第六章 抽样调查
第一节 抽样调查的意义及基本概念
一、抽样调查的意义
一 般所讲的抽样调查，即指狭义的抽样
调查 (随机抽样 )：按照随机原则从总体中抽
取一部分单位进行观察，并运用数理统计的
原理，以被抽取的那部分单位的数量特征为
代表，对总体作出数量上的推断分析。
二、抽样调查的适用范围
抽 样调查方法是市场经济国家在调查方法
上的必然选择，和普查相比，它具有准确度高、
成本低、速度快、应用面广等优点。
1.实 际工作不可能进行全面调查观察，而又需要了解
其全面资料的事物；
2.虽 可进行全面调查观察，但比较困难或并不必要；
3.对 普查或全面调查统计资料的质量进行检查和修正；
4.抽 样方法适用于对大量现象的观察，即组成事物
总体的单位数量较多的情况；
5.利 用抽样推断的方法，可以对于某种总体的假设
进行检验，判断这种假设的真伪，以决定取舍。
一般适用于以下范围,
三、抽样调查的基本概念
(一 ) 全及总体和抽样总体 (总体和样本 )
全 及总体：所要调查观察的全部事物。
总体单位数用 N表示。
抽 样总体：抽取出来调查观察的单位。
抽样总体的单位数用 n表示。
n ≥ 30 大样本
n < 30 小样本
(二 ) 全及指标和抽样指标 (总体指标和样本指标 )
全 及指标：全及总体的那些指标。
抽 样指标：抽样总体的那些指标。
xX
pP
所 谓, 就 是 用 抽 样 指 标 来 推 断 全 及 指 标 。
是 用 抽 样 平 均 数 推 断 全 及 平 均 数, 从 而 推 断
总 体 标 志 总 量
是 用 抽 样 成 数 推 断 全 及 成 数, 从 而 推 断 总
推 断
一
体二
单 位 总 量
22 s
s
?
?
?
?
?
?
?
在 抽 样 调 查 中 应 用 的 总 体 指 标 和 样 本 指 标 还 有,
方 差, 总 体 方 差, 样 本 方 差
标 准 差, 总 体 标 准 差, 样 本 标 准 差
抽 样框 —— 即总体单位的名单，是指对可以选择作为
样本的总体单位列出名册或顺序编号，以
确定总体的抽样范围和结构。
样 本数 —— 指从总体中可能抽取的样本的数量。
样 本容量 —— 指一个样本所包括的单位数。
第二节 抽样调查的组织形式
通常有以下四种组织形式,
一、简单随机抽样 (纯随机抽样 )
即从总体单位中不加任何分组、排队，
完全随机地抽取调查单位。
随机抽选可有各种不同的具体做法，如,
1.直接抽选法；
2.抽签法；
3.随机数码表法；
二、类型抽样 (分类抽样 )
先对总体各单位按一定标志加以分类
(层 )，然后再从各类 (层 )中按随机原则抽
取样本，组成一个总的样本。
类型的划分,
一 是必须有清楚的划类界限；
二 是必须知道各类中的单位数目和比例；
三 是分类型的数目不宜太多。
类型抽样的好处是,
样 本代表性高、抽样误差小、抽样调查
成本较低。如果抽样误差的要求相同的话则
抽样数目可以减少。
两种类型,
1.等 比例类型抽样 (类型比例抽样 )；
2.不 等比例类型抽样 (类型适宜抽样 )。
三、机械抽样 (等距抽样 )
先 将全及总体的所有单位按某一标志
顺序排队，然后按相等的距离抽取样本单
位。
排列次序用的标志有两种,
1,选 择标志与抽样调查所研究内容无关,
称无关标志排队。
2,选 择标志与抽样调查所研究的内容有关,
称有关标志排队。
研究工人的平均收入水平时，按工号排队。 例
研究工人的生活水平，按工人月工资额高
低排队。
例
机械抽样按样本单位抽选的方法不
同，可分为三种,
1.随 机起点等距抽样
k k k
k+a 2k+a (n-1)k+a
a
k
(k为抽取间隔 )
示意图,
2.半 距起点等距抽样
k k k
k
(k为抽取间隔 )
2
k
2
kk?
22
kk?
2)1(
kkn ??
示意图,
3.对 称等距抽样
示意图,
k k k
2k-a 2k+a 4k-a 4k+a
a
k
(k为抽取间隔 )
机械抽样的好处,
1,可 以使抽样过程大大简化，减轻抽样的
工作量；
2,如 果用有关标志排队，还可以缩小抽样
误差，提高抽样推断效果。
机械抽样,实际上是一种特殊的类
型抽样。因为，如果在类型抽样中，把
总体划分为若干相等部分，每个部分只
抽一个样本，在这种情况下，则类型抽
样就成了机械抽样。
四、整群抽样
整群抽样 即从全及总体中成群地抽取样本单位，
对抽中的群内的所有单位都进行观察。
整群抽样的好处,组织工作比较简单方便，
适用于一些特殊的研究对象。其不足之处是，一般比
其它抽样方式的抽样误差大。
五、多阶段抽样
即把抽样本单位的过程分为两个或几个
阶段来进行。
（如果一次就直接抽选出具体样本单位，这叫单阶
段抽样）具体讲,① 先抽大单位 (可以用类型抽样
或机械抽样 ),②再在大单位中抽小单位 (可用整
群抽样或简单随机抽样 )，③小单位中再抽更小的
单位；而不是一次就直接抽取基层的调查单位。
六、重复抽样和不重复抽样
以上每一种组织方式又有不同的抽取样本方
法 (机械抽样和整群抽样没有重复抽样 ),
重复抽样,又称有放回抽样。
不重复抽样,又称不放回抽样。
1 1 1
5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 LL，,,例
1 1 1
5 0 0 0 4 9 9 9 4 9 9 8 LL，,,例
第三节 抽样平均误差
一、抽样误差的概念及其影响程度
在统计调查中，调查资料与实际情况不一致，
两者的偏离称为统计误差。 ?
?
??
? ?
? ??
???
? ? ?
登 记 误 差
系 统 性 误 差
统 计 误 差
代 表 性 误 差 实 际 误 差
随 机 误 差
抽 样 平 均 误 差
抽样误差 即指随机误差，这种误差是抽
样调查固有的误差，是无法避免的。
x X p P??
抽 样 误 差 就 是 指 样 本 指 标 和 总 体 指 标 之 间 数
量 上 的 差 别, 即, 。
抽样误差的影响因素,
1,全 及总体标志变异程度。 —— 正比关系
2,抽 样单位数目的多少。 —— 反比关系
3,不 同的抽样方式。
4,不 同的抽样组织形式。
抽样误差的作用,
1,在 于说明样本指标的代表性大小。
误差大，则样本指标代表性低；
误差小，则样本指标代表性高；
误差等于 0，则样本指标和总体指标一样大。
2,说 明样本指标和总体指标相差的一般范围。
二、抽样平均误差
抽样平均误差 实际上是样本指标的标准差。
通常用 μ 表示。在 N中抽出 n样本，从排列组
合中可以有各种各样的样本组,
1,如果是重复抽样,
1( 2 ) nnN N nDC ???考 虑 顺 序 的 重 复 抽 样,不
虑 顺 序 的 重 复 抽 样, 样 本 种 数
种
考
5
( 1 ) ( )
5 0 3 1 2,5 0 0,0 0 0
nn
NBN ?
?例
2,如果是不重复抽样,
)!(
!)())((
nN
NnNNNNA n
N ??????? 121 ?
⑴ 考虑顺序的不重复抽样,
例 )( 种2002512544647484950550 ??????A
⑵ 不考虑顺序的不重复抽样,
)!(!
!
nNn
NC n
N ??
例 )(
! 种760118212345
200251254
5
5
505
50 ???????
AC
2
10 20 30 40 50
X 30
()
5 25 ( )
??
五 户 家 庭 三 月 份 购 买 某 商 品 的 支 出,
元, 元, 元, 元, 元
元
现 从 五 户 中 抽 取 二 户 作 调 查,
如 果 为 重 复 抽 样 考 虑 顺 序
＝ 种
排 列 组 合 如 下,
例
10 10 10 -20 400
10 20 15 -15 225
10 30 20 -10 100
10 40 25 -5 25
10 50 30 0 0
20 10 15 -15 225
20 20 20 -10 100
20 30 25 -5 25
20 40 30 0 0
20 50 35 5 25
30 10 20 -10 100
30 20 25 -5 25
30 30 30 0 0
x样 本 平 均 数 xX?误 差 ? ?2xX?抽 取 样 本
x样 本 平 均 数 xX?误 差 ? ?2xX?抽 取 样 本
30 40 35 5 25
30 50 40 10 100
40 10 25 -5 25
40 20 30 0 0
40 30 35 5 25
40 40 40 10 100
40 50 45 15 225
50 10 30 0 0
50 20 35 5 25
50 30 40 10 100
50 40 45 15 225
50 50 50 20 400
合 计 - - 2 500
接左,
)(
)(10
25
2 5 0 0
)(
)(
2
为样本配合总数
元
抽样平均误差
n
n
Xx
x
???
