一,描述磁场性质的物理量
)(B?
1.载流线圈的磁 矩
大小,
方向,??
?
ISP m ?
为 方向
mP? 0n?
0nISP m
?? ?
2,的定义 B?
大小,
m
m
P
MB ?
—— 磁感应强度
方向,试验线圈在平衡位置时的法线方向 ??
?
二、两个基本定律和两个重要定理
1.毕奥 --萨伐尔定律
2
00
4 r
rlI d
π
μBd ?
??
??
2.安培定律
BlIdFd ??? ??
1.磁场中的高斯定理
2.安培环路定理
0???S SdB ??
?? ?? IμldBL 0??
?
?
?
?
?
?
?q
FB m a x?
(2)补成闭合曲面
? ??? sm SdB ??
??? ?????? sss SdBSdBSdB 021 ??????
? ???? se SdB 0??
▲ 磁通量计算方法
(1)直接用公式
SdBm ?? ???
▲ 磁介质中的安培环路定理
?? ?? IldHL ?? )3(
0 )1( BB r
?? ??
顺磁质,μr 略大于 1
抗磁质,μr 略小于 1
铁磁质,μr ＞＞ 1
磁介质种类
?
?
B
H
?
?
)2(
补整个挖后 BBB
??? ??
电流元磁场分布
磁强迭加原理
(2) 用结论公式迭加
(4) 挖补法
(3) 安培环路定理
(1) 分割带电体直接积分法
?? ?? IμldBL 0??
三、计算磁感应强度 B的方法
)c o s( c o s
4 21
0 ???
?
??
a
IB
a
IB
?
??
2
0
（ 1） 直线电流沿长线上 0?B
?r
?
Bd?
x
o
I
l
lId
P
2?
1?
a
（ 2） 有限长直线电流
（ 3） 无限长直线电流
四、几种典型磁场的分布
1.直线电流
（ 1）圆形电流轴线上
2322
2
0
)(2 xR
IRB
?
??
（ 2）圆形电流圆心处
R
IB
2
0??
（ 3） 1/n圆弧圆心处
R
I
n
B
2
1 0??
2.圆形电流
（ 1）长直螺线管内部,nIB
0??
（ 2）环形螺线管内部,
nIB 0??
3.螺线管
4.无限长载流圆柱面
圆柱面内 0?B
圆柱面外
r
IB
?
??
2
0
5.无限长载流圆柱体
圆柱体内
r
R
IB
2
0
2 ?
??
圆柱体外
r
IB
?
??
2
0
6.运流电流的磁场
nqI ?
（电量为带电粒子作圆周运动）
qT1? q
?
??
2
1.磁场对电流导线的作用
BlIdfd ??? ??
?? s i nB I lf
五,磁场对电流的作用
（ 1）磁场对电流元的作用
（ 2）匀强磁场对直线电流的作用
（ 3）磁场对任意电流的作用 指一个电流在另外一个
电流所产生的磁场中所
受的作用力
(4) 电流与电流之间的相互作用
2.磁场对载流线圈的作用
?? s i nBPM m
方向一致与 BP m ?? ?
BPM m ??? ??
3.磁力、磁力矩的功
mIA ???
0?q
4.磁场对运动带电粒子的作用
（ 1） 洛仑兹力
方向一致与 Bvf ??? ?
0?q 方向相反与 Bvf ??? ?
Bvqf ??? ??
大小,
方向,
?? sinq vBf
（ 2）带电粒子在匀强磁场中的运动
R
vmq v B 2?
qB
mvR ?
① Bv ?? //
② Bv ??? qB
m
T
?
?
2
m
qB
?
??
2
匀速直线运动
匀速圆周运动
③ 角夹与 ?Bv ??
螺距 h,Tvh
//?
qB
mvR ??
qB
m
T
?
?
2
螺旋半径
螺旋周期
?v v
?
? B
//v
h
?? c o s// vv
??? s invv
螺旋运动
第九章 电流的磁场习题课
单元检测题 ---选择题
1、圆形线圈 ( 半径 a1 )与正方形线圈 ( 边长 a2 )载有相同电流 I，若
两线圈的中心处 O1 O2电磁感应强度相同，则 a1:a2为,
1:1)( A 1:2)( ?B 4:2)( ?C 8:2)( ?D
?1oB
?B
（ 1）
(2),
（ 2）
o1 a1
I
? ?
