第三章 综合指标
综 合指标从它的作用和方法特点的角度可概
括为三类,
绝对指标
相对指标
平均指标
概念,
一、总量指标的概念和作用
总 量指标是反映社会经济现象一定时间、地点、条件
下总的规模、水平的统计指标 。
总 量指标表现形式是绝对数，也可表现为绝对差数 。
第一节 总量指标 (绝对指标 )
例如,2005年我国财政收入 30510亿元，财政支出
33510亿元，财政赤字 3000亿元。
作用,
总 量指标能反映一个国家的基本国情和
国力，反映某部门、单位等人、财,
物的基本数据 。
总 量指标是进行决策和科学管理的依据
之一 。
总 量指标是计算相对指标和平均指标的
基础。
按其反映的内容不同可分为,
- 总 体单位总量 —— 说明总体的单位数数量。
- 标 志总量 —— 说明总体中某个标志值总和的量。
二,总量指标的分类
?
?
工 资 总 额
平 均 工 资
工 人 人 数
工 人 人 数
每 个 企 业 平 均 工 人 数
企 业 数
例
按其反映的时间状况不同可分为,
时 期指标 —— 反映现象在某一时期发展过程的总
数量。 (可连续计数，与时间长短有关，是累计
结果 )
时 点指标 —— 反映现象在某一时刻的状况。
(间断计数，与时间间隔无关，不能累计 )
计算原则,
3.计 量单位必须一致。
2.明 确的统计含义。
1.现 象的同类性。
三,总量指标的计算
根据总量指标所反映的社会经济现象
性质不同，计量单位分三种形式,
(1) 实 物单位
a,自然单位：辆、双、头、根、个 ……
b,度量衡单位：吨、米、克、立方米 ……
c,双重单位：公里 /小时、人 /平方公里 ……
d,复合单位：吨公里、公斤米、千瓦小时 ……
对有些性质相同但规格或含量不同的产品总
量的计算，要按折合标准实物量的方法计算。
例如,能源统计以标准燃料每千克发热量
7000Kcal为标准单位。
(2) 价 值单位 (货币单位 )
货币单位有现行价格和不变价格之分 。
价值单位使不能直接相加的产品产量过渡
到能够加总，用于综合说明具有不同使用
价值的产品生产总量或商品销售量等的总
规模、总水平 。
(3) 劳 动单位
工时 —— 工人数和劳动时数的乘积；
台时 —— 设备台数和开动时数的乘积。
例
由于具体条件不同，不同企业的劳动量指标不
具有可比性，因此，劳动量指标只限于企业内
部使用。
第二节 相对指标
是两个有联系的绝对指标之比。
2005年我国对外贸易进口总额增长率为
16.1%，出口总额增长率为 25.7%。
例
一、相对指标的概念
企业 8月份劳动生产率
(万元 )
7月份劳动生产率
(万元 )
8月比 7月发展速度
（ %）
甲 2 1.94 103.09 + 600元
乙 0.56 0.52 107.69 + 400元
从上表中看来，好象甲厂比乙厂劳动生
产率高 （ ∵ 600>400）；而将其换算成相
对指标，实际发展速度是乙厂大于甲厂。由
此可看出相对指标可以弥补总量指标的不足。
例
- 人口密度,人 /平方公里
- 平均每人分摊的粮食产量,千克 /人
- 系数或倍数,是将比的基数抽象化为 1；
- 成数,是将比的基数抽象化为 10；
- 百分数,是将比的基数抽象化为 100；
- 千分数,是将比的基数抽象化为 1000。
相对指标的数值有两种表现形式,
无 名数，分以下几种,
有 名数
100%实 际 完 成 数计 划 完 成 相 对 数
计 划 数
??
(一 ) 计划完成相对指标
二、相对指标的种类及其计算
1.计 算公式
(1) 根 据绝对数来计算计划完成相对数
220 1 0 0 % 1 1 0 %
200? ? ?总 产 值 计 划 完 成 相 对 数
计算结果表明该厂超额 10%完成总产值计划。
设某工厂某年计划工业总产值为 200万元，实际
完成 220万元，则,
(2) 根 据平均数来计算计划完成相对数
1 0 0 %
实 际 平 均 指 标
计 算 公 式 为,
计 划 平 均 指 标
?
某化肥厂某年每吨化肥计划成本为 200元，实
际成本为 180元，则,
%90%100200180 ???成本计划完成相对数
实际单位成本 -计划单位成本 =180-200=-20(元 )
计算结果表明该厂化肥单位成本实际比计划降
低了 10%，平均每吨化肥节约生产费用 20元。
例
(3)根 据相对数来计算计划完成相对数
某企业生产某产品，上年度实际成本为 420元 /吨，
本年度计划单位成本降低 6%，实际降低 7.6%，则,
∴ 比计划多完成 1.71%；
%29.98%100%61 %6.71 ?????对数成本降低率计划完成相
例
本题也可换算成绝对数计算,
%29.98%1 0 08.3 9 4 08.3 8 8 ??∴
计划 -6% ～ 394.8元 /吨 [(1-6%) × 420]
实际 –7.6% ～ 388.08元 /吨 [(1-7.6%) × 420]
某企业计划规定劳动生产率比上年提高 10%，实
际比上年提高 15%，则,
∴ 劳动生产率超额 4.5%完成计划任务。
%5.104%100%101 %151 ?????对数劳动生产率计划完成相
例
以五年计划来说明这个问题。
2.长 期计划的检查
(1) 水 平法
计算公式为,
100%五 年 计 划 末 年 实 际 达 到 的 水 平五 年 计 划 完 成 程 度
五 年 计 划 中 规 定 的 末 年 水 平
??
某产品计划规定第五年产量 56万吨，实际第五年
产量 63万吨，则,
那么, 提前多少时间完成计划？
%5.1 1 2%1 0 05663 ???计划完成程度
例
月份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十
一
十
二
合计
第四年 3.5 3.5 4 3.8 4 3.8 4 (4 (5 5 5 4 49.6
第五年 4 4 4 5 5 5 5) 6) 6 6 6 7 63
第四年 9月 ～ 第五年 8月 产量合计 57万吨
第四年 8月 ～ 第五年 7月 产量合计 55万吨
现假定第四年、第五年各月完成情况如下,
(单位：万吨 )
正好生产 56万吨的时间应是第四年八月第 X天到
第五年八月第 (31-X)天 。 图示如下,
563131651314 ???? )( XX
∴ X = 15.5 (天 )
即提前四个月又 15天半完成五年计划 。
51
(31-x)
56
(31-x) x x
第四年 9月 ～第五年 7月 第四年 8月 第五年 8月
（ 2） 累 计法
计算公式为,
100%五 年 计 划 期 间 实 际 累 计 完 成 数五 年 计 划 完 成 程 度 五 年 计 划 规 定 的 累 计 数??
某五年计划的基建投资总额为 2200亿元，五年内实
际累计计划完成 2240亿元，则,
假定计划提前完成，如果 2001--2005年间基建投资总
额计划为 2200亿元，实际至 2005年 6月底止累计实际
投资额已达 2200亿元，则提前半年完成计划。
%8.101%1002 2 0 02 2 4 0 ???计划完成程度
例
(二 ) 结 构相对指标
计算公式为,
100%
总 体 某 部 分 数 值
结 构 相 对 数
总 体 全 部 数 值
??
上海, 十五, 期间 GDP构成（ %）
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年
第一产业 1.73 1.63 1.49 1.30 0.87
第二产业 47.58 47.42 50.09 50.85 48.95
第三产业 50.69 50.95 48.42 47.85 50.18
例
(三 ) 比 例相对指标
计算公式为,
?
总 体 中 某 部 分 数 值
比 例 相 对 数
总 体 中 另 一 部 分 数 值
常 用的比例形式有两种,
1,将作为比较基础的数值抽象化为 1,10、
100或 1000，看被比较的数值是多少。
我国 2000年第五次人口普查结果，男女性别比
例为 106.74, 100，这说明以女性为 100，男性人口
是女性人口数的 106.74倍。简称性比例 106.74。目
前已上升到 116.86,100。
例
2,首先将总体全部数值抽象化为 100，求得
各部分数值在总体中所占百分数，然后将各
部分的百分数连比得比例相对数。
2005年上海 GDP抽象化为 100，第一产业、第二
产业、第三产业的比例为,0.87︰ 48.95︰ 50.18。
例
(四 ) 比 较相对指标 (类 比相对指标 )
计算公式为,
100%
某 条 件 下 的 某 类 指 标 数 值
比 较 相 对 数
另 一 条 件 下 的 同 类 指 标 数 值
??
