第五章 库存管理
Inventory Management
第 1节 引言
1.1 企业物流
供
应
商
订货
接
收
用
户
1 2 3 N …
原材料
在制品
成品
用
户
用
户
分销中心
分销中心
1.2 库存的含义
1、库存
一般地说,库存是指暂时闲置的用于将来目的的资源, 如, 原材料、半
成品、成品、机器、人才、技术等等
2,库存的种类 (Types of Inventory)
· 原材料和外购件库存 (Raw Materials and purchased parts)
· 半成品库存及在制品库存 (Partially completed goods (work
in process) or goods in transit)
· 成品库存 (Finished goods inventory (manufacturing firms)
or merchandise (retail stores)）
· 备品、备件、工具、工艺装备库存 (Replacement parts,
tools,and supplies)
1.3 库存的功用与弊端
1、库存的功用
– 快速满足用户期望，缩短交货期
– 稳定生产需求，消除零件在生产 -分销间的影响
– 防止发生缺货
– 防止价格上涨,或争取数量折扣
– 保证生产与运作的正常进行
2、库存的弊端
– 占用大量资金
– 增加企业费用支出
– 腐烂变质的损失
– 麻痹管理人员的思想
1.4 库存控制的目标 (Objectives of Inventory
Control)
以上介绍了库存的功能，但注意这只是从其有利
的一面说的。为了保证企业正常经营活动，库存是必
要的，但同时库存又占用了大量的资金。怎样即保证
经营活动的正常进行，又使流动资金的占用达到最小，
是管理人员关注的问题。库存控制的目标就是防止超
储和缺货。
第 2节 库存控制问题分类
2.1 单周期与多周期库存
单周期库存：库存物品不能重复订货
多周期库存：库存物品可以重复订货
2.2 独立需求与相关需求库存
独立需求库存：库存管理对象是具有独立需求
属性的物品
相关需求库存：库存管理对象是具有相关需求
属性的物品
2.3 确定型与随机型库存
确定型库存：库存问题的参数是确定的
随机型库存：库存问题的参数是随机变量
2.4 ABC分类
A类,数量占库存物资总数的
10%、金额占库存总金额的 70%左
右的物资
B类, 数量占库存物资总数的 20%、
金额占库存总金额的 20%左右的物
资
C类,数量占库存物资总数的
70%、金额占库存总金额的 10%左
右的物资
品种累计 %
金额累计 %
100
90
70
0
10 30 100
2.5 库存控制系统
库存量
时间
提前期
订货点
发出订货 订货到达
订货量
定量订货控制系统 (Perpetual inventory system)
订货间隔期
库存量
时间
订货量 目标库存量
定期订货控制系统 (Periodic inventory system)
第 3节 经济订货（生产）批量
3.1 基本经济订货批量问题
订货批量是指消耗一次订货费用一次采购某种产品的数量。
经济订货批量 (Economic Order Quantity,简称 EOQ)，就是按照
库存总费用最小的原则确定出的订货批量,这种确定订货批量
的方法就称为经济订货批量法,
基本经济订货批量问题是库存管理中最简单、但却是最重
要的一个内容，它揭示了许多库存决策方面的本质。
1,基本经济订货批量问题是在以下假设进行讨论的,
1）、需求是已知的常数，即需求是均匀的；
2）、不允许发生缺货；
3）、订货提前期是已知的，且为常数；
4）、交货提前期为零，即瞬时交货；
5）、产品成本不随批量而变化（没有数量折扣）。
2、库存费用分析
存储费用 (Holding cost or carrying cost)
物品存放在库房里引起的费用。如物品资金占用的利息、保
管员的工资福利、库房租金、保险费、水电费等等。
设,C----单位产品成本（价格），元 /件
D----年需求量； Q----每次订货批量； H-----单位产品年存
储费用（元 /件．年）,H=C*h,式中 h为资金费用率（元 /元．年）
LT
Q
RL
(1/2)Q
?
年维持费用 = 1
2
1
2Q C h Q H? ? ? ?
订货费用 (Ordering cost)
除用到上述符号外，再设,S-----每次订货费用（元），则年
订费用为,
年订货费用 = D
Q S?
总费用 (Total cost)TC
1
2 Q C h
D
Q S C D? ? ? ? ? ?
年总费用 =
求得最优解,
总费用
存储费用
订货费用
经济批量
Q DSCh DSH* ? ?2 2
在年总需要量一定的情况下，订货批量越小，平均库存量越低，但发生的
订货次数越多。如果能大幅度降低订货费用，就可以大大降低订货批量，
这可以加快库存资金周转，很有利于提高企业效益。
3.2 经济生产批量的确定 —— 非瞬时到货的经济批量
(EOQ with Non-instantaneous Replenishment)
设,p----生产率（件 /天）
u----需求率（件 /天）
tp----用于生产的时间（天）
LT
Q
RL (1/2)Q1
p-u
u
p Q1
0 tp
例, 戴安公司是生产氧气瓶的专业厂。该厂年工作日为
220天，市场对氧气瓶的需求率为 50瓶 /天。氧气瓶的生
产率为 200瓶 /天，年库存成本为 1元 /瓶，设备调整费用
为 35元 /次。求,?经济生产批量 (EPQ)； ?每年生产次
数； ?最大库存水平； ?一个周期内的生产时间和纯消
耗时间的长度。
1
2
p u
p Q C h
D
Q S C D
? ? ? ? ? ? ?
