45-
90-
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,RC高通滤波电路
CRωCω
R
R
ωU
ωU
ωT
1
j1
1
j
1j
j
j
1
2
(1) 电路
(2) 频率特性（转移函数）
C R+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
幅频特性,
ω
ω
C
ωT
01
1
1
1
22
1
j
相频特性,
ω
ω
ω R Cω
0a r c t a n1a r c t a n
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 频率特性曲线
1
0.707
0
00
0
jT
当? <?0时,|T(j? )| 较小，信号衰减较大；
当? >?0时,|T(j? )|变化不大，接近等于 1。
一阶 RC高通滤波器具有 高通 滤波 特性通频带,?0<?
截止频率,?0=1/RC
0?0?
1 0.707 0ωT j
0?45?90
45
90
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3,RC带通滤波电路
)
1
j(3
1
j
1
j
j
1
j
1
j
j
1
j
2
j
CRω
CRω
Cω
R
Cω
R
Cω
R
Cω
R
Cω
R
ωU
ωU
ωT
(2) 传递函数
(1) 电路 R
R
C
C
+
–
ωU j1 +
–
ωU j2
输出信号电压ωU j
2
ωU j1 输入信号电压下一页总目录 章目录 返回 上一页幅频特性,
相频特性：
ω
ω
ω
ω
2
ωT
0
0
2
3
1
j
3
a r c t a n
0
0
ω
ω
ω
ω
ω
频率特性
RCω
1
0?
设：
3
0
0
a r c t a n
0
0
2
3
2
1
)
0
0
j(3
1
1
j(3
1
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
)
CRω
CRω
ωT
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.3 频率特性曲线
0
0
ωT j
0?1?2
3
1
37070.
0?0?
1 1/3 0ωT j
0?90-?90
R
R
C
C
+
–
ωU j1 +
–
ωU j2?0
90-
90
RC串并联电路具有 带通 滤波 特性下一页总目录 章目录 返回 上一页由频率特性可知在?=?0 频率附近,|T(j? )| 变化不大接近等于 1/3;当?偏离?0时,|T(j? )|明显下降,信号衰减较大。
通频带,当输出电压下降到输入电压的 70.7%处，
(|T(j? )|下降到 0.707/3 时 ),所对应的上下限频率之差即,△? = (?
2-?1)
RCωω
1
0
仅当 时,与 同相,U2=U1/3 为最大值,对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有 选频作用 。常用于正弦波振荡器。
1U? 2U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.10.2 串联谐振在同时含有 L 和 C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点,(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用 )。另一方面又要预防它所产生的危害。
谐振的概念：
下一页总目录 章目录 返回 上一页
IU,同相由定义，谐振时：
或：
CL oo
1?
0a r c t a n R XX CL?即谐振条件：
CL XX?
谐振时的角频率串联谐振电路
1,谐振条件3.10.2 串联谐振
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
2,谐振频率根据谐振条件：
CωLω oo
1?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
LC
1
0 LCf?2
1
0?
或电路发生谐振的方法：
(1)电源频率 f 一定,调 参数 L,C 使 fo= f；
2,谐振频率
(2)电路参数 LC 一定,调 电源频率 f,使 f = fo
或：
Cf
Lf
0
0 2
12
3,串联谐振特怔
RXXRZ CL 22 )(
(1) 阻抗最小可得 谐振频率 为：
下一页总目录 章目录 返回 上一页当电源电压一定时：
R
UII
0
(2) 电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗,和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
LQ CQ
(3) 同相IU、
0a r c t a n R XX CL?
(4) 电压关系电阻电压,UR = Io R = U 大小相等、相位相差 180?
00 CCLL XIUXIU
电容、电感电压：
CL UU
下一页总目录 章目录 返回 上一页
UC,UL将大于电源电压 U
RX X CL当 时：
有：
UUU U RCL
由于 UU U
CL
可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
令：
表征串联谐振电路的谐振质量品质因数，Q
下一页总目录 章目录 返回 上一页
QUUU CL 有：
所以串联谐振又称为 电压谐振。
QUU
CR
XIU CC
0
0
1
QUUR LXIU LL 00?
谐振时,与 相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的 Q倍。
LU? CU?
相量图：
I?
LU?
CU?
UUR
如 Q=100,U=220V,则在谐振时
2 2 0 0 0 V QUUU CL
所以电力系统应避免发生串联谐振。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
4,谐振曲线
(1) 串联电路的阻抗 频率特性阻抗随频率变化的关系。
22 1 CLRZ
Z0
RZ 0
Z0
LX
Z
0f
CX
LfX L?2?
fc
X C
2
1?
容性
)( 0
感性
)( 0
f
0
R
)(j CL XXRZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 谐振曲线电流随频率变化的关系曲线。
)1-(
)(
22 CLR
U
Z
UI
Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。
0I?
Q大
Q小
0I
分析：
R
LQ 0?
谐振电流
R
UI?
0
电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力
——称为选择性。
f
0f
0
Z
IZ,
R0I
下一页总目录 章目录 返回 上一页通频带：
:0f 谐振频率上限截止频率:
2f
下限截止频率:
1f
Q大通频带宽度越小 (Q值越大 )，
选择性越好，抗干扰能力越强。
Q小
0
I
f
△?=?2－?1
当电流下降到 0.707Io时所对应的上下限频率之差，称 通频带 。 即：
00.707I
1f 2f
0I
0f
f?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
5.串联谐振应用举例接收机的输入电路
1L,接收天线
LC,组成谐振电路
1L
L C
电路图
321 eee,、
为来自 3个不同电台 (不同频率 )
的电动势信号；
调 C，对所需信号频率产生串联谐振
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
等效电路
+
-
Cu
QUU
II
C?
m a x0
最大则下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
已知：
16 ΩH0,3 m RL,
6 4 0 k H z1?f
解：
LC2 π
ff 110
2 0 4 p F100,3106 4 02
1
323
π
C
若要收听 节目,C 应配多大？
1e
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
+
-
Cu
LfπC 202
1?则：
结论,当 C 调到 204 pF 时，可收听到 的节目。
1e
(1)
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
Vμ21?E已知：
Ω1 2 0 02 1 LfπLωXX CL
Vμ1561 CC IXU
所需信号被放大了 78倍
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
+
-
Cu
信号在电路中产生的电流 有多大？在 C 上 产生的电压是多少？
1e(2)
已知电路在解,6 4 0 k H z
1?f
时产生谐振
Aμ0,1 316/1 EI
这时
78
2
156
1
C1
E
UQ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.10.3 并联谐振 1,谐振条件
LCωRCω
LωR
LωR
Cω
LωR
Cω
Z
2
j1
j
)j(
j
1
)j(
j
1
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 RLω0
)( LωCωLRCCRωLCω
Lω
Z 2
1j
1
j1
j
则：
下一页总目录 章目录 返回 上一页
1,谐振条件
01
0
0 LωCω：谐振条件
2,谐振频率或
LC
ff
2
1
0
可得出：
LC
ω 10?
）LωCωLRCCRωLCω
LωZ
2 1(j
1
j1
j
由：
3,并联谐振的特征
(1) 阻抗最大，呈电阻性
RC
LZ?
0
(当满足? 0L R时 )
下一页总目录 章目录 返回 上一页
I
0
0 Z
U
RC
L
UII
(2)恒压源供电 时，总 电流最小；
恒流源供电 时，电路的端电压最大。
0S ZIU?
Z
Z I,
0ω
0Z
0I
(3)支路电流与总电流 的关系
Lfπ
U
LfπR
UI
0
2
0
21 2)(2
当? 0LR时,
下一页总目录 章目录 返回 上一页
01 QIII C
U?
CI?
I?
1
1I?
支路电流是总电流的 Q倍? 电流 谐振相量图
CfπU
Cfπ
U
I 0
0
C 2
2
1
QR LR Lf 002
RC
L
U
CfU )2( 0?
0
0
0
)2(
ZU
CfU
I
I C
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2：
已知：
8 5 p F25 ΩHm250 CRL,、.
解：
r a d/s106,8 6
10850,2 5
11
6
150
LC
ω
OO ZQω,、
试求：
6 8,625 100,2 5106,8 6
36
0
R
LωQ
1 1 7 K Ω108525 100,2 5 - 1 2
3
0
RC
LZ
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3,电路如图：已知 R=10?,IC=1A,?1 =45?
（ 间的相位角）,?=50Hz、电路处于谐振状态。
1I,U
试计算 I,I1,U,L,C之值，并画相量图。
解,(1) 利用 相量图求解
U?I?
相量图如图,
1As i n 11 CC III 因为?由相量图可知 电路谐振，则：
1I?
45
A21,4 1 445s i n1 CII所以 A1 CII
RU?
LU?
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
CI?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
V20V2102221 LXRIU所以
Ω20
1
20
2
I
UX
C F159 μ2
1
Cπ fX
C所以
H0,0 3 1 8H
314
10
2
fπ
XL L
10 Ω451 R、又：
Ω10 RX L所以
(2) 用相量法求解
C1 III因为例 3：
设：
V0 UU? A901CI?则：
A901450 1 II所以下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3：
解：
图示电路中 U=220V,
(1)当电源频率 1 0 0 0 r a d / s
1?ω
时,UR=0
试求电路的参数 L1和 L2
(2)当电源频率 2 0 0 0 r a d / s
2?ω
时,UR=U
F1 μ?C
Cω
Lω
1
11
1?故,
1HH1011000 11 622
1
1ωL所以
(1) 0?
