第二章 应变分析 本章描述弹性体的变形，导出几何方程，并指出几何方程与应变协调方程的等价性。 §1. 位移 设在三维欧氏空间 中弹性体占有空间区域 ，它在外界因素影响下产生了变形, 内的点 变成了点 ，其间的位置差异是位移向量 ，即有  （1.1）  图2.1 如图2.1所示，其中 。我们总假定 是单值函数，并有所需的各阶连续偏导数。 对(1.1)考察它的Jacobi行列式  … … (1.2) 其中 , 。 本书研究小变形，总假定 为小量，即假定 ， (1.3) 在假定（1.3）之下，从(1.2)得 ，这样从隐函数存在定理，在某个邻域内存在单值连续可微的反函数，  (1.4) 于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数，且互为反函数。 单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点，这样弹性体不被撕裂； 单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点，或者说弹性体不会重叠。 §2. 几何方程 ? 本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。 考察点 附近的点 的位移，按Taylor展开，有  (2.1) 其中略去了 的高阶小量。利用右梯度的记号，可将(2.1)写成  (2.2) 这里 。 我们引入对称张量 和反对称张量 ，  (2.3)  (2.4) 此处 通常称为Cauchy应变张量，或简称为应变张量。方程(2.3)称为几何方程，它是弹性力学三组方程中的第一组，它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起来了。与应变张量 相应的矩阵 为，  (2.5) 通常记 的分量为  (2.6) 有时将 分别写成 或 ，这三个分量称为正应变分量或正应变；将 分别写成 ，这三个分量称为剪应变分量或剪应变。在此种记号下，(2.6)可写成  (2.7) 与反对称张量 相应的矩阵 为  (2.8) 从(2.8)看出与 相应的轴矢量 为，  (2.9) 从（2.2），按照 和 的定义，得，  (2.10) 注意到反对称张量与其轴矢量的关系，即第一章(2.22)式，得到  (2.11) (2.11)可以看作某点附近各点上位移的分解，它包含三部分：其一， 相当于平动；其二， 相当于刚体转动；其三 为变形。下面将着重研究第三部分所表示的变形。(2.11)也可写成，  (2.12) §3. 变形 ? 变形是弹性体区别于刚体的基本之点，本节以二维变形为例，直观地考察长度和角度这两个形状基本要素的变化。  图2.2 如图2.2所示，点 及其附所的两个点 和 ，它们在外界因素影响下，变成了点 、 、 ，其坐标变化如下，  (3.1) 现在来看微线元 的相对变化，  (3.2) 在得到上式时，略去了 和 的高阶小量。从(3.2)可知 的几何意义为 方向上微线元的相对伸长。当 时，线元伸长；当 时，线元缩短。同理 和 分别为 方向和 方向上微线元的相对伸长。 再来考虑角 的变化，对图2.2中的角 和 ，有  (3.3) 其中略去了 的高阶小量。当变形很小时， 和 也很小，从(3.3)可近似地认为有  (3.4) 如图2.2所示，直角 变形后成为了角 ，二者之差为 ，按(3.4), 表示角度改变之半。当 时，直角变成了锐角；当 时，直角变成了钝角。 弹性变形一般很小，通常认为 。 §4. 应变分析 　 ? 在上一节指出了 表示坐标方向上线元的伸长和其间角度的变化。本节将指出 也可描述任意方向上微线元的长度相对变化，以及任意两个方向间夹角的变化。 4.1??长度的变化 设有矢径为 的点 ，在外界因素作用下变至 ，其间位移为 。在 点附近有矢径为 的点 ， ??? ? (4.1) 其中 为 方向的单位向量。设 变至 ，其间位移为 ，那么向量 将为（见图2.3），  （4.2）  图2.3 现在来考察 的长度 ，从(4.2)有，  (4.3) 将分解式(2.12)代入到(4.3）,再注意到 ，得  (4.4) 其中 称为Green应变张量，  (4.5) 这里 为Cauchy应变张量（2.3）。在导出（4.5）时利用了向量混合乘积的公式 。本书仅考虑小变形，忽略 中有关 的二次项部分，(4.4)成为  (4.6) 设 方向上的相对伸长为 ，由(4.6)得  (4.7) 上式导出时略去了 的高阶小量。当 时，从(4.7)有： ，此即(3.2)式。（4.7）式明确指出，只要知道某点的应变张量，就可以得到该点任意方向上线元的伸长率。 ? 附注 非线性大变形时，需要考虑Green应变张量，它的分量为  (4.8) ? 