第四章 动态数列
第一节 动态数列的编制
一、动态数列的概念
动 态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或
在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列
起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并
以此来预测未来的一种统计方法。
上海市国内生产总值
年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
亿元 4034.96 4551.15 4950.84 5408.76 6250.81 7450.27 9143.95
例
动 态数列由两个基本要素构成,
① 时 间，即现象所属的时间；
② 不 同时间上的统计指标数值，即不同时间
上该现象的发展水平。
二、动态数列的种类
动态数列按照所列入指标数值的不同可分为,
绝对数动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
时期数列特点,
数 列中各个指标值是可加的；
数 列中每个指标值的大小随着时期的长
短而变动；
数 列中每个指标值通常是通过连续不断
的登记而取得。
时点数列特点,
数 列中各个指标值是不能相加的；
数 列中每个指标值的大小与时间间隔
的长短没有直接关系；
数 列中每个指标值通常是按期登记一
次取得的。
全国城乡居民储蓄存款
年末 1999 2000 2001 2002 2003 2004
余额 2597.12 2524.05 3001.89 4915.54 6054.60 6960.99
例
单位：亿元
我国各年国内生产总值增长率
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
增速 7.8 7.1 8.0 7.3 8.0 9.0 9.5 9.9
例
单位,%
上海职工 2001 - 2005年年平均工资
年份 2001 2002 2003 2004 2005
年平均工资 17764 19473 22160 24398 26823
例
单位：元
三、动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。
具体说有以下几点,
注 意时间的长短应统一；
总 体范围应该一致；
指 标的经济内容应该相同；
指 标的计算方法和计量单位应该一致。
第二节 动态数列的水平分析指标
属 于现象发展的水平分析指标有,
发展水平
平均发展水平
增长量
平均增长量。
一、发展水平
在 动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发
展水平或动态数列水平。
如 果用 a0,a1,a2,a3,…… an，代表数列中
各个发展水平，则其中 a0即最初水平,an即
最末水平 。
二、平均发展水平
平 均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数 。
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 (万元 ) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
季度 一 二 三 四
各季每月平均增加值 (万元 ) 36 48 60 76
例
序时平均数与一般平均数的异同点,
二者都是将现象的个别数量差异抽象化，
概括地反映现象的一般水平。
- 计算方法不同；
- 差异抽象化不同；
- 序时平均数还可解决某些可比性问题。
不 同点
相 同点
序时平均数的计算方法,
㈠ 绝 对数动态数列的序时平均数
1 2 3
1 2 3 n
,,,
n
n
aa a a a
a
nn
a
a a a a
? ? ? ?
??
?L
L
式 中, 序 时 平 均 数
各 时 期 发 展 水 平
时 期 项 数
1,时 期数列的序时平均数
月份 一 二 三 四 五 六
产量 (万件 ) 24 20 28 28 30 29
)2 6, 5 (
6
293028282024
万件
则上半年平均月产
?
?????
?
例
2,时 点数列的序时平均数
(1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况,
2),对 非连续变动的连续时点数列 (即分组资料 )
afa
f?
?
?
1),对 连续变动的连续时点数列 (即未分组资料 )
aa
n?
?
某厂 7月份的职工人数自 7月 1日至 7月 10日为 258
人,7月 11日起至 7月底均为 279人，则该厂 7月份平
均职工人数为,
)(27231 2792125810 人?????a
例
⑵ 如果资料是间断时点资料，也可分为
二种情况,
1) 对 间隔相等的间断时点资料
某成品库存量如下,
现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存
量相等。则各月平均库存量为,
)(2960)274029903150(
3
1
)(2740
2
28002680
6
)(2990
2
26803300
5
)(3150
2
33003000
4
件第二季度平均库存量
件月份
件月份
件月份
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
3月 31日 4月 30日 5月 31日 6月 30日
库存量 (件 ) 3000 3300 2680 2800
例
)(2960
3
274029903150
3
2
28002680
2
26803300
2
33003000
件
第二季度平均库存量
：上面计算可合并简化为
?
??
?
?
?
?
?
?
?
""
1
22
1
222
132
13221
1
首末折半法这种计算方法称为
般公式：上面计算过程概括为一
?
?????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
aaa
a
n
aaaaaa
a
n
n
nn
?
?
2) 对 间隔不等的间断时点资料
2 3 112
1 2 1
1
1
2 2 2
nn
n
n
i
i
a a a aaa
f f f
a
f
?
?
?
?
???
? ? ?
?
?
L
某城市 2003年各时点的人口数
日期 1月 1日 5月 1日 8月 1日 12月 31日
人口数 (万人 ) 256.2 257.1 258.3 259.4
)(83.257
12
3 0 94
534
5
2
4.2593.258
3
2
3.2581.257
4
2
1.2572.256
万人
年平均人口数为：该市则，
??
??
?
?
??
?
??
?
2 0 03
例
㈡ 相 对数动态数列的序时平均数
1,由 两个时期数列对比组成的相对数动态
数列的序时平均数
?
?
?
?
???
b
a
n
b
n
a
b
a
c
一般公式为：
某厂 7-9月份生产计划完成情况
7月份 8月份 9月份
a 实际产量 (件 ) 1256 1367 1978
b 计划产量 (件 ) 1150 1280 1760
c 产量计划完成 % 109.2 106.8 112.4
8109
4190
4601
3176012801150
3197813671256
%.
/)(
/)(
??
??
??