RU因为 即,I=0
CL 1所以 并联电路产生谐振,
CR
LZ
1
1
0
即,
+
U?
- R
2L
I?
1L C
下一页总目录 章目录 返回 上一页试求电路的参数 L1和 L2
(2)当电源频率 2 0 0 0 r a d / s
2?ω
时,UR=U
(2)
U,U?R因为 所以电路产生串联谐振,
CL1
并联电路的等效阻抗为,
1-
j
)j(
j
1
)(j
j
1
1
2
2
12
12
2
12
2
1
CLω
Lω
Lω
Cω
Lω
Cω
Z
串联谐振时,阻抗 Z虚部为零,可得,
0,3 3 HH
11012000
1
1
1
62
1
2
2
2LCωL
)
1-
(jj
1
2
2
12
22122 CLω
LωLωRZLωRZ
总阻抗
+
U?
- R
2L
I?
1L C
下一页总目录 章目录 返回 上一页思考题,
接收网络
C
LR
SE? Nf
Sf
+
-NE?
+
-
滤波电路
(a)
(1)现要求在接收端消除噪声,问图 (a)LC并联电路应工作在什么频率下?
---信号源)(
sS ωE?
如图电路中,已知,
)( NN ωE? ---噪声源
(2)现要求工作信号到达接收端,问图 (b)LC串联电路应工作在什么频率下?
接收网络
CLR
SE? Nf
Sf
+
-NE?
+
-
(b)
滤波电路下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.11 功率因数 的 提高
1.功率因数,对电源利用程度的衡量 。sco
U?
I?
Z
R
X?
jXRZ
+
U?
-
Z
I?
的 意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角
s i nUIQ?
1c o s 时,电路中发生能量互换,出现无功当功率 这样引起两个问题,
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(1) 电源设备的容量不能充分利用
AkV1 0 0 0NNN IUS
若用户,则电源可发出的有功功率为：1cos
若用户,则电源可发出的有功功率为：0,6cos
8 0 0 k v a rs i nNNIUQ而需提供的无功功率为,
6 0 0 k Wc o sNNIUP
所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用?cos
1 0 0 0 k Wco sNNIUP
无需提供的无功功率。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
（ 2）增加线路和发电机绕组的功率损耗
(费电 )
所以要求 提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。
设输电线和发电机绕组的电阻为,r
要求,(Ｐ、Ｕ 定值 )时?c o sIUP?
c o sU
PI?
rIP 2
所以 提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。cos
(导线截面积 )I S
2,功率因数 cos?低的原因日常生活中多为 感性负载 ---如电动机、日光灯，
其等效电路及相量关系如下图。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
I?
U?
RU?
LU?
相量图
+
U?
-
R
LX
I?
+
RU?-
+
-LU?
感性等效电路 A0,1 8 2A
220
40
U
PI
40W220V白炽灯 1c o s例
c o sIUP?
A0,3 6 4A
0,52 2 0
40
co
sU
PI
40W220V日光灯 0,5c o s
供电局一般要求用户的否则受处罚 。 0,8 5c o s
cos?L?L I
下一页总目录 章目录 返回 上一页常用电路的功率因数纯电阻电路 0)(
R-L-C串联电路
)9090(
纯 电感电路或纯电容电路 )90(
电动机 空载电动机 满载日光灯
（ R-L串联电路）
1c o s
0,3~0,2c o s
0c o s
0co1s
0,9~0,7c o s
0,6~0,5c o s
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 提高功率因数的措施,
3.功率因数的 提高
1I?
CI?
I?
U
1?
必须保证 原负载的工作状态不变。 即：
加至负载上的电压和负载的有功功率不变。
在感性负载两端并电容
cos
I?cos
(1) 提高功率因数的原则：
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页结论 并联电容 C后：
(2) 原感性支路的工作状态不变,
1?cos 不变感性支路的 功率因数不变感性支路的电流
1I
(3) 电路总的有功功率不变
1I?
I?
U
1?
CI?
因为电路中电阻没有变，
所以消耗的功率也不变。
(1) 电路的总电流,电路总功率因数I?cos
电路总视在功率 S
下一页总目录 章目录 返回 上一页
4,并联电容值的计算相量图,
1I?
I?
U
1?
CI?
又由相量图可得：
s i ns i n 11 III C
CU ωI C?所以
11s i n?I
s i nI
CI?
即, s i ns i n
11 IICU ω
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)t a n( t a n 12
Uω
PC
s i n
c o s
s i n
c o s 11 U
P
U
PCωU
思考题,
1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?
2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?
3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1:
解,(1)
Fμ656F)t a n 1 8( t a n 5 3
220314
1010
2
3
C所以
（ 2）如将 从 0.95提高到 1，试问还需并多大的电容 C。
（ 1）如将功率因数提高到,需要并多大的电容 C,求并 C前后的线路的电流。
一感性负载,其功率 P=10kW,，
接在电压 U=220V,?=50Hz的电源上 。
0,6c o s
0,9 5c o s
cos
)t a n( t a n 12
Uω
PC
0,6c o s 即 53?
0,9 5cos 即 18?
下一页总目录 章目录 返回 上一页求并 C前后的线路电流并 C前,
A7 5,6A
0,6220
1010
co
3
1
1
sU
PI
Fμ2 1 3,6)Ft a n 0( t a n 1 8
220314
1010
2
3
C
可见,cos1时再继续提高，则所需电容值很大
（不经济），所以一般不必提高到 1。
A4 7,8A
0,9 52 2 0
1010
c o s
3
U
PI并 C后,
(2) 从 0.95提高到 1时所需增加的电容值
cos
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2:
解,(1)电源提供的电流为：
5 4,5 4 AA
0,52 2 0
106
c o s
3
U
PI
电源的额定电流为：
0,5c o s N
(1) 该电源供出的电流是否超过其额定电流？
已知电源 UN=220V,?=50Hz,SN=10kV?A向
PN=6kW,UN=220V,的感性负载供电，
(2) 如并联电容将 提高到 0.9，电源是否还有富裕的容量？
cos
4 5,4 5 AA
220
1010 3
N
N
N?
U
SI
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2:
NII?所以该电源供出的电流超过其额定电流。
（ 2）如将 提高到 0.9后，电源提供的电流为：?cos
3 0,3 AA
0,92 2 0
106
c o s
3
U
PI
NII?所以该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；
所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。
3.2 正弦量的相量表示法
3.4 电阻元件的交流电路
3.1 正弦电压与电流
3.3 电阻元件、电感元件与电容元件
3.5 电感元件的交流电路
3.10 交流电路的频率特性
3.9 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.11 功率因数的提高
3.8 阻抗的串联与并联
3.7 电阻、电感与电容元件串联交流电路
3.6 电容元件的交流电路下一页总目录 章目录 返回 上一页第 3章 正弦交流电路
1,理解正弦量的特征及其各种表示方法；
2,理解电路基本定律的相量形式及阻抗；
熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，
会画相量图。；
3,掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；
4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；
5.了解提高功率因数的意义和方法。
本章要求下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1 正弦电压与电流正弦量：
随时间按正弦规律做周期变化的量。
i
Ru
+
_
_?
_
i
t?
u
+ _
正弦交流电的优越性：
便于传输；易于变换便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
正半周 负半周
i
Ru
+
_
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1 正弦电压与电流设正弦交流电流：
角频率,决定正弦量变化快慢幅值,决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
初相角,决定正弦量起始位置
tIi s i nm
Im
2?
T
i
t?O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1.1 频率与周期周期 T,变化一周所需的时间 （ s）
角频率,πf
T
πω 22 （ rad/s）
Tf
1?频率 f,（ Hz）
T
* 无线通信频率,30 kHz ~ 30GMHz
* 电网频率,我国 50 Hz,美国,日本 60 Hz
* 高频炉频率,200 ~ 300 kHZ
* 中频炉频率,500 ~ 8000 Hz
i
t?O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.1.2 幅值与有效值有效值,与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。
幅值,Im,Um,Em
则有 T ti
TI 0
2 d1
交流 直流
dtRiT 20? RTI 2?
T ttωIT1 0 22m ds i n2mI?
幅值必须大写,
下标加 m。
同理：
2
mUU?
2
mEE?
有效值必须大写下一页总目录 章目录 返回 上一页给出了观察正弦波的起点或参考点 。,
3.1.3初相位与相位差
ψt相位：
注意：
交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
0)( ttψ
初相位,表示正弦量在 t =0时的相角。
反映正弦量变化的进程。
i
t ω
)s i n (m ψtωIi
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)s i n ( 2m ψtωIi
)s i n ( 1m ψtωUu
如：
)()( 21 tt
21 ψψ
若 0
21 ψψ?
电压超前 电流?
两 同频率 的正弦量之间的初相位之差。
3.1.3 相位差?：
u
i
u i
ω tO
下一页总目录 章目录 返回 上一页电流超前电压
9021 ψψ?
90
电压与电流 同相 021 ψψ?
电流超前电压?021 ψψ?
电压与电流反相
18021 ψψ?
u i
ω t
ui
O
u i
ω t
ui
90°
O
u i
ω t
u
i
O ω t
u iu i
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
② 不同频率的正弦量比较无意义。
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，
与计时的选择起点无关。
注意,
t
i
2i1i
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.2 正弦量的相量表示法瞬时值表达式 )s i n (
m tUu
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
波形图
１,正弦量的表示方法重点必须小写相量 ψUU
u
t ωO
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2.正弦量用旋转有向线段表示
ω
)(s i nm ψtUu设正弦量,
若,有向线段长度 =
mU
ω有向线段以速度 按逆时针方向旋转则,该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
有向线段与横轴夹角 = 初相位?