Q D SpCh p u* ( )? ?2
年总费用 =
求得最优解,
解：已知,S=35元 /次,p=200瓶 /天,r=50瓶 /天,H=C*I=1元 /瓶,年,
年需求量 D=50× 220 =11000 瓶
? 经济生产批量 (EPQ),
Q D S pC I p r* ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 11000 35 2001 200 50 1013
? 每年生产次数
n = （ D/ Q*） =（ 11000/1013） = 10.86 ? 11
? 最大库存水平 Qmax
Qmax = Q*(p-r)/p = 1013× (200-50)/200 = 759.75 ? 760 瓶
? 生产时间 tp 和纯消耗时间 ( t - tp )
tp = Q*/p = 1013/200 = 5.065 天
t - tp = (Q*/r)-(Q*/p) = 1013/50 - 1013/200 = 20.56 - 5.065 = 15.02 天
3.3 有数量折扣的经济订货批量的确定 (EOQ with
Quantity Discounts)
数量 单价
0-499 5.00元 /件
499-999 4.50元 /件
1000以上 3.90元 /件
商家为了促销，往往提
出数量折扣优惠，即采
购批量达到一定数量，
可以给予价格折扣。经
济订货批量的确定就要
考虑这个问题。
有数量折扣的经济订货批量问题，要从总费用最低出
发进行综合平衡。
总费用可分为两种情况,
TC1
TC3
TC2
EOQ
存储费用为常数的情况下，所
有的总费用曲线都具有相同的
EOQ
TC1
TC2
TC3
EOQ1 EOQ2 EOQ3
存储费用与单位价格成正比例的情
况下，存储费用随价格下降而降低，
而 EOQ有所增加
1、对于存储费用为常数的情况
计算共同的 EOQ
如果该 EOQ落在价格最低的曲线上，就是最优解；如果落
在其他任何曲线上，计算 EOQ的总费用和价格最低折扣点
上的总费用，比较后去最低者，即为最优解
2,对于存储费用与单位价格成比例的情况
首先从价格最低的开始，计算 EOQ，直到找到可行的 EOQ,
如果按最低价格计算的 EOQ是可行的，它就是最优解；如
果 EOQ不在最低价格区域内，则将可行的 EOQ总费用与更
低价格的折扣点总费用进行比较，去总费用最低的作为经
济批量的最优解。
3.4 随机型库存订货问题
为了保证不缺货,在考虑需求率和提前期是随机变化的情况
下,一般设置一个安全库存 SS。
通常,假设提前期不变,需求率是随机的,则订货点 ROP,
SS
安全库存
提前期内
期望需求
率
提前期内最
大需求率 Q
ROP
R O P d LT z LT d? ? ?? ( )?
第 4节 经济订货间隔期
4.1 经济订货间隔期
订货间隔期, 相邻两次订货的时间间隔,
经济订货间隔期, 总费用最低的订货间隔期,
4.2 经济订货间隔期的确定
设, m-----年订货次数,
T-----订货间隔期,T=1/m
其余符号同前
TC
EOI
1
2
1
2
1D
m C h m S C D T D C h T S C D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
总费用 =
d TC
dT D C h T S? ? ? ? ? ?
1
2
1 0
2令,
T SD C h* ? ? ?2得到,
第 5节 (Q,r)库存控制模型
5.1 (Q,r)基本模型中的库存量和时间的关系
Q
r
时间
库存
量
? 假设 1：有一与补充库存相关的调整 (订货 )成本
? 假设 2：全年补充库存的订货次数是有限的
5.2 模型
MIN{调整费用 +持有库存的费用 +缺货费用 }
Q,r
r-?+Q
r
r-?
D----每年的期望需求量,
L----补充库存的提前期,假设为常数,
X---提前期内的需求量 (随机变量 ),
A----每次补充库存的费用,
h----年单位产品库存持有费用,
r----再订货点,
Q----补充库存的数量,
b----单位缺货成本,
?----补货提前期内的期望需求,?=E[X],
G(x)----P(X?x) 的补充库存提前期内需求量的累计分布函数,G可以是
连续的,也可以是离散的,
g(x)----累计分布函数 G是连续的情况下,提前期内需求量的概率密度
函数,
p(x)---- P(X=x),G是离散的情况下,提前期内需求量的概率密集函数,
调整费用
AQD
持有库存的费用
)
2
(
222
)(
?
?
??
?????
??
?
r
Q
h
r
Q
s
QssQ
持有库存费用
平均库存
缺货费用计算,
? ?
