§ 3.5 回归模型的其他函数形式
一、模型的类型与变换
二, 非线性回归实例
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂
的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的 恩格尔曲线 (Engle curves)表现为 幂
函数曲线 形式、宏观经济学中的 菲利普斯曲线
（ Pillips cuves）表现为 双曲线 形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简
单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从
而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面
的处理。
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法
例如,描述税收与税率关系的 拉弗曲线, 抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s：税收； r：税率
设 X1 = r,X2 = r2,则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2 c<0
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法
例如, Cobb-Dauglas生产函数,幂函数
Q = AK?L?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动
方程两边取对数：
ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L
3、复杂函数模型与级数展开法
方程两边取对数后，得到：
??? ??? eLKAQ 1)( 21 ??? ?? (?1+?2=1)
Q:产出量,K：资本投入,L：劳动投入
?：替代参数,?1,?2：分配参数
??? ??? ???? ?? )( 211 LKLnLn ALn Q
例如, 常替代弹性 CES生产函数
将式中 ln(?1K-? + ?2L-?)在 ?=0处展开台劳级数,取关于
?的线性项，即得到一个线性近似式。
如取 0阶, 1阶, 2阶项, 可得
2
2121 ln2
1lnlnlnln ??
?
???
?
? ?
?
??
?
?????
L
KmLmKmAY ?????
并非所有的函数形式都可以线性化
无法线性化模型的一般形式为,
??? ),,,( 21 kXXXfY ?
其中,f(x1,x2,…,X k)为非线性函数。如：
??? ?? LAKQ
二、非线性回归实例
例 3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
),,( 01 PPXfQ ?
Q:居民对食品的需求量,X,消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数,P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性,当所有商品和消费者货币支出总额按同
一比例变动时，需求量保持不变
)/,/( 010 PPPXfQ ?
(*)
(**)
为了进行比较，将同时估计（ *）式与（ **）式。
根据 恩格尔定律,居民对 食品的消费支出 与居
民的 总支出 间呈 幂函数 的变化关系,
首先,确定具体的函数形式
321 01 ??? PPAXQ ?
对数变换,
????? ????? 031210 lnlnln)l n ( PPXQ
考虑到 零阶齐次性 时
???? ???? )/l n ()/l n ()l n ( 012010 PPPXQ
(***)
(****)
(****)式也可看成是对（ ***）式施加如下约束而得
0321 ??? ???
因此, 对 （ ****） 式进行回归, 就意味着原需
求函数满足零阶齐次性条件 。
表 3, 5, 1 中国城镇居民消费支 出（元）及价格指 数
X
( 当年价 )
X1
( 当年价 )
GP
( 上年 =1 0 0 )
FP
( 上年 =1 0 0 )
X C
( 1 9 9 0 年价 )
Q
( 1 9 9 0 年价 )
P 0
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
P 1
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
1 9 8 1 4 5 6, 8 4 2 0, 4 1 0 2, 5 1 0 2, 7 6 4 6, 1 3 1 8, 3 7 0, 7 1 3 2, 1
1 9 8 2 4 7 1, 0 4 3 2, 1 1 0 2, 0 1 0 2, 1 6 5 9, 1 3 2 5, 0 7 1, 5 1 3 2, 9
1 9 8 3 5 0 5, 9 4 6 4, 0 1 0 2, 0 1 0 3, 7 6 7 2, 2 3 3 7, 0 7 5, 3 1 3 7, 7