1u
1tω
u0? x
y
O
mU
ψ
u
t ω
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
+j
+1
Ab
a
r
0
3,正弦量的相量表示复数表示形式设 A为复数,
(1) 代数式 A =a + jb
a
bψ ar c t an?
22 bar 复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中,ψra c o s?
ψrb s i n?
(2) 三角式
)s i nj( c o ss i njc o s ψψrψr ψrA
由欧拉公式,
2j
ees i n jj ψψψ
,2 eec o s
jj ψψ
ψ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 指数式 ψrA je?
ψψψ s i njc o se j可得,
)(s i nm ψtωUu设正弦量,
相量,表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量
ψrrrjrbaA ψ jes i nc o sj
(4) 极坐标 式 ψrA?
相量表示,
相量的模 =正弦量的有效值相量辐角 =正弦量的初相角ψUUeU ψ j?
下一页总目录 章目录 返回 上一页电压的幅值相量
① 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
注意,
)(s i nm ψtωIi？ =
② 只有正弦量才能用相量表示，
非正弦量不能用相量表示。
③ 只有 同频率 的正弦量才能画在同一相量图上。
I?
U?
相量的模 =正弦量的最大值相量辐角 =正弦量的初相角ψUeUU ψ mjmm
或：
ψIeI ψ mjm
下一页总目录 章目录 返回 上一页
⑤ 相量的书写方式
模 用最大值表示,则用符号：
mm I U,
④ 相量的两种表示形式相量图,把相量表示在复平面的图形
实际应用中，模多采用有效值，符号,I U,
可不画坐标轴 I?
U?
如：已知 )V45(s i n2 2 0 tωu
Ve2 2 0 j 4 5mU? Ve
2
220 j 4 5U?则 或
)j s i nc o s(e j ψψUψUUU ψ
相量式,
下一页总目录 章目录 返回 上一页
90je?旋转 因子：
90
B?
j90s i nj90c o se j 9 0
⑥ ―j‖的数学意义和物理意义
ψrA je设相量
C?
A?
ψ
+1
+j
o
相量 乘以,
将逆时针旋转,得到
A90je
B?
90
A?
相量 乘以,
将顺时针旋转,得到 C?
A-j90e?90
A?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
V45
2
220U？
正误判断
1.已知：
)V45(s i n2 2 0 tωu
Ve220 45mU?？
有效值
)A30(s i n24 tω？
Ae4 j 3 0I?
3.已知,复数瞬时值j45?
)A60(s i n10 tωi？
最大值
V100?U？
Ve1 0 0 j 1 5U？
负号2.已知,A6010I?
4.已知：
V15100U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
1U?
20
2U?
45
2U?1U?
落后于 1U?2U?
超前落后？
解,(1) 相量式
(2) 相量图例 1,将 u1,u2 用相量表示
V)45(s i n21 1 02 tωu
V)20(s i n22 2 01 tωu
+1
+j
V202201U?
V451102U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2,已知
)A60s i nj60c o s11()A30s i nj30c o s1 2,7 (
有效值 I =16.8 A
)A 30 ( 3 1 4s i n2.7 12 1 ti
)A 60 ( 3 1 4s i n211 2 ti
。 iii 21
A) 1 0,9 314(s i n21 6,8 ti
求：
A301 2,7 1I?
A60112I?
A6011A301 2,721 III
A1 0,91 6,8j 3,1 8 ) A-1 6,5(
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3,图示电路是三相四线制电源，
已知三个电源的电压分别为：
)V1 2 0( 3 1 4s i n22 2 0B tu
V314s i n2220A tu?
)V1 2 0( 3 1 4s i n22 2 0C tu
试求 uAB,并画出相量图。
N
C
A
N
B
+
–
+
+
-
+
AU?
BU?
–
CU?
–
ABU?
–
解,(1) 用相量法计算：
V02 2 0AU?
V1 2 02 2 0BU?
V1 2 02 2 0CU?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)V30(s i n23 8 0AB tωu所以
(2) 相量图由 KVL定律可知
AU?
BU?
CU?
B-U?
ABU?
30
V120220V0220BAAB UUU
V)120(s i nj)120(c o s220V220ABU?
)V0,8 6 6j0,51(2 2 0
V301,7 3220
V303 8 0
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.3.1 电阻元件。
描述消耗电能的性质
iRu?根据欧姆定律,
即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系线性电阻
S
lR
金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关,表达式为：
表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
0dd 00 tRituiW t 2t
电阻的能量
R
i
u
+
_
3.3 电阻元件、电感元件与电容元件下一页总目录 章目录 返回 上一页描述线圈通有电流时产生磁场、
储存磁场能量的性质。
1,物理意义
i
N Φ
i
ψL电感,( H,mH)
线性电感,L为常数 ; 非线性电感,L不为常数
3.3.2 电感元件电流通过 N匝 线圈产生 (磁链 )N Φψ?
电流通过 一匝 线圈产生 (磁通 )Φ
u
i?
+
-
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。
l
NSμL 2?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
( H )l NSμL
2
自感电动势：
t
iL
t
ψe
L d
d
d
d
2,自感电动势方向的判定
(1) 自感电动势的参考方向规定,自感电动势的参考方向 与电流参考方向相同,
或与磁通的参考 方向符合 右手螺旋定则。
i
u
+
-
eL
+
-
L
电感元件的符号
S — 线圈横截面积（ m2）
l —线圈长度（ m）
N —线圈匝数
μ—介质的磁导率（ H/m）
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 自感电动势瞬时极性的判别
t
iLe
L d
d 0 <
eL与参考方向相反
eL具有阻碍电流变化的性质
eL实
+
-
eLu
i
+
- +
-
eL实
-
+
t
i
d
di? 0
eLu
i
+
- +
-
eL与参考方向相同
0 >
t
iLe
L d
d
i 0
t
i
d
d
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 电感元件储能
2
2
1 LiW?
t
iLeu
L d
d根据基尔霍夫定律可得：
将上式两边同乘上 i,并积分，则得：
2
0 0 2
1dd LiiLituit i
即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。
磁场能下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1,有一电感元件,L=0.2H,电流 i 如图所示，求电感元件中产生的自感电动势 eL和两端电压 u的波形。
解：当 4 m s0 t 时
mAti?
0,2 Vdd tiLe L
则：
0,2 V Leu所以当 6 m s4 m s t 时
mA12)2( ti
0,4 V2 ) V(0,2dd tiLe L
2 4 6
2
4
/mAi
/mstO
2 4 6-0.2
0.4 /VLe
/mst
2 4 6
-0.4
0.2
/Vu
/mst
O
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
0,4 V Leu所以由图可见：
(1)电流正值增大时,eL为负，
电流正值减小时,eL为正；
(2)电流的变化率 di/dt大，则 eL
大；反映电感阻碍电流变化的性质。
(3)电感两端电压 u和通过它的电流 i的波形是不一样的。
2 4 6
2
4
/mAi
/mstO
2 4 6-0.2
0.4 /VLe
/mst
2 4 6
-0.4
0.2
/Vu
/mst
O
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2,在上例中，试计算在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量。
解：在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量是相等的。
J1016
J)10(40,2
2
1
2
1
7
232
LiW所以即,4m s?t 时的磁场能下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.3.3 电容元件描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。
电容：
u
qC? )(F
u
i
C
+
_
电容元件电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。
( F )d SC
S — 极板面积（ m2）
d —板间距离（ m）
ε—介电常数（ F/m）
t
uCi
d
d?当电压 u变化时，在电路中产生电流,
下一页总目录 章目录 返回 上一页电容元件储能
2
2
1 CuW?
将上式两边同乘上 u，并积分，则得：
2
0 0 2
1dd CuuCutuit u
即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；
当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。
电场能根据：
t
uCi
d
d?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
1,电压与电流的关系设
tωUu s i nm?
② 大小关系：
R
UI?
③ 相位关系,u,i 相位相同根据欧姆定律,iRu?
tω
R
U2
R
tωU
R
ui s i ns i nm
tωI2tωI s i ns i nm
① 频率相同
0 iu相位差,?
I?
U?相量图
3.4 电阻元件的交流电路
R
i
u
+
_
相量式：
0II?
RIUU 0
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,功率关系
iup
(1) 瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积小写
tωIU 2mm s i n?
)2c o s(121 mm tωIU
结论,（耗能元件）,且随时间变化。0?p
tωUu
tωIi
s i n2
s i n2
p
i
ω t
u
O
ω t
p
O
i u
下一页总目录 章目录 返回 上一页瞬时功率在一个周期内的平均值
TT tiuTtpTP 00 d1d1
UIttωUIT T
0
)dc o s 2(11
大写
ttωIUT T d)2c o s(1211
0 mm?
(2) 平均功率 (有功功率 )P
IUP 单位,瓦（ W） 2 RI?
P
RU
2
R
i
u
+
_
p p
ω tO
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)90(s i n2 tωLI ω
基本 关系式：
① 频率相同
② U =I? L
③ 电压超前电流 90?
90iu ψψ?相位差
1,电压与电流的关系
90
t
iLeu
L d
d
3.5 电感元件的交流电路设：
tωIi s i n2?
i
u
+
-
eL
+
-
L
t
tωILu
d
)s i nd( m?
)90(s i n2 tωUu
ω t
u i i
O
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)90(s i n2 tωLωIu
tωIi s i n2?
或
L
UI
LXIU?