? ?
???
以上资料编成次数分配表如下,
x 样本数 f (即次数分配 )
10 1 -20
15 2 -15
20 3 -10
25 4 -5
30 5 0
35 4 5
40 3 10
45 2 15
50 1 20
合计 25 -
xX?
2( x X )
f
f
? ???
?
?
∴ 抽样误差 是所有可能出现的样本指标的标
准差。它是由于抽样的随机性而产生的样本
指标与总体指标之间的平均离差。
2
5
54 1 0 ( ) X 3 0 ( )
21C
?? ? ?
? Q种 元
抽取样本
样本平均数
离差
10 20 15 -15 225
10 30 20 -10 100
10 40 25 -5 25
10 50 30 0 0
20 30 25 -5 25
20 40 30 0 0
20 50 35 5 25
30 40 35 5 25
30 50 40 10 100
40 50 45 15 225
合 计 - - 750
x xX? ? ?2xX?
)(66.810750)( 元抽样平均误差 ????? n )X-x( 2?? x
上例五户中抽取二户调查，如采取不考虑顺序的不重复抽
样方法，则,
三、纯随机抽样的抽样平均误差
(一 ) 平均数的抽样平均误差
或
x
x
2
n
n
?
??
?
??
1.重 复抽样
取得 σ 的途径有,
1,用 过去全面调查或抽样调查的资料，若同时有 n个
σ 的资料，应选用数值较大的那个；
2,用 样本标准差 S代替全及标准差 σ ；
3,在 大规模调查前，先搞个小规模的试验性的调查来
确定 S，代替 σ ；
4,用 估计的方法。
x
220
2 ( )100 小 时? ? ? ? ?
某灯泡厂从一天所生产的产品 10,000个中抽
取 100个检查其寿命，得平均寿命为 2000小时
(一般为重复抽样 )，根据以往资料,σ =20小
时,
根据以往资料，产品质量不太稳定，若 σ =200
小时,
)(20 小时于是,???
例
2.不 重复抽样,
2
x
Nn
n N 1
?
????
?
2
x
Nn
n
( 1 )
nN
?
? ? ?
但 实 际 中, 往 往 很 大, 很 小, 故 改 用 下 列 公 式,Q
x
4 0 0 1 0 0
( 1 ) 1,9 9 ( )
1 0 0 1 0 0 0 0
? ? ? ? ?
上 例 中, 若 为 不 重 复 抽 样, 则,
小 时
(二 ) 成数的抽样平均误差
已证明得,成数的方差为 p(1-p) p
p
p ( 1 p )
n
p ( 1 p ) n
( 1 )
nN
?
?
??
?
? ? ?
在 重 复 抽 样 情 况 下,
在 不 重 复 抽 样 情 况 下,
%1374.1)
15000
150
1(
150
)98.01(98.0
)1(
)1(
%14.1
150
)98.01(98.0)1(
%98
150
147
150 15000
???
??
??
?
?
?
??
?
?
??
??
??
N
n
n
pp
n
pp
p
nN
p
p
?
?
若按不重复抽样方式：
?
某玻璃器皿厂某日生产 15000只印花玻璃杯，现
按重复抽样方式从中抽取 150只进行质量检验，结
果有 147只合格，其余 3只为不合格品，试求这批印
花玻璃杯合格率 (成数 )的抽样平均误差。
例
四、类型抽样的抽样平均误差
在重复抽样情况下,
n
i
x
2?
? ?
N
N ii
i
?? 22 ??
2
i
x
n ( 1 )
nN
?? ? ?在 不 重 复 抽 样 情 况 下,
重 复 抽 样
在 成 数 情 况 下
：
：
p
p ( 1 p )
n
?
??
不 重 复 抽 样, p p ( 1 p ) n( 1 )
nN
?? ? ?
某农场种小麦 12000公顷，其中平原 3600公顷，丘陵 6000
公顷，山地 2400公顷，现用类型抽样法调查 1200公顷，以各
种麦田占全农场面积的比重分配抽样面积数量。
麦田类型抽样的平均误差计算表
类 型 全场播种面积
(公顷 )
抽样调
查面积
（公顷）
单位面积
产量不均
匀程度指
标 (千克 )
符 号 Ni
ni σ i
丘陵地区 6000 600 750 337500000
平原地区 3600 360 840 254016000
山 地 2400 240 1000 240000000
合 计 12000 1200 - 831516000
ii n2?
例
2
2
2
2
2
ii
i
i
ii
i
i
x
n 831516000
692 930 ( )
n 120 0
N
N
n
( 1 )
nN
692 930 120 0
( 1 ) 519,697 5 22.8 ( )
120 0 120 00
??
? ? ? ?
?
????
??
??
??
?
? ? ?
? ? ? ?
千 克
或
千 克
i i i
i
p
p ( 1 p ) n 186
P ( 1 P ) 1 5,5 %
n 1 2 0 0
p ( 1 p ) n 0,1 5 5 1 2 0 0
( 1 ) ( 1 ) 1,0 7 8 %
n N 1 2 0 0 1 2 0 0 0
??
? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
高产麦田比重的平均误差计算表
类别 高产田
比重 (%)
非高产田
比重 (%)
麦田不均匀
程度指标 (%)
抽样调查
面积 (公顷 )
pi(1-pi)ni
符号 pi 1-pi pi(1-pi) ni
丘陵 80 20 16 600 96.0
平原 90 10 9 360 32.4
山地 60 40 24 240 57.6
合计 - - - 1200 186
五、机械抽样 (等距抽样 )的抽样平均误差
1.若 按无关标志排队
公式用以上纯随机抽样的公式，一般采用
不重复抽样公式,
x
p
2
n
( 1 )
nN
p ( 1 p ) n
( 1 )
nN
?
? ? ?
?
? ? ?
为 简 便 起 见, 也 可 采 用 重 复 抽 样 公 式 。
2,若 按有关标志排队 2
x
p
n
p ( 1 p )
n
???
?
??
公式用类型抽样的公式,
六、整群抽样的抽样平均误差
整群抽样的抽样平均误差受三个因素影响,
(1)抽 出的群数 (r)多少 (反比关系 )
(2)群 间方差 ( ) (正比关系 ) 2 ?
计算方法如下,
为 全 及 总 体 各 群 的 平 均 数
为 全 及 平 均 数
或, 为 抽 样 各 群 的 平 均 数
为 抽 样 各 群 的 总 平 均 数
为 全 及 总 体 各 群 的 成 数
为 全 及 总 体 的 成 数
2
2
x
2
2
x
2
2
p
2
p
r
i
ii1
r
i
ii1
r
i
ii1
( x x )
x
r
x
( x x ) r
x
r
x
( p p )
p
r p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
? ??
?
??
??
?
或, 为 抽 样 各 群 的 成 数
为 抽 样 各 群 的 总 成 数
2
r
i
ii1
( p p ) r
p
r p
?
??
??
?
??
? ??
(3) 抽 样方法
2
x
2
p
x
p
R r r
R ( 1 )
R 1 R
r
( 1 )
rR
r
( 1 )
rR
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
整 群 抽 样 都 采 用 不 重 复 抽 样 。 所 以 在 计 算 抽 样 误 差 时 要 使 用
修 正 系 数, 当 的 数 目 较 大 时, 可 用 来 代 替 。
整 群 抽 样 的 抽 样 平 均 误 差 计 算 公 式 为,
假如某一机器大量生产某一种零件，现每隔一小时抽取 5分钟
产品进行检验，用以检查产品的合格率，检查结果如下,
ipp? 2i( p p ) r?
合格率 群数 r pi pir
80% 2 0.80 1.6 -0.0996 0.01984
85% 4 0.85 3.4 -0.0496 0.00984
90% 12 0.90 10.8 0.0004 …( 太小不计 )
95% 3 0.95 2.85 0.0504 0.00762
98% 3 0.98 2.94 0.0804 0.01939
合计 24 - 21.59 - 0.05669
2
2
p
2
p
r
i
i1
p
pr 21,5 9
0,89 96
r 24
( p p ) r
0,05 66 9
0,00 23 62
r 24
r 0,00 23 62 24
( 1 ) ( 1 ) 0,00 95 ( 0,95 % )
r R 24 28 8
p
?
?
?
? ? ?
?