计 算比较相对数时，作为比较
基数的分母可取不同的对象，一般
有两种情况,
① 比 较标准是一般对象,如,
这时,分子与分母的位臵可以互换。
%100)( )( ?? 同类现象的水平单位乙地区 某一现象的水平单位甲地区比较相对数
② 比 较标准 (基数 )典型化,如,
把企业的各项技术经济指标都和国家规定的质
量水平比较，和同类企业的先进水平比较，和国外
先进水平比较等，这时,分子与分母的位臵不能互
换。
某年有甲、乙两企业同时生产一种性能相同的
产品，甲企业工人劳动生产率为 19,307元，乙企业
为 27,994元。
%69%1002 7 9 9 41 9 3 0 7 ???相对数两企业劳动生产率比较
说明甲企业劳动生产率比乙企业低 31% 。
例
(五 ) 强 度相对指标
计算公式为,
? 某 一 总 量 指 标 数 值强 度 相 对 数
另 一 性 质 不 同 但 有 一 定 联 系 的 总 量 指 标 数 值
① 一般用复名数表示；
② 也有少数用百分数或千分数表示 。
1.强 度相对数的数值表示有两种方法,
用百分数表示
说明平均每百元销售额负担多少流通费。
产值利润率、资金利润率一般用千分数表示 。
纯销售额
流通费用额商品流通费用率 ?
例
某城市人口 100万人，有零售商业机构 5000个，则,
)/(200
5 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
)/(5
1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0
个人
个
人
商业网密度的逆指标
千人个
人
个
商业网密度的正指标
??
??
例
2.有 些强度相对数有正、逆两种计算方法,
(六 ) 动 态相对指标
计算公式为,
100%报 告 期 水 平动 态 相 对 数
基 期 水 平
??
基 期 —— 作为对比标准的时间
报 告期 —— 同基期比较的时期，也称计算期
2.相 对指标要和总量指标结合起来运用。
1.注 意二个对比指标的可比性。
三、正确运用相对指标的原则
年份 1949 1950 1978 1979 1986 1987
钢产量 (万吨 ) 15.8 61 3178 3448 5220 5628
发展速度 (%) 100.0 386 100 108.5 100 107.8
增长量 (万吨 ) - 45.2 - 270 - 408
增长 1%绝对值
(万吨 )
- 0.16 - 31.8 - 52.2
我国历年钢产量发展情况
1001
基期水平
增长百分比
增长量绝对值增长 ??%
例
4.在 比较二个相对数时，是否适宜相除再求一个
相对数，应视情况而定。若除出来有实际意义，
则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用百分点
表示之。
(百分点 —即百分比中相当于百分之一的单位 )
3.多 种相对数结合运用
第三节 平均指标
2.特 点
- 数量抽象性
- 集中趋势代表性
1.概 念 平均指标是指在同质总体内将各单位某
一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具
体条件下的一般水平。
一、平均指标的意义和作用
- 比 较作用
a,同类现象在不同空间的对比。
b,同一总体在不同时间上的比较。
- 利 用平均指标可以分析现象之间的依存关系
- 利 用平均指标可以进行数量上的推算，还可以
作为论断事物的一种数量标准或参考
3.作 用
4.种 类
算术平均数
数值平均数 调和平均数
几何平均数
众数
位臵平均数
中位数
hX
oM
eM
GX
X
? 总 体 标 志 总 量算 术 平 均 数
总 体 单 位 总 数
1.算 术平均数的基本公式
二、算术平均数
XX
n
??
式中, —— 算术平均数
X —— 各单位的标志值
n —— 总体单位数
—— 总和符号
X
?
2.简 单算术平均数
XfX
f
???
?
式中, —— 算术平均数
X —— 各组数值
f —— 各组数值出现的次数 (即权数 )
X
3.加 权算术平均数
设某厂职工按日产量分组后所得组距数列如下，据此求平均日产量。
按日产量分组
(千克 )
组中值 X
(千克 )
工人数 f
(人 )
Xf
60 以下 55 10 550
60 – 70 65 19 1235
70 – 80 75 50 3750
80 – 90 85 36 3060
90 – 100 95 27 2565
100 – 110 105 14 1470
110 以上 115 8 920
合 计 - 164 13550
)(62.8216413550 千克平均日产量 ???? ?? f fXX
例
fXf
XX
ff
?? ? ?
?
??
在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数
系数来求加权算术平均数，其公式为,
按日产量分组
(千克 )
组中值 X
(千克 )
工人数 f (人 )
f f / ∑f
60 以下 55 10 0.06 3.3
60 – 70 65 19 0.12 7.8
70 – 80 75 50 0.30 22.5
80 – 90 85 36 0.22 18.7
90 – 100 95 27 0.16 15.2
100 – 110 105 14 0.09 9.45
110 以上 115 8 0.05 5.75
合 计 - 164 1.00 82.7
?? f
fX
加 权算术平均数受两因素的影响,
- 变量值大小的影响。
- 次数多少的影响 。 X
而简单算术平均数只反映变量值大小这一
因素的影响。
加 权算术平均数与简单算术平均数不同在于,
① 各 个变量值与算术平均数离差之和等于零
4.算 术平均数的数学性质
? ?? 0)( XX
简单平均数,
加权平均数,
0??? fXX )(
② 各 个变量值与算术平均数离差平方之和
等于最小值
2
2
()
()
???
???
X
Xf
X
X
简 单 平 均 数, 最 小 值
加 权 平 均 数, 最 小 值
△ 算 术平均数的特点
算术平均数适合用代数方法运算，因此运用
比较广泛；
易受极端变量值的影响，使 的代表性变小；
受极大值的影响大于受极小值的影响；
当组距数列为开口组时，由于组中点不易确
定，使 的代表性也不很可靠。 X
X
调和平均数是各个变量值倒数的
算术平均数的倒数 。
三、调和平均数 (又称, 倒数平均数, )
其 计算方法如下,
1h
nX
X
?
?
1( 1 ),先 计 算 各 个 变 量 值 的 倒 数, 即
X 1
( 2 ), 计 算 上 述 各 个 变 量 值 倒 数 的 算 术 平 均 数, 即 Xn
?
( 3 ),,1再 计 算 这 种 算 术 平 均 数 的 的 倒 数, 就 是 调 和 平 均 数 即 n
X?
1在 加 权 的 情 况 下, h
f
X
f
X
? ?
?
在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定
权数的加权调和平均数。 即有以下数学关系式成立,
m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次
数，而是各组标志值总量。
1
式 中,,
h
Xf Xf m
XX
mf
Xf
XX
m
m Xf f
X
? ? ? ?
??
? ? ?
? ??
已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下,
市场 平均价格 (元 )
X
销售额 (元 )
m=Xf
销售额 (元 ) ÷ 平均价格 (元 )
(即销售量 )
甲 1.00 30 000 30 000
乙 1.50 30 000 20 000
丙 1.40 35 000 25 000
合计 - 95 000 75 000
fXm?
)(27.1000,75 000,951 元总平均价格 ???
?
?
mX
mX
h
1.由 平均数计算平均数时调和平均数法的应用,
例
某公司有四个工厂，已知其计划完成程度 (%)及实际产值资料如下,
工厂 计划完成程度 (%)
X
实际产值 (万元 )
m=Xf
实际产值 ÷ 计划完成程度 (%)
(即计划产值 ) (万元 )
甲 90 90 100
乙 100 200 200
丙 110 330 300
丁 120 480 400
合计 - 1,100 1,000
fXm?
%110000,1 100,11 ???
?
?
mX
m平均完成计划程度
2.由 相对数计算平均数时调和平均数法的应用,
例
△ 调 和平均数的特点
如果数列中有一标志值等于零，则无法
计算 ；
较之算术平均数,受极端值的影响要小 。 hX
hX
1.简 单几何平均数
四、几何平均数 (又称, 对数平均数, )
nn
nG XXXXX ???? ?21
n
XX
G
?? lglg )( l g
GG Xa rcX ?
