数字基带之
—— 奈奎斯特准则
前提,
数字基带波形很多，但基本波形是用幅度（有无、正
负）来表示数字信息。以此为基础来研究基带脉冲特性
一、基带波形系统
1．系统模型
发端
滤波器
传输
信道
+
接受
滤波器
识别
电路
{a
n
} {a
n
}
n(t)
2．畸变影响
（ 1）信道特性引起的 信号畸变
（ 2）加性噪声引起的 随机畸变
3．识别电路组成
作用,
排除噪声干扰、提取有用信号
系统要求,
良好的同步（位、群同步）
限幅器
抽样
判决器
（ 1）限幅整形器,
整理为, 近似方波,
（把低于门限的变为 0、高于门限的变为电脉冲）
（ 2）抽样判决器,
比较器（比较抽样值和门限值）
获得再生的基带信号
4．系统分析
发端
滤波器
传输
信道
+
接受
滤波器
识别
电路
{a n } {a n }
n(t)
（ 1）输入端
决定，冲击串强度由基带信号,n
n
sn anTtatd ?
?
???
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?
?
???
??
n
sTn nTtgatS )()(
经过发端滤波器：
（ 2）接收端
滤波器输出
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???
???
n
RsRn tnnTtgatr )()()(
?
?
?
?
?
通过滤波器后的噪声为加性噪声
通过带通后的信号为
其中
)()(
)()(
tntn
tgtg
R
TR
发端
滤波器
传输
信道
+
接受
滤波器
识别
电路
{a n } {a n }
n(t)
识别电路（抽样判决）时
个时刻的信号第 k
为可能的时偏,00 )( ttkTr s ?
? ?????
n
sRssRn tkTnnTtkTga )()( 00
)(])[()( 000 tkTntTnkgatga sR
kn sRnRk
?????? ?
?
其中,为第 k个接受时刻抽样取值，其他的应该控制 )( 0tga Rk
?? ??kn sRn tTnkga ])[( 0是 k以外的波形和，为 码间串扰
)( 0tkTn sR ? 为加性噪声
码间串扰的示意图 - 1 0 -5 0 5 10
- 0, 5
0
0, 5
1
典型码元波形
- 1 0 -5 0 5 10
0
0, 5
1
抽样脉冲
卷积
抽样判决
二、波形传输无失真条件
1．基带传输系统框图
信息源
基带码
型编码
波形
形成
传输
信道
接受
滤波器
再生
判决
码型
译码
定时
噪
声
G( ω )
C( ω )
R( ω )
S( ω )
??
???
?
n
sn nTta )(? ?
?
???
?
n
sn nTtga )(
信息源
基带码
型编码
波形
形成
传输
信道
接受
滤波器
再生
判决
码型
译码
定时
噪
声
G( ω )
C( ω )
R( ω )
S( ω )
由框图,
单个脉冲不失真的条件,
)()()()( ???? RCGS ???判决前的信号：
?
?
?
??
???
）（在带外等于，
）（在带内等于，
不失真，则
0||0|)(|
)(|||)()(|
)(
c
c
G
kGkRC
S
???
?????
?
注意,
1、对于数字基带信号不必整个波形都研究，只需研究 特定时
刻 波形如何无失真传输（因为抽样判决）
2、奈奎斯特研究了三种情况 ——即 奈奎斯特三准则
2．奈奎斯特第一准则
——抽样值无失真 内容,
信号经过传输后整个波形发生了变化，但只要其 特
定 的 抽样值 保持不变，则再次抽样后仍可恢复原始信码。
（ 1）抽样无失真的充要条件
即：仅在本码元的抽样时刻上有最大值，而对其他码元的
抽样时刻信号值无影响，说明抽样电不存在码间串扰
典型波形,
波形特点及分析
1、波形特点
t=0时,S(t)为 S0，而 t=kT(k≠0) 处 S(t)=0
∴S(KT)= S 0δ(t)
2、分析
由傅立叶变换
? ???? ??? ? deSts tj)(2 1)(
? ?? ?