??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
Q 样 本 群 平 均 合 格 率
群 间 方 差
或
例
七、多阶段抽样的抽样平均误差
以两阶段抽样为例
设总体分 R组，每组包含 个单位，若各组
相等，则
iM M
RMN ?
im
在抽样第一阶段，从 R组中抽出 r组；
在抽样第二阶段，在中选的 r组中随机抽选 个
单位，若各组 m相等，则 n=rm
则,在重复抽样下
在不重复抽样下
)()(
11
22
?
??
?
??
M
mM
rmR
rR
rx
???
rmrx
22 ??
? ??
例 设某大学在学期初对学生进行体重抽样调查，
先从全校 80个班以不重复抽样方法随机抽取 8个班，
然后再从抽取的班中再分别抽取 10个人作为第二阶
段抽样单位。计算所得的抽样平均体重为 60.5千克，
抽样各班内方差平均数 为 50，各班之间体重方差
为 22。
2?
2x?
假设全校各班均为 40人。试以 94.45%（ t=2）的概
率，推断该校学生平均体重的范围。
已知, 80?R 8?r 40?M 10?m
560,?x 502 ?? 222 ?x? 2?t
解, )()( 11 22 ?????? M mMrmR rRrx ???
731140 1040108 50180 880822,)()( ????????
4637312,,????? xx t?
463560463560,..,???? X
千克千克 96630457,,?? X
以上抽样平均误差的公式归纳如下,
? ?
? ? ? ?
? ?
2
p
x
22
22
x
2
p
nn
p 1- p
n
( 1) 1
N
( 2 )
p 1- p p 1- p
( 3 )
p 1- p
? ? ? ?
?
??
??
?
??
??
??
???
???
???
???
，最 基 本 的 是,
若 为, 乘 以 －
若
不 重 复 抽 样
类 型 抽 样
整
为,
若 为 群 抽 样,
n
NR
r
???
???
第四节 全及指标的推断
一、点估计和区间估计
(一 )点估计
x X p
P
是 由 样 本 指 标 直 接 代 替 全 及 指 标, 不 考 虑
任 何 抽 样 误 差 因 素 。 即 用 直 接 代 表, 用
直 接 代 表 。
就
100
x 1 0 0 2 p 9 8 %
X 1 0 0 2 P 9 8 %
??
??
在 全 部 产 品 中, 抽 取 件 进 行 仔 细 检 查, 得
到 平 均 重 量 克, 合 格 率, 我 们 直 接 推
断 全 部 产 品 的 平 均 重 量 克, 合 格 率 。
例
只要在样本代表性大，且对全及指标精确
性要求不高的情况下，可采用点估计法。
如能满足下列三个准则,
无偏性
一致性
有效性
就会得到合理的估计
(二 )区间估计
是 根据样本指标和抽样误差去推断
全及指标的可能范围，它能说清楚估计
的准确程度和把握程度。
根据中心极限定理，得知当 n足够大时，抽样
总体为正态分布，根据正态分布规律可知，样本
指标是以一定的概率落在某一特定的区间内，统
计上把这个给定的区间叫抽样极限误差，也称置
信区间，即在概率 F(t)的保证下,
抽样极限误差 △ =tμ,（ t为概率度）
可见，抽样极限误差，即扩大或缩小了以后的
抽样误差范围。
当 F(t)=68.27%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的 1倍 (t=1);
当 F(t)=95.45%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的 2倍 (t=2);
当 F(t)=99.73%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的 3倍 (t=3);
例
抽样误差范围的实际意义是要求被估计的
全及指标 或 P落在抽样指标一定范围内，即
落在
X
xx ?? 或 pp ?? 的范围内。
二、全及平均数和全及成数的推断
xx
pp
F (t )
x X x
p P p
( ) ( ) t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
在 概 率 的 保 证 下,
即, 全 及 平 均 数 成 数 抽 样 平 均 数 成 数
)4 0 3, 5 7 (
1 0 0 0 03)9 9, 7 3 % ( t ( 3 )
)4 0 2, 3 8 (
1 0 0 0 02)9 5, 4 5 % ( t
千克
亩产量的可能范围为：
亩小麦的平均保证，该农场若以概率
千克
亩产量的可能范围为：
亩小麦的平均保证，该农场若以概率
千克
43.39619.13400
62.39719.12400
)2(
)(19.1)
1 0 0 0 0
100
1(
100
12
)1()1(
22
????
?
???????
?
?????
X
xX
N
n
n
x
x
?
?
某农场进行小麦产量的抽样调查，该农场小麦播种面积为 10000亩，
采用不重复的简单随机抽样从中选 100亩作为样本，进行实割实测，得到
样本的平均亩产量为 400千克，样本标准差为 12千克。
则,
～
～
例 1
p
p
380
p 100% 95%
400
P ( 1 P ) 95% ( 1 95% )
1.09%
n 400
95.45%
P p 95% 2 1.09%
92.82% 97.18%
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
在 概 率 的 保 证 下, 全 及 一 级 品 率,
某机械厂日产某种产品 8000件，现采用纯随机不重复抽样方式 (按重
复抽样公式计算 )，从中抽取 400件进行观察，其中有 380件为一级品，试
以概率 95.45%的可靠程度推断全部产品的一级品率及一级品数量的范围。
则：抽样一级品率,
～
例 2
三、全及总体总量指标的推断
(一 ) 直接推断法
抽样平均数 (成数 )× 总体单位数 =总体标志总量
1.如 果采用点估计方法：上例 1中,400× 10000=400(万千克 )
如果用区间估计方法：上例 1中该农场小麦总产量的范围为,
t=2,(397.62 ～ 402.38)× 10000=397.62 ～ 402.38(万千克 )
t=3,(396.43 ～ 403.57)× 10000=396.43 ～ 403.57(万千克 )
2.上 例 2中，全部一级品数量的范围为,
(92.82% ～ 97.18%)× 8000=7425.6 ～ 7774.4(件 )
(二 ) 修正系数法
就 是用抽样所得的调查结果同有关资料
对比的系数来修正全面统计资料时采用的一
种方法。
某村 6000农户,2005年年末统计养猪头数，从下往上报的是
9000头，现抽 10％ (600户 )的农户再复查一下，发现有漏报，也有
重报。按 600户，原来数字是 890头，实际复查为 935头，故总的来
说，是少报。
)(9 4 5 5%)06.51(9 0 0 0
6 0 0 0%06.5
%06.5
890
45
)(45890935
头
农户养猪头数，即：的系数来修正可用
差错率
头
???
?
???
??
例 1
)(09.3226%)248.01(1.3218
%248.0
03.415
03.1
万元年报工资总额
正工资总额，则：根据这一系数，再来修
差错率
????
???
某市房地局，年报工资总额 3218.1万元。
现抽查 14个单位,年报,415.03万元
多报,0.44万元
少报,1.47万元
抵冲后 1.47-0.44=1.03(万元 )
例 2
第五节 必要抽样数目的确定
一、影响必要抽样数目的因素
2
1,
σ P ( 1 P ) ( )?
体 各 单 位 的 标 志 变 异 程 度,
即 或 的 大 小 正 比
总
2, ( )?许 误 差 的 大 小 反 比允
3, t ( )率 度 的 数 值 正 比概
4, 样 方 式 和 组 织 形 式抽
(一 ) 简单随机抽样
二、必要抽样数目的计算公式
：
重 复 抽 样
22
2
t
n
?
?
?
2
2
t P ( 1 P )n ??
?
不 重 复 抽 样,
22
2 2 2
N t
n
Nt
??
? ? ?
2
22
N P ( 1 P )tn
N t P ( 1 P )
??
? ? ?
(二 ) 类型抽样
22 ; P ( 1 - P ) P ( 1 - P )? ? ? ?
重复抽样,
2
2 1
p
pptn
?
?? )(
2
22
x
tn
??
?
不重复抽样,
222
22
?
?
tN
Ntn
x ??
?
)(
)(
pptN
Npptn
p ???
??
1
1
22
2
(三 ) 机械抽样
在有总体差异程度和比重的全面资料时，
可采用类型抽样的公式；
没有总体的全面资料时，可采用简单随
机抽样的公式。
(四 ) 整群抽样
2 2 2 2pp
xxn r ; N R ; ; ? ? ? ? ? ? ? ?
22
x
2 2 2
xx
22
p
2 2 2
pp
Rt
r
Rt
Rt
r
Rt
?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
不,重 复 抽 样
建筑工地打土方工人 4000人，需测定平均每人工作量，
要求误差范围不超过 0.2M3，并需有 99.73%保证程度。
根据过去资料 σ =1.5，求样本数应是多少？
)(13 4 4
)5.1(340 0 0)1.0(
40 0 0)5.1(3
)1.0(
2
1
)(450
)5.1(340 0 0)2.0(
40 0 0)5.1(3
5.132.040 0 0
222
22
3
222
22
222
22
人则
，保证程度不变即若误差范围缩小
人
，，，解：
?
