第一章 矢量与张量 本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。 ? ? §1 向量代数 　 1.1??向量的定义 ? 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成 　  (1.1) 　 设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为  （1.2） 由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵  (1.3) 　 将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出 　  （1.4） 　 向量 在新坐标系 中的分解记为 　  (1.5) 将(1.4)代入(1.1),得到 　  (1.6) 　 公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标变换系数 的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。 这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。 1.2? Einstein约定求和 用求和号，可将(1.1)写成  (1.7) 所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成  ? ???????????????? (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成  (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。 按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成  (1.10)  (1.11) 将(1.11)代入(1.8)，得 　  (1.12) 　 由此就得到了(1.6)式的约定求和写法， ?   (1.13) 　 今引入Kronecker记号 ， 　  (1.14) 　 例如 。应用 ，单位向量之间的内积可写成 ?  (1.15) ? 向量 和向量 之间的内积可写成 　  (1.16) 　 上式中最后一个等号是因为只有 时， 才不等于零，在这里 的作用似乎是将 换成了 ，因而也称 为“换标记号”。 再引入Levi-Civita记号 ， 　  (1.17) 　 其中 分别取1，2，3中的某一个值。例如 ， ， ，…。利用 ，向量之间的外积可写为  (1.18)  (1.19) 1.3???  与 之间的关系 Kronecker记号 与Levi-Civita记号 之间有如下关系 　  (1.20) 证明1 穷举法，先列出 所有可能的81种取值情况， 　 情形        1 2 3 ┆  1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 ┆ ┆ ┆ ┆  ? 然后逐个情形证明,例如，情形1， ，故此情形(1.20)成立，…。 ? 证明2 我们有双重外积公式  (1.21) 将 代入(1.21)左右两边，得到   将上述两式代入(1.21)两边，移项，得  (1.22) 由于 的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明3 利用Lagrange公式  (1.23) 按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。 　 证明4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有  (1.24) 其中 分别为向量 在 中的坐标。按行列式的乘积法则，有  (1.25) 其中第二个等式应用了 等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得  (1.26) 注意到 ，以及换标记号 和 的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。 §2 张量代数 ? ?2.1???张量的定义 　 设  (2.1) 其中 称为并矢基,它们共有9个,  (2.2) 在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为  (2.3) 于是  (2.4) 从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组 ，在坐标变换下，关于变换系数 为二次齐次式，则称 为张量，也记作 。 为其指标记号， 为其整体记号。 张量 在并矢基 下的9个分量，有一个矩阵 与之对应，记作  (2.5) 同一个张量 在另一组并矢基 下所对应的矩阵为 ，  (2.6) 按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，  (2.7) 其中 为坐标变换矩阵（1.3）。 ? 附注：上述张量的定义可以推广：一个 阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从 的 次齐次式，  (2.8) 则称之为 阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(２.1）所述的张量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号 为三阶张量。(2.8)式中的下标 和 取值范围也可不必限于从１到３，也可从１到 ，那么(2.8)式所定义的张量称为 维空间中的 阶张量。本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。 2.2??张量的运算 张量 与张量 的和与差记为 ，  (2.9) 张量 的转置记为 ，  (2.10) 不难验证， 和 也是张量。例如，  (2.11) 一个张量 称为对称张量，如果  (2.12) 与对称张量 所对应的矩阵 为对称矩阵。 