)(
)(
)()()(
:
rx
xr x 0
rn
Q
D
b
rn
Q
D
dxxgrxrn
rx
r
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
缺货成本
于是
每年缺货数的期望值为
数的期望值为在每一个周期内的缺货
如果
需求量是补充库存提前期内的如果
缺货数
)()21(),( rnQDbrQhAQDrQY ????? ?
我们希望确定 Q和 r的数量，使得总费用 Y(Q,r)达到最小。总费用
应该包括调整 /采购费用、库存维护费用、缺货损失费用。
则有总费用,
5.3 最优解
令,
0
)(),(
0)(
2
),(
22
?
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
r
rn
Q
D
bh
r
rQY
rn
Q
D
b
h
A
Q
D
Q
rQY
bD
hQ
rG
h
rbnAD
Q
??
?
?
1)(
))((2
解方程，得
求解 (Q,r)问题的算法
Step 0 令,和 r0的值满足,hDAQ /20 ?
h
rbnADQ t
t
))((2 1???
.1
1)( 0
?
??
t
bD
hQrG
令
Step 2 如果 |Qt-Qt-1|<1,|rt-rt-1|<1,停止并令 Q*= Qt,r*= rt。否则，令
t=t+1,返回 Step1。
同时计算 rt,使 r的值满足
bD
hQrG t?? 1)(
Step 1 计算,
例：某公司经理知道，历史数据显示某一种零件的年需求量为 D=14
件，单价为 150元 /件，费用率是 10%，则单位零件年存储费用 h=15元。
补充一次库存需要 45天，故订货提前期内的平均需求量为,
(14/365)?45=1.726件
每补充一次库存的采购费用 A=10元。最后是缺货费用，虽然无人知
道其准确数字，但经理认为，缺少该零件使机器停产的损失较大，所以
他取 b=40元。设模型服从 Poisson分布，为此要计算 G(r)和 n(r)，见下表。
取 ?＝ 1.726
r p(r) G(r) n(r)
0 0.1780 0.1780 1.7260
1 0.3072 0.4852 0.9040
2 0.2651 0.7503 0.3892
3 0.1525 0.9029 0.1396
4 0.0658 0.9687 0.0424
5 0.0227 0.9914 0.0111
Step 0, 用 EOQ算法计算 Q0,
432.415 14102/20 ?????? hDAQ
因 Poisson分布是离散的,要将 r 和 Qt取为整数,所以要找出最小的 r值,
8 93.0
1440
415
11)(
:,0
1)(
0 ?
?
?
????
??
bD
hQ
rG
rS t e p
bD
hQ
rG t
我们有最小的在
由上表可查出,满足条件的最小的 r=3,于是取 r0=3,进入下一步,
Step 1, 首先计算 Q1,
5393.515 )14.04010(142))((2 01 ????????? h rbnADQ
然后再计算 r1满足最小的 r值,
866.01440 51511)( 1 ??????? bDhQrG
由上表可查出,满足条件的最小的 r=3,于是取 r1=3,再进入下一步,
补充库存提前期内的平均需求量是 1.726,安全库存就是,
3-1.726=1.274
3,5 ** ?? rQ
Step 2, r值从 Step 0到 Step1没有变化,因为 r1用来计算 Q2,很清楚 Q2 = Q1,
r2= r1,因此计算可以停止, 最优解为,
第 6节 确定型非均匀需求经济订货批量
? 以上所讨论的都是均匀需求库存管理中的订货批量问题。然而，
在现实生产中遇到更多的是非均匀需求问题，即需求率随时间的
变化而改变，如果这些需求是已知的并且是确定的，就是确定型
非均匀需求。
? 如下表所示,
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
需求量
(箱 )
10
62
12
130
154
129
88
52
124
160
238
41
由于需求率随时间而变，因此不能简单地象处理 EOQ模型那样，按平均
成本和库存量来解决非均匀需求的订货批量问题，增加了解决订货批量问
题复杂性。
Wagner-Whitin算法
? 国内外的许多学者在这个问题上进行了卓有成效地研究，其中美国的
Wagner-Whitin提出的方法 (简称 WW法 )最具有代表性，为解决非均匀需
求问题提供了一个新思路。
? 设,(r1,r2,……rn)------n个时段的需求量； (y1,y2,……yn)------n个时段的
订货量； xt=?( yt- rt)------时段 t的期末库存量； h(xt)----- 时段 t上的库存保
管费用； c(yt)----- 时段 t上的订货费用； F(t)----- 时段 t上的总费用。则
WW法的目标就可以表示为, ? ?m in ( ) ( )
., ( ),,,,.,,,
,
c y h x
s t x y r x x t n
t t t t
t
n
t j j
j
t
t
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
1
1
00 0 1 2
WW法的最优订货策略：当满足下式时，在时段 t发生一次批量为 yt?