则,
感抗 (Ω)
电感 L具有通直阻交的作用直流,f = 0,XL =0，电感 L视为 短路定义,LfLX L 2
fLπX L 2?
L ωIU有效值,
交流,f XL
下一页总目录 章目录 返回 上一页
LfπLωX L 2
感抗 XL是频率的函数 LX
可得相量式：
)(jj LXILωIU
fL
UI
2?
电感电路复数形式的欧姆定律
U?
I?相量图
90IU超前 )90(s i n2 tωLωIu
tωIi s i n2?根据：
0II?
9090 LI ωUU?
L
I
U
I
U?j90
则：
LXI,
fO
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,功率关系
(1) 瞬时功率
0d)(2s i n
d
1
o
o
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
T
(2) 平均功率
)90(s i ns i nmm tωtωIUuip
tωUI 2s i n?
tωIUtωtωIU 2s i n2c o ss i n mmmm
)90(s i n2 tωLωIu
tωIi s i n2?
L是非耗能元件下一页总目录 章目录 返回 上一页储能
p <0+
p >0
分析,瞬时功率,uip tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
p <0
放能 储能 放能
电感 L是储能元件。
tω
i
u
o
p
tωo
结论：
纯电感不消耗能量,只和电源进行能量交换（能量的吞吐 )。
可逆的能量转换过程下一页总目录 章目录 返回 上一页用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用 瞬时功率达到的最大值表征，即
LL X
UXIIUQ 22
单位,var
(3) 无功功率 Q
uip瞬时功率,tωUI 2s i n?
例 1,把一个 0.1H的电感接到 f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求 I，如保持 U不变，而电源
f = 5000Hz,这时 I为多少？
解,(1) 当 f = 50Hz 时
3 1,4 Ω0,1503,1 422 fLX L?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3 1 8 m A
3 1,4
10
LX
UI
（ 2）当 f = 5000Hz 时
3 1 4 0 Ω0,15 0 0 03,1 422 fLX L
3,1 8 m A
3 1 4 0
10
LX
UI
所以电感元件具有通低频阻高频的特性练习题,1.一只 L=20mH的电感线圈，通以
)A30s i n ( 3 1 425 ti 的电流求 (1)感抗 XL;(2)线圈两端的电压 u;
(3)有功功率和无功功率。
下一页总目录 章目录 返回 上一页电流与电压的变化率成正比。
t
uCi
d
d?基本 关系式：
1.电流与电压的关系
① 频率相同
② I =U?C
③ 电流超前电压 90?
90iu ψψ?相位差则：
)90s i n (2 tωCωU
tωωUC
t
uCi c o s2
d
d
3.6 电容元件的交流电路
u
i
C
+
_设：
tωUu s i n2?
i
tω
u i
90
u
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)90(s i n2 tωCU ωi
tωUu s i n2?
C ωUI 或 I
Cω
U 1?
CXIU?
则,
容抗 （ Ω ）定义：
CfπCω
X C
2
11
有效值所以电容 C具有隔直通交的作用
Cfπ
X C
2
1?
XC
直流,XC,电容 C视为 开路?
交流,f
下一页总目录 章目录 返回 上一页
fCπX C 2
1?
容抗 XC是频率的函数可得相量式
CXICωIU
j1j
则：
电容电路中复数形式的欧姆定律
U?
I?
相量图
90UI超前
CωXC
1?
CX,I
f
)(2 CfπUI?
O
)90(s i n2 tωCU ωi
tωUu s i n2?
由：
CU ωII j90
0UU?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2.功率关系
(1) 瞬时功率
u
i
C
+
_
(2) 平均功率 Ｐ
)90(s i n2 tωCU ωi
tωUu s i n2?
由
0d)(2s i n
d
1
0
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
0
T
)90(s i ns i nmm tωtωIUuip
tωUI 2s i n?tωIU 2s i n
2
mm?
C是非耗能元件下一页总目录 章目录 返回 上一页瞬时功率,uip tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
充电
p <0
放电
+
p >0
充电
p <0
放电
p
tωo
所以电容 C是储能元件。
结论：
纯电容不消耗能量,只和电源进行能量交换（能量的吞吐 )。
u
i
o tω
u,i
下一页总目录 章目录 返回 上一页同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
(3) 无功功率 Q
C
C X
UXIUIQ 22
tωUIp s i n 2所以单位,var
为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
tωIi s i n2?
)90(s i n2 tωUu
则：
下一页总目录 章目录 返回 上一页指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中：
R
Ui?
R
UI?
R
ui?
R
UI
在电感电路中：
LX
ui?
Lω
ui?
Lω
UI?
LωIU j?
LXI
U?
LXI
U j?
t
iLu
d
d?
在电容电路中：
CωIU
CXiu
CωUI j
CωI
U
j
1?
【 练习 】
下一页总目录 章目录 返回 上一页实际的电阻、电容电阻的主要指标
1,标称值
2,额定功率
3,允许误差种类,
碳膜、金属膜、
线绕、可变电阻电容的主要指标
1,标称值
2,耐压
3,允许误差种类,
云母、陶瓷、涤纶电解、可变电容等一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。
下一页总目录 章目录 返回 上一页电阻的标称值误差标称值
10%（ E12）? 5% （ E24）
1.0,1.2,1.5、
1.8,2.2,2.7、
3.3,3.9,4.7、
5.6,6.8,8.2
电阻的标称值 = 标称值?10n
1.0,1.1,1.2,1.3、
1.5,1.6,1.8,2.0、
2.2,2.4,2.7,3.0、
3.3,3.6,3.9,4.3、
4.7,5.1,5.6,6.2、
6.8,7.5,8.2,9.1等下一页总目录 章目录 返回 上一页电阻器的色环表示法四环 五环倍率
10n
误差有效数字误差黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
误差,? 1% 2 0.5 0.2 0.1 5 10
有效数字倍率
10n
下一页总目录 章目录 返回 上一页的电阻表示 %51.5
如电阻的 4个色环颜色依次为：
绿、棕、金、金 ——
如电阻的 5个色环颜色依次为：
棕、绿、黑、金、红 —— 的电阻表示 %20.15
四环倍率
10n
误差有效数字五环有效数字误差倍率
10n
动画下一页总目录 章目录 返回 上一页单一参数电路中的基本关系参数
LωX L jj?
t
iLu
d
d?L
Cω
X C 1jj
t
uCi
d
d?C
R
基本关系
iRu?
阻抗
R
相量式
RIU
IXU L j?
IXU C j
相量图
U?
I?
U?
I?
U?
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.7单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数 电路图(参考方向 ) 阻抗电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式功 率有功功率 无功功率
R
i
u iRu? R
设则
tωU2u s i n?
tωI2i s i n?
IRU? RIU
U?I?
u,i 同相
0
L
tiLu dd?
C tuCi dd?
LXj
CXj?
设则
)90ts i n ( 2 LI ωu
则
LX
IXU
L
L
cX
IXU
C
C?/1
u领先 i 90°
U?
I?
U?
I?
LXIU j?
CXIU j
0
0
LXI
UI
2
基本关系
+
-
i
u
+
-
i
u
+
-
tωI2i s i n?
设
RI
UI
2
UI?
CXI2-
tωI2i s i n?
)90s i n ( 2 t CI ωu u落后 i 90°
下一页总目录 章目录 返回 上一页
21 IRIRU
交流电路,与参数 R,L,C、
间的关系如何？
U? I?
1,电流、电压的关系
U =IR + I?L + I 1/? C?
直流电路两电阻串联时
3.7 RLC串联的交流电路设,tωs i nIi 2?
RLC串联交流电路中
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
下一页总目录 章目录 返回 上一页
tωIi s i n2?设：
)90(s i n)
1
(2
)90(s i n)(2
s i n2
tω
Cω
I
tωLωI
tωIRu则
(1) 瞬时值表达式根据 KVL可得：
CLR uuuu
tiCtiLiR d1dd
为同频率正弦量
1,电流、电压的关系
3.7 RLC串联的交流电路
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2)相量法
CL
CL
XXRI
XIXIRIU
j
)j()(j
CLR UUUU
0II?设
（参考相量）
)j( CC XIU
)(j LL XIU
则
RIU R
总电压与总电流的相量关系式
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
1)相量式下一页总目录 章目录 返回 上一页
CL XX RIU j
CL XX RZ j令则 ZIU
Z 的模表示 u,i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u,i 的相位差。
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
阻抗复数形式的欧姆定律注意根据
iu
i
u
I
UZ
I
U
I
UZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页电路参数 与电路性质的关系：
22 )(
CL XXRI
UZ阻抗模：
CL XX RZZ j?
R
XXψψ CL
iu
a r c t a n?阻抗角：
R
CL ω?/1a r c t a n
当 XL >XC 时,? > 0,u 超前 i 呈 感性当 XL < XC 时,? < 0,u 滞后 i 呈 容性当 XL = XC 时,? = 0,u,i 同相 呈 电阻性
由电路参数决定。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2) 相量图
LU?
I?
CL UU
U?
RU?
(? > 0 感性 )
XL > XC
参考相量由电压三角形可得,
c o sUU R?
s i nUU x?
U?
RU?
CL UU
XU
电压三角形
CU?
I?RU?
(? < 0 容性 )
XL < XC
CU?
LU?
CL UU U?
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页由相量图可求得,
R
XX
XXRZ
CL
CL
a r c t a n
)( 22
ZI
XRI
XXRI
UUUU
CL
CLR
)(
)(
22
22
22
2) 相量图由阻抗三角形：
c o sZR?
s i nZX?
U?
RU?