一个张量 称为反对称张量，如果  (2.13) 与反对称张量 所对应的矩阵 为反对称矩阵，我们将反对称矩阵 记成  (2.14) 从(2.14)可以得出，  (2.15)  (2.16) 不难验证，由(2.16)所定义的 为向量，它称为相应于反对称张量 的轴向量。 由于  所以  (2.17) 为一张量，称之为单位张量。 张量 的迹定义为  (2.18) 2.3??张量与向量之间的运算 张量 与向量 有左右两种内积， 　  (2.19)  (2.20) 　 从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式 　  (2.21) 　 如果 为反对称张量，由(2.19) (2.15),得 ?  (2.22) 　 张量 与向量 有左右两种外积， 　  (2.23)  (2.24) 　 张量 与两个向量 和 之间有四种运算， ? ???????     2.4??张量与张量之间的运算 两个张量 与 之间的内积和外积如下   两个张量 与 之间有四种双重运算     对于双重运算，先将外层的两个基 和 按下面的符号进行运算，再将内层的两个基 和 按上面的符号进行运算。 从双重运算可得两个有用的公式，   (2.25)  ??? ? ?? ??(2.26) 此外，尚有关系式  (2.27)  (2.28) 利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理 定理2.1 对称  ?证明 从(2.25)立即得到所需的结论。 　 定理2.2  证明 首先，如果 ，那么 ，从(2.26)得到 。其次，如果 ，(2.26)给出  (2.29) 对(2.29)取迹，得  (2.30) 将(2.30)代回(2.29)，即得 。证毕。 §3 向量分析 ? 3.1 Hamilton 算子 记  (3.1) 由于  (3.2) 可知算子 服从向量的定义。 设 为三维区域 中的标量场，关于 的左右梯度为  ，  其中 ，下标中的逗号表示对其后坐标的微商， 。从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。 设 为三维区域 中的向量场，关于 的左右散度为  ， 从上面两式可以看出向量的左右散度相等。 关于向量场 的左右旋度为  ， 对于 的左右旋度，有关系式 。 标量场 的Laplace算子 为，  向量场 的Gauss公式为  (3.3) 其中 为区域 的边界曲面， ， 为 上的单位外法向量。 向量场 的Stokes公式为  (3.4) 这里 为任意曲面， 为 的边界曲线，在边界 上积分的环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。 3.2??无旋场与标量势 ? 　 对任意标量场 有下述关系  (3.5) 上式用到了关系 ，因为本书总假定所出现的函数具有所需的各阶连续导数。(3.5)说明有势场 是无旋场，其逆命题一般也成立，即有， ?定理3.1 设 为单连通区域 上的任意向量场，则 ? 　 存在 ，使得? (3.6) ? 　 证明 充分性由(3.5)即得。现证必要性，若 ，令  (3.7) 这里 为 中的某个定点。不难验证， 即合所求。首先，(3.7)中的线积分由于无旋假定而与路径无关，即 仅为位置 的函数。其次，从(3.7)可算出 。证毕。 如果区域是多连通的尚需加上单值性条件。 3.3? 无源场与向量势 对任意的向量场 有如下公式，  (3.8) 上式说明，具向量势的向量场其散度为零，即为无源场。此命题的逆命题也成立。 定理3.2 对区域 上的任意向量场 ,有  存在 ，使得 (3.9) 证明 充分性由(3.8)即得。关于必要性，下述的 即合所求，  (3.10) 其中 ， 为 中的定点。证毕。 ? 附注：定理3.2的证明中引用了定积分，因此区域必须具备凸性才可使定积分得以进行。关于一般区域中的证明参见Stevenson(1954)的论文，此文还指出定理3.2一般只对具有单边界的区域成立，对于有多边界的区域还需补充一些条件。 3.4 Helmholtz分解 　 对任意的向量场 ，它的二重旋度有如下表示  (3.11) 利用(3.11)可得下面的重要定理 定理3.3 (向量的Helmholtz分解) 对区域 上的任意向量场 ，总存在标量势 和向量势 ，使得  ， 且 (3.12) 证明 令  (3.13) 　 其中 ，从(3.13),按Newton位势 ，有  (3.14) 将(3.11)代入(3.14),得  (3.15) 设 ，从(3.15)即得欲证之(3.12)式。证毕。 §4 张量分析 ? 4.1???向量的梯度 　 向量的左右梯度均为张量 　  (4.1) 　 相应于向量左右梯度的矩阵为 ?  (4.2) ? 从（4.1）,或(4.2),可得 ?  (4.3)  (4.4) 4.2? 张量的散度和旋度 张量的左右梯度均为向量  (4.5) ? 从(4.5)看出，  (4.6) 对于特殊的张量 ，其左右梯度为  (4.7) 张量的左右旋度仍为张量  (4.8)  (4.9) 与张量的旋度所相应的矩阵为  (4.10) 也可列出 所相应的矩阵。从(4.8) (4.9)，可得  (4.11) 当 为对称张量时，由(4.10) (4.11)有  (4.12) 4.3 等公式 　 我们有下面四个公式 　  (4.13) 上述四个公式都可以直接验算，例如   4.4? 两个重要公式 　 ??? 应用张量的左右旋度，我们导出本书第三章和第五章中所需的两个重要公式，  (4.14)  (4.15) 公式(4.14)和(4.15)也都不难验证，例如 (4.14)左边   ? ?   =(4.14)右边 ?4.5 Gauss 公式和Stokes公式 　 张量 的Gauss 公式为，  (4.16)  (4.17) 事实上，为证(4.16)，设 ，记 ，那么 ，于是   其中第二个等号利用了向量的Gauss 公式(3.3)。为了证明(4.17),设 ，这样 ，(4.17)的左边将为  张量 的Stokes 公式为，?  （4.18）  （4.19） 上面两个等式可利用向量的Stokes公式(3.4)，按（4.16）（4.17）的方式证得。 ? 附注：本章所讨论的张量为直角坐标中的张量，有时亦称并矢，或称笛卡尔张量。关于张量的普遍理论请参考郭仲衡（1980，1988），黄克智等(1986)。