4.2 角度的变化 在矢径为 的 点附近有两个点 和 ，它们的矢径分别为 和 ，设  (4.9) 式中 ， 为两个互相垂直的单位向量。变形时，点 、 、 分别变为 、 、 ，其间位移分别为 、 、 ，那么向量 和 将分别为,  （4.10） 为考察 和 之间的夹角，作它们的内积，从(4.10)得  （4.11） 将正交条件 ，(2.12), , 代入(4.11),得  （4.12） 由于 ，从(4.12)得  （4.13） 在小变形时，有  （4.14） 设 和 之间的夹角的夹角为 ，并设  （4.15） 其中 ， 和 分别为 和 方向上的相对伸长。将(4.15)代入(4.14),得  （4.16） 对于小变形的情形， 、 和 均很小，略去高阶小量，从(4.16)得，  （4.17） 当 ， 时，（4.17）给出 ，此即为(3.4)所描述的事实。 （4.17）表明，一旦有了应变张量 ，那么互相垂直的两方向夹角的变化即可算出。类似地，对于不垂直的两任意方向间的夹角变化也不难求出。 综上所述，长度和角度这两个形状要素的变化都可以用应变张量来描述，一个点上的的应变张量足以刻划该点附近微元的变形，也就是说，应变张量包含了变形的全部信息。 §5 应变张量 　 5.1???张量 设 在标架 下的分量为 ,今有一个新的标架 ，基向量 和 的关系为  (5.1) 按(4.7)式，在 方向上的伸长 为  (5.2) 按(4.17)式，在 和 间的角度变化 为  (5.3) 综合(5.2) (5.3)，以及关于 、 、 和 类似的式子，可得  (5.4) 另一方面，按前面两节的几何解释， 、 和 分别为 在新标架下的正应变， 、 和 分别为 在新标架下的剪应变，也就是说， 为 在新标架下的分量。从(5.4)看出， 在新旧标架下的分量 与 服从关于 的二次齐次式，因此 是一个张量。这样，我们从几何解释给出了 为张量的一种证明。 ? 5.2??坐标变换 设应变张量 在新旧坐标系下所对应的矩阵分别为 和 ，那么按(5.4)，有  (5.5) 其中矩阵 ，上标 表示转置。考虑 的两种特殊情形。 ?  图2.4 情形 绕 轴旋转角度 （图2.4），此时变换矩阵 为  (5.6) 将(5.6)代入(5.5)，得  ??????? ?(5.7)  图2.5 情形 球坐标变换，其标架为 ，变换矩阵 为(图2.5),  (5.8) 将(5.8)代入(5.5),    (5.9)    ? 5.3??主方向 主应力 6.1?? Saint-Venant协调方程 几何方程的坐标形式、指标形式、整体形式分别为 ? (6.1) ?????  ，  (6.2) ?  (6.3) 这组方程将位移和表征变形的应变联系起来，并从位移场得到了应变场。 Saint-Venant提出了一个有趣的反问题：从应变场能否得到位移场？这个反问题从力学上来看就是：如果每一点附近的局部变形已知，能否将它们拚接起来构成一个整体的位移？显然，一般说来这不可能。倘若各点附近的局部变形互不关联，拚接起来可能会出现重叠、撕裂等不连续现象。因此为了服从连续性公理而获得一个连续的变形，各点附近的变形之间应该具有某种协调关系。 上述反问题也可从数学上来看：任给六个应变分量能否通过三个位移分量来表示？此问题一般说来是否定的。如果这种表示能够实现，这六个应变分量就不独立，应该满足某种关系。我们有下面的重要命题： 定理6.1 若应变通过位移按(6.1)、或(6.2)、或(6.3)表出，则应变满足下述的Saint-Venant应变协调方程( 坐标形式、指标形式、整体形式) ?????  (6.4a,b,c) ?????????  (6.4d,e,f) ?????  (6.5) ??????  (6.6) 证明 从(6.1)(6.2)(6.3)可直接验证(6.4)(6.5)(6.6)成立。在导出(6.6)时用到了公式 和 。证毕。 公式(6.4)(6.5)(6.6)之间除书写方式外没有什么不同，从一种方式可转换成另一种方式。例如，可将(6.6)换成(6.5)(6.4), ??  (6.7) 从(6.7)可得 ??   (6.8) 若 ，(6.8)给出， ????????  此即(6.4b)式，或(6.5b)式。注：（6.4b）表示(6.4)的第二式，以下同此。 若 ,(6.8)又给出， ????????  上式即(6.4f)(6.5f)。 整体形式(6.6)属于 Kpy Tkob (1949)。 6.2????? Volterra 积分表示 定理6.1 说，如果应变场 是从位移场 通过几何方程(6.3)算出的，则 必须满足协调方程(6.6)。那么条件(6.6)是否充份呢？也就是问：如果 服从协调条件(6.6)，能否求出一个位移场 使几何方程(6.3)成立。