第三章 应力分析
本章引进了应力张量、导出了平衡方程，并且讨论了作为平衡方程通解的应力函数。
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?§1 应力张量
?
1.1? 外力
弹性体所受的外力可以分为体力和面力两种。作用于弹性体上的重力、电磁力等超距力称为体力。单位体积上的体力记作 ，也可以按极限定义为
???????????? ????????????????????????(1.1)
其中点 总在体积为 的微元之中， 是该微元上体力的合力。
弹性体与其它物体接触的面上，受有外界给它的力，称为面力，例如流体的压力、固体间的压力和摩檫力等。
?
1.2? 内力???
??? 在外力的作用下，弹性体内部的分子的初始状态发生变化，产生了分子之间的附加力，这种力称为内力。分子之间的内力作用距离很小，这种性质称为“短程性”。为显示内力，在弹性体内部过某点P作一小面元 ，
面元两侧分别记作A和B（图3.1a,b）。在图3.1a中，向量 表示B部分通过面元 对A部分的作用力，在图3.1b中，向量 则表示A对B的作用力。内力仅通过面来作用是由于它的“短程性”所致。按Newton第三定律， 和 的大小相等、方向相反、作用在不同的部分上。按Cauchy的说法，将称 或 为应力向量。当 收缩至P点时，也可以用形如（1.1）式的极限来定义应力向量，我们仍记作 。显然， 不仅与P的位置有关也与面元 的方向有关。
?
（a）?????? ????????（b）
图3.1
1.3 ?六面体上的应力
为显示应力与方向有关，在弹性体内某点P的邻域内作一小六面体元，它的六个表面分别与坐标面平行，其中三个表面的外法向与坐标法向 （ ）分别相同，其余三个表面的外法向则分别与坐标方向相反（图3.2）。
六面体外部关于外法向为 和 面上的应力向量，分别记为 和 （ ＝1，2，3）。将 在标架 上进行分解（图3.2a），得
?
?
图3.2
??? ???????????????????? ????（1.2）
式（1.2）中含有9个分量，可以排成一个矩阵 ，
?＝ ??????????????????????（1.3）
其中 、 、 称为正应力， 、 、 、 、 、 称为剪应力。
?
??? 引入记号 ?? ??????????????????????????????（1.4）
下面的1.5段中将证明 为张量，它是弹性力学中的一个重要的物理量，称为应力张量,??? 所对应的矩阵如（1.3）所示。式（1.2）的指标形式为
???????????? ??（i=1,2,3）?????????????????? （1.5）
这里 的第一个脚标 与 所在的面的外法向 相对应，第二个脚标表示 在 方向上投影。对 则在标架 中进行分解（图3.2b），
???????????? ???（i=1,2,3）?????????????? （1.6）
（1.5）和（1.6）表明，对 其投影的正方向为 ， 其投影的正方向为 ，这种规定虽属人为，却与通常的拉伸为正、受压为负的习惯一致，对今后的应用将带来方便。
?
1.4? 斜面上的应力?
?? ?在弹性体内某点P附近作一微四面体元PABC，其中PBC、PAC、PAB三个表面分别平行于相应的坐标面。表面ABC的外法向为 。表面ABC上所受的平均应力为 （图3.3）。四面体PABC上所有外力的合力为零，故有
???????? ?????????????(1.7)
其中 、 、 ； 、 、 ； 、 、 分别为面PBC、PAC、PAB上的平均应力， 、 、 是 的分量， 、 、 为四面体PABC内的平均体力， 、 、 、 分别为面PBC、PAC、PAB、ABC的面积， 为四面体PABC的体积。
图3.3
???
?
??? 按解析几何可知
? ????????? ?（1.8）
其中（ ，h为点P至斜面ABC的高。将(1.8)代入（1.7），约去 ，并令
，可以得到斜面应力公式 ????????????????????????????????????????
?????? (1.9）???
在（1.9）中的 和 （ ）诸量都是先在各相应面上取平均，当 时，它们都与所取四面体微元无关。坐标形式的斜面应力公式（1.9）的指标形式和整体形式为
????（i=1,2,3）????????????????? (1.10)
??? ?????????????????????????????????? (1.11)????
式（1.9）－（1.11）表示出在点P截面上应力 与点P和法向 的关系，它表明应力张量 足以表征一点的应力状态。
??? 斜面应力公式另一用途是表示弹性力学边值问题的应力边条件（见第五章）。
??
?