计算时要进行对数变换，即,
例 某机械厂有铸造车间、机加工车间、装配车间三个连
续流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别
为 95%,92%,90%，求平均车间产品合格率 。
3 321 XXXX G ???解,
%.%%% 31929092953 ????
这说明该厂车间产品平均合格率为 92.31%
式 中, 为 各 变 量 值 的 次 数 或 权 数
将 公 式 两 边 取 对 数, 则 为,
1 2 1 2
12
1 1 2 2
12
lgl g l g l g
lg
( l g )
L
L
L
L
nn
G
G
GG
f
ff f f f f f
n
nn
n
X X X X X
f
fXf X f X f X
X
f f f f
X arc X
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
2.加 权几何平均数
投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的,25年的年利
率分配是：有 1年为 3%，有 4年为 5%，有 8年为 8%，有 10年
为 10%，有 2年为 15%，求平均年利率。
本利率 (%)
X
年数
f
本利率的对数
lgX
f· lgX
103 1 2.0128 2.0128
105 4 2.0212 8.0848
108 8 2.0334 16.2672
110 10 2.0414 20.4140
115 2 2.0607 4.1214
合计 25 - 50.9002
例
%6.10 8)03 60.2()( l g
03 60.2
25
90 02.50lg
lg
???
???
?
?
ar cXar cX
f
Xf
X
GG
G
这就是说,25年的平均本利率为 108.6%，年平均
利率即为 8.6%。
△ 几 何平均数的特点
如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法
计算 ；
受极端值的影响较 和 小；
它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总
标志值是各单位标志值的连乘积。
GX
X hX
由定义可看出众数存在的条件,
1.概 念, 众数是在总体中出现次数最多的那个标志值
五、众数 M0
M0 M0 M0
M0 M0
若有两个次数相等的众数，则称复众数。
① 只 有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才
存在众数。
下三图无众数,
② 在 单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时,
计算众数是没有意义的。
① 根 据单项数列确定众数 ；
价格 (元 ) 销售数量 (千克 )
2.00 20
2.40 60
3.00 140
4.00 80
合计 300
某种商品的价格情况
众数 M0=3.00(元 )
2.众 数的计算方法
例
② 根 据组距数列确定众数
⑵ 利 用比例插值法推算众数的近似值。
⑴ 由 最多次数来确定众数所在组；
按日产量分组 (千克 ) 工人人数 (人 )
60以下 10
60 - 70 19
70 - 80 50
80 - 90 36
90-100 27
100-110 14
110以上 8
表中 70-80，即众数所在组。
例
计 算众数的近似值,
dXM L ???? ???
21
1
0
下限公式,
上限公式, dXM
U ????
???
21
2
0
由下限公式，日产量众数 )(.
)()( 千克89761036501950
195070 ??
???
???
由上限公式，日产量众数 )(.
)()( 千克89761036501950
365080 ??
???
???
△ 众 数的特点
众 数是一个位臵平均数，它只考虑总体分布
中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的
影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。
不受极端值和开口组数列的影响。
众 数是一个不容易确定的平均指标，当分布
数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无
众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的
位臵也不好确定。
① 由 未分组资料确定中位数
1 ()
2中 位 数 的 位 置 为 总 体 单 位 数
n n??
2.中 位数的计算方法
1.概 念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列,
居于中间位臵的那个标志值就是中位数。
六、中位数 Me
⑴ n为奇数时，则居于中间位臵的那个标志值
就是中位数。
)(26263
3
2
15
2
1
3029262320
件件产品为中位数：位工人日产即，第
中位数位置
，，，，
件数，按序排列如下：有五个工人生产某产品
?
?
?
?
?
?
e
M
n例
⑵ n为偶数时，则中间位臵的两个标志值的算术
平均数为中位数。
)(5.27
2
2926
5.3
2
16
2
1
323029262320
件
至第四人的平均数：这表明中位数是第三、
中位数位置
，，，，，
序排列如下：人生产某产品件数，按上例中，假如有六个工
?
?
?
?
?
?
?
?
e
M
n
② 由 单项数列确定中位数
某企业按日产零件分组如下,
按日产零件分组
（件）
工人数
（人）
较小制累计 较大制累计
26 3 3 80
31 10 13 77
32 14 27 67
34 27 54 53
36 18 72 26
41 8 80 8
合计 80 - -
)(34
402802
件即
中位数位置
?
??? ?
eM
f
例
③ 由 组距数列确定中位数
按日产量分组
(千克 )
工人数
(人 )
较小制累计 较大制累计
50 – 60 10 10 164
60 – 70 19 29 154
70 – 80 50 79 135
80 – 90 36 115 85
90–100 27 142 49
100-110 14 156 22
110以上 8 164 8
合计 164 - -
组距内。即中位数在
中位数位置
9080
82216 42
?
??? ? f
d
f
Sf
XM
m
m
Le ?
?
??
?
?
12
下限公式 （较小制累计时用）,
)(,千克83801036
7921 6 4
80 ??
?
??
上限公式 （较大制累计时用）,
)(,千克83801036
4921 6 4
90 ??
?
??
d
f
Sf
XM
m
m
Ue ?
?
??
?
?
12
① 中 位数不受极端值及开口组的影响,
具有稳健性 。
② 各 单位标志值与中位数离差的绝对值之和
是个最小值。
③ 对 某些不具有数学特点或不能用数字测定的
现象，可用中位数求其一般水平。
m i n m i n即, 或eeX M X M f? ? ? ???
3.中 位数的特点
hGX X X、,
（一） 三者的关系
hGX X X??
表示为,
七、各种平均数之间的相互关系
87.7
16.7
5.8
121084
?
?
?
G
h
X
X
X
，，，变量值
例
f 如图,
0MMX e ??
0eX M M、
(二） 三者的关系
0即 eX M M??
1.当 总体分布呈对称状态时，三者合而为一,
0( 1 ), 如 果 分 布 右 偏, 则 eX M M??
如图,f
X X0M eM
2,当 总体分布呈非对称状态时
0( 2 ), 如 果 分 布 左 偏, 则 eX M M??
如图,f
X X 0MeM
所以
0?? )( oMX如果, 则说明分布右偏（或上偏）
0?? )( oMX如果, 则说明分布左偏（或下偏）
0?? )( oMX如果, 则说明分布对称
所以分布右偏。，
元
)(900)1 0 002700(
3
1)2(
3
1
0
0
MMX
XMM
e
e
??
??????
?
一组工人的月收入众数为 700元，月收入的算术平均数
为 1000元，则月收入的中位数近似值是,
例
根据卡尔 ·皮尔逊经验公式，还可以推算出,
XMM e 230 ??
)( XMM oe 231 ??
)( oe MMX ?? 321
1.平 均指标只能适用于同质总体。
2.用 组平均数补充说明总平均数。
八、平均指标的运用原则
某生产小组基期有工人 15人，报告期人数增加到 30人，两
时期各技术等级的工人数和工资总额如下,
级别 基 期 报 告 期
工人数
(人 )
比重
(%)
工资总额
(元 )
平均工资
(元 )
工人数
(人 )
比重
(%)
工资总额
(元 )
平均工资
(元 )
二级工 2 13.3 1000 500 16 53.3 9600 600
四级工 8 53.3 7200 900 10 33.3 10000 1000
七级工 5 33.4 7500 1500 4 13.4 6800 1700
合计 15 100.0 15700 1047 30 100.0 26400 880
例
某工业部门 100个企业年度利润计划完成程度资料如下,
按计划完成程度分组 (%) 企业数
85- 89.9 2
90- 94.9 8
95- 99.9 10
100-104.9 40
105-109.9 30
110-114.9 10
合 计 100
经计算,100个企业年度平均利润计划完成程度为 103.35％。
3.用 分配数列补充说明平均数
例
① 标 志变动度是评价平均数代表性的依据 。
第四节 标志变动度
2.作 用,
1.概 念,标志变动度是指总体中各单位标志值差
别大小的程度，又称离散程度或离中程度。
一、标志变动度的意义、作用和种类
甲、乙两学生某次考试成绩列表
语文 数学 物理 化学 政治 英语
甲 95 90 65 70 75 85
乙 110 70 95 50 80 75
甲、乙两学生的平均成绩为 80分，集中趋势
一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙
组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数
的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据
分布越集中，平均数的代表性越大 。
例
② 标 志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动
过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度 。
供货计划完成百分比 (%)
季度总供货计
划执行结果
一月 二月 三月
钢
厂
甲 100 32 34 34
乙 100 20 30 50
例
3.种 类 即测定标志变动度的方法,主要有：
全距、四分位差、平均差、标准差、离散系
数等。
全 距 R
四分位差 Q.D,
平 均 差 A.D,
标 准 差 S.D.(σ)
离散系数 Vσ
① 优 点,计算方便，易于理解。
② 缺 点,全距只考虑数列两端数值差异，它是测定
标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各
单位标志的变异程度。
m a x m i n R X - X即, ?