?程度第三季度平均计划完成
例
2,由 两个时点数列对比组成的相对数动态
数列的序时平均数
22
22
1
22
1
22
32
1
32
1
32
1
32
1
n
n
n
n
b
bb
b
a
aa
a
n
b
bb
b
n
a
aa
a
b
a
c
????
????
?
?????
?????
??
?
?
?
?
)/()(
)/()(
一般公式为：
某厂第三季度生产工人与职工人数资料
日 期 6月 30日 7月 31日 8月 31日 9月 30日
a 生产工人数（人） 645 670 695 710
b 全体职工数（人） 805 826 830 845
c 生产工人占全体职工的 % 80.1 81.1 83.7 83.1 %.
.
.
1882
52485
52042
2
845
830826
2
805
2
710
695670
2
645
??
???
???
?
全体职工的平均比重
第三季度生产工人数占
例
若 为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为,
2 3 112
1 2 1
2 3 112
1 2 1
2 2 2
2 2 2
nn
n
nn
n
a a a aaa f f f
ac
b b b bbbb f f f
?
?
?
?
??? ? ? ?
??
??? ? ? ?
L
L
若 由二个连续时点数列对比组成的相对数动
态数列的序时平均数,
aa c
bb??
?
?连 续 变 动 时 点, 用 简 单 平 均, 即
afa c
bfb??
?
?非 连 续 变 动 时 点, 用 加 权 平 均, 即
3,由 一个时期数列和一个时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数。
1
22
b
a
c
32
1
?
????
?
??
n
b
bb
b
n
a
n
?
一般公式为：
某商业企业商品销售额与库存额情况
1月 2月 3月
a 商品销售额 (万元 ) 80 150 240
)(..
)(.
.
)/()(
/)(
次
月数月平均商品流转次数季度的商品流转次数
次
商品流转次数
第一季度月平均
3993133
133
50
7156
14
2
65
5545
2
35
324015080
???
???
??
????
??
?
1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日
b 商品库存额 (万元 ) 35 45 55 65
例
㈢ 平 均数动态数列的序时平均数
1.由 一般平均数组成的平均数动态数列
的序时平均数。
b
a
c
?
??
一般公式,
某厂某年 1-6月每一工人平均产值
)(.
.
.....
万元
人平均月产值
上半年每一工
620
405
29251
707270686560
3488461444439653933
??
?????
?????
?
月份 1 2 3 4 5 6
a 工业增加值 (万元 ) 33 39.65 39.44 44.1 46.8 48.3
b 平均工人数 (人 ) 60 65 68 70 72 70
c 每一工人平均产值 (万元 ) 0.55 0.61 0.58 0.63 0.65 0.69
例
2,由 序时平均数组成的平均数动态数列
的序时平均数 。
某企业某年各季平均月产值情况
)(25.20
12
243
3333
392312317314
万元
全年平均每月产值
以时间为权数：
??
???
???????
?
季 度 一 二 三 四
平均每月产值 (万元 ) 14 17 21 29
可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算 。
例
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
基期水平报告期水平增长量 ??
因为基期有两种
前一时期
某一固定时期
增长量 0aai ?
累计增长量,
逐期增长量,
1?? ii aa
?
01 1 aaaa n
n
i ii
????
? ?
)(
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的
绝对数量。
1?? ?
逐 期 增 长 量 之 和 累 计 增 长 量平 均 增 长 量
逐 期 增 长 量 个 数 动 态 数 列 项 数
某省 2000-2005年某工业产品产量
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速度
(%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速度
(%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
例
单位：万台
)(.
...
)(.
万台或
万台
年平均年增长量
34439
5
72196
16
3110403301
34439
5
4 2 8, 66 5 6, 95 0 8, 53 5 5, 92 4 6, 8
20052000
??
?
?
?
?
????
?
?
第三节 动态数列的速度分析指标
动 态数列的速度指标有,
发展速度
增长速度
平均发展速度
平均增长速度
一、发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
报 告 期 水 平
发 展 速 度
基 期 水 平
定 基 发 展 速 度,
可 分 为,
环 比 发 展 速 度,
0
1
100%
i
i
i
a
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1 10i
in
i
n aa
aa? ????
推 理, 1i
0 0 1
ii
i
aaaa a a?
?
??
二、增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
增 长 速 度 发 展 速 度 -
定 基 增 长 速 度
无 关 系
环 比 增 长 速 度
增 长 量 前 一 时 期 水 平
增 长 的 绝 对 值
增 长 百 分 比
基 期 水 平
或
1 ( 10 0% )
1%
100
100
?
?
?
?
??
某省 2000-2005年某工业产品产量
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速度
(%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速度
(%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
例
单位：万台
三、平均发展速度和平均增长速度
平 均发展速度是各个环比发展速度的动态平均
数 (序时平均数 )，说明某种现象在一个较长时
期中逐年平均发展变化的程度 ；
平 均增长速度是各个环比增长速度的动态平均
数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均
增长变化的程度 。
㈠ 平均发展速度
1,几 何平均法，又称水平法 。
n XX ??
⑴ n nXXXX ??321 ???
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
12
3
1
2
0
1
?
??? ??
⑵ n n
a
a
0
?
⑶ n R?
某企业总产值资料
基年 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
总产值 (万元 ) 270.1 273.80 289.20 314.40 322.30 340.70
环比发展速度 (%) - 101.37 101.62 108.71 102.51 105.71
定基发展速度 (%) - 101.37 107.07 116.40 119.33 126.14
例
%75.1042 6 1 4.1
%75.1042 6 1 3 8 5.1
1.270
7.340
%75.1042 6 1 2 6 8.1
0 5 7 1.10 2 5 1.1
5
5
5
5
5
??