??
??
?
?
??
??
?
??
?
?????
n
M
tN
Nt
n
tN
?
?
??
例 1
)(8267.825
)9.01(9.0210000)02.0(
10000)9.01(9.02
P)-P ( 1t
P ) N-P ( 1t
n
)(900
)02.0(
)9.01(9.02P)-P ( 1t
n
)2( %45.95)( %2%9010000
22
2
22
p
2
2
2
2
p
2
支
在不重复抽样条件下：
支在重复抽样条件下：
，，解：
??
?????
????
?
??
?
?
???
?
?
?
??????
N
ttFPN
p
?
某金笔厂月产 10000支金笔，以前多次抽样调查一
等品率为 90%，现在要求误差范围在 2%之内，可靠
程度达 95.45%，问必须抽取多少单位数？
例 2
例 3 某鞋厂对某种类型的鞋子进行耐穿时间的抽样检验，
经过二次小型抽样检验，结果知道标准差是 18天与 20
天，试问在抽样误差不超过 1天（概率为 0.9011）的要
求下，至少应抽查多少双鞋子？
已知, 181 ?? 202 ?? 1?? 651.?t
解,
12 ?? ?? 2?应取?
)(.,双400651 20651 2
22
2
2
2
2
????? ?tn
即至少应抽查 400双鞋子
第六节 假设检验
一、假设检验的意义
所谓 假设检验,就是对某一总体参数先作
出假设的数值；然后搜集样本资料，用这些样本
资料确定假设数值与样本数值之间的差异；最后，
进一步判断两者差异是否显著，若两者差异很小，
则假设的参数是可信的，作出, 接受, 的结论，
若两者的差异很大，则假设的参数准确的可能性
很小，作出, 拒绝, 的结论。
某厂生产一批产品，必须检验合格才能
出厂，规定合格率为 95%，现从中抽取 100件
进行质量检查，发现合格率为 93%，假设检
验就是利用样本指标 p=93%的合格率，来判
断原来假设 P=95%合格率是否成立。如假设
成立，产品就能出厂，如假设不成立，这批
产品便不能出厂。
例 1
某地区去年职工家庭年收入为 72000元，
本年抽样调查结果表明，职工家庭年收入为
71000元，这是否意味着职工生活水平下降
呢？我们还不能下这个结论，最好通过假设
检验，检验这两年职工家庭收入是否存在显
著性统计差异，才能判断该地区今年职工家
庭年收入是否低于去年水平。
例 2
二、假设检验的程序
(一 )提出原假设和替代假设
原假设 (又称虚无假设 )是接受检验的假设，
记作 H0；
替代假设 (又称备选假设 )是当原假设被否定
时的另一种可成立的假设，记作 H1；
H0与 H1两者是对立的，如 H0真实，则 H1不真
实；如 H0不真实，则 H1为真实。 H0和 H1在统计学
中称为统计假设。
关于总体平均数的假设有三种情况,
(1) H0,μ =μ 0； H1,μ ≠ μ 0
(2) H0,μ ≥ μ 0； H1,μ <μ 0
(3) H0,μ ≤ μ 0； H1,μ >μ 0
以上三种类型，对第一种类型的检验，称双边
检验，因为 μ ≠ μ 0，包含 μ >μ 0和 μ <μ 0。而
对第二、三种类型的检验，称单边检验。
例
(二 )选择显著性水平
当 原假设 H0为真时，却因为样本指标的
差异而被否定，这种否定真实的原假设的概
率就是显著性水平。用 α 表示。
例 α=0.05( 即 5%)或 α=0.01( 即 1%)
在假设检验中，要分析样本数值与参数
假设值之间的差异，若两者差异越小，假设
值真实的可能性则越大；反之，假设值真实
的可能性越小。因此，要分析两者差异是否
显著，如两者差异是显著的，就要否定原假
设，因此，假设检验又称显著性检验。
(三 )选定检验统计量及其分布
?
如 下,
样 本 统 计
检 验 统 计 量 的 基 本
量 － 被 假 设 参 数检 验 统 计 量
统
形 式
计 量 的 标 准 差
XX
Z t
S
n n
? ? ? ?
??
?
检 验 总 体 平 均 值 的 统 有计
，
量,
例
(四 )计算检验统计量
在 计算检验统计量时，要注意是双边
检验还是单边检验。要根据显著性水平 α 的
值确定统计量的否定域、接受域及临界值。
(五 )根据样本指标计算的检验统计量的数值作
出决策
如 果检验统计量的数值落在否定域内
(包括临界值 )，就说明原假设 H0与样本描述
的情况有显著差异，应该否定原假设；如果
该数值落在接受域内，就说明原假设 H0与样
本描述的情况无显著差异，则应接受原假设。
三、假设检验的基本方法
(介绍方差已知的总体平均数的假设检验 )
(一 ) 双边检验 H0:μ =μ 0； H1:μ≠μ 0
2 2 2
2
0Z Z Z Z H2
ZZ
? ? ?
?
?
?
??
?
在 假 设 的 双 边 检 验 中, 如 果 检 验 统 计 量 的 数 值 过 大 或 过 小, 都 将 否 定 原 假 设 。
否 定 域 位 于 正 态 分 布 曲 线 两 边, 在 显 著 性 水 平 条 件 下, 每 个 尾 部 的 面 积 分 别
为, 临 界 值 为 和 。 当 检 验 统 计 量 的 数 值 时, 就 否 定 原 假 设 ；
时, 认 为 差 异 不 显 著, 就 接 受 原 假 设, 见 图,
2? 2???1
)(
2
临界值?Z? )(
2
临界值?Z
否定域 否定域接受域
)%95(
96.105.0
5
100
2.0
61.6
6H6 c m
2
2
0
1
1
的可靠程度否定原假设即有因此这批产品不合格。
，体平均数存在显著差异，说明样本平均数和总因为
时，对应的临界值
：；：解：
：选择检验统计量方法
?
?
?
?
?
??
ZZ
Z
n
X
U
cmH
?
??
?
?
?
?
?
??
某种产品的直径为 6cm时，产品为合格，现随机抽取 100件作
为样本进行检查，得知样本平均值为 6.1cm，现假设标准差为
0.2cm，令 α =0.05，检验这批产品是否合格。
例
以该批产品不合格。未包含在该区间内，所
），即：
的区间为：的
就不否定原假设如果求出的区间包含
：方法
，
6
14.6 06.6(
100
2.0
96.11.696.1
95%
,
2
?
?????
?
?
?
?
?
?
n
X
H O
(二 ) 单边检验
图：，则为右边检验，见下如
，则为左边检验；在单边检验中，如
01
01
,
:
??
??
?
?
H
H
???1
?Z??Z
否定域接受域
?
否定域 接受域
??1
右边检验 左边检验
645.1 645.1
1.02
645.1 645.105.0
????
?
?????
??
??
?
?
ZZ
ZZ
，再查得临界值
，，当单边检验时，取因为正态分布是双边的
，时，当
01
H 65 H 65
X 69 65
Z2
16
n 64
0.0 5 Z 1.6 45
ZZ
69 65
?
