第八讲 矩阵函数的求法 一、利用Jordan标准形求矩阵函数。 对于矩阵的多项式，我们曾导出，：多项式   实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。 1. 定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J ， 有非奇异矩阵P使得： 对于函数f(z)，若下列函数   均有意义，则称矩阵函数f(A)有意义，且  2. 矩阵函数的求法（步骤）：  求出A的Jordan标准形及变换矩阵P，  对于J的各Jordan块求出，即计算出  并按照顺序构成，   合成  矩阵乘积给出 需要说明的是，计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。 例1 （教材P176例3-8）. ,求 [解] 1求出J及P  2 求出并构成：  f(1)=1,  3 合成 4 求， 说明： （1）， 可见这样的确与构成反函数； （2）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以 为例，以我们这里的定义，，但 亦满足，即B也可以看作某种 二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设n阶方阵A的不变因子反向依次为 ，由它们给出的初等因子分别为 ；； 由于，故 1必定出现在中； 2若则 根据上述定理，A的最小多项式  A的最小多项式为其零化多项式， 即  令，则可见可以由线性表示，从而亦可由线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式，根据以上论述，适当选择系数，就可以使f(A)=g(A). 又，假设J,P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵： 则 ， f(J)=g(J)    由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于的线性方程组。且方程的个数为等于未知数个数，正好可以确定 由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。 1 求出最小多项式 ； （或者特征多项式） 2 形式上写出待定多项式  （或者） 3求解关于的线性方程组   （或者） 4求出g(A)，即可得f(A)=g(A). 从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的零化多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。 例2. 采用新方法计算的函数 。（） [解] 1 ； 2 3方程组为       4 ，   与Jordan标准形方法完全一致。 作业： P163 6