1 9 8 4 5 5 9, 4 5 1 4, 3 1 0 2, 7 1 0 4, 0 6 9 0, 4 3 5 0, 5 8 1, 0 1 4 6, 7
1 9 8 5 6 7 3, 2 3 5 1, 4 1 1 1, 9 1 1 6, 5 7 7 2, 6 4 0 8, 4 8 7, 1 8 6, 1
1 9 8 6 7 9 9, 0 4 1 8, 9 1 0 7, 0 1 0 7, 2 8 2 6, 6 4 3 7, 8 9 6, 7 9 5, 7
1 9 8 7 8 8 4, 4 4 7 2, 9 1 0 8, 8 1 1 2, 0 8 9 9, 4 4 9 0, 3 9 8, 3 9 6, 5
1 9 8 8 1 1 0 4, 0 5 6 7, 0 1 2 0, 7 1 2 5, 2 1 0 8 5, 5 6 1 3, 8 1 0 1, 7 9 2, 4
1 9 8 9 1 2 1 1, 0 6 6 0, 0 1 1 6, 3 114,4 1 2 6 2, 5 7 0 2, 2 9 5, 9 9 4, 0
1 9 9 0 1 2 7 8, 9 6 9 3, 8 1 0 1, 3 9 8, 8 1 2 7 8, 9 6 9 3, 8 1 0 0, 0 1 0 0, 0
1 9 9 1 1 4 5 3, 8 7 8 2, 5 1 0 5, 1 1 0 5, 4 1 3 4 4, 1 7 3 1, 3 1 0 8, 2 1 0 7, 0
1 9 9 2 1 6 7 1, 7 8 8 4, 8 1 0 8, 6 1 1 0, 7 1 4 5 9, 7 8 0 9, 5 1 1 4, 5 1 0 9, 3
1 9 9 3 2 1 1 0, 8 1 0 5 8, 2 1 1 6, 1 1 1 6, 5 1 6 9 4, 7 9 4 3, 1 1 2 4, 6 1 1 2, 2
1 9 9 4 2 8 5 1, 3 1 4 2 2, 5 1 2 5, 0 1 3 4, 2 2 1 1 8, 4 1 2 6 5, 6 1 3 4, 6 1 1 2, 4
1 9 9 5 3 5 3 7, 6 1 7 6 6, 0 1 1 6, 8 1 2 3, 6 2 4 7 4, 3 1 5 6 4, 3 1 4 3, 0 1 1 2, 9
1 9 9 6 3 9 1 9, 5 1 9 0 4, 7 1 0 8, 8 1 0 7, 9 2 6 9 2, 0 1 6 8 7, 9 1 4 5, 6 1 1 2, 8
1 9 9 7 4 1 8 5, 6 1 9 4 2, 6 1 0 3, 1 1 0 0, 1 2 7 7 5, 5 1 6 8 9, 6 1 5 0, 8 1 1 5, 0
1 9 9 8 4 3 3 1, 6 1 9 2 6, 9 9 9, 4 9 6, 9 2 7 5 8, 9 1 6 3 7, 2 1 5 7, 0 1 1 7, 7
1 9 9 9 4 6 1 5, 9 1 9 3 2, 1 9 8, 7 9 5, 7 2 7 2 3, 0 1 5 6 6, 8 1 6 9, 5 1 2 3, 3
2 0 0 0 4 9 9 8, 0 1 9 5 8, 3 1 0 0, 8 9 7, 6 2 7 4 4, 8 1 5 2 9, 2 1 8 2, 1 1 2 8, 1
2 0 0 1 5 3 0 9, 0 2 0 1 4, 0 1 0 0, 7 1 0 0, 7 2 7 6 4, 0 1 5 3 9, 9 1 9 2, 1 1 3 0, 8
X：人均消费
X1：人均食
品消费
GP：居民消
费价格指数
FP：居民食品
消费价格指数
XC：人均消
费（ 90年价）
Q：人均食品
消费（ 90年价）
P0：居民消费
价格缩减指数
（ 1990=100）
P：居民食品
消费价格缩减
指数
（ 1990=100
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
1 2 0 0
1 4 0 0
1 6 0 0
1 8 0 0
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
Q
中
国
城
镇
居
民
人
均
食
品
消
费
特征：
消费行为在
1981~1995年间表
现出较强的一致性
1995年之后呈现出
另外一种变动特征。
建立 1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型,
)ln (92.0)ln (08.0)ln (05.163.3)?ln ( 01 PPXQ ????
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
按 零阶齐次性 表达式回归,
)/ln (09.0)/ln (07.183.3)?ln ( 010 PPPXQ ???
（ 75.86） (52.66) (-3.62)
为了比较，改写该式为：
01
010
ln98.0ln09.0ln07.183.3
)ln( l n09.0)ln( l n07.183.3?ln
PPX
PPPXQ
????
?????
)ln (92.0)ln (08.0)ln (05.163.3)?ln ( 01 PPXQ ????