???
??
?????
X
X
1,0 8 7 11,0 1 6 21,0 1 3 7X
或
或
平均发展速度
2,方 程法，又称累计法。
在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用
方程法计算平均发展速度 。
?
?
????? n
i in
aaaaa
1321
?
?
?
?????? n
i i
n aXaXaXaXa
10
3
0
2
00 ?
n
a
XXXX
n
i
inn ?
?? ?????? 121 ?
解这样的高次方程，用查表法。
10 4.4 0%X 01.570
%31.570
1.270
4.15 40
1.270
7.3403.3224.3142.2898.273
0
1
i
??
??
????
?
?
?
近似，见表中
仍用前例数据：
a
a
n
i
?
水平法与累计法之比较,
实际资料 按水平法计算 按累计法计算
发展水
平 (万
元 )
环比发
展速度
(%)
定基发
展速度
(%)
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
a X’ Y Y’ a’ Y” a”
基 年 270.1 - 100 - 100 - - 100 -
第一年 273.8 101.37 101.37 104.75 104.75 282.93 104.40 104.40 281.98
第二年 289.2 105.62 107.07 104.75 109.73 296.38 104.40 108.99 294.39
第三年 314.4 108.71 116.40 104.75 114.94 310.45 104.40 113.79 307.34
第四年 322.3 102.51 119.33 104.75 120.40 325.19 104.40 118.80 320.87
第五年 340.7 105.71 126.14 104.75 126.12 340.64 104.40 124.02 334.99
合 计 1540.4 - 570.31 - 575.94 1555.58 - 570.00 1539.57
XX
㈡ 平均增长速度
平均增长速度 =平均发展速度 -1 (100%)
平 均发展速度大于, 1”，平均增长速度就为正值。
则称, 平均递增速度, 或, 平均递增率, 。
平 均发展速度小于, 1”，平均增长速度就为负值。
则称, 平均递减速度, 或, 平均递减率, 。
第四节 长期趋势的测定与预测
长 期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。 (向上或向下变化 )
测定长期趋势的目的主要有三个,
把 握现象的趋势变化；
从 数量方面研究现象发展的规律性，探
求合适趋势线；
为 测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种,
直 线趋势；
非 直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有,
间 隔扩大法；
移 动平均法；
最 小平方法。
一、间隔扩大法
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元 例
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列,
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
增加值 (万元 ) 147.5 157.4 168.4 177.7
仍用上例资料,
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 y(万元 )
50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
三项移动平均 yc
- 49.2 49.5 51.3 52.5 53 55.6 56.1 58.2 58.1 59.2 -
∴ 趋势值项数 =原数列项数 -移动平均项数 +1
=12-3+1=10
二、移动平均法
注 1,
若采用奇数项移动平均 (如上例, 三项, )，
则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可
得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，
因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，
故一般都用奇数项移动平均。
注 2,
修匀后的数列，较原数列项数少。 (在进
行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜
使用 )
注 3,
取几项进行移动平均为好，一般若现象有
周期变动，则以周期为长度。例，季度资料
可四项移动平均；各年月资料，可十二项移
动平均；五年一周期，可五项移动平均。移
动平均法可消除周期变动。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y
50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
四项移动平均
49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7
二项移正 yc 49.8 51.1 52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得
更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。 (但丢掉的
数据多一些 )
仍用上例资料,
40
45
50
55
60
65
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
?- ê? ×á?
èy ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
?? ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
图示
三、最小平方法
2
c
( ) m in
y
y
cyy???
实 际 值, 即 原 数 列 值
趋 势 值 或 理 论 值
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。
这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线
必须满足最基本的要求。即,
㈠ 直线方程
当 现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为,
cy a b t??
用高等数学求偏导数方法，得到以下联立方程组,
?? ?? tbNay
??? ?? 2tbtaty
为使计算方便，可设 t,
奇数项, ??,,,,,,,,3210123 ???
偶数项, ??,,,,,,,531135 ???
这样使 0?? t, 即上述方程组可简化为,
Nay ??
?? ? 2tbty
t y ty t2 yc 逐期增长量
-11 50.5 -555.5 121 47.98 -
-9 45 -405 81 49.12 -5.5
-7 52 -364 49 50.26 7
-5 51.5 -257.5 25 51.40 -0.5
-3 50.4 -151.2 9 52.54 -0.9
-1 55.5 -55.5 1 53.68 5.1
1 53 53 1 54.82 -2.5
3 58.4 175.2 9 55.96 5.4
5 57 285 25 57.10 -1.4
7 59.2 414.4 49 58.24 2.2
9 58 522 81 59.38 -1.2
11 60.5 665.5 121 60.52 2.5
合计 651.0 326.4 572 651.00 -
仍用上例资料,
该方程配合得较好???????
?
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???
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57.025.54
57.0
25.54
5724.326
12651
2
cc yyty
b
a
b
a
tbty
Nay
?
)(..,万元862155702554 ????cy
若预测明年二月份增加值，则,
0)(
222
?
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t
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y
n
t
b
n
y
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t
ty
ttn
yttyn
b
)(
导出：由联立方程也可直接推
㈡ 抛物线方程
50 69 90 11 0
1 9 21 20?
逐 期 增 长 量,
二 级 增 长 量,
则 给 该 资 料 配 合 抛 物 线 方 程
例
当 现象的发展，其二级增长量大体上相时 。
2
c
2
2
3
3
2 2 4
y a bt c t ( a b c )
y N a b t c t
ty a t b t c t
t y a t b t c t
? ? ?