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
解,, 分 ；, 分
时,
因 为, 检 验 统 计 量 的 数 值 落 在 否 定 域 内, 否 定 原 假 设,
说 明 样 本 平 均 数 分 与 总 体 平 均 数 分 存 在 显 著 差 异, 即 新
的 教 学 方 法 提 高 了 学 生 的 成 绩 。
（ 右 边 检 验 ）
根据过去学校的记录，学生的统计学考试的平均分数为 65分，
标准差为 16分。现在学校改革了教学方法，经抽取 64名学生作调
查，得平均分数为 69分，问平均分数有无显著提高？ (α =0.05)
例 1
01
H 1 H 1
X 0,99 62 1
Z 1,14
0,02
n 36
0,05 Z 1,64 5
Z 1,64 5 x 0,99 62
1
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
解,, 千 克 ；, 千 克
时,
因 为, 所 以 认 为 抽 样 平 均 数 千 克 与 总 体
平 均 数 无 显 著 差 异, 可 以 相 信 该 厂 生 产 的 某 饮 料 平 均 重 量
为 千 克 。
（ 左 边 检 验 ）
某工厂生产瓶装 1千克的某饮料，标准差为 0.02千克，现随机
抽取 36瓶进行检验，得平均重量为 0.9962千克，问能否相信该厂
生产的饮料每瓶重量为 1千克。 (α =0.05)
例 2
End of Chapter 6
第一节 抽样调查的意义及基本概念
一、抽样调查的意义
一 般所讲的抽样调查，即指狭义的抽样
调查 (随机抽样 )：按照随机原则从总体中抽
取一部分单位进行观察，并运用数理统计的
原理，以被抽取的那部分单位的数量特征为
代表，对总体作出数量上的推断分析。
二、抽样调查的适用范围
抽 样调查方法是市场经济国家在调查方法
上的必然选择，和普查相比，它具有准确度高、
成本低、速度快、应用面广等优点。
1.实 际工作不可能进行全面调查观察，而又需要了解
其全面资料的事物；
2.虽 可进行全面调查观察，但比较困难或并不必要；
3.对 普查或全面调查统计资料的质量进行检查和修正；
4.抽 样方法适用于对大量现象的观察，即组成事物
总体的单位数量较多的情况；
5.利 用抽样推断的方法，可以对于某种总体的假设
进行检验，判断这种假设的真伪，以决定取舍。
一般适用于以下范围,
三、抽样调查的基本概念
(一 ) 全及总体和抽样总体 (总体和样本 )
全 及总体：所要调查观察的全部事物。
总体单位数用 N表示。
抽 样总体：抽取出来调查观察的单位。
抽样总体的单位数用 n表示。
n ≥ 30 大样本
n < 30 小样本
(二 ) 全及指标和抽样指标 (总体指标和样本指标 )
全 及指标：全及总体的那些指标。
抽 样指标：抽样总体的那些指标。
xX
pP
所 谓, 就 是 用 抽 样 指 标 来 推 断 全 及 指 标 。
是 用 抽 样 平 均 数 推 断 全 及 平 均 数, 从 而 推 断
总 体 标 志 总 量
是 用 抽 样 成 数 推 断 全 及 成 数, 从 而 推 断 总
推 断
一
体二
单 位 总 量
22 s
s
?
?
?
?
?
?
?
在 抽 样 调 查 中 应 用 的 总 体 指 标 和 样 本 指 标 还 有,
方 差, 总 体 方 差, 样 本 方 差
标 准 差, 总 体 标 准 差, 样 本 标 准 差
抽 样框 —— 即总体单位的名单，是指对可以选择作为
样本的总体单位列出名册或顺序编号，以
确定总体的抽样范围和结构。
样 本数 —— 指从总体中可能抽取的样本的数量。
样 本容量 —— 指一个样本所包括的单位数。
第二节 抽样调查的组织形式
通常有以下四种组织形式,
一、简单随机抽样 (纯随机抽样 )
即从总体单位中不加任何分组、排队，
完全随机地抽取调查单位。
随机抽选可有各种不同的具体做法，如,
1.直接抽选法；
2.抽签法；
3.随机数码表法；
二、类型抽样 (分类抽样 )
先对总体各单位按一定标志加以分类
(层 )，然后再从各类 (层 )中按随机原则抽
取样本，组成一个总的样本。
类型的划分,
一 是必须有清楚的划类界限；
二 是必须知道各类中的单位数目和比例；
三 是分类型的数目不宜太多。
类型抽样的好处是,
样 本代表性高、抽样误差小、抽样调查
成本较低。如果抽样误差的要求相同的话则
抽样数目可以减少。
两种类型,
1.等 比例类型抽样 (类型比例抽样 )；
2.不 等比例类型抽样 (类型适宜抽样 )。
三、机械抽样 (等距抽样 )
先 将全及总体的所有单位按某一标志
顺序排队，然后按相等的距离抽取样本单
位。
排列次序用的标志有两种,
1,选 择标志与抽样调查所研究内容无关,
称无关标志排队。
2,选 择标志与抽样调查所研究的内容有关,
称有关标志排队。
研究工人的平均收入水平时，按工号排队。 例
研究工人的生活水平，按工人月工资额高
低排队。
例
机械抽样按样本单位抽选的方法不
同，可分为三种,
1.随 机起点等距抽样
k k k
k+a 2k+a (n-1)k+a
a
k
(k为抽取间隔 )
示意图,
2.半 距起点等距抽样
k k k
k
(k为抽取间隔 )
2
k
2
kk?
22
kk?
2)1(
kkn ??
示意图,
3.对 称等距抽样
示意图,
k k k
2k-a 2k+a 4k-a 4k+a
a
k
(k为抽取间隔 )
机械抽样的好处,
1,可 以使抽样过程大大简化，减轻抽样的
工作量；
2,如 果用有关标志排队，还可以缩小抽样
误差，提高抽样推断效果。
机械抽样,实际上是一种特殊的类
型抽样。因为，如果在类型抽样中，把
总体划分为若干相等部分，每个部分只
抽一个样本，在这种情况下，则类型抽
样就成了机械抽样。
四、整群抽样
整群抽样 即从全及总体中成群地抽取样本单位，
对抽中的群内的所有单位都进行观察。
整群抽样的好处,组织工作比较简单方便，
适用于一些特殊的研究对象。其不足之处是，一般比
其它抽样方式的抽样误差大。
五、多阶段抽样
即把抽样本单位的过程分为两个或几个
阶段来进行。
（如果一次就直接抽选出具体样本单位，这叫单阶
段抽样）具体讲,① 先抽大单位 (可以用类型抽样
或机械抽样 ),②再在大单位中抽小单位 (可用整
群抽样或简单随机抽样 )，③小单位中再抽更小的
单位；而不是一次就直接抽取基层的调查单位。
六、重复抽样和不重复抽样
以上每一种组织方式又有不同的抽取样本方
法 (机械抽样和整群抽样没有重复抽样 ),
重复抽样,又称有放回抽样。
不重复抽样,又称不放回抽样。
1 1 1
5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 LL，,,例
1 1 1
5 0 0 0 4 9 9 9 4 9 9 8 LL，,,例
第三节 抽样平均误差
一、抽样误差的概念及其影响程度
在统计调查中，调查资料与实际情况不一致，
两者的偏离称为统计误差。 ?
?
??
? ?
? ??
???
? ? ?
登 记 误 差
系 统 性 误 差
统 计 误 差
代 表 性 误 差 实 际 误 差
随 机 误 差
抽 样 平 均 误 差
抽样误差 即指随机误差，这种误差是抽
样调查固有的误差，是无法避免的。
x X p P??
抽 样 误 差 就 是 指 样 本 指 标 和 总 体 指 标 之 间 数
量 上 的 差 别, 即, 。
抽样误差的影响因素,
1,全 及总体标志变异程度。 —— 正比关系
2,抽 样单位数目的多少。 —— 反比关系
3,不 同的抽样方式。
4,不 同的抽样组织形式。
抽样误差的作用,
1,在 于说明样本指标的代表性大小。
误差大，则样本指标代表性低；
误差小，则样本指标代表性高；
误差等于 0，则样本指标和总体指标一样大。
2,说 明样本指标和总体指标相差的一般范围。
二、抽样平均误差
抽样平均误差 实际上是样本指标的标准差。
通常用 μ 表示。在 N中抽出 n样本，从排列组
合中可以有各种各样的样本组,
1,如果是重复抽样,
1( 2 ) nnN N nDC ???考 虑 顺 序 的 重 复 抽 样,不
虑 顺 序 的 重 复 抽 样, 样 本 种 数
种
考
5
( 1 ) ( )
5 0 3 1 2,5 0 0,0 0 0
nn
NBN ?
?例
2,如果是不重复抽样,
)!(
!)())((
nN
NnNNNNA n
N ??????? 121 ?
⑴ 考虑顺序的不重复抽样,
例 )( 种2002512544647484950550 ??????A
⑵ 不考虑顺序的不重复抽样,
)!(!
!
nNn
NC n
N ??
例 )(
! 种760118212345
200251254
5
5
505
50 ???????
AC
2
10 20 30 40 50
X 30
()
5 25 ( )
??
五 户 家 庭 三 月 份 购 买 某 商 品 的 支 出,
元, 元, 元, 元, 元
元
现 从 五 户 中 抽 取 二 户 作 调 查,
如 果 为 重 复 抽 样 考 虑 顺 序
＝ 种
排 列 组 合 如 下,
例
10 10 10 -20 400
10 20 15 -15 225
10 30 20 -10 100
10 40 25 -5 25
10 50 30 0 0
20 10 15 -15 225
20 20 20 -10 100
20 30 25 -5 25
20 40 30 0 0
20 50 35 5 25
30 10 20 -10 100
30 20 25 -5 25
30 30 30 0 0
x样 本 平 均 数 xX?误 差 ? ?2xX?抽 取 样 本
x样 本 平 均 数 xX?误 差 ? ?2xX?抽 取 样 本
30 40 35 5 25
30 50 40 10 100
40 10 25 -5 25
40 20 30 0 0
40 30 35 5 25
40 40 40 10 100
40 50 45 15 225
50 10 30 0 0
50 20 35 5 25
50 30 40 10 100
50 40 45 15 225
50 50 50 20 400
合 计 - - 2 500
接左,
)(
)(10
25
2 5 0 0
)(
)(
2
为样本配合总数
元
抽样平均误差
n
n
Xx
x
???