CL UU
XU
Z
R
CL XXX
电压三角形阻抗三角形下一页总目录 章目录 返回 上一页
2.功率关系
t ωIt ωUiup s i n)(s i n mm
t ω UIt ω IU 2s i ns i ns i nc o s 2mm
储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。
(1) 瞬时功率
)(s i n
s i n
m
m
t ωUu
t ωIi
设：
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 平均功率 P （有功功率）
cosUIP?所以
c o s
) ] d(2c o sc o s[
1
d
1
0
0
UI
ttωUIUI
T
tp
T
P
T
T
单位,W
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
cos?称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 无功功率 Q
单位,var?s i nUIQ?
总电压 总电流 u 与 i 的夹角根据电压三角形可得：
RIIUUIP R 2c o s
电阻消耗的电能
)()( 2 CLCLCL XXIIUUIUIUQ
根据电压三角形可得：
U?
RU?
XU?
电感和电容与电源之间的能量互换下一页总目录 章目录 返回 上一页
(4) 视在功率 S
电路中总电压与总电流有效值的乘积。
2IZUIS 单位,V·A
注,SN＝ UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。
22 QPS QPS
P,Q,S 都不是正弦量，不能用相量表示。
下一页总目录 章目录 返回 上一页阻抗三角形,电压三角形,功率三角形
S
Q
P
22 )( CL XXRZ
s i n
c o s
ZX
ZR
2)(
CL
2
R UUUU
s i n
c o s
UU
UU
X
R
22 QPS
s i n
c o s
SQ
SP
RU?
U?
CL UU
将电压三角形的有效值同除 I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘 I得到功率三角形
R
CL XX?
Z
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
已知,
)V20314(s i n2220 tu
F40 μ1 2 7 m H,,Ω30 CLR
求,(1)电流的有效值 I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值； (3) 作相量图； (4)有功功率 P、
无功功率 Q和视在功率 S。
在 RLC串联交流电路中，
解：,Ω4010127314
3LωX L
,Ω80
1040314
11
6- CωX C
,Ω508 0 )( 4 030)( 2222 CL XXRZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(1)
4,4 AA
50
2 2 0
Z
UI
)A733 1 4(s i n244 ti,
- 5 330 80-40a r c t a na r c t a n R XX CL?
73,- 5 3 iiu ψψψ 所以因为?
(2)
方法 1：
)V73314(s i n2132 tu R
1 3 2 V3 0 V4,4 IRU R
)V1 6 33 1 4(s i n21 7 6 tu L
1 7 6 VV404,4 LL IXU
下一页总目录 章目录 返回 上一页方法 1：
)V17314(s i n2352 tu C
3 5 2 V804,4 CC IXU
53 U?
LU?
CU?
CL UU
I?
RU?
通过计算可看出：
CLR UUUU
CLR UUUU
而是
(3)相量图
(4)
5 8 0,8 W
)W53(c o s4,4220c o s
UIP
或 5 8 0,8 W
2 RIIUP R
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(4)
- 7 7 4,4 v a r
) v a r53(s i n4,42 2 0s i n
UIQ
或 - 7 7 4,4 v a r)()( 2
CLCL XXIIU-UQ
呈容性方法 2：复数运算
Ω5350j 4 0 )30()(j CL XXRZ
A734,4A
53-50
202 2 0
Z
UI
V7313230V734,4 RIU R
V1 6 31 7 6V7340j 4,4j LL XIU
V17-352V7380j 4,4j CC XIU
V202 2 0U?
解：
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2：
已知,F1 μ.0,2k Ω CR
在 RC串联交流电路中，
解：
Ω3,2 kk Ω100,15 0 03,1 42 11 6- CωX C
,k Ω3,7 7k Ω3,22 2222 CXRZ
输入电压 5 0 0 H z1 V,
1 fU
(1)求输出电压 U2,并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系 (2)当将电容 C改为 时,
求 (1)中各项； (3)当将频率改为 4000Hz时,再求
(1)中各项。
Fμ20
R
C
1U?
+
_
+
_
I?
2U?
方法 1：
(1)
下一页总目录 章目录 返回 上一页
0,2 7 m AmA
3,7 7
11
Z
UI
- 5 823,2-a r c t a na r c t a n RX C?
0,5 4 V2V0,2 72 IRU
大小和相位关系
54%
1
2?
U
U 2U? 1U?
比 超前?58
方法 2：复数运算
V011U?解：设
V580,5 4V583,7 7 2V013,22 212 jUZRU
下一页总目录 章目录 返回 上一页方法 3：相量图
0,5 4 VVco s 5 81co s12UU
12 UU
I?
58
- 5 823,2-a r c t a na r c t a n RX C?
RΩ1610205 0 03,1 42 11 6- CωX C
,k Ω222 CXRZ
0a r c t a n RX C?
1Vc o s 112 UUU?
1U?
CU?
I?2U?
V011U?
解：设下一页总目录 章目录 返回 上一页
（ 3）
Ω004100,14 0 0 03,1 42 11 6- CωX C
,k Ω2,0 422 CXRZ - 1 1,3a r c t a n
R
X C?
0,9 8 Vc o s12UU
31,1
1U?
CU?
I?2U?
大小和相位关系
98%
1
2?
U
U 2U? 1U?
比 超前?311.
从本例中可了解两个实际问题：
(1)串联电容 C可起到隔直通交的作用 (只要选 择合适的 C，使 )RX
C(2)RC串联电路也是一种移相电路,改变 C,R
或 f 都可达到移相的目的 。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
1.假设 R,L,C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？
cos2.RLC串联电路的 是否一定小于 1？
UU R?
UUU,U CL
3.RLC串联电路中是否会出现,
的情况？
4.在 RLC串联电路中，当 L>C时,u超前 i
,当 L<C时,u滞后 i,这样分析对吗？
下一页总目录 章目录 返回 上一页正误判断
Z
UI?？
？
Z
UI?
Z
ui?？
Z
UI？
在 RLC串联电路中，
Z
UI？
？
U
UU CL a r c t a n?
？
R
XX CL a r c t a n?
R
CL
U
UU a r c t a n?？
？
CX
LXR
UI
？
CLR UUUU
？CLR uuuu
？ )
CL XXRZ j(
R
CωLω a r c t a n?？
？
CL XXRZ
0II?设下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.8 阻抗的串联与并联
3.8.1阻抗的串联
U
ZZ
ZU
21
2
2
Z
UI
分压公式：
21 ZZZ
对于阻抗模一般
21 ZZZ注意：
IZZ
IZIZUUU
)( 21
2121
U
ZZ
ZU
21
1
1
+
U? Z
-
I?
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
通式,
kkk XRZZ j
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.8 阻抗的串联与并联解：
同理：
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
Ω3010j58,6 6
4)j ( 92,5 )( 6,1 621
ZZZ
A022
3010
30220
Z
UI
V5 5,62 3 9,8
22V5 5,61 0,922Vj 9 )( 6,1 611
IZU
V581 0 3,622Vj 4 )( 2,522 IZU
j9 Ω6,1 61Z
例 1:有两个阻抗
j4 Ω2,52Z
它们串联接在 V30220U? 的电源 ;
求,I? 和
21 UU,
并作相量图。
下一页总目录 章目录 返回 上一页或利用分压公式：
1U?
U?
I?
2U?
58
30
55.6
21 UUU注意：
相量图
21 UUU
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
V581 0 3,6
V30220
j58,6 6
j42,5
21
2
2
U
ZZ
Z
U
V55,623 9,8
V30220
j58,6 6
j96,1 6
21
1
1
U
ZZ
Z
U
下一页总目录 章目录 返回 上一页下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？
两个阻抗串联时,在什么情况下,
21 ZZZ 成立。
7 Ω?Z U=14V? 10 Ω?Z U=70V?
(a)
3?
4?
V1
V2
6V
8V
+
_
U?
6?
8?
30V
40V
(b)
V1
V2
+
_
U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.8.2 阻抗并联
21
21 Z
U
Z
UIII
I
ZZ
ZI
21
1
2
分流公式：
21
21
ZZ
ZZZ
Z
UI
对于阻抗模一般
21
111
ZZZ注意：
21
111
ZZZ
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
+
U? Z
-
I?
I
ZZ
ZI
21
2
1
通式,
k
11
ZZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2:
解,
同理：
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
Ω2 6,54,4 7
1 0,51 1,8
1650
j68j43
3710535
21
21
ZZ
ZZ
Z
A5344A
535
0220
1
1
Z
UI
A3722A
3701
0220
2
2
Z
UI
j4 Ω31Z
有两个阻抗
j6 Ω82Z
它们并联接在
V0220U? 的电源上 ;
求,I?和
21 II,
并作相量图。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
21 III
相量图
1I?
U?
I?
2I?