???
?
?
?
?? ??? n
Tn
Tn
kTjkTj ndneSdeSkTs /)12(
/)12( 2)(2
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00
????? 展开的系数是在由此可见
所以，无失真的 充要条件 是
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n
n
TTT
n
S
TT
TS
T
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，虚部，
，实部，
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0)]
2
(I m [
)]
2
(R e [
0
总结,充要条件的物理含义
从波形形成到接受输出的传递函数 S(ω)的实部在 ω轴上以
2π/T为间隔切开,
沿 ω轴平移到 （ -π /T,π /T）区间内叠加，结果为 S0T；虚
部为 0
例
奈奎斯特第一准则的应用,
搬移即求系统的 等效带宽 （ -π /T,π /T）内的传递函数，所以
判断系统是否无失真，只需要判断等效带宽内的频谱
（ 2）具有最窄频带的无串扰波形
若
?
?
?
?
?
?
?
T
TS
TS
?
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?
?
?
||
||0
)(
0,
〉，
为相位恒为 0的理想低通，对应 Sa(x)波形
定义
1、其最小频带为 0~1/2T,
把 1/2T称为 奈奎斯特带宽
把 T称为 奈奎斯特间隔
2、频带利用率 =单位带宽上的码元传输率 =等效带宽下的速率 /
实际速率
（ 3）升余弦滚降信号
1、原因：理想特性无法达到 ——传递函数有陡峭的过渡带
（如理想 P.F.）
2、解决：实际使用以 π/T为中心的具有奇对称升余弦形
状过渡带，即为 升余弦滚降信号
注意：滚降是频谱过渡特性不是信号特性
数学表达式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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T
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T
a
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T
a
T
a
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2
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0
0
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，
，
，
例
a为滚降系数,0≤ a≤ 1，一般取 a≥ 0.2
奈奎斯特第一准则的应用
假设数字基带系统具有如图的三角传输函数
1、求系统接受滤波器的输出基本脉冲的时间表达式
2、基带信号的传码率 RB=ω0/π时，能否实现无码间窜扰传输
1
)(?H
0
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0
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0
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把 H(w)在 [-wo,wo]上分段叠加
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i
o
s O th e rT
iH
0
||||12
0
?????? 不满足条件，有窜扰
设基带传输系统的总特性为 H(ω)，要求以 2/T的速率进行
数据传输，以下各种 H(ω)能否满足抽样点上无码间串扰的
条件？
H( ω )
ω
-2 π /T 2 π /T
H( ω )
ω
-2 π /T 2 π /T
H( ω )
ω
-3 π /T 3 π /T
H( ω )
ω
-4 π /T 4 π /T
升余弦
(1) (2)
(3) (4)
(1)能
(2)不 能
(3)不能
(4)能
例
为传送码元速率 RB=103Baud的数字基带信号，试问采用图
中何种传输特性较好？
)( ?H
1
??3104 ??3102 ??3102 ???3104 ?? 0
a
b
c
RB=103Baud其最小的带宽要求,
(-0.5 × 103,0.5× 103)Hz
(1)a的带宽
B=2× 103Hz
频带利用率 =RB/B=0.5Baud/Hz
(2)b的带宽
B=1× 103Hz
频带利用率 =RB/B=1Baud/Hz
(3)c的带宽
B=1× 103Hz
频带利用率 =RB/B=1Baud/Hz
从频带利用率考虑,
选 a,c
从其冲激响应
a:Sa(x)型
c:Sa2(x)型
c的收敛快于 a,所以选 c
3.奈奎斯特第二准则
——转换点无失真
（ 1）转换点的含义
在恢复信码时，可采用：用一定电平对接受波形 限
幅,可以再生矩形波
其中，限幅电平为抽样值的 1/2
转换点,判决信号幅度是否等于限幅电平的时刻
（ 2）第二准则
为避免串扰，在其它转换点处不应该等于或超出限幅电平
数学描述,
为归一化后的限幅电平为码元间隔，为接收波形，
，
，
2/1)(
1,0
2
1
1,00
)]12(
2
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k
k
k
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2
()1(I m [)(
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2
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虚部：
实部：
，再用级数展开，得到
物理含义
传递函数 S(w)的实部和虚部以 2π /T切开，乘上符号因子
平移到（ -π /T,π /T）区间叠加
n)1(?