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该 方 程 的 一 般 形 式 为,
、, 均 为 未 定 参 数
同 样 用 求 偏 导 数 的 方 法, 导 出 以 下 联 立 方 程 组,
某地区 1997-2005年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表,
年份 GDP(万元 )y t t2 t4 ty t2y yc
1997 3941 -4 16 256 -15764 63056 3897.56
1998 4285 -3 9 81 -12774 38322 4259.94
1999 4736 -2 4 16 -9472 18944 4854.67
2000 5652 -1 1 1 -5652 5652 5681.76
2001 7020 0 0 0 0 0 6741.20
2002 7859 1 1 1 7859 7859 8032.99
2003 9313 2 4 16 18626 37252 9557.14
2004 11738 3 9 81 35214 105642 11313.64
2005 13125 4 16 256 52500 210000 13302.50
合计 67642 0 60 708 70537 486727 67641.40
例
)(.
...
,
...
.
.
万元
则：年若预测该地区
711 5 5 2 3
517711656171 1 7 526 7 4 1
2 0 0 6
1771166171 1 7 526 7 4 1
177116
6171 1 7 5
6 7 4 1, 2a
708604 8 6 7 2 7
607 0 5 3 7
6096 7 6 4 2
2
2
?
?????
????
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?
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c
c
y
G D P
tty
c
b
ca
b
ca
㈢ 指数曲线方程
2
l g l g l g
l g,l g,l g
(,0 )
c
c
y a t b
Y y A a B b
Y A Bt
Y N A B t
t Y A t B t
tt
??
? ? ?
??
? ??
?
?
???
?
?
??
? ? ?
?
先 对 上 述 方 程 两 边 各 取 对 数,
设
则,
应 用 最 小 平 方 法 求 得 的 联 立 方 程 组 为,
同 样 设 使
例题见教材 P164-166
当 现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
该方程的一般形式为, t
c aby ?
第五节 季度变动的测定与预测
一、季节变动分析的意义
测 定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，
如季节资料，至少要有 12季，月度资料至
少要有 36个月等，以避免资料太少而产生偶然
性。
测定季节变动的方法有二种,
按 月平均法，不考虑长期趋势的影响 (假定不存
在长期趋势 )，直接利用原始动态数列来计算；
移 动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，
剔除其影响后再进行计算，故常用此法。
二、按月平均法测定季节变动
也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为
季度资料则按季平均。
其 步骤如下,
列表，将各年同月 (季 )的数值列在同一栏内；
将各年同月 (季 )数值加总，并求出月 (季 )平均
数；
将所有同月 (季 )数值加总，求出总的月 (季 )平均
数；
求季节比率 (或季节指数 )。
某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克
月份
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
第一年 150 90 40 26 10 8 12 20 35 85 340 360 1176
第二年 230 150 60 40 20 10 32 40 70 150 420 480 1702
第三年 280 120 80 30 12 9 37 48 84 140 470 500 1820
合计 660 360 180 96 42 27 81 108 189 375 1230 1350 4698
月平均数 220 120 60 32 14 9 27 36 63 125 410 450 130.5
季节比率
(%)
168.58 91.95 45.98 24.52 10.73 6.90 20.69 27.59 48.28 95.79 314.18 344.83 1200
例
%.,100?? 全期各月平均数 各月平均数）：季节比率（或季节指数 IS
51 3 0364 6 9 8,??全期各月平均数
%.%..,581 6 81 0 051 3 02 2 01 ???IS月份例：
??,,IS实际计算出系数若需调整，则算：调整
1200
预测方法,
若知，今年 4月份销售量为 50百千克，预测今年
10,11月份销售量,
（百千克）月份销售量 3319579955224 5010,.,???
（百千克）月份销售量 66640183145224 5011,.,???
三、移动平均趋势剔除法测定季节变动
为方便计算，把上例月资料改为季资料,
单位：百千克
季度
年份
一 二 三 四
第一年 280 44 67 785
第二年 440 70 142 1050
第三年 480 51 169 1120
季度 销售量 y
(百千克 )
四项移动
平均
二项移正
yc
趋势值剔除
减法 y-yc 除法 y/yc× 100%
第一年 Ⅰ 280 - - -
Ⅱ 44 - - -
Ⅲ 67 314 -247 21.34
Ⅳ 785 337.25 447.75 232.77
第二年 Ⅰ 440 349.875 90.125 125.76
Ⅱ 70 392.375 -322.375 17.84
Ⅲ 142 430.5 -288.5 32.98
Ⅳ 1050 433.125 616.875 242.42
第三年 Ⅰ 480 434.125 45.875 110.57
Ⅱ 51 446.25 -395.25 11.43
Ⅲ 169 - - -
Ⅳ 1120 - - -
294
334
340.5
359.25
425.5
435.5
430.75
437.5
455
对减法分析如下,
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - -247 447.75
第二年 90.125 -322.375 -288.5 616.875
第三年 45.875 -395.25 - -
合 计 136 -717.625 -535.5 1064.625
平 均 68 -358.8125 -267.75 532.3125 -26.25
校正数 +6.56 +6.56 +6.56 +6.56
季节变差 S.V,74.56 -352.25 -261.19 538.87 0
对除法分析如下,
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - 21.34 232.77
第二年 125.76 17.84 32.98 242.42
第三年 110.57 11.43 - -
合 计 236.33 29.27 54.32 475.19
平 均 118.165 14.635 27.16 237.60 397.56
校正比例 1.0061 1.0061 1.0061 1.0061