的订货，即
yt? xt-1=0 t=1,2,......,n
因为 yt不为 0，否则没有订货量，这就意味着只有 xt-1=0，且 yt>0,即
当时段 t的期初库存为零时，才在第 t期发生订货。
例：一公司全年 12个月对某产品的需求如下表所示。已知订货费用是每
次 S=54元,I=0.02元 /元 ?月,该产品的单位成本是 C=20元 /箱。求经济订货
批量策略。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
需求量
(箱 )
10
62
12
130
154
129
88
52
124
160
238
41
解, 设,F(t)----- 时段 t上的总费用；期初库存等于零；本期消
耗掉的库存不计算库存保管费用。
本例中，假定 1月份的期初库存等于零，本月需要 10箱的
货物，首先在 1月初订购 10箱产品，则 1月份的总费用 F(1)
只与订货费用有关，即
F(1)=0+S=54元
满足 2月份需求的方案有两种,
方案 1,1月初订 10箱,1月份用完； 2月初订 62箱,2月份
用完；
方案 2,1月初订 72箱（ 1月份的 10箱和 2月的 62箱）。
方案 1的总费用 C1=F(1)+S=54+54=108 元
方案 2的总费用 C2=54+62× 0.02× 20× 1=78.60 元
因为 C2 <C1，所以，最佳选择应是方案 2，即一次订购满足
1-2月份的需求量，此时 F(2)=78.60元。
满足到 3月底需求的方案有三种,
方案 1,2月底 3月初订 12箱,3月份用完；
方案 2,2月初订 74箱（ 2月份的 62箱,3月的 12箱）；
方案 3,1月初订 84箱（ 1月份的 10箱,2月的 62箱和 3月份的
12箱）。
方案 1的总费用 C1=F(2)+S=78.60+54=132.60 元
方案 2的总费用 C2=54+54+(12× 0.02× 20× 1)=112.80 元
方案 3的总费用 C3=54+(62× 0.02× 20× 1)+(12× 0.02× 20× 2)=88.40 元
因为 C3 <C2 <C1，所以，最佳选择应是方案 3，即一次订购满
足 1-3月份的需求量，此时的 F(3)=88.40 元
余下的月份按上述过程一一计算出来。
WW法求出的最佳订货批量策略
月份 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
总计
期初库存 0
74
12
0
0
129
0
52
0
0
0
41
-
订货量 84
-
-
130
283
-
140
-
124
160
279
-
1200
需求量 10
62
12
130
154
129
88
52
124
160
238
41
1200
期末库存 74
12
0
0
129
0
52
0
0
0
41
0
308
订货量
需求率
数量
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
总订货费用 =7× 54=378.00 元
总库存保管费用 =308箱 /月 × 20元 /箱 × 0.02元 /元 /月 =123.20 元
总费用 =378.00+123.20 = 501.20 元
第 7节 单周期库存订货批量的确定
7.1 单周期库存问题
前面已介绍了单周期库存问题的基本含义。作为一种库存类
型，单周期库存在生产和经营中也占有重要地位，尤其是对
某些服务型企业来说，掌握单周期库存的控制理论是十分重
要的。
7.2 单周期库存问题的经济订货批量
单周期库存问题决策一般侧重于定货批量，因为它本身是不
可重复进货的，所以就没有订货时间决策问题。
单周期库存决策也是以费用作为主要考虑内容。
设,Co-------单位产品超储成本，即进货但没有卖出去的损失
Cu-------单位产品缺货成本，应该进货但没有进货而丧失
的赚钱机会的损失，是一个机会损失的概念
D-----预计要订货的数量
P(D)-----需求量大于等于 D的概率,P(D)是一个累计概率,
单周期库存问题通常采用边际分析法解决。
考虑：如果增加一个产品定货能使期望收益大于期望成本,
那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货,
所以,当增加到第 D个产品时,如果下式成立,
P D C P D Cu o( ) ( ( ))? ? ? ?1
从满足需要的最小可能订货量开始,随着订货量的
增加,P(D)便随之下降。在某一点上,P(D)可以使上式
两个期望值相等,将此时的 P(D)记为 P*(D),并称之为
临界概率, P D C P D C
P D
C
C C
u o
o
u o
* *
*
( ) ( ( ))
( )
? ? ? ?
?
?
1
例, 某产品单位售价为 100元,单位进货成本为 70元,每一个
没有卖出去的产品只能按每件 30元处理掉, 已知市场的需求量
大致在 35到 40件之间, 35件肯定能卖出,超过 40件肯定卖不出
去, 需求概率分布见下表,求最佳定货批量,
需求量
概率
P(D)
35 36
37
38
39
40
41
0.10
0.15
0.25
0.25
0.15
0.10
0.00
1.00
0.90
0.75
0.50
0.25
0.10
0.00
解, 首先,计算 Co(单位产品超储成本 ),Cu(单位产品缺货成
本 )
Cu =100-70=30 元
Co =70-30=40 元
其次,计算临界概率
P D CC Co
u o
* ( ),?
? ? ? ?