4．奈奎斯特第三准则
——脉冲波形面积保持不变
如果一个码元间隔内 接收波形 面积 正
比 于 发送矩形脉冲 幅度
而其它码元间隔的发送脉冲在此码元
间隔内面积为 0
则可以无失真恢复原始信码。
—— 奈奎斯特准则
前提,
数字基带波形很多，但基本波形是用幅度（有无、正
负）来表示数字信息。以此为基础来研究基带脉冲特性
一、基带波形系统
1．系统模型
发端
滤波器
传输
信道
+
接受
滤波器
识别
电路
{a
n
} {a
n
}
n(t)
2．畸变影响
（ 1）信道特性引起的 信号畸变
（ 2）加性噪声引起的 随机畸变
3．识别电路组成
作用,
排除噪声干扰、提取有用信号
系统要求,
良好的同步（位、群同步）
限幅器
抽样
判决器
（ 1）限幅整形器,
整理为, 近似方波,
（把低于门限的变为 0、高于门限的变为电脉冲）
（ 2）抽样判决器,
比较器（比较抽样值和门限值）
获得再生的基带信号
4．系统分析
发端
滤波器
传输
信道
+
接受
滤波器
识别
电路
{a n } {a n }
n(t)
（ 1）输入端
决定，冲击串强度由基带信号,n
n
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经过发端滤波器：
（ 2）接收端
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通过滤波器后的噪声为加性噪声
通过带通后的信号为
其中
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发端
滤波器
传输
信道
+
接受
滤波器
识别
电路
{a n } {a n }
n(t)
识别电路（抽样判决）时
个时刻的信号第 k
为可能的时偏,00 )( ttkTr s ?
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)(])[()( 000 tkTntTnkgatga sR
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其中,为第 k个接受时刻抽样取值，其他的应该控制 )( 0tga Rk
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)( 0tkTn sR ? 为加性噪声
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- 0, 5
0
0, 5
1
典型码元波形
- 1 0 -5 0 5 10
0
0, 5
1
抽样脉冲
卷积
抽样判决
二、波形传输无失真条件
1．基带传输系统框图
信息源
基带码
型编码
波形
形成
传输
信道
接受
滤波器
再生
判决
码型
译码
定时
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信息源
基带码
型编码
波形
形成
传输
信道
接受
滤波器
再生
判决
码型
译码
定时
噪
声
G( ω )
C( ω )
R( ω )
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由框图,
单个脉冲不失真的条件,
)()()()( ???? RCGS ???判决前的信号：
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不失真，则
0||0|)(|
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注意,
1、对于数字基带信号不必整个波形都研究，只需研究 特定时
刻 波形如何无失真传输（因为抽样判决）
2、奈奎斯特研究了三种情况 ——即 奈奎斯特三准则
2．奈奎斯特第一准则
——抽样值无失真 内容,
信号经过传输后整个波形发生了变化，但只要其 特
定 的 抽样值 保持不变，则再次抽样后仍可恢复原始信码。
（ 1）抽样无失真的充要条件
即：仅在本码元的抽样时刻上有最大值，而对其他码元的
抽样时刻信号值无影响，说明抽样电不存在码间串扰
典型波形,
波形特点及分析
1、波形特点
t=0时,S(t)为 S0，而 t=kT(k≠0) 处 S(t)=0
∴S(KT)= S 0δ(t)
2、分析
由傅立叶变换
? ???? ??? ? deSts tj)(2 1)(
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????? 展开的系数是在由此可见