1,全 距是总体各单位标志值最大值和最小值之差,
2,全 距的特点
二、全距 R
1.概 念, 将总体各单位的标志值按大小顺序
排列，然后将数列分为四等分，形成三个分
割点 (Q1,Q2,Q3),这三个分割点称为四分
位数,(其中第二个四分位数 Q2就是数列的
中位数 Me)。
四分位差 Q.D.=Q3-Q1
三、四分位差 Q.D,
13
3 ( 1 )1
44
()
的 位 置, 的 位 置
为 变 量 值 的 项 数
nnQQ
n
????
① 根 据未分组资料求 Q.D,
2.计 算,
岁。且他们之间最大差异为
岁之间，至人的年龄集中在这表明，该小组有一半
岁
岁则的位置
岁则的位置
，，，，，，为：岁人年龄某外语补习小组
9
2819
)9(19-28Q-QQ,D,
)28(Q,6
4
)17(3
Q
)19(Q,2
4
17
Q
34 28 25 24 22 19 17)(7
13
33
11
????
??
?
?
??
?
??
例
② 根 据分组资料求 Q.D,
13
f 3f1 ) Q,Q
44的 位 置 的 位 置 ????
2) 若单项数列，则 Q1与 Q3所在组的标志值就是 Q1与 Q3
的数值；
若组距数列，确定了 Q1与 Q3所在组后，还要用以下
公式求近似值,
1311
1 1 1 3 3 3
13
3
44 QQ
ff
SS
Q L d Q L d
ff
????
? ? ? ? ? ?
??
根据某车间工人日产零件分组资料，求 Q.D,
按日产零件分组 (件 ) 工人数 (人 ) 累计工人数 (人 )(较小制 )
5-10 12 12
10-15 46 58
15-20 36 94
20-25 6 100
合 计 100 -
例
95.541.1136.17..
)(36.175
36
58
4
1003
15Q )(41.115
46
12
4
100
10Q
Q,75
4
1003
Q
Q,25
4
100
13
31
33
11
??????
??
?
?
????
?
???
?
?
?
??
QQDQ
Q
件件
在第三组则的位置
在第二组则的位置
这表明有一半工人的日产量分布在 11.41件至
17.36件之间，且相差 5.95件。
① 四 分位差不受两端各 25%数值的影响，能对开口
组数列的差异程度进行测定；
② 用 四分位差可以衡量中位数的代表性高低；
③ 四 分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描
述的只是次数分配中一半的离差，所以也是一个
比较粗略的指标。
3,四 分位差的特点
平 均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对
离差的平均数。
X - X
( 1 ) A,D,
n
X - X
( 2 ) A,D,
其 计 算 公 式 为,
未 分 组 资 料,
分 组 资 料,
f
f
?
?
?
?
?
1.概 念和计算,
四、平均差 A.D,
以某车间 100个工人按日产量编成变量数列的资料,
)(6.6
100
660
.,
)(42
100
4 2 00
X
千克
千克
??
?
?
???
?
?
f
fXX
DA
工人按日产
量分组 (千克 )
工人数 (人 )
f
组中值
X
Xf
20-30 5 25 125 -17 85
30-40 35 35 1225 -7 245
40-50 45 45 2025 3 135
50-60 15 55 825 13 195
合 计 100 - 4200 - 660
XX? fXX ?
例
① 平 均差是根据全部标志值与平均数离差而计算
出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度；
② 平 均差计算有绝对值符号，不适合代数方法的
演算使其应用受到限制。
2.平 均差的特点
标 准差是离差平方平均数的平方根，故又称
,均方差, 。
其意义与平均差基本相同。
1.概 念和计算,
五、标准差 S.D.(σ)
2
2
? ?
?
? ?
?
?
( x )
n
f( x )
f
x
x
?
?
)(85.14164 5 6 1 6.3 6 1 7 2)( 2 千克???? ?? f fXX?
工人按日产量
分组 (千克 )
工人数 (人 )
f
组中值
X
50- 60 10 55 -27.62 7628.644
60- 70 19 65 -17.62 5898.8236
70- 80 50 75 -7.62 2903.9184
80- 90 36 85 2.38 203.9184
90-100 27 95 12.38 4138.1388
100-110 14 105 22.38 7012.1016
110以上 8 115 32.38 8387.7152
合 计 164 - - 36172.5616
XX? fXX 2)( ?
)(62.82X 千克由前计算得,?
例
在组距数列中，结合算术平均数的简捷公式，可得标准差
的简捷法公式如下,
2
2
()
式 中, 为 数 列 中 间 组 的 组 中 值, 为 该 组 组 距
XAXA
ff
dd
d
ff
Ad
?
?? ????
????
??
? ? ?
??
??
??
??
工人按日产量
分组 (千克 )
工人数 (人 )
f
组中值
X
50- 60 10 55 -3 -30 9 90
60- 70 19 65 -2 -38 4 76
70- 80 50 75 -1 -50 1 50
80- 90 36 85 0 0 0 0
90-100 27 95 1 27 1 27
100-110 14 105 2 28 4 56
110以上 8 115 3 24 9 72
合 计 164 - - -39 - 371
10,85 ?? dA
10AX? fAX10?
2
10 ?????? ? AX fAX
2
10 ?????? ?
)(85.14100 5 6 5 5.02622.2
10
2
164
39
164
371
2
2)(
千克????
?????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
f
f
d
AX
f
f
d
AX
?
例
2.交 替标志的标准差
在社会经济统计中，有时把社会经济现
象的总体单位，分为具有某种标志的单位和
不具有这种标志的单位两组。
统计中，用“是”、“否”或“有”、
“无”来表示的标志，称为交替标志，也称
是非标志 。
N,N1,N2
N1是具有某种标志的单位数 N1=P
N2是不具有这种标志的单位数 N2=1-P
具有某种标志 ——变量为 1
不具有这种标志 ——变量为 0
X f Xf
1 N1(P) P 1-p (1-P)2 P(1-P)2
0 N2(1-p) 0 -p P2 (1-P)P2
合计 1 P - - P(1-P)2+P2(1-P)
XX? 2)( XX ? ? ? fXX 2?
)1(
)1)(1()(
1
2
PP
f
PPPP
f
fXX
P
P
f
Xf
X
??
?
???
?
?
? ???
??
?
??
?
?
① σ 与 R的关系
② σ 与 A.D.的关系
经 验表明，当分布数列接近于正态分布时,R和
σ 之间存在以下经验公式,
R为 4至 6个 σ,当标志值项数较少时,R≈4σ
当标志值项数较多时,R≈6σ
对 同一资料，所求的平均差一般比标准差要
小，即 A.D.≤ σ
3.标 准差与全距、平均差的关系
离 散系数，是各种变异指标与平均数的比
率。反映总体各单位标志值的相对离散程度，
最常用的是标准差系数。
100%??V
X
?
标 准 差 系 数 计 算 公 式 为,
六、离散系数 Vσ
乙组大于甲组。散程度大于乙组，而是计算表明，并非甲组离
计算离散系数来比较：组的水平相差悬殊，应都是不妥的。因为这两
数代表性高于甲组，于乙组，或乙组的平均而断言甲组离散程度大
件，件
，，，，乙组：
件，件
，，，，甲组：
资料：件产量两组不同水平的工人日
乙
甲
乙甲
乙
乙
甲
甲
%7.48%100
7
3,41
V
%1.10%100
70
7,07
V
)(41.3 )7(X
21 9 7 5 2
)07(.7 )70(X
80 75 70 65 60
)(
???
???
?
??
??
??
?
?
?