53
37
26.5
21 III注意：
A2 6,54 9,2
2 6,54,4 7
0220
Z
UI
或
A2 6,54 9,2
A3722A53-44 21
III
下一页总目录 章目录 返回 上一页导纳：阻抗的倒数当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因此常应用导纳计算。
如,
1111 j CL XX RZ
导纳,
1
j
1111
2
1
2
1
2
1
1
2
11
2
1
111
1111
1
)j(
)j(
)(
)j(
)j(
11
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
XXR
XXR
XXRZ
Y
CL
CL
CL
CL
CL
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页导纳,
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2
2
1
1 Z
RG? 称为该支路的电导
2
1
1
L1 Z
XB L? 称为该支路的感纳
2
1
1
C1 Z
XB C? 称为该支路的容纳
211211 )( CL BBGY 称为该支路的导纳模
（ 单位：西门子 S）
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页导纳,
1
11
1 a r c t a n G
BB CL 称为该支路电流与电压之间的相位差
2j
2222
2
2 )j(
1 eYBBG
Z
Y CL同理：
21
111
ZZZ因为
21 YYY所以通式, kkk BjGYY
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
同阻抗串联形式相同下一页总目录 章目录 返回 上一页用导纳计算并联交流电路时
UYUYUY
Z
U
Z
U
III
21
21
21
例 3 用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
S530,2S535 11
1
1 ZY
S370,1S
3710
11
2
2 ZY
S2 6,50,2 2 4
S370,1S530,221
YYY
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3,用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
注意：导纳计算的方法适用于多支路并联的电路
A5344
A022053-0,211
UYI
同理,
A3722
A02 2 0370,122
UYI
A2 6,54 9,2
A02202 6,50,2 2 4
UYI
下一页总目录 章目录 返回 上一页下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？
21
111
ZZZ
两个阻抗并联时,在什么情况下,
成立。
Ω2?Z I=8A? Ω2?Z I=8A?
(c)
4A
4?
4A
4?
A2
I?
A1
(d)
4A
4?
4A
4?
A2
I?
A1
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,如果某支路的阻抗 Ω6)j8(Z,则其导纳
)S61j81(Y 对不对?
+
U?
-
CL
3,图示电路中,已知 CL XX?
则该电路呈感性,对不对?
1,图示电路中,已知
A1+
U?
-
R
A2 A3
CL
2 Ω RXX CL
电流表 A1的 读数为 3A,
试问 (1)A2和 A3的 读数为多少?
(2)并联等效阻抗 Z为多少?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.9 复杂 正弦交流电路的分析和计算
IU、若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗（ )表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。
C ω CL ωLRR
1jj,、
相量形式的基尔霍夫定律
0 K C LI? 0 K V LU?
电阻电路
RIU )(j LXIU
纯电感电路
)j( CXIU
纯电容电路 一般电路 ZIU
相量（复数）形式的欧姆定律下一页总目录 章目录 返回 上一页有功功率 P
有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，
或各支路有功功率之和。
i
i
1
2
i RIP
无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。
)( ii
i
1
2
i CL XXIQ
的相位差与为 iii IU无功功率 Q
i
1
ii s i n?∑
i
IUQ?或
i
1
ii c os
i
IUP或下一页总目录 章目录 返回 上一页一般正弦交流电路的解题步骤
1、根据原电路图画出相量模型图 (电路结构不变 )
Ee,Ii,Uu
X C,XL,RR CL
jj
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用相量法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
已知电源电压和电路参数，
电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。
一般用相量式计算,
2121( 2 ) i,iII I,
iIZZZ21 ( 1 ),
分析题目：
已知,
Vs i n2220 tωu?
Ω4 0 0,Ω2 0 0Ω1 0 0,Ω50 1 CL XX,RR
求,
i 21 ii,
+
U?
-
1R
CXj-
LXj
R
I?
1I? 2I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页解：用相量式计算
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
V0220U?
Ωj 1 2 0 0 )1 0 0(j11 LXRZ
Ω1 4 0jj2 CXZ
Ω334402 4 0 )j32050(]j 4 0 0j 2 0 0100 j 4 0 0 )(j 2 0 0 )( 1 0 050[Z
A330,5A334 4 0 02 2 0 ZUI
A5 9,6-0,8 9
A330,5
j 4 0 0j 2 0 01 0 0
j 4 0 0
21
2
1
I
ZZ
Z
I
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)A33(s i n20,5 tωi所以
)A5 9,6(s i n20,8 91 tωi
)A9 3,8(s i n20,52 tωi
同理：
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
A9 3,80,5
A330,5
j 4 0 0j 2 0 0100
j 2 0 0100
21
1
2
I
ZZ
Z
I
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2,下图电路中已知,I1=10A,UAB =100V，
求：总电压表和总电流表 的读数。
解题方法有两种,(1) 用相量 (复数 )计算
(2) 利用相量图分析求解分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数求总电流和电压
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页求,A,V 的读数已知,I1= 10A、
UAB =100V，
解法 1,用相量计算所以 A读数为 10安
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
即,V01 0 0
ABU?
为参考相量，ABU?设：
则,A45210A)]5j5/(100[
2I?
Aj 1 0A90101I?
A01021 III
下一页总目录 章目录 返回 上一页
Vj 1 0 0)Vj 1 0(L IU所以
V 读数为 141V?
求,A,V 的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
A01021 III因为
V4521 0 0
j 1 0 0 V1 0 0AB
UUU L
下一页总目录 章目录 返回 上一页解法 2,利用相量图分析求解 画相量图如下：
ABU?设 为参考相量,
由相量图可求得,I =10 A
ABU?
求,A,V 的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
1 0 A1?I 超前1I90ABU?
A,210
55
100
222
I
°45AB2 UI 滞后
10
1I?
I?
45°
210
2I?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
UL= I XL =100V
V =141V
由相量图可求得：
求,A,V 的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
ABU?设 为参考相量,
°90IU L 超前
100 ABU?
10
1I?
I?
45°
210
2I?
100
LU?
45°
U?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω
A
j5Ω
I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页由相量图可求得：
U?I?
解：
A10
2
200200
2
L
22
RXRZ
UI
Ω210
210
2 0 0
LXR所以
A2545s i n1045s i n21 II
A2545c o s2 II
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
例 3,已知,XRU
L V,2 0 0
。CL X,XR,I,
开关闭合后 u,i 同相。
,A102 II开关闭合前求,
2I?
45
1I?
(1)开关闭合前后 I2的值不变。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
解,(2)用相量计算
∵ 开关闭合后 u,i 同相，
21 III
Ac o s 4 52 II由实部相等可得
A45s i n21 II由虚部相等可得
Ω220
25
2 0 0
1
I
UX
C
A2545s i n1045s i n21 II
V,02 0 0U?设,
A4510 2 IXR L?，所以因为
Ω4522)4510/02 2 0(/ 22 IUZ
A0 II?所以
451090 0 1II所以下一页总目录 章目录 返回 上一页解,求各表读数
V220?U
A1 5,6
2
22
1I
A112?I
A11?I所以例 4,图示电路中已知,V3 1 4s i n22 2 0 tu?
A)90( 3 1 4s i n2112 ti
试求,各表读数及参数 R,L 和 C。
A)45( 3 1 4s i n221 ti
(1)复数计算 +
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
i
V
A11A9011451 5,621 III
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 相量图
1I?
2I? LU?
U?
45
RU?
I?
A11A111 5,6 22I根据相量图可得：
求参数 R,L,C
Ω10 LXR
方法 1：
H0,0 3 1 8
2
fπ
XL L
i
+
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
V
Ωj 1 010451 4,1
451 5,6
0220
1
1
I
UZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
Ω20?CX所以
Fμ1 5 9
203 1 4
1
2
1?
CXfπ
C
方法 2：
Ω1 4,1
1
1 I
UZ
Ω1045c o s1 ZR
Ω1045s i n1 ZX L
45?
Z
LX
R
H0,0 3 1 8
2
fπ
XL L
Ω20
2
2 I
UZ
即,XC=20?
Fμ1 5 9=20×3 1 4 1=2 1=
CXfπ
C
Ω9020
9011
02 2 0
2
2
I
UZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 5,图示电路中,已知,U=220 V,?=50Hz,分析下列情况,
(1) K打开时,P=3872W,I=22A，求,I1,UR,UL
(2) K闭合后发现 P不变，但总电流减小，试说明
Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。
解,(1) K打开时,A22
1 II
c o sUIP?
0,8222 2 03 8 7 2c o s UI P?
V1760,8 V220co sUU R所以
V1320,6 V220s i nUU L
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
下一页总目录 章目录 返回 上一页
Ω8
22
3872
22 I
PR
Ω10 IUZ
Ω6 22L RZX
V1768V22 IRU R所以
V1 3 26V22 LL IXU
(2) 当合 K后 P不变 I 减小,
说明 Z2为纯电容负载相量图如图示,
1I?
2I?
U?
方法 2,A22
1 II
I?
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
下一页总目录 章目录 返回 上一页同第 2章计算复杂直流电路一样,支路电流法、
结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用 相量 表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用 阻抗或导纳 来表示，采用 相量法 计算。下面通过举例说明。
3.9 复杂正弦交流电路的分析与计算试用支路电流法求电流 I3。
1Z+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
例 1,图示电路中，已知
j 5 ) Ω5(
Ω,j 0,5 )0,1(
V,0227V,0230
3
21
21
Z
ZZ
UU
下一页总目录 章目录 返回 上一页解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程
13311
321 0
UIZIZ
III
23322 UIZIZ
代入已知数据，可得：
1Z
+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
V02 3 0j 5 )(5j 0,5 )( 0,1
0
31
321
II
III
V02 2 7j 5 )(5j 0,5 )( 0,1 31 II
解之，得,A4 6,1-3 1,3
3I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页应用叠加原理计算上例。
32
2
321
1
3 +×//+=′ ZZ
Z
ZZZ
U
I
例 2:
解,(1) 当
1U?
单独作用时同理（ 2）当
2U?
单独作用时
31
1
312
2
3 // ZZ
Z
ZZZ
UI
1Z+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
1Z 2Z
3I
+
2U?-3Z
+
1Z+
1U? -
2Z
3I
3Z
=
A4 6,1-3 1,3333 III
下一页总目录 章目录 返回 上一页应用戴维宁计算上例。例 3:
解,(1)断开 Z3支路，求开路电压
0U?
j 0,2 5 ) Ω0,05(
2
1
21
21
o
Z
ZZ
ZZ
Z
1Z+
1U? -
2Z
I?
