第二讲 线性子空间 一、线性子空间的定义及其性质 定义：设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件 如果x、yV1，则x＋yV1； 如果xV1，kK，则kxV1， 则称V1是V的一个线性子空间或子空间。 性质：（1）线性子空间V1与线性空间V享有共同的零元素； （2）V1中元素的负元素仍在V1中。 [证明]（1）0   V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。 （2） （－1）x=(－x) 封闭性  V1中元素的负元素仍在V1中 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和V本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4. 生成子空间：设x1、x2、···、xm为V中的元素，它们的所有线性组合的集合  也是V的线性子空间，称为由x1、x2、···、xm生（张）成的子空间，记为L(x1、x2、···、xm)或者Span(x1、x2、···、xm)。 若x1、x2、···、xm线性无关，则 dim{L(x1、x2、···、xm)}=m 5. 基扩定理：设V1是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间，x1、x2、···、xm是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基；换言之，在Vn中必可找到n-m个元素xm+1、xm+2、···、xn，使得x1、x2、···、xn成为Vn的一个基。这n-m个元素必不在V1中。 二、子空间的交与和 1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，则   分别称为V1和V2的交与和。 2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个子空间，则，V1＋V2均为V的子空间 [证明]（1）         是V的一个线性子空间。 （2）           是V的子空间。 维数公式：若V1、V2是线性空间V的子空间，则有 dim(V1+V2)+ dim(V1V2)= dimV1+ dimV2 [证明] 设dimV1=n1, dimV2=n2, dim(V1V2)=m 需要证明dim(V1+V2)＝n1＋n2－m 设x1、x2、···、xm是V1V2的一个基，根据基扩定理 存在1）y1、y2、···、yn1－mV1，使x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成为V1的一个基； 2）z1、z2、···、zn2－mV2，使x1、x2、···、xm、z1、z2、···、zn2－m 成为V2的一个基； 考察x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m、z1、z2、···、zn2－m， 若能证明它为V1+V2的一个基，则有dim(V1+V2)＝n1＋n2－m。 成为基的两个条件： 它可以线性表示V1+V2中的任意元素 线性无关 显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k1、k2、···、km、p1、p2、···、pn1－m、q1、q2、···、qn2－m使  令，则 但 根据基扩定理  ， x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成为V1的一个基  同理：  这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V1+V2的一个基。  dim(V1+V2)＝n1＋n2－m 三、子空间的直和 1. 定义：设V1、V2是线性空间V的子空间，若其和空间V1+V2中的任一元素只能唯一的表示为V1的一个元素与V2的一个元素之和，即，存在唯一的、，使，则称为V1与V2的直和，记为 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 ， 反映的是两个子空间的关系特殊。 2. 定理：如下四种表述等价 （1）成为直和 （2） （3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 （4）x1、x2、···、xs为V1的基，y1、y2、···、yt为V2的基，则x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt为的基 [证明]（2）和（3）的等价性显然 采用循环证法：（1）（2）（4）（1） （1）（2）：已知＝ 假定且，则  ，，，， 说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即 （2）（4）：已知 成为基的两个条件： 可以线性表示V1+V2中的任意元素 2）线性无关 、，存在如下坐标表示式    可表示V1+V2中的任一元素， x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt可表示V1+V2中的任意元素。 假设x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt线性相关，即存在不全为0的 使 ＝0 而    ＝－y   ＝0  同理 这与其线性相关性矛盾，x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt线性无关  x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt可作为的基 （4）（1）：已知（4）成立 在x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt这组基下 存在唯一的坐标使 x＝    成为直和 作业：P25－26，11、12、13