例
End of Chapter 3
综 合指标从它的作用和方法特点的角度可概
括为三类,
绝对指标
相对指标
平均指标
概念,
一、总量指标的概念和作用
总 量指标是反映社会经济现象一定时间、地点、条件
下总的规模、水平的统计指标 。
总 量指标表现形式是绝对数，也可表现为绝对差数 。
第一节 总量指标 (绝对指标 )
例如,2005年我国财政收入 30510亿元，财政支出
33510亿元，财政赤字 3000亿元。
作用,
总 量指标能反映一个国家的基本国情和
国力，反映某部门、单位等人、财,
物的基本数据 。
总 量指标是进行决策和科学管理的依据
之一 。
总 量指标是计算相对指标和平均指标的
基础。
按其反映的内容不同可分为,
- 总 体单位总量 —— 说明总体的单位数数量。
- 标 志总量 —— 说明总体中某个标志值总和的量。
二,总量指标的分类
?
?
工 资 总 额
平 均 工 资
工 人 人 数
工 人 人 数
每 个 企 业 平 均 工 人 数
企 业 数
例
按其反映的时间状况不同可分为,
时 期指标 —— 反映现象在某一时期发展过程的总
数量。 (可连续计数，与时间长短有关，是累计
结果 )
时 点指标 —— 反映现象在某一时刻的状况。
(间断计数，与时间间隔无关，不能累计 )
计算原则,
3.计 量单位必须一致。
2.明 确的统计含义。
1.现 象的同类性。
三,总量指标的计算
根据总量指标所反映的社会经济现象
性质不同，计量单位分三种形式,
(1) 实 物单位
a,自然单位：辆、双、头、根、个 ……
b,度量衡单位：吨、米、克、立方米 ……
c,双重单位：公里 /小时、人 /平方公里 ……
d,复合单位：吨公里、公斤米、千瓦小时 ……
对有些性质相同但规格或含量不同的产品总
量的计算，要按折合标准实物量的方法计算。
例如,能源统计以标准燃料每千克发热量
7000Kcal为标准单位。
(2) 价 值单位 (货币单位 )
货币单位有现行价格和不变价格之分 。
价值单位使不能直接相加的产品产量过渡
到能够加总，用于综合说明具有不同使用
价值的产品生产总量或商品销售量等的总
规模、总水平 。
(3) 劳 动单位
工时 —— 工人数和劳动时数的乘积；
台时 —— 设备台数和开动时数的乘积。
例
由于具体条件不同，不同企业的劳动量指标不
具有可比性，因此，劳动量指标只限于企业内
部使用。
第二节 相对指标
是两个有联系的绝对指标之比。
2005年我国对外贸易进口总额增长率为
16.1%，出口总额增长率为 25.7%。
例
一、相对指标的概念
企业 8月份劳动生产率
(万元 )
7月份劳动生产率
(万元 )
8月比 7月发展速度
（ %）
甲 2 1.94 103.09 + 600元
乙 0.56 0.52 107.69 + 400元
从上表中看来，好象甲厂比乙厂劳动生
产率高 （ ∵ 600>400）；而将其换算成相
对指标，实际发展速度是乙厂大于甲厂。由
此可看出相对指标可以弥补总量指标的不足。
例
- 人口密度,人 /平方公里
- 平均每人分摊的粮食产量,千克 /人
- 系数或倍数,是将比的基数抽象化为 1；
- 成数,是将比的基数抽象化为 10；
- 百分数,是将比的基数抽象化为 100；
- 千分数,是将比的基数抽象化为 1000。
相对指标的数值有两种表现形式,
无 名数，分以下几种,
有 名数
100%实 际 完 成 数计 划 完 成 相 对 数
计 划 数
??
(一 ) 计划完成相对指标
二、相对指标的种类及其计算
1.计 算公式
(1) 根 据绝对数来计算计划完成相对数
220 1 0 0 % 1 1 0 %
200? ? ?总 产 值 计 划 完 成 相 对 数
计算结果表明该厂超额 10%完成总产值计划。
设某工厂某年计划工业总产值为 200万元，实际
完成 220万元，则,
(2) 根 据平均数来计算计划完成相对数
1 0 0 %
实 际 平 均 指 标
计 算 公 式 为,
计 划 平 均 指 标
?
某化肥厂某年每吨化肥计划成本为 200元，实
际成本为 180元，则,
%90%100200180 ???成本计划完成相对数
实际单位成本 -计划单位成本 =180-200=-20(元 )
计算结果表明该厂化肥单位成本实际比计划降
低了 10%，平均每吨化肥节约生产费用 20元。
例
(3)根 据相对数来计算计划完成相对数
某企业生产某产品，上年度实际成本为 420元 /吨，
本年度计划单位成本降低 6%，实际降低 7.6%，则,
∴ 比计划多完成 1.71%；
%29.98%100%61 %6.71 ?????对数成本降低率计划完成相
例
本题也可换算成绝对数计算,
%29.98%1 0 08.3 9 4 08.3 8 8 ??∴
计划 -6% ～ 394.8元 /吨 [(1-6%) × 420]
实际 –7.6% ～ 388.08元 /吨 [(1-7.6%) × 420]
某企业计划规定劳动生产率比上年提高 10%，实
际比上年提高 15%，则,
∴ 劳动生产率超额 4.5%完成计划任务。
%5.104%100%101 %151 ?????对数劳动生产率计划完成相
例
以五年计划来说明这个问题。
2.长 期计划的检查
(1) 水 平法
计算公式为,
100%五 年 计 划 末 年 实 际 达 到 的 水 平五 年 计 划 完 成 程 度
五 年 计 划 中 规 定 的 末 年 水 平
??
某产品计划规定第五年产量 56万吨，实际第五年
产量 63万吨，则,
那么, 提前多少时间完成计划？
%5.1 1 2%1 0 05663 ???计划完成程度
例
月份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十
一
十
二
合计
第四年 3.5 3.5 4 3.8 4 3.8 4 (4 (5 5 5 4 49.6
第五年 4 4 4 5 5 5 5) 6) 6 6 6 7 63
第四年 9月 ～ 第五年 8月 产量合计 57万吨
第四年 8月 ～ 第五年 7月 产量合计 55万吨
现假定第四年、第五年各月完成情况如下,
(单位：万吨 )
正好生产 56万吨的时间应是第四年八月第 X天到
第五年八月第 (31-X)天 。 图示如下,
563131651314 ???? )( XX
∴ X = 15.5 (天 )
即提前四个月又 15天半完成五年计划 。
51
(31-x)
56
(31-x) x x
第四年 9月 ～第五年 7月 第四年 8月 第五年 8月
（ 2） 累 计法
计算公式为,
100%五 年 计 划 期 间 实 际 累 计 完 成 数五 年 计 划 完 成 程 度 五 年 计 划 规 定 的 累 计 数??
某五年计划的基建投资总额为 2200亿元，五年内实
际累计计划完成 2240亿元，则,
假定计划提前完成，如果 2001--2005年间基建投资总
额计划为 2200亿元，实际至 2005年 6月底止累计实际
投资额已达 2200亿元，则提前半年完成计划。
%8.101%1002 2 0 02 2 4 0 ???计划完成程度
例
(二 ) 结 构相对指标
计算公式为,
100%
总 体 某 部 分 数 值
结 构 相 对 数
总 体 全 部 数 值
??
上海, 十五, 期间 GDP构成（ %）
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年
第一产业 1.73 1.63 1.49 1.30 0.87
第二产业 47.58 47.42 50.09 50.85 48.95
第三产业 50.69 50.95 48.42 47.85 50.18
例
(三 ) 比 例相对指标
计算公式为,
?
总 体 中 某 部 分 数 值
比 例 相 对 数
总 体 中 另 一 部 分 数 值
常 用的比例形式有两种,
1,将作为比较基础的数值抽象化为 1,10、
100或 1000，看被比较的数值是多少。
我国 2000年第五次人口普查结果，男女性别比
例为 106.74, 100，这说明以女性为 100，男性人口
是女性人口数的 106.74倍。简称性比例 106.74。目
前已上升到 116.86,100。
例
2,首先将总体全部数值抽象化为 100，求得
各部分数值在总体中所占百分数，然后将各
部分的百分数连比得比例相对数。
2005年上海 GDP抽象化为 100，第一产业、第二
产业、第三产业的比例为,0.87︰ 48.95︰ 50.18。
例
(四 ) 比 较相对指标 (类 比相对指标 )
计算公式为,
100%
某 条 件 下 的 某 类 指 标 数 值
比 较 相 对 数
另 一 条 件 下 的 同 类 指 标 数 值
??
