第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为 Tx＝y 称y为x在变换T下的象，x为y的原象。 若变化T还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,yV, k,lK 称T为线性变换。 [例1] 二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 [证明]      可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换  ，k，l      T是线性变换。 [例2] 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间，其基可选为，微分算子是上的一个线性变换。 [证明] 显然对而言是变换， 要证明满足线性变换的条件 ，k，l   是上的线性变换。 2. 性质 线性变换把零元素仍变为零元素 负元素的象为原来元素的象的负元素 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) （1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0 （2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx) （3）元素组线性相关，即存在一组不全为零的数 使  则   线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。 3. 线性变换的运算 恒等变换： 零变换： 变换的相等：、是的两个线性变换，，均有，则称＝ 线性变换的和+：， 线性变换的数乘：， 负变换： 线性变换的乘积：， 逆变换：，若存在线性变换使得，则称为的逆变换＝ 线性变换的多项式： ，并规定   需要说明的是： 1）也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵； 2）对应的矩阵表示为零矩阵； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。 二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设是线性空间的一个线性变换，且是的一个基，n，存在唯一的坐标表示 ＝    因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。   对于任意元素，在该基下，变换后的坐标表示为  同时  对比可知： ＝ 即：   定义：把称为在基下的矩阵。 定理：设是的一个基，、在该基下的矩阵分别为、。则有 （1） （2） （3） （4） 推论1. 设为纯量t的m次多项式，为线性空间的一个线性变换，且在的基下的矩阵为，则  其中  推论2. 设线性变换在的基下的矩阵为，元素在该基下的坐标为，则在该基下的坐标满足 ＝ 3.相似矩阵 设在的两个基及的矩阵分别为和，且＝，则  即和为相似矩阵。 [证明]      即 定理：阶方阵和相似的充要条件是和为同一线性变换在不同基下的矩阵。 [证明] 必要性：已知和相似，即存在可逆矩阵使 选取一个基，定义 考虑可作为基，且     和为同一线性变换在不同基下的矩阵。 充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 三、线性变换及矩阵的值域和核 定义：设是线性空间的线性变换，称 为的值域； 称为的核。 和均为的子空间。 设为阶矩阵，称 为矩阵的值域； 为的核。 、称为的秩和零度； 、称为的秩和零度。 定理：（1） （2） （3），为的列数。 若是线性变换的矩阵，则 =，= 作业：P77－78，1、26、7