B?
(1),
一个边 在 o点的磁场,
I
o2
2a
1? 2?d解,
44 21
????? ???,?
2
0
2
2
a
IB
?
???
2
2ad ?
2
0
2
0 22
2
24
2 a
I
a
IB
o ?
?
?
? ???
8
2
2
1 ???
a
a
则正方形线框,
21 oo BB ?
1,D
1
0
2a
I?
)c o s( c o s4 210 ???? ?dI
2、如图：边长为 a 的正方形四个角上固定四个电荷均为 q 的点电
荷，此正方形以角速度 ω 绕 AC 轴旋转时，在中心 O 处产生
的磁感应强度 B1 ；以同样角速度绕过 O 点垂直正方形的轴旋
转时，在 O 点产生的磁感应强度大小为 B2,则 B1 与 B2 的关
系为,
21)( BBA ? 21 2)( BBB ?
2/)( 21 BBC ? 4/)( 21 BBD ? O
A
C
q q
q q
R1
?1I绕 AC 轴转,解,
2
2 aR ??
?
?
242 qI ?
2
1
2
1
I
I
B
B ??
R
IB
2
101 ???
2
1? 2,C
绕 o 轴转,
a
q
2
20 ?
??
?
R
IB
2
202 ???
a
q
22
24 0 ?
??
?
?
?
22q
3、无限长直圆柱体，半径为 R,沿轴向均匀流有电流。设圆柱
体内 ( r < R )的磁感应强度为 Bi,体外 ( r > R )的为 Be 则,
(A) Bi 与 r 成正比； Be 与 r 成正比
(B) Bi 与 r 成反比； Be 与 r 成正比
(C) Bi 与 r 成反比； Be 与 r 成反比
(D) Bi 与 r 成正比； Be 与 r 成反比
r < R
rRIB i 212 ??? r?
r > R r2 IB 0e ??? 1?
3,D
? ???L IldH ??
R
I
1?0?
r
?
?
?
解,?? IrH ?2
2
2
1
2 r
R
IrB i ?
?
?
?
?
?? IrB ?? 2
IrB e ??
?
2
0
r
4、边长为 L 的一个导体方框上通有电流 I,则磁框中心的磁感
应强度,(A)与 L 无关 (B)与正比于 L2 (C)与 L 成正比
(D) 与 L 成反比 (E) 与 I 2 有关
L
I
L
I
B
?
?
?
?
2
2
24
2 00
???
O ?L I
L
I22
L2
I24B 00
?
?
?
? ???
L
1? 4,D
解,
)co s( co s4 210 ???? ?? dIB
44 21
????? ???,?
2
Ld ?
5、电流由长直导线沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的圆
环，再由 b点沿半径方向从圆环流出，经长直导线返回电源,
已知直导线上电流强度为 I, ∠ aob=30°, 若长直导线 1,
2 和圆环在圆心 O 点产生的磁感应强度分别用 B1 B2 B3 表
示，则圆心 O点的磁感应强度大小为,
(A) B = 0，因为 B1= B2= B3= 0
(B) B=0,因为 B1≠0, B2≠0,
但 B1+B2 = 0, B3= 0
(C) B≠0，因为虽然 B3= 0,但 B1+B2≠0
(D) B≠0，因为 B3≠ 0, B1+B2 ≠ 0,
所以 B1+B2 +B3≠ 0
O ?
I1 l1
I2 l2
1
a
2
b ?30
21 UU ??
0??? B
2
110110
31 422 R
lI
R
l
R
IB
?
?
?
? ??
5,A
2
220220
32 422 R
lI
R
l
R
IB
?
?
?
? ??
方向相反。
3231 BB ??? 与
I1 l1
2211 lIlI ??
0B 3 ??
I2 l2
?O
?
1
a
2
b ?30
直导线在其延长线上的 B = 0 。 0B0B
21 ???,
解,
6、一载直流电流 I 的细导线分别均匀密绕在半径为 R 和 r 的长
直圆筒上形成两个螺线管 ( R=2r )，两螺线管单位长度上的匝
数相等，则两螺线管中的磁感应强度大小 BR 和 Br 应满足,
rR BBB ?)(rR BBA 2)( ? rR BBC ?2)( rR BBD 4)( ?
6,B
长直螺线管中的磁场,
nIB ??
rR BB ??
n?