答案是肯定的。 定理6.2 (Volterra 1907) 若区域 中的对称张量场 满足协调方程(6.6)，则存在满足几何方程(6.3)的向量场 ，其形式如下，  ,  (6.9) 其中 和 为常向量， 为区域 中的某固定点，而  (6.10) 这里 中的下标 是为了强调 是关于变量 的，而不是关于变量 的。 证明 首先来验证(6.9)中的线积分与路径无关。事实上，按第一章（4.13d）式，有  ?????????????? ?????? (6.11) 由于 满足协调方程(6.6)，从(6.11),得  (6.12) 其中用到了式子 。利用第一章（2.28）式，(6.12)成为  (6.13) 第一章（4.12）和(4.11)两式为  (6.14) 将(6.14)代入(6.13),即得  (6.15) （6.15）表明(6.9)的被积函数为全微分，于是(6.9)中的线积分与路径无关，因此(6.9)所定义的积分表达式仅是位置 的函数。 其次，来验证(6.3)成立。为此，对位移的积分表达式(6.9)作微分  将上式略作改变写成，  (6.16) 再注意到  则(6.16)成为  (6.17) 其中  (6.18) 显然 为反对称张量。在得到(6.17)时，还用到关系式 。由于 为任意向量。从(6.17)得到  (6.19) 对(6.19)式取转置，有  将上述两式相加，得  (6.20) (6.20)表明，由（6.9）定义的位移场 所生成的应变场为预先给定的对称张量 。定理证毕。 从定理6.2得到一个很有用的推论。 推论6.1 若 ，则 为刚体位移场，即  (6.21) 6.3??? Volterra公式的推导 至于Volterra积分公式(6.9)本身可按下述步骤导出。设位移 已知，那么就有在公式 ，在此式两边取积分，有  将上式积分中的第二项分部积分，得  (6.22) 注意到  (6.23) 其中最后一等式用到了(2.9)式。将(6.23)代入(6.22)，即得Volterra公式(6.9)。 6.4??? 多连通域 区域有多连通与单连通之分。如果区域中的任意封闭曲线可在区域中连续地收缩到一点，则该区域是单连通域。例如，正方体和球体就是单连通域。  图2.7 ?并非所有区域都量单连通的。一个圆绕所在平面上的与圆不相交的直线进行旋转，其所形成的锚环区域(图2.7)就不是单连通区域。不过可作一个截面将锚环切开，使其成为一个单连通区域。一般说来，可借m个截面成为单连区域的区域，称为m +1 连通区域。值得注意的是，由一个封闭曲面所围成的区域未必是单连通区域，例如锚环就是一个封闭曲面所围成的区域，它是二连通的区域; 而由多个封闭曲面所围成的区域却可能是单连通区域，例如含空洞的区域。 ?对于Volterra公式，它从满足协调方程的应变场构造出位移场，由于式中含有线积分，因此在多连通区域中为保证位移的单值性，还必需附加一些条件。从公式(6.9)，考虑到r 的任意性，可知需补充的位移单值性条件是  (6.24)  (6.25) 其中Li 为与第i 个截面相交的域内封闭曲线，i = 1,2,…, m ,区域设为m +1 连通区域。 条件(6.24) (6.25)保证了由(6.9)求出的位移是单值的，而条件(6.25) 保证了由(6.18b)求出的??是单值的。 6.5??? 等价定理 综上四段所述，我们证明了如下重要命题。 定理6.3 设G 为m +1 连通区域W 中的对称张量场，那么存在单值的向量场u，使得  (6.26) 的充分必要条件是  (6.27) 其中Li 为与第i 个截面相交的域内封闭曲线，有m 个截面将W 切开成单连通区域。 6.6??? 附注 附注1 关于张量的定理6.3第一章关于向量的定理3.1的推广。 附注2 协调方程(6.4)共有六个方程，它们是独立的。事实上，一个张量场 满足五个协调方程，未必能满足第六个。例如应变场  满足方程(6.4b,c,d,e,f)，但不满足(6.4a)。还可举出类似的五个例子（胡海昌）。 附注3 Washizu(1958),鹫津久一郎(1984)证明了如下命题 定理6.4 记  (6.29) . 若  则  . 若  ??????? 则  其中 为区域? 的边界。 王敏中、青春炳（1980）将Washizh定理中的两种情形作了推广，得到了17种可能情形和3 种不可能情形。 ?? 附注4 (6.29)所定义的 称为不协调张量，当 时，一个Euclid空间变成了一个Euclid空间；当 时，Euclid空间将变成Riemann空间。 附注5 记   它们分别称为Burgers向量和Frank向量。当 ， 时，变形体发生位错和向错。关于附注4和附注5，请参见郭仲衡、梁浩云（1989）。