§ 17-9 单缝的夫琅禾费衍射
1,单缝夫琅禾费衍射的光路图
,缝宽aAB ?S,单色线光源 ?, 衍射角
*S
f
f ?
a ?
?透镜 L?
透镜 L
·p
A
B
缝平面 观察屏
0
δ
?? si na?
00 ?? ??, —— 中央明纹 (中心 )
单缝的两条边缘光束 A→ P 和 B→ P 的光程差，
可由图示的几何关系得到：
单缝的夫琅禾费衍射
2,单缝夫琅禾费衍射的光程差计算
*S
f
f ?
a ?
? ·p
A
B
0
δ
a
θ
1′
2B
A
半波带
半波带
1
2′
两相邻半波带上对应点发的光在 P 处干涉相消形成暗纹 。
λ /2
半波带
半波带
12
1′2′
? 当 时, 可将缝分为两个, 半波带,?? ?si na
3.1 菲涅耳半波带法
3,衍射图样的讨论
在波阵面上截取一个条状带，使它上下两边缘发
的光在屏上 p处的光程差为,此带称为半波带。λ /2
单缝的夫琅禾费衍射
?当 时,可将缝分成三个, 半波带,?? 23s i n ?a
P 处近似为明纹中心a
λ /2
θB
A
?当 时,可将缝分成四个, 半波带,?? 2s i n ?a
a
B
A
θ
λ /2
P 处干涉相消形成暗纹
单缝的夫琅禾费衍射
…,3,2,1s i n ??? kka ?? —— 暗纹
…,3,2,1 2)1 2(s i n ?????? kka ??
—— 明纹 (中心 )
0s in ??a —— 中央明纹 (中心 )
上述暗纹和中央明纹 (中心 )的位置是准确的，其余
明纹中心的实际位置较上稍有偏离。
3.2 明暗纹条件
由半波带法可得 明暗纹条件为：
单缝的夫琅禾费衍射
3.3 衍射图样
衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示,
?/a-(? /a) 2(? /a)-2(? /a)
0.047 0.017
1 I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
sin?
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。
中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。
中央极大值两侧的各极小值称暗纹。
单缝的夫琅禾费衍射
a?? ?1
（ 1） 明纹宽度
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x0
f
?1
0??
??
A,中央明纹
当 时,1 级暗纹对应的 衍射角???a
?? ka ??s i n 由
11 s in ?? ?
得：
单缝的夫琅禾费衍射
角宽度为
a
??? 22
10 ???
线宽度为
aafffx
???? ?????? 22tg2
110
（ 1） 明纹宽度
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x0
f
?1
0??
??
B,次极大
02
1 x
a
fx ???? ?
前提仍然是 ?很小
单缝的夫琅禾费衍射
（ 2） 缝宽变化对条纹的影响
afxx
?????
02
1
知, 缝宽越小, 条纹宽度越宽
，此时屏幕呈一片明亮；
I
0 sin?
∴ 几何光学是波动光学在 ?/a?0时的极限情形
此时屏幕上 只显出单
一的明条纹 ?? 单缝的几何光学像。
当 时,0?a?,0??x
当 时,??a? ??? x
由
单缝的夫琅禾费衍射
（ 3） 波长对条纹宽度的影响
??? x
波长越长，条纹宽度越宽。
afxx
?????
02
1
仍由
知
单缝的夫琅禾费衍射
例题 17-8 水银灯发出的波长为 546nm的绿色平行
光，垂直入射于宽 0.437mm的单缝，缝后放置一焦距
为 40cm的透镜，试求在透镜焦面上出现的衍射条纹中
央明纹的宽度。
解 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明
纹宽度，对第一级暗条纹（ k=1)求出其衍射角
中央明纹的角宽度 a?? 22 1 ?
a??? ?? 11 s i n
式中 很小1??? ?1s ina
单缝的夫琅禾费衍射
透镜焦面上出现中央明纹的宽度
中央明纹的宽度与缝宽 a成反比，单缝越窄，中
央明纹越宽。
m
a
D
DD tgx
3
104 3 7.0
4.0105 4 62
11
100.1
2
22
3
9 ?
?
??? ???
????
?
?
?
??
单缝的夫琅禾费衍射
例 设一监视雷达位于路边 d =15m处, 雷达波的波
长为 30mm,射束与公路成 15° 角, 天线宽度 a =
0.20m。 试求：该雷达监视范围内公路长 L =?
d
a
β
L
θ 1
?
150
单缝的夫琅禾费衍射
解, 将雷达波束看成是单缝衍射的 0 级明纹
d
a
β
L
θ 1
?
150
由 ?? ?? 1s ina
有 150200301,m,mms i n ??? a?? °63.81 ??