30
30 40 0 57
最优解
Inventory Management
第 1节 引言
1.1 企业物流
供
应
商
订货
接
收
用
户
1 2 3 N …
原材料
在制品
成品
用
户
用
户
分销中心
分销中心
1.2 库存的含义
1、库存
一般地说,库存是指暂时闲置的用于将来目的的资源, 如, 原材料、半
成品、成品、机器、人才、技术等等
2,库存的种类 (Types of Inventory)
· 原材料和外购件库存 (Raw Materials and purchased parts)
· 半成品库存及在制品库存 (Partially completed goods (work
in process) or goods in transit)
· 成品库存 (Finished goods inventory (manufacturing firms)
or merchandise (retail stores)）
· 备品、备件、工具、工艺装备库存 (Replacement parts,
tools,and supplies)
1.3 库存的功用与弊端
1、库存的功用
– 快速满足用户期望，缩短交货期
– 稳定生产需求，消除零件在生产 -分销间的影响
– 防止发生缺货
– 防止价格上涨,或争取数量折扣
– 保证生产与运作的正常进行
2、库存的弊端
– 占用大量资金
– 增加企业费用支出
– 腐烂变质的损失
– 麻痹管理人员的思想
1.4 库存控制的目标 (Objectives of Inventory
Control)
以上介绍了库存的功能，但注意这只是从其有利
的一面说的。为了保证企业正常经营活动，库存是必
要的，但同时库存又占用了大量的资金。怎样即保证
经营活动的正常进行，又使流动资金的占用达到最小，
是管理人员关注的问题。库存控制的目标就是防止超
储和缺货。
第 2节 库存控制问题分类
2.1 单周期与多周期库存
单周期库存：库存物品不能重复订货
多周期库存：库存物品可以重复订货
2.2 独立需求与相关需求库存
独立需求库存：库存管理对象是具有独立需求
属性的物品
相关需求库存：库存管理对象是具有相关需求
属性的物品
2.3 确定型与随机型库存
确定型库存：库存问题的参数是确定的
随机型库存：库存问题的参数是随机变量
2.4 ABC分类
A类,数量占库存物资总数的
10%、金额占库存总金额的 70%左
右的物资
B类, 数量占库存物资总数的 20%、
金额占库存总金额的 20%左右的物
资
C类,数量占库存物资总数的
70%、金额占库存总金额的 10%左
右的物资
品种累计 %
金额累计 %
100
90
70
0
10 30 100
2.5 库存控制系统
库存量
时间
提前期
订货点
发出订货 订货到达
订货量
定量订货控制系统 (Perpetual inventory system)
订货间隔期
库存量
时间
订货量 目标库存量
定期订货控制系统 (Periodic inventory system)
第 3节 经济订货（生产）批量
3.1 基本经济订货批量问题
订货批量是指消耗一次订货费用一次采购某种产品的数量。
经济订货批量 (Economic Order Quantity,简称 EOQ)，就是按照
库存总费用最小的原则确定出的订货批量,这种确定订货批量
的方法就称为经济订货批量法,
基本经济订货批量问题是库存管理中最简单、但却是最重
要的一个内容，它揭示了许多库存决策方面的本质。
1,基本经济订货批量问题是在以下假设进行讨论的,
1）、需求是已知的常数，即需求是均匀的；
2）、不允许发生缺货；
3）、订货提前期是已知的，且为常数；
4）、交货提前期为零，即瞬时交货；
5）、产品成本不随批量而变化（没有数量折扣）。
2、库存费用分析
存储费用 (Holding cost or carrying cost)
物品存放在库房里引起的费用。如物品资金占用的利息、保
管员的工资福利、库房租金、保险费、水电费等等。
设,C----单位产品成本（价格），元 /件
D----年需求量； Q----每次订货批量； H-----单位产品年存
储费用（元 /件．年）,H=C*h,式中 h为资金费用率（元 /元．年）
LT
Q
RL
(1/2)Q
?
年维持费用 = 1
2
1
2Q C h Q H? ? ? ?
订货费用 (Ordering cost)
除用到上述符号外，再设,S-----每次订货费用（元），则年
订费用为,
年订货费用 = D
Q S?
总费用 (Total cost)TC
1
2 Q C h
D
Q S C D? ? ? ? ? ?
年总费用 =
求得最优解,
总费用
存储费用
订货费用
经济批量
Q DSCh DSH* ? ?2 2
在年总需要量一定的情况下，订货批量越小，平均库存量越低，但发生的
订货次数越多。如果能大幅度降低订货费用，就可以大大降低订货批量，
这可以加快库存资金周转，很有利于提高企业效益。
3.2 经济生产批量的确定 —— 非瞬时到货的经济批量
(EOQ with Non-instantaneous Replenishment)
设,p----生产率（件 /天）
u----需求率（件 /天）
tp----用于生产的时间（天）
LT
Q
RL (1/2)Q1
p-u
u
p Q1
0 tp
例, 戴安公司是生产氧气瓶的专业厂。该厂年工作日为
220天，市场对氧气瓶的需求率为 50瓶 /天。氧气瓶的生
产率为 200瓶 /天，年库存成本为 1元 /瓶，设备调整费用
为 35元 /次。求,?经济生产批量 (EPQ)； ?每年生产次
数； ?最大库存水平； ?一个周期内的生产时间和纯消
耗时间的长度。
1
2
p u
p Q C h
D
Q S C D
? ? ? ? ? ? ?