+
2U?-
+
0U?-
1Z 2Z
0Z
(2)求等效内阻抗 0Z
1Z+
1U? -
2Z
1I? 2I?
3I?
+
2U?-3Z
A4 6,13 1,3
30
0
3 ZZ
UI(3)
V02 2 8,8 5
22
21
21
o
UZ
ZZ
UU
U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.10 交流电路的频率特性前面几节讨论电压与电流都是时间的函数,在时间领域内对电路进行分析,称为 时域分析。 本节主要讨论电压与电流是频率的函数；在频率领域内对电路进行分析,称为 频域分析。
相频特性,电压或电流的相位与频率的关系。
幅频特性,电压或电流的大小与频率的关系。
当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电流（响应）的大小和相位也随之改变。
频率特性或频率响应：
研究响应与频率的关系下一页总目录 章目录 返回 上一页滤波电路主要有：
低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
(1) 电路
3.10.1 RC滤波电路的频率特性滤波,即利用容抗或感抗随频率而改变的特性,对不同频率的输入信号产生不同的响应,让需要的某一频带的信号通过,抑制不需要的其它频率的信号。
输出信号电压ωU j
2
ωU j1 输入信号电压
1.低通滤波电路均为频率的函数
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 传递函数（转移函数）
电路输出电压与输入电压的比值。
CRω
Cω
R
Cω
ωU
ωU
ωT
j1
1
j
1
j
1
j
j
j
1
2
RC
1
o
设,
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
ωωT
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωT
2
j
a r c t a n
1
1
j1
1
j
o
o
o
则,
下一页总目录 章目录 返回 上一页频率特性幅频特性,
0
22
1
1
1
1
j
ω
ωCRω
ωT
相频特性：
0
a r c t a na r c t a n ωωCRωω )(?
(3) 特性曲线? 0?0?
1 0.707 0ωT j
0?45-?90-
0
a r c t a n
1
1
j1
1
j
0
2
0
ω
ω
ω
ω
ωT
ω
ω
下一页总目录 章目录 返回 上一页频率特性曲线
0
0
当? <?0时,|T(j? )| 变化不大接近等于 1；
当? >?0时,|T(j? )|明显下降,信号衰减较大。
0.707
jT
0?0
1
一阶 RC低通滤波器具有 低通 滤波 特性
0?0?
1 0.707 0ωT j
0?45-?90-
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
45-
90-
下一页总目录 章目录 返回 上一页通频带：
把 0<0的 频率范围称为低通滤波电路的 通频带 。0称为 截止频率 (或半功率点频率,3dB频率 )。
频率特性曲线通频带,0<0
截止频率,?0=1/RC
C
+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
R
0
0
0.707
jT
0?0
1
45-
90-
下一页总目录 章目录 返回 上一页
2,RC高通滤波电路
CRωCω
R
R
ωU
ωU
ωT
1
j1
1
j
1j
j
j
1
2
(1) 电路
(2) 频率特性（转移函数）
C R+
–
ωU j1
+
–
ωU j2
幅频特性,
ω
ω
C
ωT
01
1
1
1
22
1
j
相频特性,
ω
ω
ω R Cω
0a r c t a n1a r c t a n
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(3) 频率特性曲线
1
0.707
0
00
0
jT
当? <?0时,|T(j? )| 较小，信号衰减较大；
当? >?0时,|T(j? )|变化不大，接近等于 1。
一阶 RC高通滤波器具有 高通 滤波 特性通频带,?0<?
截止频率,?0=1/RC
0?0?
1 0.707 0ωT j
0?45?90
45
90
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3,RC带通滤波电路
)
1
j(3
1
j
1
j
j
1
j
1
j
j
1
j
2
j
CRω
CRω
Cω
R
Cω
R
Cω
R
Cω
R
Cω
R
ωU
ωU
ωT
(2) 传递函数
(1) 电路 R
R
C
C
+
–
ωU j1 +
–
ωU j2
输出信号电压ωU j
2
ωU j1 输入信号电压下一页总目录 章目录 返回 上一页幅频特性,
相频特性：
ω
ω
ω
ω
2
ωT
0
0
2
3
1
j
3
a r c t a n
0
0
ω
ω
ω
ω
ω
频率特性
RCω
1
0?
设：
3
0
0
a r c t a n
0
0
2
3
2
1
)
0
0
j(3
1
1
j(3
1
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
)
CRω
CRω
ωT
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.3 频率特性曲线
0
0
ωT j
0?1?2
3
1
37070.
0?0?
1 1/3 0ωT j
0?90-?90
R
R
C
C
+
–
ωU j1 +
–
ωU j2?0
90-
90
RC串并联电路具有 带通 滤波 特性下一页总目录 章目录 返回 上一页由频率特性可知在?=?0 频率附近,|T(j? )| 变化不大接近等于 1/3;当?偏离?0时,|T(j? )|明显下降,信号衰减较大。
通频带,当输出电压下降到输入电压的 70.7%处，
(|T(j? )|下降到 0.707/3 时 ),所对应的上下限频率之差即,△? = (?
2-?1)
RCωω
1
0
仅当 时,与 同相,U2=U1/3 为最大值,对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有 选频作用 。常用于正弦波振荡器。
1U? 2U?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.10.2 串联谐振在同时含有 L 和 C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点,(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用 )。另一方面又要预防它所产生的危害。
谐振的概念：
下一页总目录 章目录 返回 上一页
IU,同相由定义，谐振时：
或：
CL oo
1?
0a r c t a n R XX CL?即谐振条件：
CL XX?
谐振时的角频率串联谐振电路
1,谐振条件3.10.2 串联谐振
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
2,谐振频率根据谐振条件：
CωLω oo
1?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
LC
1
0 LCf?2
1
0?
或电路发生谐振的方法：
(1)电源频率 f 一定,调 参数 L,C 使 fo= f；
2,谐振频率
(2)电路参数 LC 一定,调 电源频率 f,使 f = fo
或：
Cf
Lf
0
0 2
12
3,串联谐振特怔
RXXRZ CL 22 )(
(1) 阻抗最小可得 谐振频率 为：
下一页总目录 章目录 返回 上一页当电源电压一定时：
R
UII
0
(2) 电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗,和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
LQ CQ
(3) 同相IU、
0a r c t a n R XX CL?
(4) 电压关系电阻电压,UR = Io R = U 大小相等、相位相差 180?
00 CCLL XIUXIU
电容、电感电压：
CL UU
下一页总目录 章目录 返回 上一页
UC,UL将大于电源电压 U
RX X CL当 时：
有：
UUU U RCL
由于 UU U
CL
可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
令：
表征串联谐振电路的谐振质量品质因数，Q
下一页总目录 章目录 返回 上一页
QUUU CL 有：
所以串联谐振又称为 电压谐振。
QUU
CR
XIU CC
0
0
1
QUUR LXIU LL 00?
谐振时,与 相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的 Q倍。
LU? CU?
相量图：
I?
LU?
CU?
UUR
如 Q=100,U=220V,则在谐振时
2 2 0 0 0 V QUUU CL
所以电力系统应避免发生串联谐振。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
4,谐振曲线
(1) 串联电路的阻抗 频率特性阻抗随频率变化的关系。
22 1 CLRZ
Z0
RZ 0
Z0
LX
Z
0f
CX
LfX L?2?
fc
X C
2
1?
容性
)( 0
感性
)( 0
f
0
R
)(j CL XXRZ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 谐振曲线电流随频率变化的关系曲线。
)1-(
)(
22 CLR
U
Z
UI
Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。
0I?
Q大
Q小
0I
分析：
R
LQ 0?
谐振电流
R
UI?
0
电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力
——称为选择性。
f
0f
0
Z
IZ,
R0I
下一页总目录 章目录 返回 上一页通频带：
:0f 谐振频率上限截止频率:
2f
下限截止频率:
1f
Q大通频带宽度越小 (Q值越大 )，
选择性越好，抗干扰能力越强。
Q小
0
I
f
△?=?2－?1
当电流下降到 0.707Io时所对应的上下限频率之差，称 通频带 。 即：
00.707I
1f 2f
0I
0f
f?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
5.串联谐振应用举例接收机的输入电路
1L,接收天线
LC,组成谐振电路
1L
L C
电路图
321 eee,、
为来自 3个不同电台 (不同频率 )
的电动势信号；
调 C，对所需信号频率产生串联谐振
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
等效电路
+
-
Cu
QUU
II
C?
m a x0
最大则下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
已知：
16 ΩH0,3 m RL,
6 4 0 k H z1?f
解：
LC2 π
ff 110
2 0 4 p F100,3106 4 02
1
323
π
C
若要收听 节目,C 应配多大？
1e
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
+
-
Cu
LfπC 202
1?则：
结论,当 C 调到 204 pF 时，可收听到 的节目。
1e
(1)
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1：
Vμ21?E已知：
Ω1 2 0 02 1 LfπLωXX CL
Vμ1561 CC IXU
所需信号被放大了 78倍
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
+
-
Cu
信号在电路中产生的电流 有多大？在 C 上 产生的电压是多少？
1e(2)
已知电路在解,6 4 0 k H z
1?f
时产生谐振
Aμ0,1 316/1 EI
这时
78
2
156
1
C1
E
UQ
下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.10.3 并联谐振 1,谐振条件
LCωRCω
LωR
LωR
Cω
LωR
Cω
Z
2
j1
j
)j(
j
1
)j(
j
1
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 RLω0
)( LωCωLRCCRωLCω
Lω
Z 2
1j
1
j1
j
则：
下一页总目录 章目录 返回 上一页
1,谐振条件
01
0
0 LωCω：谐振条件
2,谐振频率或
LC
ff
2
1
0
可得出：
LC
ω 10?