季节比率 S.I,118.89 14.72 27.33 239.05 400
End of Chapter 4
第一节 动态数列的编制
一、动态数列的概念
动 态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或
在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列
起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并
以此来预测未来的一种统计方法。
上海市国内生产总值
年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
亿元 4034.96 4551.15 4950.84 5408.76 6250.81 7450.27 9143.95
例
动 态数列由两个基本要素构成,
① 时 间，即现象所属的时间；
② 不 同时间上的统计指标数值，即不同时间
上该现象的发展水平。
二、动态数列的种类
动态数列按照所列入指标数值的不同可分为,
绝对数动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
时期数列特点,
数 列中各个指标值是可加的；
数 列中每个指标值的大小随着时期的长
短而变动；
数 列中每个指标值通常是通过连续不断
的登记而取得。
时点数列特点,
数 列中各个指标值是不能相加的；
数 列中每个指标值的大小与时间间隔
的长短没有直接关系；
数 列中每个指标值通常是按期登记一
次取得的。
全国城乡居民储蓄存款
年末 1999 2000 2001 2002 2003 2004
余额 2597.12 2524.05 3001.89 4915.54 6054.60 6960.99
例
单位：亿元
我国各年国内生产总值增长率
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
增速 7.8 7.1 8.0 7.3 8.0 9.0 9.5 9.9
例
单位,%
上海职工 2001 - 2005年年平均工资
年份 2001 2002 2003 2004 2005
年平均工资 17764 19473 22160 24398 26823
例
单位：元
三、动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。
具体说有以下几点,
注 意时间的长短应统一；
总 体范围应该一致；
指 标的经济内容应该相同；
指 标的计算方法和计量单位应该一致。
第二节 动态数列的水平分析指标
属 于现象发展的水平分析指标有,
发展水平
平均发展水平
增长量
平均增长量。
一、发展水平
在 动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发
展水平或动态数列水平。
如 果用 a0,a1,a2,a3,…… an，代表数列中
各个发展水平，则其中 a0即最初水平,an即
最末水平 。
二、平均发展水平
平 均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数 。
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 (万元 ) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
季度 一 二 三 四
各季每月平均增加值 (万元 ) 36 48 60 76
例
序时平均数与一般平均数的异同点,
二者都是将现象的个别数量差异抽象化，
概括地反映现象的一般水平。
- 计算方法不同；
- 差异抽象化不同；
- 序时平均数还可解决某些可比性问题。
不 同点
相 同点
序时平均数的计算方法,
㈠ 绝 对数动态数列的序时平均数
1 2 3
1 2 3 n
,,,
n
n
aa a a a
a
nn
a
a a a a
? ? ? ?
??
?L
L
式 中, 序 时 平 均 数
各 时 期 发 展 水 平
时 期 项 数
1,时 期数列的序时平均数
月份 一 二 三 四 五 六
产量 (万件 ) 24 20 28 28 30 29
)2 6, 5 (
6
293028282024
万件
则上半年平均月产
?
?????
?
例
2,时 点数列的序时平均数
(1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况,
2),对 非连续变动的连续时点数列 (即分组资料 )
afa
f?
?
?
1),对 连续变动的连续时点数列 (即未分组资料 )
aa
n?
?
某厂 7月份的职工人数自 7月 1日至 7月 10日为 258
人,7月 11日起至 7月底均为 279人，则该厂 7月份平
均职工人数为,
)(27231 2792125810 人?????a
例
⑵ 如果资料是间断时点资料，也可分为
二种情况,
1) 对 间隔相等的间断时点资料
某成品库存量如下,
现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存
量相等。则各月平均库存量为,
)(2960)274029903150(
3
1
)(2740
2
28002680
6
)(2990
2
26803300
5
)(3150
2
33003000
4
件第二季度平均库存量
件月份
件月份
件月份
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
3月 31日 4月 30日 5月 31日 6月 30日
库存量 (件 ) 3000 3300 2680 2800
例
)(2960
3
274029903150
3
2
28002680
2
26803300
2
33003000
件
第二季度平均库存量
：上面计算可合并简化为
?
??
?
?
?
?
?
?
?
""
1
22
1
222
132
13221
1
首末折半法这种计算方法称为
般公式：上面计算过程概括为一
?
?????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
aaa
a
n
aaaaaa
a
n
n
nn
?
?
2) 对 间隔不等的间断时点资料
2 3 112
1 2 1
1
1
2 2 2
nn
n
n
i
i
a a a aaa
f f f
a
f
?
?
?
?
???
? ? ?
?
?
L
某城市 2003年各时点的人口数
日期 1月 1日 5月 1日 8月 1日 12月 31日
人口数 (万人 ) 256.2 257.1 258.3 259.4
)(83.257
12
3 0 94
534
5
2
4.2593.258
3
2
3.2581.257
4
2
1.2572.256
万人
年平均人口数为：该市则，
??
??
?
?
??
?
??
?
2 0 03
例
㈡ 相 对数动态数列的序时平均数
1,由 两个时期数列对比组成的相对数动态
数列的序时平均数
?
?
?
?
???
b
a
n
b
n
a
b
a
c
一般公式为：
某厂 7-9月份生产计划完成情况
7月份 8月份 9月份
a 实际产量 (件 ) 1256 1367 1978
b 计划产量 (件 ) 1150 1280 1760
c 产量计划完成 % 109.2 106.8 112.4
8109
4190
4601
3176012801150
3197813671256
%.
/)(
/)(
??
??
??
?程度第三季度平均计划完成
例
2,由 两个时点数列对比组成的相对数动态
数列的序时平均数
22
22
1
22
1
22
32
1
32
1
32
1
32
1
n
n
n
n
b
bb
b
a
aa
a
n
b
bb
b
n
a
aa
a
b
a
c
????