? ?
???
以上资料编成次数分配表如下,
x 样本数 f (即次数分配 )
10 1 -20
15 2 -15
20 3 -10
25 4 -5
30 5 0
35 4 5
40 3 10
45 2 15
50 1 20
合计 25 -
xX?
2( x X )
f
f
? ???
?
?
∴ 抽样误差 是所有可能出现的样本指标的标
准差。它是由于抽样的随机性而产生的样本
指标与总体指标之间的平均离差。
2
5
54 1 0 ( ) X 3 0 ( )
21C
?? ? ?
? Q种 元
抽取样本
样本平均数
离差
10 20 15 -15 225
10 30 20 -10 100
10 40 25 -5 25
10 50 30 0 0
20 30 25 -5 25
20 40 30 0 0
20 50 35 5 25
30 40 35 5 25
30 50 40 10 100
40 50 45 15 225
合 计 - - 750
x xX? ? ?2xX?
)(66.810750)( 元抽样平均误差 ????? n )X-x( 2?? x
上例五户中抽取二户调查，如采取不考虑顺序的不重复抽
样方法，则,
三、纯随机抽样的抽样平均误差
(一 ) 平均数的抽样平均误差
或
x
x
2
n
n
?
??
?
??
1.重 复抽样
取得 σ 的途径有,
1,用 过去全面调查或抽样调查的资料，若同时有 n个
σ 的资料，应选用数值较大的那个；
2,用 样本标准差 S代替全及标准差 σ ；
3,在 大规模调查前，先搞个小规模的试验性的调查来
确定 S，代替 σ ；
4,用 估计的方法。
x
220
2 ( )100 小 时? ? ? ? ?
某灯泡厂从一天所生产的产品 10,000个中抽
取 100个检查其寿命，得平均寿命为 2000小时
(一般为重复抽样 )，根据以往资料,σ =20小
时,
根据以往资料，产品质量不太稳定，若 σ =200
小时,
)(20 小时于是,???
例
2.不 重复抽样,
2
x
Nn
n N 1
?
????
?
2
x
Nn
n
( 1 )
nN
?
? ? ?
但 实 际 中, 往 往 很 大, 很 小, 故 改 用 下 列 公 式,Q
x
4 0 0 1 0 0
( 1 ) 1,9 9 ( )
1 0 0 1 0 0 0 0
? ? ? ? ?
上 例 中, 若 为 不 重 复 抽 样, 则,
小 时
(二 ) 成数的抽样平均误差
已证明得,成数的方差为 p(1-p) p
p
p ( 1 p )
n
p ( 1 p ) n
( 1 )
nN
?
?
??
?
? ? ?
在 重 复 抽 样 情 况 下,
在 不 重 复 抽 样 情 况 下,
%1374.1)
15000
150
1(
150
)98.01(98.0
)1(
)1(
%14.1
150
)98.01(98.0)1(
%98
150
147
150 15000
???
??
??
?
?
?
??
?
?
??
??
??
N
n
n
pp
n
pp
p
nN
p
p
?
?
若按不重复抽样方式：
?
某玻璃器皿厂某日生产 15000只印花玻璃杯，现
按重复抽样方式从中抽取 150只进行质量检验，结
果有 147只合格，其余 3只为不合格品，试求这批印
花玻璃杯合格率 (成数 )的抽样平均误差。
例
四、类型抽样的抽样平均误差
在重复抽样情况下,
n
i
x
2?
? ?
N
N ii
i
?? 22 ??
2
i
x
n ( 1 )
nN
?? ? ?在 不 重 复 抽 样 情 况 下,
重 复 抽 样
在 成 数 情 况 下
：
：
p
p ( 1 p )
n
?
??
不 重 复 抽 样, p p ( 1 p ) n( 1 )
nN
?? ? ?
某农场种小麦 12000公顷，其中平原 3600公顷，丘陵 6000
公顷，山地 2400公顷，现用类型抽样法调查 1200公顷，以各
种麦田占全农场面积的比重分配抽样面积数量。
麦田类型抽样的平均误差计算表
类 型 全场播种面积
(公顷 )
抽样调
查面积
（公顷）
单位面积
产量不均
匀程度指
标 (千克 )
符 号 Ni
ni σ i
丘陵地区 6000 600 750 337500000
平原地区 3600 360 840 254016000
山 地 2400 240 1000 240000000
合 计 12000 1200 - 831516000
ii n2?
例
2
2
2
2
2
ii
i
i
ii
i
i
x
n 831516000
692 930 ( )
n 120 0
N
N
n
( 1 )
nN
692 930 120 0
( 1 ) 519,697 5 22.8 ( )
120 0 120 00
??
? ? ? ?
?
????
??
??
??
?
? ? ?
? ? ? ?
千 克
或
千 克
i i i
i
p
p ( 1 p ) n 186
P ( 1 P ) 1 5,5 %
n 1 2 0 0
p ( 1 p ) n 0,1 5 5 1 2 0 0
( 1 ) ( 1 ) 1,0 7 8 %
n N 1 2 0 0 1 2 0 0 0
??
? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
高产麦田比重的平均误差计算表
类别 高产田
比重 (%)
非高产田
比重 (%)
麦田不均匀
程度指标 (%)
抽样调查
面积 (公顷 )
pi(1-pi)ni
符号 pi 1-pi pi(1-pi) ni
丘陵 80 20 16 600 96.0
平原 90 10 9 360 32.4
山地 60 40 24 240 57.6
合计 - - - 1200 186
五、机械抽样 (等距抽样 )的抽样平均误差
1.若 按无关标志排队
公式用以上纯随机抽样的公式，一般采用
不重复抽样公式,
x
p
2
n
( 1 )
nN
p ( 1 p ) n
( 1 )
nN
?
? ? ?
?
? ? ?
为 简 便 起 见, 也 可 采 用 重 复 抽 样 公 式 。
2,若 按有关标志排队 2
x
p
n
p ( 1 p )
n
???
?
??
公式用类型抽样的公式,
六、整群抽样的抽样平均误差
整群抽样的抽样平均误差受三个因素影响,
(1)抽 出的群数 (r)多少 (反比关系 )
(2)群 间方差 ( ) (正比关系 ) 2 ?
计算方法如下,
为 全 及 总 体 各 群 的 平 均 数
为 全 及 平 均 数
或, 为 抽 样 各 群 的 平 均 数
为 抽 样 各 群 的 总 平 均 数
为 全 及 总 体 各 群 的 成 数
为 全 及 总 体 的 成 数
2
2
x
2
2
x
2
2
p
2
p
r
i
ii1
r
i
ii1
r
i
ii1
( x x )
x
r
x
( x x ) r
x
r
x
( p p )
p
r p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
? ??
?
??
??
?
或, 为 抽 样 各 群 的 成 数
为 抽 样 各 群 的 总 成 数
2
r
i
ii1
( p p ) r
p
r p
?
??
??
?
??
? ??
(3) 抽 样方法
2
x
2
p
x
p
R r r
R ( 1 )
R 1 R
r
( 1 )
rR
r
( 1 )
rR
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
整 群 抽 样 都 采 用 不 重 复 抽 样 。 所 以 在 计 算 抽 样 误 差 时 要 使 用
修 正 系 数, 当 的 数 目 较 大 时, 可 用 来 代 替 。
整 群 抽 样 的 抽 样 平 均 误 差 计 算 公 式 为,
假如某一机器大量生产某一种零件，现每隔一小时抽取 5分钟
产品进行检验，用以检查产品的合格率，检查结果如下,
ipp? 2i( p p ) r?
合格率 群数 r pi pir
80% 2 0.80 1.6 -0.0996 0.01984
85% 4 0.85 3.4 -0.0496 0.00984
90% 12 0.90 10.8 0.0004 …( 太小不计 )
95% 3 0.95 2.85 0.0504 0.00762
98% 3 0.98 2.94 0.0804 0.01939
合计 24 - 21.59 - 0.05669
2
2
p
2
p
r
i
i1
p
pr 21,5 9
0,89 96
r 24
( p p ) r
0,05 66 9
0,00 23 62
r 24
r 0,00 23 62 24
( 1 ) ( 1 ) 0,00 95 ( 0,95 % )
r R 24 28 8
p
?
?
?
? ? ?
?