计 算比较相对数时，作为比较
基数的分母可取不同的对象，一般
有两种情况,
① 比 较标准是一般对象,如,
这时,分子与分母的位臵可以互换。
%100)( )( ?? 同类现象的水平单位乙地区 某一现象的水平单位甲地区比较相对数
② 比 较标准 (基数 )典型化,如,
把企业的各项技术经济指标都和国家规定的质
量水平比较，和同类企业的先进水平比较，和国外
先进水平比较等，这时,分子与分母的位臵不能互
换。
某年有甲、乙两企业同时生产一种性能相同的
产品，甲企业工人劳动生产率为 19,307元，乙企业
为 27,994元。
%69%1002 7 9 9 41 9 3 0 7 ???相对数两企业劳动生产率比较
说明甲企业劳动生产率比乙企业低 31% 。
例
(五 ) 强 度相对指标
计算公式为,
? 某 一 总 量 指 标 数 值强 度 相 对 数
另 一 性 质 不 同 但 有 一 定 联 系 的 总 量 指 标 数 值
① 一般用复名数表示；
② 也有少数用百分数或千分数表示 。
1.强 度相对数的数值表示有两种方法,
用百分数表示
说明平均每百元销售额负担多少流通费。
产值利润率、资金利润率一般用千分数表示 。
纯销售额
流通费用额商品流通费用率 ?
例
某城市人口 100万人，有零售商业机构 5000个，则,
)/(200
5 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
)/(5
1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0
个人
个
人
商业网密度的逆指标
千人个
人
个
商业网密度的正指标
??
??
例
2.有 些强度相对数有正、逆两种计算方法,
(六 ) 动 态相对指标
计算公式为,
100%报 告 期 水 平动 态 相 对 数
基 期 水 平
??
基 期 —— 作为对比标准的时间
报 告期 —— 同基期比较的时期，也称计算期
2.相 对指标要和总量指标结合起来运用。
1.注 意二个对比指标的可比性。
三、正确运用相对指标的原则
年份 1949 1950 1978 1979 1986 1987
钢产量 (万吨 ) 15.8 61 3178 3448 5220 5628
发展速度 (%) 100.0 386 100 108.5 100 107.8
增长量 (万吨 ) - 45.2 - 270 - 408
增长 1%绝对值
(万吨 )
- 0.16 - 31.8 - 52.2
我国历年钢产量发展情况
1001
基期水平
增长百分比
增长量绝对值增长 ??%
例
4.在 比较二个相对数时，是否适宜相除再求一个
相对数，应视情况而定。若除出来有实际意义，
则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用百分点
表示之。
(百分点 —即百分比中相当于百分之一的单位 )
3.多 种相对数结合运用
第三节 平均指标
2.特 点
- 数量抽象性
- 集中趋势代表性
1.概 念 平均指标是指在同质总体内将各单位某
一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具
体条件下的一般水平。
一、平均指标的意义和作用
- 比 较作用
a,同类现象在不同空间的对比。
b,同一总体在不同时间上的比较。
- 利 用平均指标可以分析现象之间的依存关系
- 利 用平均指标可以进行数量上的推算，还可以
作为论断事物的一种数量标准或参考
3.作 用
4.种 类
算术平均数
数值平均数 调和平均数
几何平均数
众数
位臵平均数
中位数
hX
oM
eM
GX
X
? 总 体 标 志 总 量算 术 平 均 数
总 体 单 位 总 数
1.算 术平均数的基本公式
二、算术平均数
XX
n
??
式中, —— 算术平均数
X —— 各单位的标志值
n —— 总体单位数
—— 总和符号
X
?
2.简 单算术平均数
XfX
f
???
?
式中, —— 算术平均数
X —— 各组数值
f —— 各组数值出现的次数 (即权数 )
X
3.加 权算术平均数
设某厂职工按日产量分组后所得组距数列如下，据此求平均日产量。
按日产量分组
(千克 )
组中值 X
(千克 )
工人数 f
(人 )
Xf
60 以下 55 10 550
60 – 70 65 19 1235
70 – 80 75 50 3750
80 – 90 85 36 3060
90 – 100 95 27 2565
100 – 110 105 14 1470
110 以上 115 8 920
合 计 - 164 13550
)(62.8216413550 千克平均日产量 ???? ?? f fXX
例
fXf
XX
ff
?? ? ?
?
??
在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数
系数来求加权算术平均数，其公式为,
按日产量分组
(千克 )
组中值 X
(千克 )
工人数 f (人 )
f f / ∑f
60 以下 55 10 0.06 3.3
60 – 70 65 19 0.12 7.8
70 – 80 75 50 0.30 22.5
80 – 90 85 36 0.22 18.7
90 – 100 95 27 0.16 15.2
100 – 110 105 14 0.09 9.45
110 以上 115 8 0.05 5.75
合 计 - 164 1.00 82.7
?? f
fX
加 权算术平均数受两因素的影响,
- 变量值大小的影响。
- 次数多少的影响 。 X
而简单算术平均数只反映变量值大小这一
因素的影响。
加 权算术平均数与简单算术平均数不同在于,
① 各 个变量值与算术平均数离差之和等于零
4.算 术平均数的数学性质
? ?? 0)( XX
简单平均数,
加权平均数,
0??? fXX )(
② 各 个变量值与算术平均数离差平方之和
等于最小值
2
2
()
()
???
???
X
Xf
X
X
简 单 平 均 数, 最 小 值
加 权 平 均 数, 最 小 值
△ 算 术平均数的特点
算术平均数适合用代数方法运算，因此运用
比较广泛；
易受极端变量值的影响，使 的代表性变小；
受极大值的影响大于受极小值的影响；
当组距数列为开口组时，由于组中点不易确
定，使 的代表性也不很可靠。 X
X
调和平均数是各个变量值倒数的
算术平均数的倒数 。
三、调和平均数 (又称, 倒数平均数, )
其 计算方法如下,
1h
nX
X
?
?
1( 1 ),先 计 算 各 个 变 量 值 的 倒 数, 即
X 1
( 2 ), 计 算 上 述 各 个 变 量 值 倒 数 的 算 术 平 均 数, 即 Xn
?
( 3 ),,1再 计 算 这 种 算 术 平 均 数 的 的 倒 数, 就 是 调 和 平 均 数 即 n
X?
1在 加 权 的 情 况 下, h
f
X
f
X
? ?
?
在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定
权数的加权调和平均数。 即有以下数学关系式成立,
m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次
数，而是各组标志值总量。
1
式 中,,
h
Xf Xf m
XX
mf
Xf
XX
m
m Xf f
X
? ? ? ?
??
? ? ?
? ??
已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下,
市场 平均价格 (元 )
X
销售额 (元 )
m=Xf
销售额 (元 ) ÷ 平均价格 (元 )
(即销售量 )
甲 1.00 30 000 30 000
乙 1.50 30 000 20 000
丙 1.40 35 000 25 000
合计 - 95 000 75 000
fXm?
)(27.1000,75 000,951 元总平均价格 ???
?
?
mX
mX
h
1.由 平均数计算平均数时调和平均数法的应用,
例
某公司有四个工厂，已知其计划完成程度 (%)及实际产值资料如下,
工厂 计划完成程度 (%)
X
实际产值 (万元 )
m=Xf
实际产值 ÷ 计划完成程度 (%)
(即计划产值 ) (万元 )
甲 90 90 100
乙 100 200 200
丙 110 330 300
丁 120 480 400
合计 - 1,100 1,000
fXm?
%110000,1 100,11 ???
?
?
mX
m平均完成计划程度
2.由 相对数计算平均数时调和平均数法的应用,
例
△ 调 和平均数的特点
如果数列中有一标志值等于零，则无法
计算 ；
较之算术平均数,受极端值的影响要小 。 hX
hX
1.简 单几何平均数
四、几何平均数 (又称, 对数平均数, )
nn
nG XXXXX ???? ?21
n
XX
G
?? lglg )( l g
GG Xa rcX ?