如图,°° 63.2315 1 ??? ?? °° 37.615 1 ??? ??
)c t g( c t gL ?? ??? d
m1 0 0)63.23c t g37.6( c t g15 ??? °°
单缝的夫琅禾费衍射
解, 将雷达波束看成是单缝衍射的 0 级明纹
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单缝的夫琅禾费衍射
1,单缝夫琅禾费衍射的光路图
,缝宽aAB ?S,单色线光源 ?, 衍射角
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缝平面 观察屏
0
δ
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单缝的两条边缘光束 A→ P 和 B→ P 的光程差，
可由图示的几何关系得到：
单缝的夫琅禾费衍射
2,单缝夫琅禾费衍射的光程差计算
*S
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A
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0
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1′
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半波带
半波带
1
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两相邻半波带上对应点发的光在 P 处干涉相消形成暗纹 。
λ /2
半波带
半波带
12
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? 当 时, 可将缝分为两个, 半波带,?? ?si na
3.1 菲涅耳半波带法
3,衍射图样的讨论
在波阵面上截取一个条状带，使它上下两边缘发
的光在屏上 p处的光程差为,此带称为半波带。λ /2
单缝的夫琅禾费衍射
?当 时,可将缝分成三个, 半波带,?? 23s i n ?a
P 处近似为明纹中心a
λ /2
θB
A
?当 时,可将缝分成四个, 半波带,?? 2s i n ?a
a
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A
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P 处干涉相消形成暗纹
单缝的夫琅禾费衍射
…,3,2,1s i n ??? kka ?? —— 暗纹
…,3,2,1 2)1 2(s i n ?????? kka ??
—— 明纹 (中心 )
0s in ??a —— 中央明纹 (中心 )
上述暗纹和中央明纹 (中心 )的位置是准确的，其余
明纹中心的实际位置较上稍有偏离。
3.2 明暗纹条件
由半波带法可得 明暗纹条件为：
单缝的夫琅禾费衍射
3.3 衍射图样
衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示,
?/a-(? /a) 2(? /a)-2(? /a)
0.047 0.017
1 I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
sin?
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。
中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。
中央极大值两侧的各极小值称暗纹。
单缝的夫琅禾费衍射
a?? ?1
（ 1） 明纹宽度
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x0
f
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??
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当 时,1 级暗纹对应的 衍射角???a
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得：
单缝的夫琅禾费衍射
角宽度为
a
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线宽度为
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λ Δ x
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x2衍射屏 透镜 观测屏
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B,次极大
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前提仍然是 ?很小
单缝的夫琅禾费衍射
（ 2） 缝宽变化对条纹的影响
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02
1
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，此时屏幕呈一片明亮；
I
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此时屏幕上 只显出单
一的明条纹 ?? 单缝的几何光学像。
当 时,0?a?,0??x
当 时,??a? ??? x
由
单缝的夫琅禾费衍射
（ 3） 波长对条纹宽度的影响
??? x
波长越长，条纹宽度越宽。
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02
1
仍由
知
单缝的夫琅禾费衍射
例题 17-8 水银灯发出的波长为 546nm的绿色平行
光，垂直入射于宽 0.437mm的单缝，缝后放置一焦距
为 40cm的透镜，试求在透镜焦面上出现的衍射条纹中
央明纹的宽度。
解 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明
纹宽度，对第一级暗条纹（ k=1)求出其衍射角
中央明纹的角宽度 a?? 22 1 ?
a??? ?? 11 s i n
式中 很小1??? ?1s ina
单缝的夫琅禾费衍射
透镜焦面上出现中央明纹的宽度
中央明纹的宽度与缝宽 a成反比，单缝越窄，中
央明纹越宽。
m
a
D
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3
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4.0105 4 62
11
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单缝的夫琅禾费衍射
例 设一监视雷达位于路边 d =15m处, 雷达波的波
长为 30mm,射束与公路成 15° 角, 天线宽度 a =
0.20m。 试求：该雷达监视范围内公路长 L =?
d
a
β
L
θ 1
?
150
单缝的夫琅禾费衍射
解, 将雷达波束看成是单缝衍射的 0 级明纹
d
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150
由 ?? ?? 1s ina
有 150200301,m,mms i n ??? a?? °63.81 ??
如图,°° 63.2315 1 ??? ?? °° 37.615 1 ??? ??
)c t g( c t gL ?? ??? d
m1 0 0)63.23c t g37.6( c t g15 ??? °°
单缝的夫琅禾费衍射
解, 将雷达波束看成是单缝衍射的 0 级明纹
d
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β
L
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150
由 ?? ?? 1s ina
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单缝的夫琅禾费衍射