????
?
?????
?????
??
?
?
?
?
)/()(
)/()(
一般公式为：
某厂第三季度生产工人与职工人数资料
日 期 6月 30日 7月 31日 8月 31日 9月 30日
a 生产工人数（人） 645 670 695 710
b 全体职工数（人） 805 826 830 845
c 生产工人占全体职工的 % 80.1 81.1 83.7 83.1 %.
.
.
1882
52485
52042
2
845
830826
2
805
2
710
695670
2
645
??
???
???
?
全体职工的平均比重
第三季度生产工人数占
例
若 为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为,
2 3 112
1 2 1
2 3 112
1 2 1
2 2 2
2 2 2
nn
n
nn
n
a a a aaa f f f
ac
b b b bbbb f f f
?
?
?
?
??? ? ? ?
??
??? ? ? ?
L
L
若 由二个连续时点数列对比组成的相对数动
态数列的序时平均数,
aa c
bb??
?
?连 续 变 动 时 点, 用 简 单 平 均, 即
afa c
bfb??
?
?非 连 续 变 动 时 点, 用 加 权 平 均, 即
3,由 一个时期数列和一个时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数。
1
22
b
a
c
32
1
?
????
?
??
n
b
bb
b
n
a
n
?
一般公式为：
某商业企业商品销售额与库存额情况
1月 2月 3月
a 商品销售额 (万元 ) 80 150 240
)(..
)(.
.
)/()(
/)(
次
月数月平均商品流转次数季度的商品流转次数
次
商品流转次数
第一季度月平均
3993133
133
50
7156
14
2
65
5545
2
35
324015080
???
???
??
????
??
?
1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日
b 商品库存额 (万元 ) 35 45 55 65
例
㈢ 平 均数动态数列的序时平均数
1.由 一般平均数组成的平均数动态数列
的序时平均数。
b
a
c
?
??
一般公式,
某厂某年 1-6月每一工人平均产值
)(.
.
.....
万元
人平均月产值
上半年每一工
620
405
29251
707270686560
3488461444439653933
??
?????
?????
?
月份 1 2 3 4 5 6
a 工业增加值 (万元 ) 33 39.65 39.44 44.1 46.8 48.3
b 平均工人数 (人 ) 60 65 68 70 72 70
c 每一工人平均产值 (万元 ) 0.55 0.61 0.58 0.63 0.65 0.69
例
2,由 序时平均数组成的平均数动态数列
的序时平均数 。
某企业某年各季平均月产值情况
)(25.20
12
243
3333
392312317314
万元
全年平均每月产值
以时间为权数：
??
???
???????
?
季 度 一 二 三 四
平均每月产值 (万元 ) 14 17 21 29
可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算 。
例
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
基期水平报告期水平增长量 ??
因为基期有两种
前一时期
某一固定时期
增长量 0aai ?
累计增长量,
逐期增长量,
1?? ii aa
?
01 1 aaaa n
n
i ii
????
? ?
)(
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的
绝对数量。
1?? ?
逐 期 增 长 量 之 和 累 计 增 长 量平 均 增 长 量
逐 期 增 长 量 个 数 动 态 数 列 项 数
某省 2000-2005年某工业产品产量
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速度
(%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速度
(%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
例
单位：万台
)(.
...
)(.
万台或
万台
年平均年增长量
34439
5
72196
16
3110403301
34439
5
4 2 8, 66 5 6, 95 0 8, 53 5 5, 92 4 6, 8
20052000
??
?
?
?
?
????
?
?
第三节 动态数列的速度分析指标
动 态数列的速度指标有,
发展速度
增长速度
平均发展速度
平均增长速度
一、发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
报 告 期 水 平
发 展 速 度
基 期 水 平
定 基 发 展 速 度,
可 分 为,
环 比 发 展 速 度,
0
1
100%
i
i
i
a
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1 10i
in
i
n aa
aa? ????
推 理, 1i
0 0 1
ii
i
aaaa a a?
?
??
二、增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
增 长 速 度 发 展 速 度 -
定 基 增 长 速 度
无 关 系
环 比 增 长 速 度
增 长 量 前 一 时 期 水 平
增 长 的 绝 对 值
增 长 百 分 比
基 期 水 平
或
1 ( 10 0% )
1%
100
100
?
?
?
?
??
某省 2000-2005年某工业产品产量
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速度
(%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速度
(%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
例
单位：万台
三、平均发展速度和平均增长速度
平 均发展速度是各个环比发展速度的动态平均
数 (序时平均数 )，说明某种现象在一个较长时
期中逐年平均发展变化的程度 ；
平 均增长速度是各个环比增长速度的动态平均
数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均
增长变化的程度 。
㈠ 平均发展速度
1,几 何平均法，又称水平法 。
n XX ??
⑴ n nXXXX ??321 ???
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
12
3
1
2
0
1
?
??? ??
⑵ n n
a
a
0
?
⑶ n R?
某企业总产值资料
基年 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
总产值 (万元 ) 270.1 273.80 289.20 314.40 322.30 340.70
环比发展速度 (%) - 101.37 101.62 108.71 102.51 105.71
定基发展速度 (%) - 101.37 107.07 116.40 119.33 126.14
例
%75.1042 6 1 4.1
%75.1042 6 1 3 8 5.1
1.270
7.340
%75.1042 6 1 2 6 8.1
0 5 7 1.10 2 5 1.1
5
5
5
5
5
??
???
??
?????