计算时要进行对数变换，即,
例 某机械厂有铸造车间、机加工车间、装配车间三个连
续流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别
为 95%,92%,90%，求平均车间产品合格率 。
3 321 XXXX G ???解,
%.%%% 31929092953 ????
这说明该厂车间产品平均合格率为 92.31%
式 中, 为 各 变 量 值 的 次 数 或 权 数
将 公 式 两 边 取 对 数, 则 为,
1 2 1 2
12
1 1 2 2
12
lgl g l g l g
lg
( l g )
L
L
L
L
nn
G
G
GG
f
ff f f f f f
n
nn
n
X X X X X
f
fXf X f X f X
X
f f f f
X arc X
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
2.加 权几何平均数
投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的,25年的年利
率分配是：有 1年为 3%，有 4年为 5%，有 8年为 8%，有 10年
为 10%，有 2年为 15%，求平均年利率。
本利率 (%)
X
年数
f
本利率的对数
lgX
f· lgX
103 1 2.0128 2.0128
105 4 2.0212 8.0848
108 8 2.0334 16.2672
110 10 2.0414 20.4140
115 2 2.0607 4.1214
合计 25 - 50.9002
例
%6.10 8)03 60.2()( l g
03 60.2
25
90 02.50lg
lg
???
???
?
?
ar cXar cX
f
Xf
X
GG
G
这就是说,25年的平均本利率为 108.6%，年平均
利率即为 8.6%。
△ 几 何平均数的特点
如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法
计算 ；
受极端值的影响较 和 小；
它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总
标志值是各单位标志值的连乘积。
GX
X hX
由定义可看出众数存在的条件,
1.概 念, 众数是在总体中出现次数最多的那个标志值
五、众数 M0
M0 M0 M0
M0 M0
若有两个次数相等的众数，则称复众数。
① 只 有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才
存在众数。
下三图无众数,
② 在 单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时,
计算众数是没有意义的。
① 根 据单项数列确定众数 ；
价格 (元 ) 销售数量 (千克 )
2.00 20
2.40 60
3.00 140
4.00 80
合计 300
某种商品的价格情况
众数 M0=3.00(元 )
2.众 数的计算方法
例
② 根 据组距数列确定众数
⑵ 利 用比例插值法推算众数的近似值。
⑴ 由 最多次数来确定众数所在组；
按日产量分组 (千克 ) 工人人数 (人 )
60以下 10
60 - 70 19
70 - 80 50
80 - 90 36
90-100 27
100-110 14
110以上 8
表中 70-80，即众数所在组。
例
计 算众数的近似值,
dXM L ???? ???
21
1
0
下限公式,
上限公式, dXM
U ????
???
21
2
0
由下限公式，日产量众数 )(.
)()( 千克89761036501950
195070 ??
???
???
由上限公式，日产量众数 )(.
)()( 千克89761036501950
365080 ??
???
???
△ 众 数的特点
众 数是一个位臵平均数，它只考虑总体分布
中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的
影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。
不受极端值和开口组数列的影响。
众 数是一个不容易确定的平均指标，当分布
数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无
众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的
位臵也不好确定。
① 由 未分组资料确定中位数
1 ()
2中 位 数 的 位 置 为 总 体 单 位 数
n n??
2.中 位数的计算方法
1.概 念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列,
居于中间位臵的那个标志值就是中位数。
六、中位数 Me
⑴ n为奇数时，则居于中间位臵的那个标志值
就是中位数。
)(26263
3
2
15
2
1
3029262320
件件产品为中位数：位工人日产即，第
中位数位置
，，，，
件数，按序排列如下：有五个工人生产某产品
?
?
?
?
?
?
e
M
n例
⑵ n为偶数时，则中间位臵的两个标志值的算术
平均数为中位数。
)(5.27
2
2926
5.3
2
16
2
1
323029262320
件
至第四人的平均数：这表明中位数是第三、
中位数位置
，，，，，
序排列如下：人生产某产品件数，按上例中，假如有六个工
?
?
?
?
?
?
?
?
e
M
n
② 由 单项数列确定中位数
某企业按日产零件分组如下,
按日产零件分组
（件）
工人数
（人）
较小制累计 较大制累计
26 3 3 80
31 10 13 77
32 14 27 67
34 27 54 53
36 18 72 26
41 8 80 8
合计 80 - -
)(34
402802
件即
中位数位置
?
??? ?
eM
f
例
③ 由 组距数列确定中位数
按日产量分组
(千克 )
工人数
(人 )
较小制累计 较大制累计
50 – 60 10 10 164
60 – 70 19 29 154
70 – 80 50 79 135
80 – 90 36 115 85
90–100 27 142 49
100-110 14 156 22
110以上 8 164 8
合计 164 - -
组距内。即中位数在
中位数位置
9080
82216 42
?
??? ? f
d
f
Sf
XM
m
m
Le ?
?
??
?
?
12
下限公式 （较小制累计时用）,
)(,千克83801036
7921 6 4
80 ??
?
??
上限公式 （较大制累计时用）,
)(,千克83801036
4921 6 4
90 ??
?
??
d
f
Sf
XM
m
m
Ue ?
?
??
?
?
12
① 中 位数不受极端值及开口组的影响,
具有稳健性 。
② 各 单位标志值与中位数离差的绝对值之和
是个最小值。
③ 对 某些不具有数学特点或不能用数字测定的
现象，可用中位数求其一般水平。
m i n m i n即, 或eeX M X M f? ? ? ???
3.中 位数的特点
hGX X X、,
（一） 三者的关系
hGX X X??
表示为,
七、各种平均数之间的相互关系
87.7
16.7
5.8
121084
?
?
?
G
h
X
X
X
，，，变量值
例
f 如图,
0MMX e ??
0eX M M、
(二） 三者的关系
0即 eX M M??
1.当 总体分布呈对称状态时，三者合而为一,
0( 1 ), 如 果 分 布 右 偏, 则 eX M M??
如图,f
X X0M eM
2,当 总体分布呈非对称状态时
0( 2 ), 如 果 分 布 左 偏, 则 eX M M??
如图,f
X X 0MeM
所以
0?? )( oMX如果, 则说明分布右偏（或上偏）
0?? )( oMX如果, 则说明分布左偏（或下偏）
0?? )( oMX如果, 则说明分布对称
所以分布右偏。，
元
)(900)1 0 002700(
3
1)2(
3
1
0
0
MMX
XMM
e
e
??
??????
?
一组工人的月收入众数为 700元，月收入的算术平均数
为 1000元，则月收入的中位数近似值是,
例
根据卡尔 ·皮尔逊经验公式，还可以推算出,
XMM e 230 ??
)( XMM oe 231 ??
)( oe MMX ?? 321
1.平 均指标只能适用于同质总体。
2.用 组平均数补充说明总平均数。
八、平均指标的运用原则
某生产小组基期有工人 15人，报告期人数增加到 30人，两
时期各技术等级的工人数和工资总额如下,
级别 基 期 报 告 期
工人数
(人 )
比重
(%)
工资总额
(元 )
平均工资
(元 )
工人数
(人 )
比重
(%)
工资总额
(元 )
平均工资
(元 )
二级工 2 13.3 1000 500 16 53.3 9600 600
四级工 8 53.3 7200 900 10 33.3 10000 1000
七级工 5 33.4 7500 1500 4 13.4 6800 1700
合计 15 100.0 15700 1047 30 100.0 26400 880
例
某工业部门 100个企业年度利润计划完成程度资料如下,
按计划完成程度分组 (%) 企业数
85- 89.9 2
90- 94.9 8
95- 99.9 10
100-104.9 40
105-109.9 30
110-114.9 10
合 计 100
经计算,100个企业年度平均利润计划完成程度为 103.35％。
3.用 分配数列补充说明平均数
例
① 标 志变动度是评价平均数代表性的依据 。
第四节 标志变动度
2.作 用,
1.概 念,标志变动度是指总体中各单位标志值差
别大小的程度，又称离散程度或离中程度。
一、标志变动度的意义、作用和种类
甲、乙两学生某次考试成绩列表
语文 数学 物理 化学 政治 英语
甲 95 90 65 70 75 85
乙 110 70 95 50 80 75
甲、乙两学生的平均成绩为 80分，集中趋势
一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙
组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数
的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据
分布越集中，平均数的代表性越大 。
例
② 标 志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动
过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度 。
供货计划完成百分比 (%)
季度总供货计
划执行结果
一月 二月 三月
钢
厂
甲 100 32 34 34
乙 100 20 30 50
例
3.种 类 即测定标志变动度的方法,主要有：
全距、四分位差、平均差、标准差、离散系
数等。
全 距 R
四分位差 Q.D,
平 均 差 A.D,
标 准 差 S.D.(σ)
离散系数 Vσ
① 优 点,计算方便，易于理解。
② 缺 点,全距只考虑数列两端数值差异，它是测定
标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各
单位标志的变异程度。
m a x m i n R X - X即, ?