相等,
B与管径无关
I I
rB RB
解,
7、无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的园，当通以电流 I 时,
则园心 O 点的磁感应强度大小等于,
)11(2)( 0 ?? ?R IC 0)( DRIB 4)( 0?RIA 2)( 0?
长直电流的磁场,
R2
IB 0
1 ?
??
垂直纸面向外。
R
O
I
解,
7,C
垂直纸面向里。
R2
IB 0
2
??圆电流在 O点的磁场,
取向里方向为正方向,
)11(R2 IBBB 012O ?? ????
8、电流由长直导线 1 沿平行 bc 边方向经过 a 点流入一电阻均
匀分布的正三角形线框，再由 b 点沿 cb 方向流出，经长直
导线 2返回电源，已知直导线上的电流为 I,三角框的每一边
长为 l，若载流导线 1,2 和三角框在三角形中心 O 点产生的
磁感应强度分别用 B1 B2 B3 表示，则 O 点的磁感应强度
大小为,
(A) B=0，因为 B1= B2= B3= 0
(B) B=0,因为
B1+B2 = 0, B3= 0
(C) B ≠ 0，因为虽然
B1+B2 = 0,但 B3 ≠ 0
(D) B ≠ 0，因为 B3= 0,但 B1+B2≠ 0
1
2
I
I
a
b
c
O
3
1I 2I
8,D
)c o s( c o s4 210 ???? ?? aIB
0B1 ? 0B2 ?
方向相同，垂直纸面向里。
1
2
I
I
a
b
c
O
3
1I 2I
I32I 1 ? I31I 2 ?
)]c o s ([ c o s 66a4 IB 10ab ????? ???
方向垂直纸面向外。
)]co s ([ co s 66a4 I2B 20a cb ????? ????
方向垂直纸面向里。
0BBB a c bab3 ???
0BB 21 ??
0BBBB O21 ????
解,
9、两根载有相同电流的无限长直导线，如图，分别通过 x1=1,
x2=3 的点且平行于 y 轴，则磁感应强度 B 等于零的地方是,
(A) x = 2 (B) 在 x > 2 的区域
(C) 在 x < 1 的区域 (D) 不在 x,y 平面上
9,A
2?x x
y
o 1 2 3
1I 2Ir
IB
?
?
2
0??
? ?各磁场方向如图。
经分析,
0?? B?
解,
10、取一闭合积分回路 L,使三根载流导线穿过它所围成的面,
现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则,
10,B
1I
2I
3I
321 IIII ????
不变。
L上的 B 改变。
(A) 回路 L内的 ∑I 不变,L上各点的 B不变
(B) 回路 L内的 ∑I 不变,L上各点的 B变
(C) 回路 L内的 ∑I 改变,L上各点的 B不变
(D) 回路 L内的 ∑I 改变,L上各点的 B变
解,
11、两根直导线 ab 和 cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等
的铁环上，稳恒电流 I 从 a 端流入，从 d 端流出，则磁感
应强度 B 沿图中闭合回路 L 的积分
???L ldB ??
ID 032)( ?IC 0
4
1)( ?IB
03
1)( ?IA 0)( ?
根据安培环路定律,
??? ? 内IldHL ??
IldB
L 3
2
0???? ?
??
11,D
0?
BH
??
?
I
120°
L
a
b
c d
?120
解,
d
da
a
IB ?ln
2)(
0
?
?
)(2)(
0
da
IA
??
?
a
da
d
IC ?ln
2)(
0
?
?
)2(2)(
0
da
ID
??
?
12、一无限长扁平铜片，宽度为 a,厚度不计，电流 I 在铜片上
均匀分布，在铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为 b 处的 P
点的磁感应强度 B 的大小为,
12,B
建坐标系 板分为许多无限长直导线
draIdI ?导线宽度为 dr 通电流
解,
r
dIdB
?
??
2
0
ar
Id r
?
??
2
0
?? ? bab arId rB ??2 0
b
ba
a
I ?
? ln
2
0
?
?
a
r 0 r
I
P b
dr
13、半径为 R 的单匝园线圈，通以电流 I,若将该导线弯成匝数
N = 2 的平面园线圈，导线的长度不变，并通以同样的电流,
则线圈中心的磁感应强度和线圈磁矩分别是原来的,
(A) 4倍和 1/ 8 (B) 4倍和 1/ 2 (C) 2倍和 1/ 4 (D) 2倍和 1/ 2
o
R
o
r
RIB 2 00 ??
