§ 4.4 随机解释变量问题
一,随机解释变量问题
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
三、随机解释变量的后果
四、工具变量法
五、案例
基本假设,解释变量 X1,X2,…,Xk是确定性变量 。
如果存在一个或多个随机变量作为解释变量,
则称原模型出现 随机解释变量问题 。
假设 X2为随机解释变量 。 对于随机解释变量问
题, 分三种不同情况：
一、随机解释变量问题
对于模型
ikikiii XXYY ????? ?????? ?22110
1,随机解释变量与随机误差项独立
(Independence)
0)()()()( 22,2 ??? ??? ExExEXC o v
2,随机解释变量与随机误差项同期无关
(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
0)()( 2,2 ?? iiii xEXC o v ??
0)()( 2,2 ?? ?? siisii xEXC o v ?? 0?s
3,随机解释变量与随机误差项同期相关
(contemporaneously correlated)。
0)()( 2,2 ?? iiii xEXC o v ??
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
在实际经济问题中，经济变量往往都具
有随机性。
但是在单方程计量经济学模型中，凡是外
生变量都被认为是确定性的。
于是 随机解释变量问题 主要 表现于,用滞
后被解释变量作为模型的解释变量的情况 。
例如：
（ 1）耐用品存量调整模型：
耐用品的存量 Qt由前一个时期的存量 Qt-1和当
期收入 It共同决定：
Qt=?0+?1It+?2Qt-1+?t t=1,? T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关
性，那么随机解释变量 Qt-1只与 ?t-1相关，与 ?t不相
关，属于上述的第 2种情况。
（ 2）合理预期的消费函数模型
合理预期理论 认为消费 Ct是由对收入的预期 Yte
所决定的：
tett YC ??? ??? 10
预期收入 Yte与实际收入 Y间存如下关系的假设
ettet YYY 1)1( ???? ??
容易推出
tettt YYC ?????? ????? ? 1110 )1(
tttt CY ??????? ??????? ?? )()1( 10110
1110 )1()1( ?? ??????? tttt CY ????????
Ct-1是一随机解释变量，且与 (?t-??t-1)高度相关
（ Why?）。属于上述第 3种情况。
计量经济学模型一旦出现随机解释变量,
且与随机扰动项相关的话, 如果仍采用
OLS法估计模型参数, 不同性质的随机解
释变量会产生不同的后果 。
下面以一元线性回归模型为例进行说明
三、随机解释变量的后果
? 随机解释变量与随机误差项相关图
（ a）正相关 （ b）负相关
拟合的样本回归
线可能低估截距项，
而高估斜率项。
拟合的样本回归线
高估截距项, 而低
估斜率项 。
对一元线性回归模型：
ttt XY ??? ??? 10
OLS估计量为
?
?
?
? ???
2121
?
t
tt
t
tt
x
x
x
yx ???
1、如果 X与 ?相互独立，得到的参数估计量
仍然是无偏、一致估计量。
已经得到证明
随机解释变量 X与随机项 ?的关系不同，参
数 OLS估计量的统计性质也会不同。
2,如果 X与 ?同期不相关，异期相关，得到的
参数估计量有偏、但却是一致的。
kt的分母中包含不同期的 X；由异期相关性知,kt
与 ?t相关，因此，
?? ? ???? )()()?( 1211 ttt
t
t kE
x
xEE ?????
11 )?( ?? ?E
但是
0)(),(
)lim (
)lim (
1
21
1
121lim
???
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
ttt
tn
ttn
t
tt
n
XV a rXC o v
xP
xP
x
x
P
??
?
?
?
?
