第 1章 信号与系统
Signals and Systems
?信号的描述
?信号的自变量变换
?基本信号
?系统及其数学模型
?系统的性质
本章的基本内容,
1.0 引言 ( Introduction )
讨论信号与系统的基本概念，建立其
相应的数学描述方法，以便利用这种数学
描述及其表示方法，建立一套信号与系统
的分析体系。
目的：
1.1 连续时间与离散时间信号
（ Continuous-Time and Discrete-Time Signals）
一,信号：
信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信
号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连
续时间信号与离散时间信号。
确知信号可以表示成一个或几个自变量的函
数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信
号。
连续时间信号的例子,离散时间信号的例子：
信号的描述：
( ),xt 12(,),,,,,,x t t
离散时间信号
( ),xn 12(,),.,.,.x n n
人口
年份
1900－ 1930 1930－ 1960 1960－ 2000
人口统计数据
连续时间信号
连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成
一个离散时间信号。
二, 信号的能量与功率：
12[,]tt
2
1
2()t
t
E x t d t? ?
连续时间信号在 区间的平均功率定义为：
12[,]tt
2
1
2
21
1 ()t
t
P x t d t
tt
?
? ?
连续时间信号在 区间的能量定义为：
离散时间信号在 区间的能量定义为
12[,]nn
2
1
2()
n
nn
E x n
?
? ?
离散时间信号 在 区间的平均功率为
12[,]nn
2
1
2
21
1 ()
1
n
nn
P x n
nn ?
?
?? ?
在无限区间上也可以定义信号的总能量：
dtdtE txtxT T
T ??
?
?????? ?? )()(l i m
22
? 连续时间情况下,
?离散时间情况下,
?? ?
?????
? ??
22 )()(lim nxnxE N
NN
在无限区间内的平均功率可定义为：
?
???
? ??
N
NN
nx
N
P 2)(
12
1lim
21
l i m 2 ()
T
TT
P d tT xt?
???
? ?
1,能量信号 —— 信号具有有限的总能量，
即：
三类重要信号：
,0EP??? ? ?
2,功率信号 —— 信号有无限的总能量，但平均功率
有限。即：
,0EP??? ? ? ? ?
3,信号的总能量和平均功率都是无限的。
即：
,EP??? ? ? ?
如果信号是周期信号,则
( ) ( )x t T x t??
( ) ( )x n N x n??
三, 周期信号与非周期信号：
或
连续时间周期信号
离散时间周期信号
2
0
1 ()TP x t d t
T? ? ?
（以 T为周期） 或 21
()2 T
T
P x t d tT?
?
? ?
1 2
0
1 ()N
n
P x nN
?
?
?
? ?
（以 N为周期） 或
21 ()
21
N
nN
P x nN?
??
? ? ?
如果信号是非周期的，且能量有限则称为 能量信号 。
这种信号也称为 功率信号,通常用它 的平均功
率来表征。
1.2 自变量变换
（ Transformations of the Independent Variable)
一,由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变
时，必然会使信号的特性相应地改变。
()xt 0()x t t? 当 时，信号向右平移0 0t ? 0t
0 0t ?
时，信号向左平移
0t
()xn ? ?0x n n? 当 时，信号向右平移
0 0n ? 0
n
0 0n ?
时，信号向左平移
0||n
1,时移变换,Shift of Signals
2,反转变换,Reflection of Signals
()xt ()xt? 信号以 为轴呈镜像对称。0t?
()xn ()xn? 与连续时间的情况相同。
3,尺度变换,Scaling
()xt ()x at
1a? 时,是将 在时间上压缩 a倍，()x at ()xt
01a?? 时,是将 在时间上扩展 1/a倍。()x at ()xt
实例,照片放大。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因
而尺度变换只对连续时间信号而言。
()xn (2 )xn
0 1 2 3 4 5 6
()xn
2
1 1
2
3
2
n
2 2 2
0 1 2 3
n
(2 )xn
例如：
11( ) ( ) ( 3 )
22x t x t x t? ? ? ?
显然 是从 中依次抽出自变量取偶数时
的各点而构成的。这一过程称为对信号 的 抽
取（ decimation） 。
(2 )xn ()xn
()xn
综合示例,由 1
( ) ( 3 )2x t x t??
0 1
()xt
t
1
0
t
1
1/2 3/2 0
t
1
1/21/6
1()
2xt?