所以，无失真的 充要条件 是
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总结,充要条件的物理含义
从波形形成到接受输出的传递函数 S(ω)的实部在 ω轴上以
2π/T为间隔切开,
沿 ω轴平移到 （ -π /T,π /T）区间内叠加，结果为 S0T；虚
部为 0
例
奈奎斯特第一准则的应用,
搬移即求系统的 等效带宽 （ -π /T,π /T）内的传递函数，所以
判断系统是否无失真，只需要判断等效带宽内的频谱
（ 2）具有最窄频带的无串扰波形
若
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为相位恒为 0的理想低通，对应 Sa(x)波形
定义
1、其最小频带为 0~1/2T,
把 1/2T称为 奈奎斯特带宽
把 T称为 奈奎斯特间隔
2、频带利用率 =单位带宽上的码元传输率 =等效带宽下的速率 /
实际速率
（ 3）升余弦滚降信号
1、原因：理想特性无法达到 ——传递函数有陡峭的过渡带
（如理想 P.F.）
2、解决：实际使用以 π/T为中心的具有奇对称升余弦形
状过渡带，即为 升余弦滚降信号
注意：滚降是频谱过渡特性不是信号特性
数学表达式
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例
a为滚降系数,0≤ a≤ 1，一般取 a≥ 0.2
奈奎斯特第一准则的应用
假设数字基带系统具有如图的三角传输函数
1、求系统接受滤波器的输出基本脉冲的时间表达式
2、基带信号的传码率 RB=ω0/π时，能否实现无码间窜扰传输
1
)(?H
0
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0?
???
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把 H(w)在 [-wo,wo]上分段叠加
?
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0
||||12
0
?????? 不满足条件，有窜扰
设基带传输系统的总特性为 H(ω)，要求以 2/T的速率进行
数据传输，以下各种 H(ω)能否满足抽样点上无码间串扰的
条件？
H( ω )
ω
-2 π /T 2 π /T
H( ω )
ω
-2 π /T 2 π /T
H( ω )
ω
-3 π /T 3 π /T
H( ω )
ω
-4 π /T 4 π /T
升余弦
(1) (2)
(3) (4)
(1)能
(2)不 能
(3)不能
(4)能
例
为传送码元速率 RB=103Baud的数字基带信号，试问采用图
中何种传输特性较好？
)( ?H
1
??3104 ??3102 ??3102 ???3104 ?? 0
a
b
c
RB=103Baud其最小的带宽要求,
(-0.5 × 103,0.5× 103)Hz
(1)a的带宽
B=2× 103Hz
频带利用率 =RB/B=0.5Baud/Hz
(2)b的带宽
B=1× 103Hz
频带利用率 =RB/B=1Baud/Hz
(3)c的带宽
B=1× 103Hz
频带利用率 =RB/B=1Baud/Hz
从频带利用率考虑,
选 a,c
从其冲激响应
a:Sa(x)型
c:Sa2(x)型
c的收敛快于 a,所以选 c
3.奈奎斯特第二准则
——转换点无失真
（ 1）转换点的含义
在恢复信码时，可采用：用一定电平对接受波形 限
幅,可以再生矩形波
其中，限幅电平为抽样值的 1/2
转换点,判决信号幅度是否等于限幅电平的时刻
（ 2）第二准则
为避免串扰，在其它转换点处不应该等于或超出限幅电平
数学描述,
为归一化后的限幅电平为码元间隔，为接收波形，
，
，
2/1)(
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虚部：
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，再用级数展开，得到
物理含义
传递函数 S(w)的实部和虚部以 2π /T切开，乘上符号因子
平移到（ -π /T,π /T）区间叠加
n)1(?
4．奈奎斯特第三准则
——脉冲波形面积保持不变
如果一个码元间隔内 接收波形 面积 正
比 于 发送矩形脉冲 幅度
而其它码元间隔的发送脉冲在此码元
间隔内面积为 0
则可以无失真恢复原始信码。
