第九讲 矩阵微分方程 一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵的每一个元素是变量t的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为  由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） （2） （3） （4） (A与t无关) 此处仅对加以证明 证：  又 矩阵积分定义：若矩阵的每个元素都是区间上的可积函数，则称A(t)在区间上可积，并定义A(t)在上的积分为  矩阵积分性质 （1） （2） （3） 阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组  式中t是自变量，是t的一元函数是常系数。 令 ， 则原方程组变成如下矩阵方程  其解为    对该解求导，可以验证  且t＝0时， 表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确 例：求解微分方程组， 初始条件为 解：，   求出A的特征多项式，，    定义待定系数的多项式  解方程      一阶线性非齐次常系数常微分方程组  令 方程组化为矩阵方程  采用常数变易法求解之；齐次方程的解为，可设非齐次方程的解为， 代入方程，得：     由积分性质(3)可验证c(t)是解。 加上初始条件，有  说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理， 如：  令，则可得  一般地，n阶常微分方程可以化为n个一阶常微分方程组成的方程组。 作业：p170-171 5、9 p177 3、4