）LωCωLRCCRωLCω
LωZ
2 1(j
1
j1
j
由：
3,并联谐振的特征
(1) 阻抗最大，呈电阻性
RC
LZ?
0
(当满足? 0L R时 )
下一页总目录 章目录 返回 上一页
I
0
0 Z
U
RC
L
UII
(2)恒压源供电 时，总 电流最小；
恒流源供电 时，电路的端电压最大。
0S ZIU?
Z
Z I,
0ω
0Z
0I
(3)支路电流与总电流 的关系
Lfπ
U
LfπR
UI
0
2
0
21 2)(2
当? 0LR时,
下一页总目录 章目录 返回 上一页
01 QIII C
U?
CI?
I?
1
1I?
支路电流是总电流的 Q倍? 电流 谐振相量图
CfπU
Cfπ
U
I 0
0
C 2
2
1
QR LR Lf 002
RC
L
U
CfU )2( 0?
0
0
0
)2(
ZU
CfU
I
I C
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2：
已知：
8 5 p F25 ΩHm250 CRL,、.
解：
r a d/s106,8 6
10850,2 5
11
6
150
LC
ω
OO ZQω,、
试求：
6 8,625 100,2 5106,8 6
36
0
R
LωQ
1 1 7 K Ω108525 100,2 5 - 1 2
3
0
RC
LZ
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3,电路如图：已知 R=10?,IC=1A,?1 =45?
（ 间的相位角）,?=50Hz、电路处于谐振状态。
1I,U
试计算 I,I1,U,L,C之值，并画相量图。
解,(1) 利用 相量图求解
U?I?
相量图如图,
1As i n 11 CC III 因为?由相量图可知 电路谐振，则：
1I?
45
A21,4 1 445s i n1 CII所以 A1 CII
RU?
LU?
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
CI?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
V20V2102221 LXRIU所以
Ω20
1
20
2
I
UX
C F159 μ2
1
Cπ fX
C所以
H0,0 3 1 8H
314
10
2
fπ
XL L
10 Ω451 R、又：
Ω10 RX L所以
(2) 用相量法求解
C1 III因为例 3：
设：
V0 UU? A901CI?则：
A901450 1 II所以下一页总目录 章目录 返回 上一页例 3：
解：
图示电路中 U=220V,
(1)当电源频率 1 0 0 0 r a d / s
1?ω
时,UR=0
试求电路的参数 L1和 L2
(2)当电源频率 2 0 0 0 r a d / s
2?ω
时,UR=U
F1 μ?C
Cω
Lω
1
11
1?故,
1HH1011000 11 622
1
1ωL所以
(1) 0?
RU因为 即,I=0
CL 1所以 并联电路产生谐振,
CR
LZ
1
1
0
即,
+
U?
- R
2L
I?
1L C
下一页总目录 章目录 返回 上一页试求电路的参数 L1和 L2
(2)当电源频率 2 0 0 0 r a d / s
2?ω
时,UR=U
(2)
U,U?R因为 所以电路产生串联谐振,
CL1
并联电路的等效阻抗为,
1-
j
)j(
j
1
)(j
j
1
1
2
2
12
12
2
12
2
1
CLω
Lω
Lω
Cω
Lω
Cω
Z
串联谐振时,阻抗 Z虚部为零,可得,
0,3 3 HH
11012000
1
1
1
62
1
2
2
2LCωL
)
1-
(jj
1
2
2
12
22122 CLω
LωLωRZLωRZ
总阻抗
+
U?
- R
2L
I?
1L C
下一页总目录 章目录 返回 上一页思考题,
接收网络
C
LR
SE? Nf
Sf
+
-NE?
+
-
滤波电路
(a)
(1)现要求在接收端消除噪声,问图 (a)LC并联电路应工作在什么频率下?
---信号源)(
sS ωE?
如图电路中,已知,
)( NN ωE? ---噪声源
(2)现要求工作信号到达接收端,问图 (b)LC串联电路应工作在什么频率下?
接收网络
CLR
SE? Nf
Sf
+
-NE?
+
-
(b)
滤波电路下一页总目录 章目录 返回 上一页
3.11 功率因数 的 提高
1.功率因数,对电源利用程度的衡量 。sco
U?
I?
Z
R
X?
jXRZ
+
U?
-
Z
I?
的 意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角
s i nUIQ?
1c o s 时,电路中发生能量互换,出现无功当功率 这样引起两个问题,
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(1) 电源设备的容量不能充分利用
AkV1 0 0 0NNN IUS
若用户,则电源可发出的有功功率为：1cos
若用户,则电源可发出的有功功率为：0,6cos
8 0 0 k v a rs i nNNIUQ而需提供的无功功率为,
6 0 0 k Wc o sNNIUP
所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用?cos
1 0 0 0 k Wco sNNIUP
无需提供的无功功率。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
（ 2）增加线路和发电机绕组的功率损耗
(费电 )
所以要求 提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。
设输电线和发电机绕组的电阻为,r
要求,(Ｐ、Ｕ 定值 )时?c o sIUP?
c o sU
PI?
rIP 2
所以 提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。cos
(导线截面积 )I S
2,功率因数 cos?低的原因日常生活中多为 感性负载 ---如电动机、日光灯，
其等效电路及相量关系如下图。
下一页总目录 章目录 返回 上一页
I?
U?
RU?
LU?
相量图
+
U?
-
R
LX
I?
+
RU?-
+
-LU?
感性等效电路 A0,1 8 2A
220
40
U
PI
40W220V白炽灯 1c o s例
c o sIUP?
A0,3 6 4A
0,52 2 0
40
co
sU
PI
40W220V日光灯 0,5c o s
供电局一般要求用户的否则受处罚 。 0,8 5c o s
cos?L?L I
下一页总目录 章目录 返回 上一页常用电路的功率因数纯电阻电路 0)(
R-L-C串联电路
)9090(
纯 电感电路或纯电容电路 )90(
电动机 空载电动机 满载日光灯
（ R-L串联电路）
1c o s
0,3~0,2c o s
0c o s
0co1s
0,9~0,7c o s
0,6~0,5c o s
下一页总目录 章目录 返回 上一页
(2) 提高功率因数的措施,
3.功率因数的 提高
1I?
CI?
I?
U
1?
必须保证 原负载的工作状态不变。 即：
加至负载上的电压和负载的有功功率不变。
在感性负载两端并电容
cos
I?cos
(1) 提高功率因数的原则：
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页结论 并联电容 C后：
(2) 原感性支路的工作状态不变,
1?cos 不变感性支路的 功率因数不变感性支路的电流
1I
(3) 电路总的有功功率不变
1I?
I?
U
1?
CI?
因为电路中电阻没有变，
所以消耗的功率也不变。
(1) 电路的总电流,电路总功率因数I?cos
电路总视在功率 S
下一页总目录 章目录 返回 上一页
4,并联电容值的计算相量图,
1I?
I?
U
1?
CI?
又由相量图可得：
s i ns i n 11 III C
CU ωI C?所以
11s i n?I
s i nI
CI?
即, s i ns i n
11 IICU ω
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
下一页总目录 章目录 返回 上一页
)t a n( t a n 12
Uω
PC
s i n
c o s
s i n
c o s 11 U
P
U
PCωU
思考题,
1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?
2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?
3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 1:
解,(1)
Fμ656F)t a n 1 8( t a n 5 3
220314
1010
2
3
C所以
（ 2）如将 从 0.95提高到 1，试问还需并多大的电容 C。
（ 1）如将功率因数提高到,需要并多大的电容 C,求并 C前后的线路的电流。
一感性负载,其功率 P=10kW,，
接在电压 U=220V,?=50Hz的电源上 。
0,6c o s
0,9 5c o s
cos
)t a n( t a n 12
Uω
PC
0,6c o s 即 53?
0,9 5cos 即 18?
下一页总目录 章目录 返回 上一页求并 C前后的线路电流并 C前,
A7 5,6A
0,6220
1010
co
3
1
1
sU
PI
Fμ2 1 3,6)Ft a n 0( t a n 1 8
220314
1010
2
3
C
可见,cos1时再继续提高，则所需电容值很大
（不经济），所以一般不必提高到 1。
A4 7,8A
0,9 52 2 0
1010
c o s
3
U
PI并 C后,
(2) 从 0.95提高到 1时所需增加的电容值
cos
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2:
解,(1)电源提供的电流为：
5 4,5 4 AA
0,52 2 0
106
c o s
3
U
PI
电源的额定电流为：
0,5c o s N
(1) 该电源供出的电流是否超过其额定电流？
已知电源 UN=220V,?=50Hz,SN=10kV?A向
PN=6kW,UN=220V,的感性负载供电，
(2) 如并联电容将 提高到 0.9，电源是否还有富裕的容量？
cos
4 5,4 5 AA
220
1010 3
N
N
N?
U
SI
下一页总目录 章目录 返回 上一页例 2:
NII?所以该电源供出的电流超过其额定电流。
（ 2）如将 提高到 0.9后，电源提供的电流为：?cos
3 0,3 AA
0,92 2 0
106
c o s
3
U
PI
NII?所以该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；
所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。