Q D SpCh p u* ( )? ?2
年总费用 =
求得最优解,
解：已知,S=35元 /次,p=200瓶 /天,r=50瓶 /天,H=C*I=1元 /瓶,年,
年需求量 D=50× 220 =11000 瓶
? 经济生产批量 (EPQ),
Q D S pC I p r* ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 11000 35 2001 200 50 1013
? 每年生产次数
n = （ D/ Q*） =（ 11000/1013） = 10.86 ? 11
? 最大库存水平 Qmax
Qmax = Q*(p-r)/p = 1013× (200-50)/200 = 759.75 ? 760 瓶
? 生产时间 tp 和纯消耗时间 ( t - tp )
tp = Q*/p = 1013/200 = 5.065 天
t - tp = (Q*/r)-(Q*/p) = 1013/50 - 1013/200 = 20.56 - 5.065 = 15.02 天
3.3 有数量折扣的经济订货批量的确定 (EOQ with
Quantity Discounts)
数量 单价
0-499 5.00元 /件
499-999 4.50元 /件
1000以上 3.90元 /件
商家为了促销，往往提
出数量折扣优惠，即采
购批量达到一定数量，
可以给予价格折扣。经
济订货批量的确定就要
考虑这个问题。
有数量折扣的经济订货批量问题，要从总费用最低出
发进行综合平衡。
总费用可分为两种情况,
TC1
TC3
TC2
EOQ
存储费用为常数的情况下，所
有的总费用曲线都具有相同的
EOQ
TC1
TC2
TC3
EOQ1 EOQ2 EOQ3
存储费用与单位价格成正比例的情
况下，存储费用随价格下降而降低，
而 EOQ有所增加
1、对于存储费用为常数的情况
计算共同的 EOQ
如果该 EOQ落在价格最低的曲线上，就是最优解；如果落
在其他任何曲线上，计算 EOQ的总费用和价格最低折扣点
上的总费用，比较后去最低者，即为最优解
2,对于存储费用与单位价格成比例的情况
首先从价格最低的开始，计算 EOQ，直到找到可行的 EOQ,
如果按最低价格计算的 EOQ是可行的，它就是最优解；如
果 EOQ不在最低价格区域内，则将可行的 EOQ总费用与更
低价格的折扣点总费用进行比较，去总费用最低的作为经
济批量的最优解。
3.4 随机型库存订货问题
为了保证不缺货,在考虑需求率和提前期是随机变化的情况
下,一般设置一个安全库存 SS。
通常,假设提前期不变,需求率是随机的,则订货点 ROP,
SS
安全库存
提前期内
期望需求
率
提前期内最
大需求率 Q
ROP
R O P d LT z LT d? ? ?? ( )?
第 4节 经济订货间隔期
4.1 经济订货间隔期
订货间隔期, 相邻两次订货的时间间隔,
经济订货间隔期, 总费用最低的订货间隔期,
4.2 经济订货间隔期的确定
设, m-----年订货次数,
T-----订货间隔期,T=1/m
其余符号同前
TC
EOI
1
2
1
2
1D
m C h m S C D T D C h T S C D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
总费用 =
d TC
dT D C h T S? ? ? ? ? ?
1
2
1 0
2令,
T SD C h* ? ? ?2得到,
第 5节 (Q,r)库存控制模型
5.1 (Q,r)基本模型中的库存量和时间的关系
Q
r
时间
库存
量
? 假设 1：有一与补充库存相关的调整 (订货 )成本
? 假设 2：全年补充库存的订货次数是有限的
5.2 模型
MIN{调整费用 +持有库存的费用 +缺货费用 }
Q,r
r-?+Q
r
r-?
D----每年的期望需求量,
L----补充库存的提前期,假设为常数,
X---提前期内的需求量 (随机变量 ),
A----每次补充库存的费用,
h----年单位产品库存持有费用,
r----再订货点,
Q----补充库存的数量,
b----单位缺货成本,
?----补货提前期内的期望需求,?=E[X],
G(x)----P(X?x) 的补充库存提前期内需求量的累计分布函数,G可以是
连续的,也可以是离散的,
g(x)----累计分布函数 G是连续的情况下,提前期内需求量的概率密度
函数,
p(x)---- P(X=x),G是离散的情况下,提前期内需求量的概率密集函数,
调整费用
AQD
持有库存的费用
)
2
(
222
)(
?
?
??
?????
??
?
r
Q
h
r
Q
s
QssQ
持有库存费用
平均库存
缺货费用计算,
? ?