2/Rr ? 2?N
r
INB
2
0??
N I SP m ?
20 RIP m ??
2
2RI?
?
22 rI?? 222 )/R(I ??
)/R(
I
22
2 0??
04B?
2
0mP? 13,B
解,
14、三条无限长直导线等距地并排安放，电流如图，单位长度上
分别受力 F1 F2 F3,则 F1 与 F2 比值为,
8
7)( C
4
5)( D
8
5)( B
16
7)( A
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
a a
Ⅱ, Ⅲ 在 Ⅰ 处的磁感应强度,
)a(
I
a
IB
222
3020
1 ?
?
?
? ??
a?
? 0
4
7?
Ⅰ, Ⅲ 在 Ⅱ 处的磁感应强度,
a
I
a
IB
?
?
?
?
22
3010
2 ??? a?
?0?
2
1
F
F
22
11
BI
BI?
8
7? 14,C
解,
1A 2A 3A
15、匀强磁场中一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁
场的作用下，线圈发生转动，其方向是,
(A) ab 边转入纸内,cd 边转出纸外
(B) ab 边转入纸外,cd 边转出纸内
(C) ad 边转入纸内,bc 边转出纸外
(D) ad 边转入纸外,bc 边转出纸内
B?
a
b
d
c
? mP?
BPM m ???? ??
? ab 边转入纸内,
cd 边转入纸外。
15,A
解,
BPM m ??? ??
1、两个半径为 R 的相同的金属环在 a b 两点接触（ ab 连线为
环的直径），并相互垂直放置，电流 I 由 a 端流入 b
端流出，则环心 O点的磁感应强度大小为 _______。
单元检测题 ---填空题
将两个圆环分为四个半圆环,解,
每个半圆环在圆点的磁感应强度均为,
R
IB
22
1 10??
两两方向相反。
0??? B
Ia
b
4
I
o
R
I
16
0??R
I
2
4
2
1 0?
?
将圆环分为两个半圆环,
0?? 环B?
两长直导线沿长线上磁感应强度强为,
021 ?? BB ??
021 ???? BBBB ???? 环
产生磁
感应强度大小相等，方向相反。
a o b
?
I①
②
③ 解,
2、电流由长直导线 1 沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的
圆环，再由 b 点沿半径方向流出，经长直导线 2 返回电源,
已知直线上的电流为 I,圆环的半径为 R,且 a b 和圆心 O
在同一直线上，则 O 处的磁感应强度大小为 _______。
3、如图两条相互垂直的无限长直导线，流过的电流强度 I1=3A
和 I2 = 4A 的电流，在距离两导线皆为 d = 20cm 处的 A点
处的磁感应强度 ____________。
d
IB
?
?
2
10
1 ?
导线均为无限长,
d
IB
?
?
2
20
2 ? 21 BB
?? ?且
)T(BBB 62221 105 ?????
解,
1B
?
2B
?1I 2I
A
d
d
4、真空中一载流导线形状如图，电流 I,则圆心 O 点处的
磁感应强度 B 的值为 ___________。
a①,②两半无限长直导线在其
沿长线上的磁感应强度为,
021 ?? BB ??
圆环半环 BBB O 2
1???
解,
① ②
③
将该导线分成三部分,
4a
I0??
5、在宽度为 d 的导体片上有电流 I 沿此导体长度方向流过，电
流在导体宽度方向均匀分布，导体表面中线附近处的磁感应
强度的大小为 ___________。
I d
a
b c
d
ldBdab c,??? ?边 ld//Bcdb,a ??边
?? ? ?????? cdab ldHldHldH ??????
d
IabI ???
d
IHB
2
00 ?? ???
解,
iL IldH ????
??
由
Hab2 ??
d
IH
2??
6、一细螺绕环由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米 10
匝，但导线中的电流为 2.0A 时，测得铁环内的磁感应强度大
密绕细螺绕环内磁感应强度为,
nInIB r??? 0??
398
0.210104
0.1
37 ????? ??
解,
nI
B
r
0?
? ?
R o
I
小 B 为 1.0T 则可求得铁环的相对磁导率 μr 为 _________。
已知：真空中磁导率 A/mT104 7
0 ??? ???