发现与
接近。
意味着,所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
一、模型的类型与变换
二, 非线性回归实例
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂
的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的 恩格尔曲线 (Engle curves)表现为 幂
函数曲线 形式、宏观经济学中的 菲利普斯曲线
（ Pillips cuves）表现为 双曲线 形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简
单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从
而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面
的处理。
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法
例如,描述税收与税率关系的 拉弗曲线, 抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s：税收； r：税率
设 X1 = r,X2 = r2,则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2 c<0
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法
例如, Cobb-Dauglas生产函数,幂函数
Q = AK?L?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动
方程两边取对数：
ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L
3、复杂函数模型与级数展开法
方程两边取对数后，得到：
??? ??? eLKAQ 1)( 21 ??? ?? (?1+?2=1)
Q:产出量,K：资本投入,L：劳动投入
?：替代参数,?1,?2：分配参数
??? ??? ???? ?? )( 211 LKLnLn ALn Q
例如, 常替代弹性 CES生产函数
将式中 ln(?1K-? + ?2L-?)在 ?=0处展开台劳级数,取关于
?的线性项，即得到一个线性近似式。
如取 0阶, 1阶, 2阶项, 可得
2
2121 ln2
1lnlnlnln ??
?
???
?
? ?
?
??
?
?????
L
KmLmKmAY ?????
并非所有的函数形式都可以线性化
无法线性化模型的一般形式为,
??? ),,,( 21 kXXXfY ?
其中,f(x1,x2,…,X k)为非线性函数。如：
??? ?? LAKQ
二、非线性回归实例
例 3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
),,( 01 PPXfQ ?
Q:居民对食品的需求量,X,消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数,P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性,当所有商品和消费者货币支出总额按同
一比例变动时，需求量保持不变
)/,/( 010 PPPXfQ ?
(*)
(**)
为了进行比较，将同时估计（ *）式与（ **）式。
根据 恩格尔定律,居民对 食品的消费支出 与居
民的 总支出 间呈 幂函数 的变化关系,
首先,确定具体的函数形式
321 01 ??? PPAXQ ?
对数变换,
????? ????? 031210 lnlnln)l n ( PPXQ
考虑到 零阶齐次性 时
???? ???? )/l n ()/l n ()l n ( 012010 PPPXQ
(***)
(****)
(****)式也可看成是对（ ***）式施加如下约束而得
0321 ??? ???
因此, 对 （ ****） 式进行回归, 就意味着原需
求函数满足零阶齐次性条件 。
表 3, 5, 1 中国城镇居民消费支 出（元）及价格指 数
X
( 当年价 )
X1
( 当年价 )
GP
( 上年 =1 0 0 )
FP
( 上年 =1 0 0 )
X C
( 1 9 9 0 年价 )
Q
( 1 9 9 0 年价 )
P 0
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
P 1
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
1 9 8 1 4 5 6, 8 4 2 0, 4 1 0 2, 5 1 0 2, 7 6 4 6, 1 3 1 8, 3 7 0, 7 1 3 2, 1
1 9 8 2 4 7 1, 0 4 3 2, 1 1 0 2, 0 1 0 2, 1 6 5 9, 1 3 2 5, 0 7 1, 5 1 3 2, 9
1 9 8 3 5 0 5, 9 4 6 4, 0 1 0 2, 0 1 0 3, 7 6 7 2, 2 3 3 7, 0 7 5, 3 1 3 7, 7