3、如果 X与 ?同期相关，得到的参数估计量
有偏、且非一致。
注意：
如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，
则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，
OLS估计量是有偏的、且是非一致的。
即使同期无关，其 OLS估计量也是有偏的，因为
此时肯定出现异期相关。
2的证明中已得到
模型中出现随机解释变量且与随机误差项相
关时,OLS估计量是有偏的。
如果随机解释变量与随机误差项异期相关，
则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估
计量；
但如果是同期相关，即使增大样本容量也无
济于事。这时，最常用的估计方法是 工具变量法
（ Instrument variables） 。
四、工具变量法
1、工具变量的选取
工具变量,在模型估计过程中被作为工具
使用，以替代模型中与随机误差项相关的随
机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件,
（ 1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（ 2）与随机误差项不相关；
（ 3）与模型中其它解释变量不相关，以避
免出现多重共线性。
2、工具变量的应用
以一元回归模型的离差形式为例说明如下：
iii xy ?? ?? 1
用 OLS估计模型，相当于用 xi去乘模型两边、对 i求
和、再略去 ?xi?i项后得到 正规方程,
? ?? 21 iii xyx ?
?
??
21
?
i
ii
x
yx? (*)
解得
然而，如果 Xi与 ?i相关，即使在大样本下，也
不存在 (?xi?i)/n?0,则
在大样本下也不成立,OLS估计量 不具有一致性 。
?
??
21
?
i
ii
x
yx?
由于 Cov(Xi,?i)=E(Xi?i)=0，意味着大样本下
(?xi?i)/n?0
表明 大样本下
?
??
21
?
i
ii
x
yx?
成立,即 OLS估计量 具有一致性。
如果选择 Z为 X的 工具变量,那么在上述估计
过程可改为,
? ? ??? iiiiii zxzyz ?? 1
利用 E(zi?i)=0，在大样本下可得到：
?
??
ii
ii
xz
yz
1
~?
关于 0? 的估计，仍用 XY 10 ~~ ?? ?? 完成。
这种求模型参数估计量的方法称为 工具变量法
(instrumental variable method),相应的估计量
称为 工具变量法估计量 （ instrumental variable
(IV) estimator） 。
对于 矩阵形式,
Y=X?+?
采用工具变量法（假设 X2与随机项相关，用工具
变量 Z替代）得到的 正规方程组 为：
X βZYZ ???
参数估计量为：
YZXZβ ??? ? 1)(~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
knkk
n
n
XXX
ZZZ
XXX
?
?
?
?
?
21
21
11211
111
Z其中 称为 工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量
一元回归中，工具变量法估计量为
如果工具变量 Z选取恰当，即有
???? ??
??
ii
ii
ii
iii
xz
z
xz
xz ?????
1
1
1
)(~
两边取概率极限得：
?
???
iin
iin
xzP
zPP
1
1
11 lim
lim)~l i m ( ???
? ?? 0),c o v (1lim iiii ZznP ?? ? ?? 0),c o v (1lim iiii XZxznP
因此：
11 )~lim ( ?? ?P
1、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的 。
注意：
???? ?? 0)()1()1( ii
ii
ii
ii
zExzEzxzE ??
2、工具变量并没有替代模型中的解释变量,只
是在估计过程中作为“工具”被使用。
上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的
两步 OLS回归：
第一步,用 OLS法进行 X关于工具变量 Z的回归：
ii ZX 10 ??? ?? ??
ii XY ?
~~?
10 ?? ??
容易验证仍有, ???
ii
ii
xz
yz
1
~?
因此, 工具变量法仍是 Y对 X的回归, 而不是对
Z的回归 。
3,如果模型中有两个以上的随机解释变量与随
机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量 。
但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使
用的次序不影响估计结果 (Why？ )。
4,OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。
5、如果 1个随机解释变量可以找到多个互相
独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变
量的信息，就形成了 广义矩方法 （ Generalized
Method of Moments,GMM）。
在 GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于
是如何求解成为它的核心问题。
工具变量法是 GMM的一个特例。
6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释
变量相关的工具变量并不是一件很容易的事
可以用 Xt-1作为原解释变量 Xt的工具变量。
五、案例 —— 中国居民人均消费函数
例 4.4.1 在例 2.5.1的 中国居民人均消费函数 的估
计中，采用 OLS估计了下面的模型：
??? ??? G D P PC O N S P 10
由于：居民人均消费支出（ CONSP）与人均国内
生产总值（ GDPP）相互影响，因此，
容易判断 GDPP与 ?同期相关（往往是正相关），
OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高
估计斜率项 ）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47)
R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
如果用 GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变
量法估计结果：
(14.84) (56.04)
R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
? GMM是近 20年计量经济学理论方法发展的重
要方向之一。
? IV是 GMM的一个特例。
? 如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立的
工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信
息，就形成了 广义矩方法（ GMM） 。在 GMM中，
矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为
它的核心问题。
一,随机解释变量问题
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
三、随机解释变量的后果
四、工具变量法
五、案例
基本假设,解释变量 X1,X2,…,Xk是确定性变量 。
如果存在一个或多个随机变量作为解释变量,
则称原模型出现 随机解释变量问题 。
假设 X2为随机解释变量 。 对于随机解释变量问
题, 分三种不同情况：
一、随机解释变量问题
对于模型
ikikiii XXYY ????? ?????? ?22110
1,随机解释变量与随机误差项独立
(Independence)
0)()()()( 22,2 ??? ??? ExExEXC o v
2,随机解释变量与随机误差项同期无关
(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
0)()( 2,2 ?? iiii xEXC o v ??