1.5? 应力张量
除标架 外，考虑一个新标架 ，新旧标架的关系为 ，
（ =1,2,3）??????????? ??????????（1.12）
过点P作法向为 的截面，其上的应力向量为 ，将它投影到截面的法向 和切向 ，分别记为 和 ，有
????????????????????? （1.13）
类似的有 的表示式，可以将这些公式统一写成
??????? ，（i,j=1,2,3）???????????? （1.14）
量 是法向为 截面上的应力向量在 上的投影， 的这个力学解释与量 的意义一致，仅坐标系不同。也就是说，具有明确力学意义的量 在不同坐标系下服从关系式（1.14），而它恰是关于变换（1.12）系数的二次齐次式，因此由（1.4）所定义的 为张量。
§2 平衡方程
?
2.1 力的平衡
设坐标为 的点P位于六面体微元的中心（图3.4），微元的边长设为 。考虑 方向上外力的平衡，得
(2.1)
图3.4
上式中的前两项分别为外法向是 和 前后两个截面上的应力，其中略去了Taylor展开的高次项，式中第三、四项，第五、六项分别为右左和上下各个截面上的应力，最后一项为六面体所受的体力。在（2.1）中，先消去相同的项，再约去因子 ，最后令 趋于零，即六面体收缩至点P，得到下面（2.2）式中的第一式，
（2.2）
其中第二、三式可按导出第一式同样的过程得到， 和 仅与点P有关，为 的函数。方程（2.2）称为平衡方程，它是弹性理论的第二组方程。第一组方程是第一章中已导出的几何方程。方程（2.2）的指标形式和整体形式为
（ ） （2.3）
（2.4）
§3 主应力 偏应力
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3.1? 主应力
设 和 分别为应力张量 在新旧坐标系下所对应的矩阵，按（1.14），有
（3.1）
其中 为坐标转换矩阵，上标“ ”表示转置。（3.1）表明对称矩阵 和 服从矩阵的合同变换。按矩阵理论，在适当的坐标变换下，应力张量 所对应的矩阵为对角形，即有
?? （3.2）
与（3.2）相应的坐标系称为应力张量 的主坐标系。显然，对于不同的点，应力张量 不同，那么主坐标系也不同。主坐标系的三个方向称为主方向，（3.2）中的 称为主应力。我们有如下的结论
1° 主方向互相垂直，
2° 主方向间的剪应力为零。
应力张量 的三个不变量为
????
??????? ??????? (3.3)
???????
如果用主应力来表示，三个不变量为
（3.4）
§4 应力函数
?无体力的平衡方程为
? （4.1)
或
（4.2）
众多学者研究过（4.1）或（4.2）的解。1863年，Airy首先给出（4.1）的一种解为
（4.3）
将（4.3）代入（4.1），不难验证它满足。（4.3）中的 称为Airy应力函数。1868年，Maxwell得到了较Airy广泛的解，
, ，
， ， ??????? （4.4）
其中 均为 的任意函数（当然假定连续可微到所需要的阶数），它们被称为Maxwell应力函数。1892年，Morera得到了平衡方程（4.1）的另一组解
， ， ，
，
（4.5）
其中 被称为Morera应力函数。1892年，Beltrami把Maxwell解和Morera解叠加，得到了平衡方程（4.2）相当广泛的解
（4.6）
其中 为对称张量， 称为Beltrami应力函数， 所对应的矩阵 与Maxwell应力函数 和Morera应力函数 的关系为，
??????????????
Schaefer（1953）在Beltrami解的基础上又增加了新的项，其解为
（4.7）
其中 为对称张量， 为调和函数向量。不难验证解（4.7）满足方程（4.2）。（4.7）称为Beltrami－Schaefer解。
??? 长期以来，人们误认为Beltrami解（4.5）是平衡方程（4.2）的一般解。但是，Carlson（1966）指出仅仅对自平衡场（即任意封闭曲面上合力合力矩为零的场）解（4.5）才完备。由于存在非平衡场，由此（4.5）一般说来不完备。关于解（4.7），Gurtin（1972）证明了如下重要命题,
定理 （Beltrami－Scharfer解的完备性）设 是区域 上的应力场，它满足平衡方程
（4.8）
则在 上存在对称张量场 和调和向量场 ，使 可表成如下形式
（4.9）
证明 设 为 的Newton位势，即
（4.10）
由于 是对称张量， 也是对称张量，且按位势理论有
（4.11）
由于 的对称性，第一章的恒等式（4.15）可写成
（4.12）
将（4.12）代入（4.11），并令
， （4.13）
即得欲证的（4.9）式。对（4.13b）取Laplace算子，考虑到Newton位势（4.10）和平衡方程(4.8)，可知 为调和向量。证毕。