)(
)(
)()()(
:
rx
xr x 0
rn
Q
D
b
rn
Q
D
dxxgrxrn
rx
r
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
缺货成本
于是
每年缺货数的期望值为
数的期望值为在每一个周期内的缺货
如果
需求量是补充库存提前期内的如果
缺货数
)()21(),( rnQDbrQhAQDrQY ????? ?
我们希望确定 Q和 r的数量，使得总费用 Y(Q,r)达到最小。总费用
应该包括调整 /采购费用、库存维护费用、缺货损失费用。
则有总费用,
5.3 最优解
令,
0
)(),(
0)(
2
),(
22
?
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
r
rn
Q
D
bh
r
rQY
rn
Q
D
b
h
A
Q
D
Q
rQY
bD
hQ
rG
h
rbnAD
Q
??
?
?
1)(
))((2
解方程，得
求解 (Q,r)问题的算法
Step 0 令,和 r0的值满足,hDAQ /20 ?
h
rbnADQ t
t
))((2 1???
.1
1)( 0
?
??
t
bD
hQrG
令
Step 2 如果 |Qt-Qt-1|<1,|rt-rt-1|<1,停止并令 Q*= Qt,r*= rt。否则，令
t=t+1,返回 Step1。
同时计算 rt,使 r的值满足
bD
hQrG t?? 1)(
Step 1 计算,
例：某公司经理知道，历史数据显示某一种零件的年需求量为 D=14
件，单价为 150元 /件，费用率是 10%，则单位零件年存储费用 h=15元。
补充一次库存需要 45天，故订货提前期内的平均需求量为,
(14/365)?45=1.726件
每补充一次库存的采购费用 A=10元。最后是缺货费用，虽然无人知
道其准确数字，但经理认为，缺少该零件使机器停产的损失较大，所以
他取 b=40元。设模型服从 Poisson分布，为此要计算 G(r)和 n(r)，见下表。
取 ?＝ 1.726
r p(r) G(r) n(r)
0 0.1780 0.1780 1.7260
1 0.3072 0.4852 0.9040
2 0.2651 0.7503 0.3892
3 0.1525 0.9029 0.1396
4 0.0658 0.9687 0.0424
5 0.0227 0.9914 0.0111
Step 0, 用 EOQ算法计算 Q0,
432.415 14102/20 ?????? hDAQ
因 Poisson分布是离散的,要将 r 和 Qt取为整数,所以要找出最小的 r值,
8 93.0
1440
415
11)(
:,0
1)(
0 ?
?
?
????
??
bD
hQ
rG
rS t e p
bD
hQ
rG t
我们有最小的在
由上表可查出,满足条件的最小的 r=3,于是取 r0=3,进入下一步,
Step 1, 首先计算 Q1,
5393.515 )14.04010(142))((2 01 ????????? h rbnADQ
然后再计算 r1满足最小的 r值,
866.01440 51511)( 1 ??????? bDhQrG
由上表可查出,满足条件的最小的 r=3,于是取 r1=3,再进入下一步,
补充库存提前期内的平均需求量是 1.726,安全库存就是,
3-1.726=1.274
3,5 ** ?? rQ
Step 2, r值从 Step 0到 Step1没有变化,因为 r1用来计算 Q2,很清楚 Q2 = Q1,
r2= r1,因此计算可以停止, 最优解为,
第 6节 确定型非均匀需求经济订货批量
? 以上所讨论的都是均匀需求库存管理中的订货批量问题。然而，
在现实生产中遇到更多的是非均匀需求问题，即需求率随时间的
变化而改变，如果这些需求是已知的并且是确定的，就是确定型
非均匀需求。
? 如下表所示,
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
需求量
(箱 )
10
62
12
130
154
129
88
52
124
160
238
41
由于需求率随时间而变，因此不能简单地象处理 EOQ模型那样，按平均
成本和库存量来解决非均匀需求的订货批量问题，增加了解决订货批量问
题复杂性。
Wagner-Whitin算法
? 国内外的许多学者在这个问题上进行了卓有成效地研究，其中美国的
Wagner-Whitin提出的方法 (简称 WW法 )最具有代表性，为解决非均匀需
求问题提供了一个新思路。
? 设,(r1,r2,……rn)------n个时段的需求量； (y1,y2,……yn)------n个时段的
订货量； xt=?( yt- rt)------时段 t的期末库存量； h(xt)----- 时段 t上的库存保
管费用； c(yt)----- 时段 t上的订货费用； F(t)----- 时段 t上的总费用。则
WW法的目标就可以表示为, ? ?m in ( ) ( )
., ( ),,,,.,,,
,
c y h x
s t x y r x x t n
t t t t
t
n
t j j
j
t
t
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
1
1
00 0 1 2
WW法的最优订货策略：当满足下式时，在时段 t发生一次批量为 yt?