1(3 )
2xt?
?
1
2tt??
?
3tt?
做法一：
做法二, 1
( ) ( 3 ) ( 3 )2x t x t x t? ? ?
做法三, 11
( ) ( ) ( [ 3 ( ) ]66x t x t x t? ? ? ?
0 1
()xt
t
1
0
t
1
1/3
(3 )xt
0
t
1
1/6 1/2
??
1
6tt??
3tt?
1(3 )
2xt ?
1
0 1
()xt
t
0
t
1
1/6 7/6
1()
6xt?
0
t
1
1/6 1/2
1(3 )
2xt ?
?
1
6tt??
?
113
62tt? ? ?
可视为周期信号，但它的基波周期没有
确定的定义。
二, 周期信号与非周期信号：
周期信号,( ) ( )x t T x t??
( ) ( )x n N x n??
满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，
称为信号的 基波周期 （ ）。
0T 0N
()x t c?
可以视为周期信号，其基波周期 。()x n c?
0 1N ?
如果有 则称该信号是 偶信号 。( ) ( )x t x t??
( ) ( )x n x n?? （镜像偶对称）
三, 奇信号与偶信号,odd Signals and even Signals
对实信号而言：
非周期信号 周期信号
如果有 则称该信号为 奇信号
（镜像奇对称）
( ) ( )x t x t? ? ?
( ) ( )x n x n? ? ?
如果有 则称该信号为 共轭偶信号 。( ) ( )x t x t???
( ) ( )x n x n???
如果有 则称为 共轭奇信号 。( ) ( )x t x t?? ? ?
( ) ( )x n x n?? ? ?
对复信号而言：
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex t x t x t? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox t x t x t? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex n x n x n? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n? ? ?
其中
其中
对复信号有：
其中：
其中：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex t x t x t
?? ? ? 1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox t x t x t
?? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex n x n x n
?? ? ? 1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n
?? ? ?
0-1-2
1
2
1 2
()xt
t
-2 2
1
0
()ext
t
-1
1
1
-1
? ?
t
()oxt
例 1：
例 2,信号的奇偶分解：
1.3 复指数信号与正弦信号
（ Exponential and Sinusoidal Signals ）
一, 连续时间复指数信号与正弦信号
() atx t C e? 其中 C,a 为复数
1,实指数信号,C,a 为实数
0a? 呈单调指数上升。
0a?
0
t
()xt
c
0a? 呈单调指数下降。
0a? ()x t C? 是常数。
2,周期性复指数信号与正弦信号,
0aj??
，不失一般性取 1C?
0 00( ) c os si njtx t e t j t? ??? ? ?
实部与虚部都是正弦信号。
()xt 显然是周期的，其基波周期为：
0
0
2T ?
??
0
一般情况下
0( ) c o s( )x t A t???? 00
22
j t j tjjAAe e e e???? ????
其基波周期为,基波频率为,当 时
通常称为直流信号。
0
0
2T ?
??
0? 0 0? ?
对 而言，它在一个周期内的能量是
它的平均功率为：
0() jtx t e ??
000 2
000 1
TTjt
TE e d t d t T
?? ? ? ???
1TP ?
3,成谐波关系的复指数信号集,
? ?0() jk tk te ?? ?,0,1,2k ? ? ? ??????
当 k取任何整数时，该信号集中的每个信号都是
彼此 独立的。只有 该信号集中的所有信号才能构成
一个完备的正交函数集。
0k? 0?
该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率
分别 为,都是 的整数倍，因而称它们是 成
谐波关系 的。
0?
0
0
2T ?
??
0
2
kT k
?
??
0T
信号集中信号的基波频率为,基波周期为,
各次谐波的周期分别为,它们的公共周期
是 。
4,一般复指数信号,
() atx t C e? 其中 C,a 为复数
令 则jC C e ??
0a r j???
00 ()() j t j tj r t r tx t C e e e C e e? ? ?? ???
该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的
周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实
指数规律变化的正弦振荡。
当 时，是指数增长的正弦振荡。
时，是指数衰减的正弦振荡。
时，是等幅的正弦振荡。
0r?
0r?
0r?
0r? 0r?
0r?
() nx n C ?? 当 时，呈单调指数增长
时，呈单调指数衰减
时，呈摆动指数衰减
时，呈摆动指数增长
1??
01???
10?? ? ?
1? ??