??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
Q 样 本 群 平 均 合 格 率
群 间 方 差
或
例
七、多阶段抽样的抽样平均误差
以两阶段抽样为例
设总体分 R组，每组包含 个单位，若各组
相等，则
iM M
RMN ?
im
在抽样第一阶段，从 R组中抽出 r组；
在抽样第二阶段，在中选的 r组中随机抽选 个
单位，若各组 m相等，则 n=rm
则,在重复抽样下
在不重复抽样下
)()(
11
22
?
??
?
??
M
mM
rmR
rR
rx
???
rmrx
22 ??
? ??
例 设某大学在学期初对学生进行体重抽样调查，
先从全校 80个班以不重复抽样方法随机抽取 8个班，
然后再从抽取的班中再分别抽取 10个人作为第二阶
段抽样单位。计算所得的抽样平均体重为 60.5千克，
抽样各班内方差平均数 为 50，各班之间体重方差
为 22。
2?
2x?
假设全校各班均为 40人。试以 94.45%（ t=2）的概
率，推断该校学生平均体重的范围。
已知, 80?R 8?r 40?M 10?m
560,?x 502 ?? 222 ?x? 2?t
解, )()( 11 22 ?????? M mMrmR rRrx ???
731140 1040108 50180 880822,)()( ????????
4637312,,????? xx t?
463560463560,..,???? X
千克千克 96630457,,?? X
以上抽样平均误差的公式归纳如下,
? ?
? ? ? ?
? ?
2
p
x
22
22
x
2
p
nn
p 1- p
n
( 1) 1
N
( 2 )
p 1- p p 1- p
( 3 )
p 1- p
? ? ? ?
?
??
??
?
??
??
??
???
???
???
???
，最 基 本 的 是,
若 为, 乘 以 －
若
不 重 复 抽 样
类 型 抽 样
整
为,
若 为 群 抽 样,
n
NR
r
???
???
第四节 全及指标的推断
一、点估计和区间估计
(一 )点估计
x X p
P
是 由 样 本 指 标 直 接 代 替 全 及 指 标, 不 考 虑
任 何 抽 样 误 差 因 素 。 即 用 直 接 代 表, 用
直 接 代 表 。
就
100
x 1 0 0 2 p 9 8 %
X 1 0 0 2 P 9 8 %
??
??
在 全 部 产 品 中, 抽 取 件 进 行 仔 细 检 查, 得
到 平 均 重 量 克, 合 格 率, 我 们 直 接 推
断 全 部 产 品 的 平 均 重 量 克, 合 格 率 。
例
只要在样本代表性大，且对全及指标精确
性要求不高的情况下，可采用点估计法。
如能满足下列三个准则,
无偏性
一致性
有效性
就会得到合理的估计
(二 )区间估计
是 根据样本指标和抽样误差去推断
全及指标的可能范围，它能说清楚估计
的准确程度和把握程度。
根据中心极限定理，得知当 n足够大时，抽样
总体为正态分布，根据正态分布规律可知，样本
指标是以一定的概率落在某一特定的区间内，统
计上把这个给定的区间叫抽样极限误差，也称置
信区间，即在概率 F(t)的保证下,
抽样极限误差 △ =tμ,（ t为概率度）
可见，抽样极限误差，即扩大或缩小了以后的
抽样误差范围。
当 F(t)=68.27%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的 1倍 (t=1);
当 F(t)=95.45%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的 2倍 (t=2);
当 F(t)=99.73%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的 3倍 (t=3);
例
抽样误差范围的实际意义是要求被估计的
全及指标 或 P落在抽样指标一定范围内，即
落在
X
xx ?? 或 pp ?? 的范围内。
二、全及平均数和全及成数的推断
xx
pp
F (t )
x X x
p P p
( ) ( ) t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
在 概 率 的 保 证 下,
即, 全 及 平 均 数 成 数 抽 样 平 均 数 成 数
)4 0 3, 5 7 (
1 0 0 0 03)9 9, 7 3 % ( t ( 3 )
)4 0 2, 3 8 (
1 0 0 0 02)9 5, 4 5 % ( t
千克
亩产量的可能范围为：
亩小麦的平均保证，该农场若以概率
千克
亩产量的可能范围为：
亩小麦的平均保证，该农场若以概率
千克
43.39619.13400
62.39719.12400
)2(
)(19.1)
1 0 0 0 0
100
1(
100
12
)1()1(
22
????
?
???????
?
?????
X
xX
N
n
n
x
x
?
?
某农场进行小麦产量的抽样调查，该农场小麦播种面积为 10000亩，
采用不重复的简单随机抽样从中选 100亩作为样本，进行实割实测，得到
样本的平均亩产量为 400千克，样本标准差为 12千克。
则,
～
～
例 1
p
p
380
p 100% 95%
400
P ( 1 P ) 95% ( 1 95% )
1.09%
n 400
95.45%
P p 95% 2 1.09%
92.82% 97.18%
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
在 概 率 的 保 证 下, 全 及 一 级 品 率,
某机械厂日产某种产品 8000件，现采用纯随机不重复抽样方式 (按重
复抽样公式计算 )，从中抽取 400件进行观察，其中有 380件为一级品，试
以概率 95.45%的可靠程度推断全部产品的一级品率及一级品数量的范围。
则：抽样一级品率,
～
例 2
三、全及总体总量指标的推断
(一 ) 直接推断法
抽样平均数 (成数 )× 总体单位数 =总体标志总量
1.如 果采用点估计方法：上例 1中,400× 10000=400(万千克 )
如果用区间估计方法：上例 1中该农场小麦总产量的范围为,
t=2,(397.62 ～ 402.38)× 10000=397.62 ～ 402.38(万千克 )
t=3,(396.43 ～ 403.57)× 10000=396.43 ～ 403.57(万千克 )
2.上 例 2中，全部一级品数量的范围为,
(92.82% ～ 97.18%)× 8000=7425.6 ～ 7774.4(件 )
(二 ) 修正系数法
就 是用抽样所得的调查结果同有关资料
对比的系数来修正全面统计资料时采用的一
种方法。
某村 6000农户,2005年年末统计养猪头数，从下往上报的是
9000头，现抽 10％ (600户 )的农户再复查一下，发现有漏报，也有
重报。按 600户，原来数字是 890头，实际复查为 935头，故总的来
说，是少报。
)(9 4 5 5%)06.51(9 0 0 0
6 0 0 0%06.5
%06.5
890
45
)(45890935
头
农户养猪头数，即：的系数来修正可用
差错率
头
???
?
???
??
例 1
)(09.3226%)248.01(1.3218
%248.0
03.415
03.1
万元年报工资总额
正工资总额，则：根据这一系数，再来修
差错率
????
???
某市房地局，年报工资总额 3218.1万元。
现抽查 14个单位,年报,415.03万元
多报,0.44万元
少报,1.47万元
抵冲后 1.47-0.44=1.03(万元 )
例 2
第五节 必要抽样数目的确定
一、影响必要抽样数目的因素
2
1,
σ P ( 1 P ) ( )?
体 各 单 位 的 标 志 变 异 程 度,
即 或 的 大 小 正 比
总
2, ( )?许 误 差 的 大 小 反 比允
3, t ( )率 度 的 数 值 正 比概
4, 样 方 式 和 组 织 形 式抽
(一 ) 简单随机抽样
二、必要抽样数目的计算公式
：
重 复 抽 样
22
2
t
n
?
?
?
2
2
t P ( 1 P )n ??
?
不 重 复 抽 样,
22
2 2 2
N t
n
Nt
??
? ? ?
2
22
N P ( 1 P )tn
N t P ( 1 P )
??
? ? ?
(二 ) 类型抽样
22 ; P ( 1 - P ) P ( 1 - P )? ? ? ?
重复抽样,
2
2 1
p
pptn
?
?? )(
2
22
x
tn
??
?
不重复抽样,
222
22
?
?
tN
Ntn
x ??
?
)(
)(
pptN
Npptn
p ???
??
1
1
22
2
(三 ) 机械抽样
在有总体差异程度和比重的全面资料时，
可采用类型抽样的公式；
没有总体的全面资料时，可采用简单随
机抽样的公式。
(四 ) 整群抽样
2 2 2 2pp
xxn r ; N R ; ; ? ? ? ? ? ? ? ?
22
x
2 2 2
xx
22
p
2 2 2
pp
Rt
r
Rt
Rt
r
Rt
?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
不,重 复 抽 样
建筑工地打土方工人 4000人，需测定平均每人工作量，
要求误差范围不超过 0.2M3，并需有 99.73%保证程度。
根据过去资料 σ =1.5，求样本数应是多少？
)(13 4 4
)5.1(340 0 0)1.0(
40 0 0)5.1(3
)1.0(
2
1
)(450
)5.1(340 0 0)2.0(
40 0 0)5.1(3
5.132.040 0 0
222
22
3
222
22
222
22
人则
，保证程度不变即若误差范围缩小
人
，，，解：
?