X
X
1,0 8 7 11,0 1 6 21,0 1 3 7X
或
或
平均发展速度
2,方 程法，又称累计法。
在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用
方程法计算平均发展速度 。
?
?
????? n
i in
aaaaa
1321
?
?
?
?????? n
i i
n aXaXaXaXa
10
3
0
2
00 ?
n
a
XXXX
n
i
inn ?
?? ?????? 121 ?
解这样的高次方程，用查表法。
10 4.4 0%X 01.570
%31.570
1.270
4.15 40
1.270
7.3403.3224.3142.2898.273
0
1
i
??
??
????
?
?
?
近似，见表中
仍用前例数据：
a
a
n
i
?
水平法与累计法之比较,
实际资料 按水平法计算 按累计法计算
发展水
平 (万
元 )
环比发
展速度
(%)
定基发
展速度
(%)
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
a X’ Y Y’ a’ Y” a”
基 年 270.1 - 100 - 100 - - 100 -
第一年 273.8 101.37 101.37 104.75 104.75 282.93 104.40 104.40 281.98
第二年 289.2 105.62 107.07 104.75 109.73 296.38 104.40 108.99 294.39
第三年 314.4 108.71 116.40 104.75 114.94 310.45 104.40 113.79 307.34
第四年 322.3 102.51 119.33 104.75 120.40 325.19 104.40 118.80 320.87
第五年 340.7 105.71 126.14 104.75 126.12 340.64 104.40 124.02 334.99
合 计 1540.4 - 570.31 - 575.94 1555.58 - 570.00 1539.57
XX
㈡ 平均增长速度
平均增长速度 =平均发展速度 -1 (100%)
平 均发展速度大于, 1”，平均增长速度就为正值。
则称, 平均递增速度, 或, 平均递增率, 。
平 均发展速度小于, 1”，平均增长速度就为负值。
则称, 平均递减速度, 或, 平均递减率, 。
第四节 长期趋势的测定与预测
长 期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。 (向上或向下变化 )
测定长期趋势的目的主要有三个,
把 握现象的趋势变化；
从 数量方面研究现象发展的规律性，探
求合适趋势线；
为 测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种,
直 线趋势；
非 直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有,
间 隔扩大法；
移 动平均法；
最 小平方法。
一、间隔扩大法
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元 例
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列,
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
增加值 (万元 ) 147.5 157.4 168.4 177.7
仍用上例资料,
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 y(万元 )
50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
三项移动平均 yc
- 49.2 49.5 51.3 52.5 53 55.6 56.1 58.2 58.1 59.2 -
∴ 趋势值项数 =原数列项数 -移动平均项数 +1
=12-3+1=10
二、移动平均法
注 1,
若采用奇数项移动平均 (如上例, 三项, )，
则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可
得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，
因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，
故一般都用奇数项移动平均。
注 2,
修匀后的数列，较原数列项数少。 (在进
行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜
使用 )
注 3,
取几项进行移动平均为好，一般若现象有
周期变动，则以周期为长度。例，季度资料
可四项移动平均；各年月资料，可十二项移
动平均；五年一周期，可五项移动平均。移
动平均法可消除周期变动。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y
50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
四项移动平均
49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7
二项移正 yc 49.8 51.1 52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得
更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。 (但丢掉的
数据多一些 )
仍用上例资料,
40
45
50
55
60
65
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
?- ê? ×á?
èy ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
?? ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
图示
三、最小平方法
2
c
( ) m in
y
y
cyy???
实 际 值, 即 原 数 列 值
趋 势 值 或 理 论 值
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。
这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线
必须满足最基本的要求。即,
㈠ 直线方程
当 现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为,
cy a b t??
用高等数学求偏导数方法，得到以下联立方程组,
?? ?? tbNay
??? ?? 2tbtaty
为使计算方便，可设 t,
奇数项, ??,,,,,,,,3210123 ???
偶数项, ??,,,,,,,531135 ???
这样使 0?? t, 即上述方程组可简化为,
Nay ??
?? ? 2tbty
t y ty t2 yc 逐期增长量
-11 50.5 -555.5 121 47.98 -
-9 45 -405 81 49.12 -5.5
-7 52 -364 49 50.26 7
-5 51.5 -257.5 25 51.40 -0.5
-3 50.4 -151.2 9 52.54 -0.9
-1 55.5 -55.5 1 53.68 5.1
1 53 53 1 54.82 -2.5
3 58.4 175.2 9 55.96 5.4
5 57 285 25 57.10 -1.4
7 59.2 414.4 49 58.24 2.2
9 58 522 81 59.38 -1.2
11 60.5 665.5 121 60.52 2.5
合计 651.0 326.4 572 651.00 -
仍用上例资料,
该方程配合得较好???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
57.025.54
57.0
25.54
5724.326
12651
2
cc yyty
b
a
b
a
tbty
Nay
?
)(..,万元862155702554 ????cy
若预测明年二月份增加值，则,
0)(
222
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
???
?
?
??
? ? ?
t
n
y
n
t
b
n
y
tbya
t
ty
ttn
yttyn
b
)(
导出：由联立方程也可直接推
㈡ 抛物线方程
50 69 90 11 0
1 9 21 20?
逐 期 增 长 量,
二 级 增 长 量,
则 给 该 资 料 配 合 抛 物 线 方 程
例
当 现象的发展，其二级增长量大体上相时 。
2
c
2
2
3
3
2 2 4
y a bt c t ( a b c )
y N a b t c t
ty a t b t c t
t y a t b t c t
? ? ?
? ? ? ?
?