二, 离散时间复指数信号与正弦信号
() nx n C ??,C ? 一般为复数
1,实指数信号,均为实数,C ?
1??
01???
10?? ? ?
1? ??
2,正弦信号：
0() jnx n e ??
其中 为实数。
0?
0 00( ) c os si njnx n e n j n? ??? ? ?
( ) c o s ( 2 / 1 2 )x n n??
( ) c o s ( 8 / 3 1 )x n n??
( ) c o s ( / 6 )x n n?
离散时间正弦信号不一定是周期的,这是与连
续时间正弦信号的重大区别。
0?
离散时间信号的频率表示为,其量纲是弧度。
3,一般复指数信号：
() nx n C ?? jC C e ?? 0je ????
0()() n jnx n C e ??? ??
00[ c o s ( ) s i n ( ) ]
nC n j n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
令 则
其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦
序列。
当 时幅度呈指数增长,时 幅度呈指数衰减。1? ? 1? ?
1? ?
1? ?
离散时间复指数序列 不一定是周期性
的，要具有周期性，必须具备一定条件。
0() jnx n e ??
( ) ( )x n N x n??
0 0 0 0()j n N j n j N j ne e e e? ? ? ?? ? ? ?
0 1jNe ???
即
0 2Nm???
于是有
0
2
m
N
?
? ?
三,离散时间复指数序列的周期性
设 则有：
表明 只有在 与 的比值是一个有理数时,
才具有周期性 。
0? 2?
0jne ?
0() jtx t e ??
0??
对,当 时，对应的信号振荡频率越
来越高不会发生逆转。
而对, 当 时，只要是 变化 的
范围，如,则由于,总是
会有 。这表明：当 变化时，并非
所有的 都是互相独立的。 离散时间信号的有
效频率范围只有 区间。 其中,
处都对应最低频率； 或 处都对应
最高频率。
0jne ? 0? ? 0? 2?
0 2k k? ? ??? 2 1j kne ? ?
0kj n j nee??? 0?
0jne ?
2? 0? ? 2 k???
??? 2 k? ? ???
( ) c o s (0 ) 1x n n? ? ? ( ) c o s ( / 8 )x n n?? ( ) c o s ( / 4 )x n n??
( ) c o s ( / 2 )x n n?? ( ) c o s ( )x n n?? ( ) c o s ( 3 / 2 )x n n??
( ) c o s (7 / 4 )x n n?? ( ) c o s (1 5 / 8 )x n n?? ( ) c o s ( 2 )x n n??
在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数
的两个正整数 m,N 使得：
0
2
m
N
?
? ?
（ m与 N无公因子）
此时 即为该信号的周期,也称为 基波周期,
因此该信号的基波频率为 。0
2Nm?
??
02
Nm
??? ??
离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐
波关系的信号集。
2
()
j k n
N
k ne
?
?
??
? ??
??
0,1,2k ? ? ? ??????
该信号集中的每一个信号都是以 N为周期的,N
是它们的基波周期。
称为直流分量,称为基波分量。0k ? 1k?
称为二次谐波分量等等。2k ?
每个谐波分量的频率都是 的整数倍。2
N
?
特别值得指出的是,该信号集中的所有信号并不
是全部独立的。
( ) ( )k N knn??? ?
这表明,该信号集中只有 N个信号是独立的 。即
当 k 取相连的 N个整数时所对应的各个谐波才是彼此
独立的。因此,由 N个独立的谐波分量就能构成一个
完备的正交函数集 。
显然有：
这是与连续时间的情况有重大区别的。
信号 和 的比较
? 不同，信号不同
? 对任何 信号都是周
期的
? 基波频率
? 基波周期,T0
? 频差 的整数倍时，
信号相同
? 仅当 时，
信号是周期的
? 基波频率
? 基波周期,N
2?0?
0
2 m
N
?? ?0
0
2
T
?? ?
02
Nm
?? ?
0?
0jte ? 0jne ?
一, 离散时间单位脉冲与单位阶跃
1,单位脉冲序列
()n?,
1.4 单位冲激与单位阶跃
（ The Unit Impulse and Unit Step Functions）
?()n? ?
1 0n?
0 0n?
定义
()n?
1
n
0? ? ? ? ??????? ?
2,单位阶跃序列,()un
，定义
?()un ?
1
0
0n?