的订货，即
yt? xt-1=0 t=1,2,......,n
因为 yt不为 0，否则没有订货量，这就意味着只有 xt-1=0，且 yt>0,即
当时段 t的期初库存为零时，才在第 t期发生订货。
例：一公司全年 12个月对某产品的需求如下表所示。已知订货费用是每
次 S=54元,I=0.02元 /元 ?月,该产品的单位成本是 C=20元 /箱。求经济订货
批量策略。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
需求量
(箱 )
10
62
12
130
154
129
88
52
124
160
238
41
解, 设,F(t)----- 时段 t上的总费用；期初库存等于零；本期消
耗掉的库存不计算库存保管费用。
本例中，假定 1月份的期初库存等于零，本月需要 10箱的
货物，首先在 1月初订购 10箱产品，则 1月份的总费用 F(1)
只与订货费用有关，即
F(1)=0+S=54元
满足 2月份需求的方案有两种,
方案 1,1月初订 10箱,1月份用完； 2月初订 62箱,2月份
用完；
方案 2,1月初订 72箱（ 1月份的 10箱和 2月的 62箱）。
方案 1的总费用 C1=F(1)+S=54+54=108 元
方案 2的总费用 C2=54+62× 0.02× 20× 1=78.60 元
因为 C2 <C1，所以，最佳选择应是方案 2，即一次订购满足
1-2月份的需求量，此时 F(2)=78.60元。
满足到 3月底需求的方案有三种,
方案 1,2月底 3月初订 12箱,3月份用完；
方案 2,2月初订 74箱（ 2月份的 62箱,3月的 12箱）；
方案 3,1月初订 84箱（ 1月份的 10箱,2月的 62箱和 3月份的
12箱）。
方案 1的总费用 C1=F(2)+S=78.60+54=132.60 元
方案 2的总费用 C2=54+54+(12× 0.02× 20× 1)=112.80 元
方案 3的总费用 C3=54+(62× 0.02× 20× 1)+(12× 0.02× 20× 2)=88.40 元
因为 C3 <C2 <C1，所以，最佳选择应是方案 3，即一次订购满
足 1-3月份的需求量，此时的 F(3)=88.40 元
余下的月份按上述过程一一计算出来。
WW法求出的最佳订货批量策略
月份 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
总计
期初库存 0
74
12
0
0
129
0
52
0
0
0
41
-
订货量 84
-
-
130
283
-
140
-
124
160
279
-
1200
需求量 10
62
12
130
154
129
88
52
124
160
238
41
1200
期末库存 74
12
0
0
129
0
52
0
0
0
41
0
308
订货量
需求率
数量
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
总订货费用 =7× 54=378.00 元
总库存保管费用 =308箱 /月 × 20元 /箱 × 0.02元 /元 /月 =123.20 元
总费用 =378.00+123.20 = 501.20 元
第 7节 单周期库存订货批量的确定
7.1 单周期库存问题
前面已介绍了单周期库存问题的基本含义。作为一种库存类
型，单周期库存在生产和经营中也占有重要地位，尤其是对
某些服务型企业来说，掌握单周期库存的控制理论是十分重
要的。
7.2 单周期库存问题的经济订货批量
单周期库存问题决策一般侧重于定货批量，因为它本身是不
可重复进货的，所以就没有订货时间决策问题。
单周期库存决策也是以费用作为主要考虑内容。
设,Co-------单位产品超储成本，即进货但没有卖出去的损失
Cu-------单位产品缺货成本，应该进货但没有进货而丧失
的赚钱机会的损失，是一个机会损失的概念
D-----预计要订货的数量
P(D)-----需求量大于等于 D的概率,P(D)是一个累计概率,
单周期库存问题通常采用边际分析法解决。
考虑：如果增加一个产品定货能使期望收益大于期望成本,
那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货,
所以,当增加到第 D个产品时,如果下式成立,
P D C P D Cu o( ) ( ( ))? ? ? ?1
从满足需要的最小可能订货量开始,随着订货量的
增加,P(D)便随之下降。在某一点上,P(D)可以使上式
两个期望值相等,将此时的 P(D)记为 P*(D),并称之为
临界概率, P D C P D C
P D
C
C C
u o
o
u o
* *
*
( ) ( ( ))
( )
? ? ? ?
?
?
1
例, 某产品单位售价为 100元,单位进货成本为 70元,每一个
没有卖出去的产品只能按每件 30元处理掉, 已知市场的需求量
大致在 35到 40件之间, 35件肯定能卖出,超过 40件肯定卖不出
去, 需求概率分布见下表,求最佳定货批量,
需求量
概率
P(D)
35 36
37
38
39
40
41
0.10
0.15
0.25
0.25
0.15
0.10
0.00
1.00
0.90
0.75
0.50
0.25
0.10
0.00
解, 首先,计算 Co(单位产品超储成本 ),Cu(单位产品缺货成
本 )
Cu =100-70=30 元
Co =70-30=40 元
其次,计算临界概率
P D CC Co
u o
* ( ),?
? ? ? ?
30
30 40 0 57
最优解