1,全 距是总体各单位标志值最大值和最小值之差,
2,全 距的特点
二、全距 R
1.概 念, 将总体各单位的标志值按大小顺序
排列，然后将数列分为四等分，形成三个分
割点 (Q1,Q2,Q3),这三个分割点称为四分
位数,(其中第二个四分位数 Q2就是数列的
中位数 Me)。
四分位差 Q.D.=Q3-Q1
三、四分位差 Q.D,
13
3 ( 1 )1
44
()
的 位 置, 的 位 置
为 变 量 值 的 项 数
nnQQ
n
????
① 根 据未分组资料求 Q.D,
2.计 算,
岁。且他们之间最大差异为
岁之间，至人的年龄集中在这表明，该小组有一半
岁
岁则的位置
岁则的位置
，，，，，，为：岁人年龄某外语补习小组
9
2819
)9(19-28Q-QQ,D,
)28(Q,6
4
)17(3
Q
)19(Q,2
4
17
Q
34 28 25 24 22 19 17)(7
13
33
11
????
??
?
?
??
?
??
例
② 根 据分组资料求 Q.D,
13
f 3f1 ) Q,Q
44的 位 置 的 位 置 ????
2) 若单项数列，则 Q1与 Q3所在组的标志值就是 Q1与 Q3
的数值；
若组距数列，确定了 Q1与 Q3所在组后，还要用以下
公式求近似值,
1311
1 1 1 3 3 3
13
3
44 QQ
ff
SS
Q L d Q L d
ff
????
? ? ? ? ? ?
??
根据某车间工人日产零件分组资料，求 Q.D,
按日产零件分组 (件 ) 工人数 (人 ) 累计工人数 (人 )(较小制 )
5-10 12 12
10-15 46 58
15-20 36 94
20-25 6 100
合 计 100 -
例
95.541.1136.17..
)(36.175
36
58
4
1003
15Q )(41.115
46
12
4
100
10Q
Q,75
4
1003
Q
Q,25
4
100
13
31
33
11
??????
??
?
?
????
?
???
?
?
?
??
QQDQ
Q
件件
在第三组则的位置
在第二组则的位置
这表明有一半工人的日产量分布在 11.41件至
17.36件之间，且相差 5.95件。
① 四 分位差不受两端各 25%数值的影响，能对开口
组数列的差异程度进行测定；
② 用 四分位差可以衡量中位数的代表性高低；
③ 四 分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描
述的只是次数分配中一半的离差，所以也是一个
比较粗略的指标。
3,四 分位差的特点
平 均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对
离差的平均数。
X - X
( 1 ) A,D,
n
X - X
( 2 ) A,D,
其 计 算 公 式 为,
未 分 组 资 料,
分 组 资 料,
f
f
?
?
?
?
?
1.概 念和计算,
四、平均差 A.D,
以某车间 100个工人按日产量编成变量数列的资料,
)(6.6
100
660
.,
)(42
100
4 2 00
X
千克
千克
??
?
?
???
?
?
f
fXX
DA
工人按日产
量分组 (千克 )
工人数 (人 )
f
组中值
X
Xf
20-30 5 25 125 -17 85
30-40 35 35 1225 -7 245
40-50 45 45 2025 3 135
50-60 15 55 825 13 195
合 计 100 - 4200 - 660
XX? fXX ?
例
① 平 均差是根据全部标志值与平均数离差而计算
出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度；
② 平 均差计算有绝对值符号，不适合代数方法的
演算使其应用受到限制。
2.平 均差的特点
标 准差是离差平方平均数的平方根，故又称
,均方差, 。
其意义与平均差基本相同。
1.概 念和计算,
五、标准差 S.D.(σ)
2
2
? ?
?
? ?
?
?
( x )
n
f( x )
f
x
x
?
?
)(85.14164 5 6 1 6.3 6 1 7 2)( 2 千克???? ?? f fXX?
工人按日产量
分组 (千克 )
工人数 (人 )
f
组中值
X
50- 60 10 55 -27.62 7628.644
60- 70 19 65 -17.62 5898.8236
70- 80 50 75 -7.62 2903.9184
80- 90 36 85 2.38 203.9184
90-100 27 95 12.38 4138.1388
100-110 14 105 22.38 7012.1016
110以上 8 115 32.38 8387.7152
合 计 164 - - 36172.5616
XX? fXX 2)( ?
)(62.82X 千克由前计算得,?
例
在组距数列中，结合算术平均数的简捷公式，可得标准差
的简捷法公式如下,
2
2
()
式 中, 为 数 列 中 间 组 的 组 中 值, 为 该 组 组 距
XAXA
ff
dd
d
ff
Ad
?
?? ????
????
??
? ? ?
??
??
??
??
工人按日产量
分组 (千克 )
工人数 (人 )
f
组中值
X
50- 60 10 55 -3 -30 9 90
60- 70 19 65 -2 -38 4 76
70- 80 50 75 -1 -50 1 50
80- 90 36 85 0 0 0 0
90-100 27 95 1 27 1 27
100-110 14 105 2 28 4 56
110以上 8 115 3 24 9 72
合 计 164 - - -39 - 371
10,85 ?? dA
10AX? fAX10?
2
10 ?????? ? AX fAX
2
10 ?????? ?
)(85.14100 5 6 5 5.02622.2
10
2
164
39
164
371
2
2)(
千克????
?????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
f
f
d
AX
f
f
d
AX
?
例
2.交 替标志的标准差
在社会经济统计中，有时把社会经济现
象的总体单位，分为具有某种标志的单位和
不具有这种标志的单位两组。
统计中，用“是”、“否”或“有”、
“无”来表示的标志，称为交替标志，也称
是非标志 。
N,N1,N2
N1是具有某种标志的单位数 N1=P
N2是不具有这种标志的单位数 N2=1-P
具有某种标志 ——变量为 1
不具有这种标志 ——变量为 0
X f Xf
1 N1(P) P 1-p (1-P)2 P(1-P)2
0 N2(1-p) 0 -p P2 (1-P)P2
合计 1 P - - P(1-P)2+P2(1-P)
XX? 2)( XX ? ? ? fXX 2?
)1(
)1)(1()(
1
2
PP
f
PPPP
f
fXX
P
P
f
Xf
X
??
?
???
?
?
? ???
??
?
??
?
?
① σ 与 R的关系
② σ 与 A.D.的关系
经 验表明，当分布数列接近于正态分布时,R和
σ 之间存在以下经验公式,
R为 4至 6个 σ,当标志值项数较少时,R≈4σ
当标志值项数较多时,R≈6σ
对 同一资料，所求的平均差一般比标准差要
小，即 A.D.≤ σ
3.标 准差与全距、平均差的关系
离 散系数，是各种变异指标与平均数的比
率。反映总体各单位标志值的相对离散程度，
最常用的是标准差系数。
100%??V
X
?
标 准 差 系 数 计 算 公 式 为,
六、离散系数 Vσ
乙组大于甲组。散程度大于乙组，而是计算表明，并非甲组离
计算离散系数来比较：组的水平相差悬殊，应都是不妥的。因为这两
数代表性高于甲组，于乙组，或乙组的平均而断言甲组离散程度大
件，件
，，，，乙组：
件，件
，，，，甲组：
资料：件产量两组不同水平的工人日
乙
甲
乙甲
乙
乙
甲
甲
%7.48%100
7
3,41
V
%1.10%100
70
7,07
V
)(41.3 )7(X
21 9 7 5 2
)07(.7 )70(X
80 75 70 65 60
)(
???
???
?
??
??
??
?
?
?
例
End of Chapter 3
