第七章 弹性力学平面问题的直角坐标解法 真实的弹性体都是空间物体，但当其形状和受力情况具有某些特点时，在数学上可按平面问题处理。本章先介绍平面应变问题、平面应力问题和广义平面应力问题，然后在直角坐标系中来解平面问题。 ?§1 平面应变问题 ?1.1 基本定理及其推论 ? 平面应变问题是在几何与物理两方面都有特点的弹性力学问题。 ??????? 几何特点：弹性体为母线与 轴平行的长柱体。 ?物理特点：弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于 平面，全与 无关，且它们在 平面内构成平衡力系。 许多重要的工程实际问题都具有上述两个特点，例如图7.1所示的水坝、涵洞和受内压的圆管等。  图7.1 如同第六章的Saint-Venant问题一样，我们仍采用半逆解法。对于本节的问题，既然弹性体的形状和所受外力都不依赖于坐标 ，可以想象弹性体中的变形也与坐标 无关，于是位移场 可作如下的预先假定  (1.1) 其中 为柱体 的横截面。 满足条件(1.1)的弹性力学问题，通常称为平面应变问题。现在来逐个考察第五章所建立的边值问题的全部方程和全部边界条件。由于(1.1)，几何方程成为  (1.2) 从(1.2)可知，应变仅有“平面”上的分量 、 和 ，且不依赖于 ；而应变的三个“ 向”分量 、 和 全部自动消失。 在(1.2)之下，本构方程为  (1.3) 可以看出， 、 和 三个应力分量都是 、 的函数，两个与 向有关的剪应力 、 都为零，但 向的正应力 却不为零。也就是说平面应变问题的应力可不是“平面”的。此时，平衡方程为  (1.4) 按问题的特点，式中 和 与 无关，而 应为零。 由于柱体侧面 上的外法向总与 轴垂直，其时 上的应力边界条件为  (1.5) 这里 为 的边界曲线。另外，按问题的物理特点，面力分量 和 与 无关， 应为零。 我们知道，弹性力学的边值问题的解存在且唯一，而假定(1.1)是在边值问题的方程和边界条件以外又加上了新的限制。那么在这种限制之下，问题是否可能还有解？或者说，这种限制与其几何特点物理特点是否相容？答案是肯定的，先有下述定理： 定理1.1 如果体力 、 和面力 、 构成平衡力系，即：  (1.6) 则下述边值问题的解存在且唯一(位移精确到刚体位移)，  (1.7)  ???????????????? ????????? (1.8)  (1.9)  ??? ????? (1.10) 其中 为平面区域， 为其边界， 均为 的函数。 定理1.1的存在性类似于三维的证明，可按Fichera(1972)的Sobolev空间方法，或Kupradze(1978)的弹性势论方法得到，也可按复变函数的方法证明,参见Мусхелишвили(1958)一书的312页至321页。关于上述定理的唯一性部分，类似于第五章第二节的唯一性定理的证明。 定理1.1仅考虑了应力边值问题，当然也可考虑位移边值问题和混合边值问题，限于篇幅不再叙述相应的定理了。从定理1.1可以得到下面三个显然的，却非常有用的推论。 推论1.1 若  (1.11) 是问题(1.7)-(1.10)在平面区域 上的解，则  (1.12) 是弹性力学问题(1.2)-(1.5)在无限柱体 上的解。 推论1.2 设 为有限柱体，其两端的边界条件分别为下列三种情况之一：  (1.13) 其中 是问题(1.7)-(1.10)的解。则(1.12)为有限柱体 上弹性力学问题(1.2)- (1.5)和(1.13)条件之一的解。 推论1.3 设 为长柱体(即 比 的特征尺寸大得多)，在 的端部 上给定合力和合力矩， ? (1.14) 在 上， 端具下述合力和合力矩  (1.15) 的Saint-Venant问题的解，记为 、 、 。 则长柱体 上，弹性力学问题(1.2)-(1.5)(1.14)在Saint-Venant意义下的一个解为  (1.16) 这里 、 、 为问题(1.7)-(1.10)的解。 §2 Airy应力函数 2.1 无体力情形 若无体力，平衡方程(1.9)和应力协调方程(1.31)，分别为  (2.1)  (2.2) 以应力为未知量的平面应变问题，归结为求解方程(2.1)(2.2)。 由于平衡方程(2.1)，我们可定义两个与路径无关的线积分，  (2.3) 其中 为 中的某个固定点， 为 中的任意点。从(2.3)，得  (2.4) 在(2.4)中，关于 的两个式子应一致，有  (2.5) 类似地，从(2.5)可知存在函数 ，使  (2.6) 将(2.6)代入(2.4)，得到  (2.7) 通常称(2.7)中的 为Airy应力函数。从上面的推导可知，只要应力分量 、 和 满足平衡方程(2.1)，就存在Airy函数 使(2.7)成立；反之，对于任意函数 ，按(2.7)所求出的应力分量都满足平衡方程(2.11)。这样可以说，(2.7)为平衡方程(2.1)的通解。在应力协调方程(2.2)中引入Airy应力函数，得  (2.8) 由于(2.7)已使平衡方程自动满足，因此平面应变问题归结为：在给定的边界条件下求解双调和方程：  (2.9) 　 2.4 有体力的情形 对于有体力的弹性力学问题，通常将其分为两个问题来解，先求有体力的特解，再求无体力的齐次方程的解，然后将二者叠加可得到原问题的解，平面问题的特解将在第八章中给出。本段，按另一种方式考虑体力。首先，注意下述引理。 引理2.1 若 和 为 上给定的函数，则存在 和 ，使  (2.10) 证明：令 和 分别为 和 的对数位势，  其中 。因此，有  (2.11) 这儿 。改写(2.11)为  (2.12) 这样  即合所求。引理得证。 将(2.12)代入平衡方程(1.9)和协调方程(1.31)，得  (2.13)  (2.14) 设  (2.15) 如果令  (2.16) 则(2.13)(2.14)成为  (2.17)  (2.18) (2.17)与无体力的(2.1) 在形式上完全一致,按前面的推导，类似于（2.7）有，  (2.19) 将(2.19)前两式代入(2.18)，得  (2.20) 如果势函数 为调和函数，那么有体力的(2.20)与无体力的(2.2)相同。 §3 平面应力问题 3.1 无体力情形 几何特点：弹性体占有的区域为一薄板 ，  其中 垂直于板面， 为二维区域，板的厚度为 ，并假定 比 的特征尺寸小得多。 物理特点：在板的侧面受有关于 的对称外力，在板内无体力，在板的上下表面也无外力，即  (3.1) 为了求解本节的问题，仍采用半逆解法。既然板很薄，我们将认定板面条件(3.1)可扩展到整个 中，即假定  (3.2) 在上述几何和物理特点之下，符合条件(3.2)的弹性力学问题将称为平面应力问题，其应力场称为平面应力状态。本节来求平面应力问题的一般解，并考察它的近似解。下面的基本定理属于Michell(参见Love，1927，§145；或铁摩辛柯与古地尔，1990，§98)。 定理3.1 假设 ．弹性体在 中不受体力，侧面外力关于 对称， ．条件(3.2)成立， 则 、 、 在 上有表达式  (3.3) 其中  (3.4) 这里 为二维Laplace算子， 为双调和函数，即  (3.5) 证明： 在假定(3.2)之下，第五章第4节中以应力表示的弹性力学方程组成为  (3.6)  (3.7)  (3.8) 其中 为三维Laplace算子，下标中的逗号表示对其后变量的微商。 从(3.8)，可得  (3.9) 其中 为常量。将上式积分，得  (3.10) 考虑到 的形状和受力情况均关于 对称，那么 、 和 都应为 的偶函数，这样(3.10)中的常数 应为零，(3.10)成为  (3.11) 将(3.7a,b)两式相加，注意到 仅为 和 的函数，可得  (3.12) 按照上一节获得Airy应力函数的方法，从平衡方程(3.6)出发，将 看作参数，可知存在函数 ，使得  (3.13) 利用(3.13)的表示，(3.11)成为  (3.14) 将(3.13)和(3.11)代入(3.7)，得到  (3.15) 既然 为调和函数，就有 ，将此关系式和(3.14)代入(3.15)，得  (3.16) 从(3.16)可以得到  (3.17) 其中 、 和 为 的函数。