第七讲 矩阵级数与矩阵函数 一、 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列, 其中, 且当时, 则称收敛, 并把叫做的极限, 或称收敛于A. 记为 或 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设、分别收敛于A、B, 则 (1)  (2)  (3) ，若，存在 (4)  3 收敛矩阵: 设A为方阵,且当时, 则称A为收敛矩阵. [定理] 方阵A为收敛矩阵的充要条件是A的所有特征值的模值均小于1. 证明: 对任何方阵A,均存在可逆矩阵P, 使得  其中J为A的Jordan标准形 ,    就等价于, 等价于, 而这只有才可能也必能. [得证] 二、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列的无穷和叫做矩阵级数, 而称为其部分和, 若矩阵序列收敛,且有极限S, 则称该级数收敛,且有极限S. 记为  不收敛的级数必为发散的. 若矩阵级数的所有元素均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛. 2. 绝对收敛矩阵的性质 绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和. (2) 绝对收敛,则也绝对收敛且等于 (3) , 均绝对收敛,且和分别为，则  三、 方阵的幂级数 A为方阵, ，称为A的幂级数. 称为A的Neumann级数. 1. Neumann级数收敛的充要条件 [定理] Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵,且在收敛时其和为. 证明: [必要性] 级数收敛, 其元素为  显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故 ，即 也就是说A为收敛矩阵. [充分性]: A为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A的特征值为, 的特征值为. 则由  可见 故, 的行列式不为零,存在. 而 右乘得  当时, , 故. 所以  即Neumann级数收敛于. 2. 收敛圆 [定理] 若矩阵A的特征值全部落在幂级数的收敛圆内, 则矩阵幂级数是绝对收敛的. 反之, 若A存在落在的收敛圆外的特征值, 则是发散的. 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A, 均收敛. 四、 矩阵函数 如: , sinA, cosA 以矩阵为自变量的” 函数”(实际上是”函矩阵”) 我们知道,    均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A    均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质]       但是一般来说, , 三者互不相等. 例如 , , 则       可见 , , ,  所以,  ,  [定理] 若, 则 [证明]:      同理, 有 [推论] , 总存在逆阵 五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley定理 n阶矩阵A是其特征多项式的零点, 即令  则 [证明]: 设A的特征值为, 则又可写成  由Schur引理知, 存在酉矩阵U, 使得  相似矩阵具有相同的特征多项式 所以    即 2.零化多项式 多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A的零化多项式。 由以上定理可知，方阵A的特征多项式为A的零化多项式。 3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例: 已知四阶矩阵的特征值是、、 0、 0, 求sinA、 cosA、 解:  故       作业 P163 3, 4, 5