第六章 Saint-venant问题 §1. 问题的提出 ? 第五章中建立了弹性力学的边值问题，现在用它来解一些具体问题。在本章中要研究工程实际中有着广泛应用价值的柱体之拉压弯扭问题，这就是所谓的“Saint-Venant问题”。 我们需处理的弹性体为一正柱体 ，其横截面 可为任意几何图形。不计体力，柱的侧面 上无外载，仅在两端受有外力。在此情况下，求柱体内的位移场和应力场。 取直角坐标系如图6.1所示，其原点 放在左端面的形心上， 轴平行于柱体的母线并指向右端， 轴和 轴分别与截面的主轴重合，并与 轴构成右手系。图中 表示柱长。??? ?? 图6.1??????????????? 无体力时，以应力表示的弹性力学方程组为  ???????? ??????(1.1) ????? (1.2) 其中 为应力张量， 为 的迹。侧面 无外载的边界条件为  (1.3) 这里 为 的单位外法向。柱体左右两端的边界条件为  (1.4)  (1.5) 式中 和 分别为左右两个端面上所给定的外力， 为 向的单位向量。 (1.1) (1.5)在所选直角坐标系中的分量式为  (1.6)  (1.7)  (1.8)  (1.9)  (1.10)  (1.11) 这儿 为应力分量， ? ??? ， 。 我们面对的是边值问题(1.1) (1.5)，或(1.6) (1.11)。这种精确边界条件下的边值问题，求解相当困难。如果考虑的是长柱体，即假定柱体的长度 比截面的特征尺寸大得多，这时，根据Saint-Venant原理，对端面作用有两组静力等效(即合力、合力矩相等)的载荷，那么离端面较远处两者所产生的应力相差无几。此外，在工程实际中，端部准确的应力分布资料也难以得到，一般只能获得合力和合力矩的数值。因此，通常将端面的严格边界条件用合力、合力矩给定的放松边界条件来代替。在 上，(1.10)可换成  (1.12) 这里 为给定的合外力， 为给定的关于形心的合外力矩。类似地，在 上有类似的等式。条件(1.12)称为Saint-Venant意义下的放松边界条件,也可简称为Saint-Venant边界条件、或放松边界条件。不难证明，如果平衡方程(1.6)，侧面边界条件(1.9)和 的条件(1.12)成立，那么 的合力、合力矩条件将自动满足。 由(1.6) (1.9) (1.12)构成了弹性力学所特有的边值问题，即所谓放松边界条件的边值问题，通常称为“Saint-Venant问题”。大家知道，具有同样合力合力矩的外力分布有无穷多种，于是Saint-Venant问题的解应有无穷多个。Saint-Venant (1855)利用半逆解法求出了其中的一个解。依照Saint-Venant原理，Saint-Venant所求出的这个解，有足够的精度代表那无穷个解。此外，所谓“半逆解法”是依据问题的特性，通过某种物理考虑，或某种数学推测，预先 对应力和位移分量作某些假定，如果这些假定与边值问题的方程和边界条件相容，就可求出一个真解来。合理的假定将给求解带来很大的方便。 §2. 问题的分类 ? 由于我们所考虑的是线性弹性力学问题，因此可根据 端部合力合力矩的情况，将Saint-Venant问题作下述分解： ??? ?简单拉伸??????  ??? ?纯弯曲???? ??? ??? ?扭转???? ????? ??? ?弯曲?? ??????? 其中 ， 。 ??? 本章将依次研究这四类问题，前两类问题比较简单，后两类相对复杂。 §3. 简单拉伸 ? 这时 端面上的外力情况是  (3.1) Saint-Venant所给的拉伸解为  (3.2) 其中 为柱体截面 的面积。为了求位移场，利用Hooke定律和几何关系，有  (3.3) 因此位移场为(不计刚体位移)  。 (3.4) 从(3.4)可以看出(假定 )，当 时，柱体受拉，纵向伸长而横向收缩；当 时，柱体受压，纵向缩短而横向膨胀，其收缩膨胀比为Poisson常数 。实际上，拉伸实验是弹性常数 和 的测定方法之一。 §4.? 纯弯曲 这时所受外力为 。 (4.1) 纯弯曲情况下，Saint-Venant所给的解为  (4.2) 其中 和 分别为截面 对 轴和 轴的惯性矩，即  (4.3) 确定位移场的方程为  (4.4) 从(4.4)积分可得位移场为(不计刚体位移)，  (4.5) 今考虑中性线的挠度。为简单起见，不妨设 。所谓中性线就是截面形心组成的直线，即 轴，在这条直线上各点的位移为 。 (4.6) 中性线上的点 变形后成为点 ，  (4.7) 这是 平面上的一条抛物线，设它的曲率半径为  (4.8) 当 时，有  或 。 (4.9) 这就是材料力学中Bernoulli-Euler定律。对 常数 的截面，经变形成为  如果曲率半径 比截面的尺度大得多，平截面假定将近似成立。 §5?? 扭转 5.1 扭转的应力场 此时 端的放松边界条件为  (5.1) 对扭转问题，应用半逆解法，Saint-Venant预先假定  (5.2) 在先验假定(5.2)之下，平衡方程(1.6)、应力协调方程(1.7) (1.8)和侧面边界条件(1.9)除去自动满足的以外，尚有  (5.3)  ????? ?????????????????? (5.4)  (5.5) 从(5.3a,b)可知剪应力 和 与 无关，仅为 的函数，即  (5.6) 由于(5.3c)，利用下面与路径无关的线积分，定义函数 ，  (5.7) 其中 和 分别为区域 中的某个固定点和任意点，积分路径在 中是任意的。因此，有  (5.8) 将(5.8)代入(5.4)，得到  上式指出， 为常量，故可设  (5.9) 这里 为剪切模量， 为待定常数。令  (5.10) 则有  (5.11) 于是剪应力有如下表示  (5.12) 通常称 为Prandtl应力函数，或扭转的应力函数。利用应力表达式(5.12)，可将侧面边界条件(5.5)写成  (5.13) 在得到(5.13)时，考虑了关系式  ??????? ???(5.14) 这里 表示弧微分。