7、在匀强磁场 B 中，取一 半径为 R 的圆，圆面的法线 n 与 B
成 600 角，如图所示。则通过以该圆周为边线的任意曲面 S
的电通量 _____________。
? ??? sm SdB ???
S
0S
?60
n? R
B?
以 S0 和 S 构成一闭合曲面, 'S
? ?'S SdB ??
?60c o s0BS?? BR 2
2
1 ???
解,
0
0
????? ?? SS SdBSdB ????
m???? ????
SS SdBSdB
????
0
m?
8、一电流元 Idl 在磁场中某处沿 +x 方向放置时不受力，把此
电流元转到沿 +y 方向放置时受到的安培力指向 +z 方向,
则该电流元所在处 B 的方向为 ____________。
解,(1),若电流元沿 x 轴正方向放置不受力,
0??? BlIdf ???
B? 方向有两种可能,
与 x 轴同向；
与 x 轴反向。 ???
(2),若电流元沿 y 轴正方向放置受力方
向为 z 轴正向,
B? 方向必与 x 轴反向。
x
y
z
o
LId ?B?
LId ?
9、无限长直载流导线与一个无限长薄电流板构成闭合回路，电
流板宽为 a,二者相距为 a（导线与板在同一平面内），则
导线与电流板间单位长度内的作用力大小为 ____________。
I
a a
Ir
dr
解,在板内取小条，如图。则单位长度受
力为,
r2
I1dIdf 0
?
????
2a2 I
20
ln???
drr2 Ir2 IdraIf
a2
a
2
00a2
a ??
?? ????
r
Idr
a
Idf
?
?
21
0???
解,
h
B?
R
?
????
//?
?
e
m
R
mBe
2
?
? ?
???
eB
mR ??? ?
eB
m ?? s i n?
?? Th //?
eB
m2 ??? co s?
10、电子质量为 m 电量为 e,以速度 飞入磁感应强度为 B
的匀强磁场中,与 B 的夹角为,电子作螺旋运动,
螺旋线的螺距 h = ____________,半径 R = ________。
?
? ?
??
??? R2co s
eB
m??? 2c o s?
m
e B R
R?
??
2
c o s?
11、质量为 m 电量为 q 的粒子具有动能 E,垂直磁力线方向飞
入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，当该粒子越出磁场时，运
动恰与进入时的方向相反，那么沿粒子飞入的方向上磁场的
最小宽度 L = ____________。
解,粒子在磁场中作圆周运动,
RmBq
2?
? ?
qB
mR ??
2
2
1 ?mE ?
qB
mE
RL
2
??
R
o
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
B?
L
q
m
?
E
mEm 2??
m
P
m
mE
22
)( 22 ?? ?mm2 )(
2?
?
12、电子在磁感应强度 B ＝ 0.1T 的匀强磁场中沿圆周运动，电
子运动形成的等效元电流强度 I ＝ ______。
（电子电量 e ＝ 1.6× 10-19 C,电子质量 m ＝ 9.11× 10-31 kg ）
R
o
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
B?
e?
??
?
?
?
?
??
?
m
解,电子在磁场中作圆周运动，则,
RmBe
2?
? ? eBmR ???
eB
mT ?2?
m
Be
T
eI
?2
1 2???? )(1048.4 10 A???
13、有两个竖直放置彼此绝缘的环形刚性线圈（它们的直径几
乎相等），可以绕它们的共同直径转动，把它们放在互相
垂直的位置上，若给它们通以电流，则它们转动的最后状
态是 _____________。
1I
2I
两个载流线圈转动的最后状
态是 两线圈的磁矩方向平行 (同向 )。
因为线圈在磁场中转动的
趋势是,
BP m ?? ?
2mP
?
?
1mP
?
解,
?
解,
Rl2NIN I SP m ??
BPM mm ??? ?? ?s i nBPM mm ?
?s i nm g RM G ?
平衡,
Gm MM ?
?? s i nR l B2NIs i nm g R ?
N l B2
mgI ?
I
R
?
?
B?
gm?
mP
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14、在粗糙斜面上放有一长为 l 的木制圆柱，已知圆柱质量为 m,
其上绕有 N 匝导线，圆柱体的轴线位于导线回路平面内，整
个装置处于磁感应强度大小为 B 方向竖直向上的均匀磁场中,
如果绕组的平面与斜面平行，则当通过回路的电流 I ＝ ___时,
圆柱体可以稳定在斜面上不滚动。