??
??
?
?
??
??
?
??
?
?????
n
M
tN
Nt
n
tN
?
?
??
例 1
)(8267.825
)9.01(9.0210000)02.0(
10000)9.01(9.02
P)-P ( 1t
P ) N-P ( 1t
n
)(900
)02.0(
)9.01(9.02P)-P ( 1t
n
)2( %45.95)( %2%9010000
22
2
22
p
2
2
2
2
p
2
支
在不重复抽样条件下：
支在重复抽样条件下：
，，解：
??
?????
????
?
??
?
?
???
?
?
?
??????
N
ttFPN
p
?
某金笔厂月产 10000支金笔，以前多次抽样调查一
等品率为 90%，现在要求误差范围在 2%之内，可靠
程度达 95.45%，问必须抽取多少单位数？
例 2
例 3 某鞋厂对某种类型的鞋子进行耐穿时间的抽样检验，
经过二次小型抽样检验，结果知道标准差是 18天与 20
天，试问在抽样误差不超过 1天（概率为 0.9011）的要
求下，至少应抽查多少双鞋子？
已知, 181 ?? 202 ?? 1?? 651.?t
解,
12 ?? ?? 2?应取?
)(.,双400651 20651 2
22
2
2
2
2
????? ?tn
即至少应抽查 400双鞋子
第六节 假设检验
一、假设检验的意义
所谓 假设检验,就是对某一总体参数先作
出假设的数值；然后搜集样本资料，用这些样本
资料确定假设数值与样本数值之间的差异；最后，
进一步判断两者差异是否显著，若两者差异很小，
则假设的参数是可信的，作出, 接受, 的结论，
若两者的差异很大，则假设的参数准确的可能性
很小，作出, 拒绝, 的结论。
某厂生产一批产品，必须检验合格才能
出厂，规定合格率为 95%，现从中抽取 100件
进行质量检查，发现合格率为 93%，假设检
验就是利用样本指标 p=93%的合格率，来判
断原来假设 P=95%合格率是否成立。如假设
成立，产品就能出厂，如假设不成立，这批
产品便不能出厂。
例 1
某地区去年职工家庭年收入为 72000元，
本年抽样调查结果表明，职工家庭年收入为
71000元，这是否意味着职工生活水平下降
呢？我们还不能下这个结论，最好通过假设
检验，检验这两年职工家庭收入是否存在显
著性统计差异，才能判断该地区今年职工家
庭年收入是否低于去年水平。
例 2
二、假设检验的程序
(一 )提出原假设和替代假设
原假设 (又称虚无假设 )是接受检验的假设，
记作 H0；
替代假设 (又称备选假设 )是当原假设被否定
时的另一种可成立的假设，记作 H1；
H0与 H1两者是对立的，如 H0真实，则 H1不真
实；如 H0不真实，则 H1为真实。 H0和 H1在统计学
中称为统计假设。
关于总体平均数的假设有三种情况,
(1) H0,μ =μ 0； H1,μ ≠ μ 0
(2) H0,μ ≥ μ 0； H1,μ <μ 0
(3) H0,μ ≤ μ 0； H1,μ >μ 0
以上三种类型，对第一种类型的检验，称双边
检验，因为 μ ≠ μ 0，包含 μ >μ 0和 μ <μ 0。而
对第二、三种类型的检验，称单边检验。
例
(二 )选择显著性水平
当 原假设 H0为真时，却因为样本指标的
差异而被否定，这种否定真实的原假设的概
率就是显著性水平。用 α 表示。
例 α=0.05( 即 5%)或 α=0.01( 即 1%)
在假设检验中，要分析样本数值与参数
假设值之间的差异，若两者差异越小，假设
值真实的可能性则越大；反之，假设值真实
的可能性越小。因此，要分析两者差异是否
显著，如两者差异是显著的，就要否定原假
设，因此，假设检验又称显著性检验。
(三 )选定检验统计量及其分布
?
如 下,
样 本 统 计
检 验 统 计 量 的 基 本
量 － 被 假 设 参 数检 验 统 计 量
统
形 式
计 量 的 标 准 差
XX
Z t
S
n n
? ? ? ?
??
?
检 验 总 体 平 均 值 的 统 有计
，
量,
例
(四 )计算检验统计量
在 计算检验统计量时，要注意是双边
检验还是单边检验。要根据显著性水平 α 的
值确定统计量的否定域、接受域及临界值。
(五 )根据样本指标计算的检验统计量的数值作
出决策
如 果检验统计量的数值落在否定域内
(包括临界值 )，就说明原假设 H0与样本描述
的情况有显著差异，应该否定原假设；如果
该数值落在接受域内，就说明原假设 H0与样
本描述的情况无显著差异，则应接受原假设。
三、假设检验的基本方法
(介绍方差已知的总体平均数的假设检验 )
(一 ) 双边检验 H0:μ =μ 0； H1:μ≠μ 0
2 2 2
2
0Z Z Z Z H2
ZZ
? ? ?
?
?
?
??
?
在 假 设 的 双 边 检 验 中, 如 果 检 验 统 计 量 的 数 值 过 大 或 过 小, 都 将 否 定 原 假 设 。
否 定 域 位 于 正 态 分 布 曲 线 两 边, 在 显 著 性 水 平 条 件 下, 每 个 尾 部 的 面 积 分 别
为, 临 界 值 为 和 。 当 检 验 统 计 量 的 数 值 时, 就 否 定 原 假 设 ；
时, 认 为 差 异 不 显 著, 就 接 受 原 假 设, 见 图,
2? 2???1
)(
2
临界值?Z? )(
2
临界值?Z
否定域 否定域接受域
)%95(
96.105.0
5
100
2.0
61.6
6H6 c m
2
2
0
1
1
的可靠程度否定原假设即有因此这批产品不合格。
，体平均数存在显著差异，说明样本平均数和总因为
时，对应的临界值
：；：解：
：选择检验统计量方法
?
?
?
?
?
??
ZZ
Z
n
X
U
cmH
?
??
?
?
?
?
?
??
某种产品的直径为 6cm时，产品为合格，现随机抽取 100件作
为样本进行检查，得知样本平均值为 6.1cm，现假设标准差为
0.2cm，令 α =0.05，检验这批产品是否合格。
例
以该批产品不合格。未包含在该区间内，所
），即：
的区间为：的
就不否定原假设如果求出的区间包含
：方法
，
6
14.6 06.6(
100
2.0
96.11.696.1
95%
,
2
?
?????
?
?
?
?
?
?
n
X
H O
(二 ) 单边检验
图：，则为右边检验，见下如
，则为左边检验；在单边检验中，如
01
01
,
:
??
??
?
?
H
H
???1
?Z??Z
否定域接受域
?
否定域 接受域
??1
右边检验 左边检验
645.1 645.1
1.02
645.1 645.105.0
????
?
?????
??
??
?
?
ZZ
ZZ
，再查得临界值
，，当单边检验时，取因为正态分布是双边的
，时，当
01
H 65 H 65
X 69 65
Z2
16
n 64
0.0 5 Z 1.6 45
ZZ
69 65
?
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
解,, 分 ；, 分
时,
因 为, 检 验 统 计 量 的 数 值 落 在 否 定 域 内, 否 定 原 假 设,
说 明 样 本 平 均 数 分 与 总 体 平 均 数 分 存 在 显 著 差 异, 即 新
的 教 学 方 法 提 高 了 学 生 的 成 绩 。
（ 右 边 检 验 ）
根据过去学校的记录，学生的统计学考试的平均分数为 65分，
标准差为 16分。现在学校改革了教学方法，经抽取 64名学生作调
查，得平均分数为 69分，问平均分数有无显著提高？ (α =0.05)
例 1
01
H 1 H 1
X 0,99 62 1
Z 1,14
0,02
n 36
0,05 Z 1,64 5
Z 1,64 5 x 0,99 62
1
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
解,, 千 克 ；, 千 克
时,
因 为, 所 以 认 为 抽 样 平 均 数 千 克 与 总 体
平 均 数 无 显 著 差 异, 可 以 相 信 该 厂 生 产 的 某 饮 料 平 均 重 量
为 千 克 。
（ 左 边 检 验 ）
某工厂生产瓶装 1千克的某饮料，标准差为 0.02千克，现随机
抽取 36瓶进行检验，得平均重量为 0.9962千克，问能否相信该厂
生产的饮料每瓶重量为 1千克。 (α =0.05)
例 2
End of Chapter 6