0)()( 2,2 ?? ?? siisii xEXC o v ?? 0?s
3,随机解释变量与随机误差项同期相关
(contemporaneously correlated)。
0)()( 2,2 ?? iiii xEXC o v ??
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
在实际经济问题中，经济变量往往都具
有随机性。
但是在单方程计量经济学模型中，凡是外
生变量都被认为是确定性的。
于是 随机解释变量问题 主要 表现于,用滞
后被解释变量作为模型的解释变量的情况 。
例如：
（ 1）耐用品存量调整模型：
耐用品的存量 Qt由前一个时期的存量 Qt-1和当
期收入 It共同决定：
Qt=?0+?1It+?2Qt-1+?t t=1,? T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关
性，那么随机解释变量 Qt-1只与 ?t-1相关，与 ?t不相
关，属于上述的第 2种情况。
（ 2）合理预期的消费函数模型
合理预期理论 认为消费 Ct是由对收入的预期 Yte
所决定的：
tett YC ??? ??? 10
预期收入 Yte与实际收入 Y间存如下关系的假设
ettet YYY 1)1( ???? ??
容易推出
tettt YYC ?????? ????? ? 1110 )1(
tttt CY ??????? ??????? ?? )()1( 10110
1110 )1()1( ?? ??????? tttt CY ????????
Ct-1是一随机解释变量，且与 (?t-??t-1)高度相关
（ Why?）。属于上述第 3种情况。
计量经济学模型一旦出现随机解释变量,
且与随机扰动项相关的话, 如果仍采用
OLS法估计模型参数, 不同性质的随机解
释变量会产生不同的后果 。
下面以一元线性回归模型为例进行说明
三、随机解释变量的后果
? 随机解释变量与随机误差项相关图
（ a）正相关 （ b）负相关
拟合的样本回归
线可能低估截距项，
而高估斜率项。
拟合的样本回归线
高估截距项, 而低
估斜率项 。
对一元线性回归模型：
ttt XY ??? ??? 10
OLS估计量为
?
?
?
? ???
2121
?
t
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tt
x
x
x
yx ???
1、如果 X与 ?相互独立，得到的参数估计量
仍然是无偏、一致估计量。
已经得到证明
随机解释变量 X与随机项 ?的关系不同，参
数 OLS估计量的统计性质也会不同。
2,如果 X与 ?同期不相关，异期相关，得到的
参数估计量有偏、但却是一致的。
kt的分母中包含不同期的 X；由异期相关性知,kt
与 ?t相关，因此，
?? ? ???? )()()?( 1211 ttt
t
t kE
x
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11 )?( ?? ?E
但是
0)(),(
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3、如果 X与 ?同期相关，得到的参数估计量
有偏、且非一致。
注意：
如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，
则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，
OLS估计量是有偏的、且是非一致的。
即使同期无关，其 OLS估计量也是有偏的，因为
此时肯定出现异期相关。
2的证明中已得到
模型中出现随机解释变量且与随机误差项相
关时,OLS估计量是有偏的。
如果随机解释变量与随机误差项异期相关，
则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估
计量；
但如果是同期相关，即使增大样本容量也无
济于事。这时，最常用的估计方法是 工具变量法
（ Instrument variables） 。
四、工具变量法
1、工具变量的选取
工具变量,在模型估计过程中被作为工具
使用，以替代模型中与随机误差项相关的随
机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件,
（ 1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（ 2）与随机误差项不相关；
（ 3）与模型中其它解释变量不相关，以避
免出现多重共线性。
2、工具变量的应用
以一元回归模型的离差形式为例说明如下：
iii xy ?? ?? 1
用 OLS估计模型，相当于用 xi去乘模型两边、对 i求
和、再略去 ?xi?i项后得到 正规方程,
? ?? 21 iii xyx ?