将(3.17)对 积分两次，得  (3.18) 这里 、 和 分别是 、 和 的两次积分， 和 为 、 的函数。如按表示式(3.13)计算应力分量，可知 不产生应力，故可略去。此外，由于 、 和 为 的偶函数， 应取为零。这样(3.18)成为  (3.19) 对(3.19)取二维Laplace算子 ，考虑到(3.14)和(3.12)，得  (3.20) 再对(3.20)取Laplace算子 ，由于 调和，得  (3.21) 令  (3.22) 同样有，  (3.23) 把(3.22)(3.20)代入(3.19)，得  (3.24) 用(3.24)的 ，按(3.13)计算应力，即得(3.3)式，而(3.23)即为(3.5)式。证毕。 如果用(3.19)计算应力分量，得  (3.25) 若在（3.3）（3.4）或（3.25）式中略去 的二阶小量，可导致平面应变时的应力与Airy应力函数表达式(2.7)。从(3.3)，(3.25)还可以看出，如果侧面边界上的应力恰有如同两式之一所示的抛物线分布，则所得的解为精确解。此外，有几点是不言而喻的：在假定(3.2)之下，侧面外力的 向分量 应为零；为了使问题有解，外力的合力和合力矩应为零。 §4 广义平面应力问题 4.1 无体力情形 本节所处理问题的几何特点和物理特点与上节相同，但在整个板内，按半逆解法所预先假定的条件将比(3.2)弱，设为  (4.1) 满足条件(4.1)的问题，按Filon的说法，称为广义平面应力问题，其应力场称为广义平面应力状态。 定理4.1 假设 .在弹性体 中不受体力，侧面外力关于 对称， . 的表面无外力，即  (4.2) .条件(4.1)成立。 则广义平面应力问题的应力场为  (4.3) 其中 为由(3.2)(3.3)所定义的平面应力状态， 是所谓剪力状态，定义如下  (4.4) 这里 为 的偶函数，并满足下面三个条件  (4.5) 证明： 在假定(4.1)之下，第五章第4节中的平衡方程和应力协调方程为  (4.6)  (4.7)  (4.8) 其中 为三维Laplace算子， 为二维Laplace算子。从方程(4.8a)，得  (4.9) 既然 为 的偶函数， 就应为零，因此，  (4.10) 由于(4.10)，方程(4.8b,c)成为  (4.11) 令  (4.12) 其中  (4.13) 利用(4.6c)和(4.11)，可知在 中的两个线积分(4.12)(4.13)都与路径无关，而且 为 的奇函数。从(4.12)(4.13)，有  (4.14) 于是 为调和函数  (4.15) 构造奇函数 ，  (4.16) 在 时，就有，  (4.17) 上式中第二个等式是在(4.12)中选取了由 至 再至 的特殊路径所致，最后一个等号是由于板面无外载的条件(4.2)。既然 是关于 的奇函数，就有  (4.18) 注意到区域 关于 是凸的，按Eubanks和Sternberg(1956)的定理，存在函数 满足条件  (4.19) 显然 是关于 的偶函数。至此，本定理所需的关于 的偶函数 可如下定义，  (4.20) 利用(4.18)-(4.20)，不难验证，(4.20)所定义的 满足(4.5)的三个要求。 从(4.14a,b)(4.16)(4.19)(4.20)，可得  (4.21) 设  (4.22) 将(4.21)(4.22)代入(4.6)-(4.8)，可得与上一节(3.6)-(3.8)同样类型的方程组，差别仅是将(3.6)-(3.8)中的 、 、 换为 、 、 。按上节的定理3.1， 、 、 将取平面应力状态 的表达式(3.4)，这样从(4.21)(4.22) (3.3)(3.4)即得欲证之(4.3)式。定理证毕。 该定理属于Gregory(1992)，这儿的证明由本书作者给出。