第十二讲 满秩分解与奇异值分解 一、矩阵的满秩分解 1. 定义：设，若存在矩阵及，使得 ，则称其为的一个满秩分解。 说明：（1）为列满秩矩阵，即列数等于秩；为行满秩矩阵，即行数等于秩。 （2）满秩分解不唯一。（阶可逆方阵），则 ，且 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解 证：采用构造性证明方法。设，则存在初等变换矩阵， 使 ， 其中 将写成，并把分块成，其中  是满秩分解。 3. Hermite标准形（行阶梯标准形） 设，且满足 的前行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后行的元素全为零（称为零行）； 若中第行的第一个非零元素（即1）在第列，则 ; 矩阵的第列，第列，…,第列合起来恰为阶单位方阵的前列（即列上除了前述的1外全为0）则称为Hermite标准形。 例1  为Hermite标准形  也是Hermite标准形 4. 满秩分解的一种求法 设， 采用行初等变换将化成Hermite标准形，其矩阵形式为，其中为Hermite标准形定义中给出的形状； 选取置换矩阵 的第列为，即该列向量除第个元素为1外，其余元素全为零； 其它列只需确保为置换矩阵即可（的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；  用右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第列 令，即 （3）令的前行，则 证明：，则，，已知，但，当然可以通过求出再将分块得到，但这样就没必要采用Hermite标准形形式，注意到，则 证毕 例1 求其满秩分解 解：（1）首先求出的秩。显然，前两列互相独立，而第三行可由第一行减去第二行得到，故。 (2)进行初等变换将化为Hermite标准型。    ， 即 , , (3)求出及 由可见，故， 验证： 而 二、酉对角分解与奇异值分解 1. 厄米矩阵的谱分解  为厄米矩阵，则存在酉矩阵，使  将写成列向量形式，即，则  2. 非奇异矩阵的酉对角分解 定理：设为阶非奇异矩阵，则存在阶酉矩阵及，使得   （若将写成 ，则） 证：也为阶非奇异矩阵，而且是厄米，正定矩阵，故存在阶酉矩阵，使  为的特征值。 令 ，则  令，则  即也是酉矩阵，而且 证毕 酉对角分解的求法正如证明中所给：先对对角化（酉对角化），求出变换矩阵，再令即可。 3. 一般矩阵的奇异值分解 定理：设，则存在阶酉矩阵及阶酉矩阵，使  即  证：首先考虑。因为，故， 而且是厄米，半正定的，存在阶酉矩阵，使  令，  则     令则，又 在的基础上构造酉矩阵，即 这由前面基扩充定理可知是可行的，从而有  故  其中已知  而    故定理得证。 奇异值分解的求法可按证明步骤求之。 作业： P225 1(2), 2, 5 P233 1