第十三讲 Penrose 广义逆矩阵(I) 一、Penrose 广义逆矩阵的定义及存在性 所谓广义，即推广了原有概念或结果。我们知道，逆矩阵概念是针对非奇异的（或称为满秩的）方阵。故这一概念可推广到：（1）奇异方阵；（2）非方矩阵。事实上， Penrose广义逆矩阵涵盖了两种情况。 对于满秩方阵A, A存在，且AA＝AA＝I 故，当然有   这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose广义逆的启示。 Penrose定义：设AC，若ZC且使如下四个等式成立， AZA = A, ZAZ = Z, (AZ) = AZ , (ZA) = ZA 则称Z为A的Moore-Penrose(广义)逆，记为，A。 而上述四个等式有依次称为Penrose方程（i）,(ii) ,(iii) ,(iv)。 Moore-Penrose逆的存在性和唯一性 定理：任给AC，A均存在且唯一。 证明：存在性.  AC，均存在酉矩阵UC，VC使 UAV = D =即 A = UDV 其中，是AA的全部非零特征值。 此时，令Z＝VU C 则 ＝     即， 其中,  唯一性：设Z ,Y均满足四个Penrose方程，则 即，满足四个Penrose方程的Z是唯一的. 该证明实际上给出了Moore-Penrose逆的一种构造方法。由的唯一性可知：(1)当A 为满秩方阵时，; (2) 实际上还是一个限制相当严格，狭窄的量，可考虑更加放宽。 {}-逆的定义：，若且满足Penrose方程中的第个方程，则称Z为A 的-逆，记为，其全体记为。-逆共有类，但实 际上常用的为如下5类：A{1}, A{1,2}, A{1,3}, A{1,4}, A{1,2,3,4}＝ 二、{1}-逆的性质 引理：  证明：矩阵的秩＝行秩＝列秩. 将   （1）设,则必存在 成为线性无关的向量组。所以，其它列向量可表示为:   可见AB 的各列向量均为的线性组合。亦即  (2) 同理。设,则必存在 成为线性无关的向量组。所以，其它列向量可表示为:   可见，AB的各行向量均为的线性组合，故  合起来即  定理：设, 则 (1)  (2)  (3) S、T为可逆方阵且与A可乘，则  (4) ( (5)  () (6)  (7)   (8)  证明：(1)  (2) 时，，.显然成立.  时， (3)  (4)  (5)  又  同理， (6) ,  同理 又法：将写成 均为m维列向量，则  即  故     同理 又法： 又  故  在中，将换为，换为,则有  (7) 以 为例.   即为m阶满秩可逆方阵,存在。 又 幂等： , 乘以 ，得  (8)      即，使  故  对   又，  即，，使 . 故  定理：矩阵A当且仅当A 为满秩方阵时具有唯一的{1}逆，此时  作业：P306 3，4，5