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? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
、, 均 为 未 定 参 数
同 样 用 求 偏 导 数 的 方 法, 导 出 以 下 联 立 方 程 组,
某地区 1997-2005年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表,
年份 GDP(万元 )y t t2 t4 ty t2y yc
1997 3941 -4 16 256 -15764 63056 3897.56
1998 4285 -3 9 81 -12774 38322 4259.94
1999 4736 -2 4 16 -9472 18944 4854.67
2000 5652 -1 1 1 -5652 5652 5681.76
2001 7020 0 0 0 0 0 6741.20
2002 7859 1 1 1 7859 7859 8032.99
2003 9313 2 4 16 18626 37252 9557.14
2004 11738 3 9 81 35214 105642 11313.64
2005 13125 4 16 256 52500 210000 13302.50
合计 67642 0 60 708 70537 486727 67641.40
例
)(.
...
,
...
.
.
万元
则：年若预测该地区
711 5 5 2 3
517711656171 1 7 526 7 4 1
2 0 0 6
1771166171 1 7 526 7 4 1
177116
6171 1 7 5
6 7 4 1, 2a
708604 8 6 7 2 7
607 0 5 3 7
6096 7 6 4 2
2
2
?
?????
????
?
?
?
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??
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c
c
y
G D P
tty
c
b
ca
b
ca
㈢ 指数曲线方程
2
l g l g l g
l g,l g,l g
(,0 )
c
c
y a t b
Y y A a B b
Y A Bt
Y N A B t
t Y A t B t
tt
??
? ? ?
??
? ??
?
?
???
?
?
??
? ? ?
?
先 对 上 述 方 程 两 边 各 取 对 数,
设
则,
应 用 最 小 平 方 法 求 得 的 联 立 方 程 组 为,
同 样 设 使
例题见教材 P164-166
当 现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
该方程的一般形式为, t
c aby ?
第五节 季度变动的测定与预测
一、季节变动分析的意义
测 定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，
如季节资料，至少要有 12季，月度资料至
少要有 36个月等，以避免资料太少而产生偶然
性。
测定季节变动的方法有二种,
按 月平均法，不考虑长期趋势的影响 (假定不存
在长期趋势 )，直接利用原始动态数列来计算；
移 动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，
剔除其影响后再进行计算，故常用此法。
二、按月平均法测定季节变动
也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为
季度资料则按季平均。
其 步骤如下,
列表，将各年同月 (季 )的数值列在同一栏内；
将各年同月 (季 )数值加总，并求出月 (季 )平均
数；
将所有同月 (季 )数值加总，求出总的月 (季 )平均
数；
求季节比率 (或季节指数 )。
某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克
月份
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
第一年 150 90 40 26 10 8 12 20 35 85 340 360 1176
第二年 230 150 60 40 20 10 32 40 70 150 420 480 1702
第三年 280 120 80 30 12 9 37 48 84 140 470 500 1820
合计 660 360 180 96 42 27 81 108 189 375 1230 1350 4698
月平均数 220 120 60 32 14 9 27 36 63 125 410 450 130.5
季节比率
(%)
168.58 91.95 45.98 24.52 10.73 6.90 20.69 27.59 48.28 95.79 314.18 344.83 1200
例
%.,100?? 全期各月平均数 各月平均数）：季节比率（或季节指数 IS
51 3 0364 6 9 8,??全期各月平均数
%.%..,581 6 81 0 051 3 02 2 01 ???IS月份例：
??,,IS实际计算出系数若需调整，则算：调整
1200
预测方法,
若知，今年 4月份销售量为 50百千克，预测今年
10,11月份销售量,
（百千克）月份销售量 3319579955224 5010,.,???
（百千克）月份销售量 66640183145224 5011,.,???
三、移动平均趋势剔除法测定季节变动
为方便计算，把上例月资料改为季资料,
单位：百千克
季度
年份
一 二 三 四
第一年 280 44 67 785
第二年 440 70 142 1050
第三年 480 51 169 1120
季度 销售量 y
(百千克 )
四项移动
平均
二项移正
yc
趋势值剔除
减法 y-yc 除法 y/yc× 100%
第一年 Ⅰ 280 - - -
Ⅱ 44 - - -
Ⅲ 67 314 -247 21.34
Ⅳ 785 337.25 447.75 232.77
第二年 Ⅰ 440 349.875 90.125 125.76
Ⅱ 70 392.375 -322.375 17.84
Ⅲ 142 430.5 -288.5 32.98
Ⅳ 1050 433.125 616.875 242.42
第三年 Ⅰ 480 434.125 45.875 110.57
Ⅱ 51 446.25 -395.25 11.43
Ⅲ 169 - - -
Ⅳ 1120 - - -
294
334
340.5
359.25
425.5
435.5
430.75
437.5
455
对减法分析如下,
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - -247 447.75
第二年 90.125 -322.375 -288.5 616.875
第三年 45.875 -395.25 - -
合 计 136 -717.625 -535.5 1064.625
平 均 68 -358.8125 -267.75 532.3125 -26.25
校正数 +6.56 +6.56 +6.56 +6.56
季节变差 S.V,74.56 -352.25 -261.19 538.87 0
对除法分析如下,
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - 21.34 232.77
第二年 125.76 17.84 32.98 242.42
第三年 110.57 11.43 - -
合 计 236.33 29.27 54.32 475.19
平 均 118.165 14.635 27.16 237.60 397.56
校正比例 1.0061 1.0061 1.0061 1.0061
季节比率 S.I,118.89 14.72 27.33 239.05 400
End of Chapter 4