?
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21
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i
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解得
然而，如果 Xi与 ?i相关，即使在大样本下，也
不存在 (?xi?i)/n?0,则
在大样本下也不成立,OLS估计量 不具有一致性 。
?
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21
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由于 Cov(Xi,?i)=E(Xi?i)=0，意味着大样本下
(?xi?i)/n?0
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成立,即 OLS估计量 具有一致性。
如果选择 Z为 X的 工具变量,那么在上述估计
过程可改为,
? ? ??? iiiiii zxzyz ?? 1
利用 E(zi?i)=0，在大样本下可得到：
?
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ii
ii
xz
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1
~?
关于 0? 的估计，仍用 XY 10 ~~ ?? ?? 完成。
这种求模型参数估计量的方法称为 工具变量法
(instrumental variable method),相应的估计量
称为 工具变量法估计量 （ instrumental variable
(IV) estimator） 。
对于 矩阵形式,
Y=X?+?
采用工具变量法（假设 X2与随机项相关，用工具
变量 Z替代）得到的 正规方程组 为：
X βZYZ ???
参数估计量为：
YZXZβ ??? ? 1)(~
?
?
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11211
111
Z其中 称为 工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量
一元回归中，工具变量法估计量为
如果工具变量 Z选取恰当，即有
???? ??
??
ii
ii
ii
iii
xz
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1
1
1
)(~
两边取概率极限得：
?
???
iin
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1
1
11 lim
lim)~l i m ( ???
? ?? 0),c o v (1lim iiii ZznP ?? ? ?? 0),c o v (1lim iiii XZxznP
因此：
11 )~lim ( ?? ?P
1、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的 。
注意：
???? ?? 0)()1()1( ii
ii
ii
ii
zExzEzxzE ??
2、工具变量并没有替代模型中的解释变量,只
是在估计过程中作为“工具”被使用。
上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的
两步 OLS回归：
第一步,用 OLS法进行 X关于工具变量 Z的回归：
ii ZX 10 ??? ?? ??
ii XY ?
~~?
10 ?? ??
容易验证仍有, ???
ii
ii
xz
yz
1
~?
因此, 工具变量法仍是 Y对 X的回归, 而不是对
Z的回归 。
3,如果模型中有两个以上的随机解释变量与随
机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量 。
但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使
用的次序不影响估计结果 (Why？ )。
4,OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。
5、如果 1个随机解释变量可以找到多个互相
独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变
量的信息，就形成了 广义矩方法 （ Generalized
Method of Moments,GMM）。
在 GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于
是如何求解成为它的核心问题。
工具变量法是 GMM的一个特例。
6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释
变量相关的工具变量并不是一件很容易的事
可以用 Xt-1作为原解释变量 Xt的工具变量。
五、案例 —— 中国居民人均消费函数
例 4.4.1 在例 2.5.1的 中国居民人均消费函数 的估
计中，采用 OLS估计了下面的模型：
??? ??? G D P PC O N S P 10
由于：居民人均消费支出（ CONSP）与人均国内
生产总值（ GDPP）相互影响，因此，
容易判断 GDPP与 ?同期相关（往往是正相关），
OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高
估计斜率项 ）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47)
R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
如果用 GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变
量法估计结果：
(14.84) (56.04)
R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
? GMM是近 20年计量经济学理论方法发展的重
要方向之一。
? IV是 GMM的一个特例。
? 如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立的
工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信
息，就形成了 广义矩方法（ GMM） 。在 GMM中，
矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为
它的核心问题。