1 9 8 4 5 5 9, 4 5 1 4, 3 1 0 2, 7 1 0 4, 0 6 9 0, 4 3 5 0, 5 8 1, 0 1 4 6, 7
1 9 8 5 6 7 3, 2 3 5 1, 4 1 1 1, 9 1 1 6, 5 7 7 2, 6 4 0 8, 4 8 7, 1 8 6, 1
1 9 8 6 7 9 9, 0 4 1 8, 9 1 0 7, 0 1 0 7, 2 8 2 6, 6 4 3 7, 8 9 6, 7 9 5, 7
1 9 8 7 8 8 4, 4 4 7 2, 9 1 0 8, 8 1 1 2, 0 8 9 9, 4 4 9 0, 3 9 8, 3 9 6, 5
1 9 8 8 1 1 0 4, 0 5 6 7, 0 1 2 0, 7 1 2 5, 2 1 0 8 5, 5 6 1 3, 8 1 0 1, 7 9 2, 4
1 9 8 9 1 2 1 1, 0 6 6 0, 0 1 1 6, 3 114,4 1 2 6 2, 5 7 0 2, 2 9 5, 9 9 4, 0
1 9 9 0 1 2 7 8, 9 6 9 3, 8 1 0 1, 3 9 8, 8 1 2 7 8, 9 6 9 3, 8 1 0 0, 0 1 0 0, 0
1 9 9 1 1 4 5 3, 8 7 8 2, 5 1 0 5, 1 1 0 5, 4 1 3 4 4, 1 7 3 1, 3 1 0 8, 2 1 0 7, 0
1 9 9 2 1 6 7 1, 7 8 8 4, 8 1 0 8, 6 1 1 0, 7 1 4 5 9, 7 8 0 9, 5 1 1 4, 5 1 0 9, 3
1 9 9 3 2 1 1 0, 8 1 0 5 8, 2 1 1 6, 1 1 1 6, 5 1 6 9 4, 7 9 4 3, 1 1 2 4, 6 1 1 2, 2
1 9 9 4 2 8 5 1, 3 1 4 2 2, 5 1 2 5, 0 1 3 4, 2 2 1 1 8, 4 1 2 6 5, 6 1 3 4, 6 1 1 2, 4
1 9 9 5 3 5 3 7, 6 1 7 6 6, 0 1 1 6, 8 1 2 3, 6 2 4 7 4, 3 1 5 6 4, 3 1 4 3, 0 1 1 2, 9
1 9 9 6 3 9 1 9, 5 1 9 0 4, 7 1 0 8, 8 1 0 7, 9 2 6 9 2, 0 1 6 8 7, 9 1 4 5, 6 1 1 2, 8
1 9 9 7 4 1 8 5, 6 1 9 4 2, 6 1 0 3, 1 1 0 0, 1 2 7 7 5, 5 1 6 8 9, 6 1 5 0, 8 1 1 5, 0
1 9 9 8 4 3 3 1, 6 1 9 2 6, 9 9 9, 4 9 6, 9 2 7 5 8, 9 1 6 3 7, 2 1 5 7, 0 1 1 7, 7
1 9 9 9 4 6 1 5, 9 1 9 3 2, 1 9 8, 7 9 5, 7 2 7 2 3, 0 1 5 6 6, 8 1 6 9, 5 1 2 3, 3
2 0 0 0 4 9 9 8, 0 1 9 5 8, 3 1 0 0, 8 9 7, 6 2 7 4 4, 8 1 5 2 9, 2 1 8 2, 1 1 2 8, 1
2 0 0 1 5 3 0 9, 0 2 0 1 4, 0 1 0 0, 7 1 0 0, 7 2 7 6 4, 0 1 5 3 9, 9 1 9 2, 1 1 3 0, 8
X：人均消费
X1：人均食
品消费
GP：居民消
费价格指数
FP：居民食品
消费价格指数
XC：人均消
费（ 90年价）
Q：人均食品
消费（ 90年价）
P0：居民消费
价格缩减指数
（ 1990=100）
P：居民食品
消费价格缩减
指数
（ 1990=100
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
1 2 0 0
1 4 0 0
1 6 0 0
1 8 0 0
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
Q
中
国
城
镇
居
民
人
均
食
品
消
费
特征：
消费行为在
1981~1995年间表
现出较强的一致性
1995年之后呈现出
另外一种变动特征。
建立 1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型,
)ln (92.0)ln (08.0)ln (05.163.3)?ln ( 01 PPXQ ????
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
按 零阶齐次性 表达式回归,
)/ln (09.0)/ln (07.183.3)?ln ( 010 PPPXQ ???
（ 75.86） (52.66) (-3.62)
为了比较，改写该式为：
01
010
ln98.0ln09.0ln07.183.3
)ln( l n09.0)ln( l n07.183.3?ln
PPX
PPPXQ
????
?????
)ln (92.0)ln (08.0)ln (05.163.3)?ln ( 01 PPXQ ????
发现与
接近。
意味着,所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