0n?，
()n? ()un与 之间的关系：
( ) ( ) ( 1 )n u n u n? ? ? ? 一次差分
()un
n
1
0??????
0
( ) ( ) ( )
n
kk
u n k n k??
?
? ? ?
? ? ???
－
()n? 具有提取信号 中某一点的样值的作用。()xn
( ) ( ) (0 ) ( )x n n x n???
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x n n n x n n n??? ? ?
1
()nk? ?
n
k? ? ? ??? ?? ? ?
1.单位阶跃 ()ut
?()ut ?
1
0
，
，
0t?
0t?
1
0
()ut
t
2,单位冲激 ()t?
定义：
定义的不严密性，由于 在 不连续，因
而在该处不可导。
()() d u tt
dt? ?
( ) ( )tu t d? ? ???? ?
()ut 0t?
二, 连续时间单位阶跃与单位冲激
定义：
定义 如图所示,()ut
?
1
0 ?
()ut?
t
? 0
()ut? ()ut
可认为
()() d u tt
dt?
?
? ?
()t??
0
1
?
?
t 0lim?? ( ) ( )tt??? ?
()t?即 可视为一个面积始终为 1的矩形，当其宽度
趋于零时的 极限 。
显然当 时
()t? 表示为 1
0
()t?
t 0
0()tt? ?
0t
t
1
矩形面积称为 冲激强度 。
( ) 1t dt???? ??
0
( ) ( ) ( )tu t d t d? ? ? ? ? ??
??
? ? ???
显然有：
( ) ( ) (0 ) ( )x t t x t???
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t??? ? ?
0lim?? 0( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )x t t x t??? ??
0
t
?
1 (0)x
?
(0 ) ( )xt? ?
()t? 也具有提取连续时间信号样本的作用。
用阶跃表示矩形脉冲
)()()( ???? tututG
)()()( 001 ?????? ttuttutG
G(t)
0 ? t
G1(t)
0 t0 ? t
输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。
连续时间系统()xt ()yt
1.5 连续时间与离散时间系统
一, 系统
（ Continuous-Time and Discrete-Time Systems）
连续时间系统：
系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，
相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为
系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。
系统分析的基本思想：
1,根据工程实际应用，对系统建立数学模型。
通常表现为描述输入－输出关系的方程。
2,建立求解这些数学模型的方法。
离散时间系统()xn ()yn
离散时间系统：
输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。
本课程所研究的对象 —— LTI（ Linear Time－
Invariant Systems） 系统就是这样的一类系统。
（ 2） 很多工程实际中的系统都能够利用这类系统
的方法建模（即具有普遍性）。
为此要求所研究的系统具有以下 两点重要特性,
（ 1） 这一类系统应该具有一些性质和结构，通过
它们能够对系统的行为作出透彻的描述，并能对这
一类系统建立有效的分析方法（即可行性）。
可以通过对简单系统（子系统）的分析并通 过子
系统互联而达到分析复杂系统的目的。
也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现
一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统
综合都是十分重要的。
二, 系统的互联 （ Interconnection of Systems）
现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相
径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的
组合。
2,并联 ( parallel interconnection )
Ⅰ
Ⅱ
?
()xt
()xn
()yt
()yn
1,级联 (cascade interconnection)
Ⅰ Ⅱ()xt
()xn
()yt
()yn
3,反馈联结 ( Feedback interconnection )
Ⅱ
?
()xn
()xt ()yt
()yn
Ⅰ
工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：
Ⅰ Ⅱ
III
? Ⅳ
在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入
有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是
无记忆系统 。否则就是 记忆系统,即 （ memory
systems 或 systems with memory )。
如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关
,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系
统是记忆的。
1.6 系统的基本性质 ( Basic System Properties )
1,记忆系统与无记忆系统
(memory systems and memoryless systems)
例如：
1( ) ( )ty t x d
C ????? ?
（电容） ( ) ( 1 )y t x t??
RC,RLC电路
( ) ( )
n
k
y n x k
? ??
? ?
（累加器）
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ?（差分器） 等都是 记忆系统
在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统
的输出响应与输入信号都相同，即有,
或 。这样的无记忆系统称为 恒等系统
( identity system )。
( ) ( )y t x t?
( ) ( )y n x n?
2,可逆性与逆系统
(Inveritibility and inverse systems)
如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同
的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统
是 可逆系统 ( invertible systems )。
如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信
号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为 不
可逆系统 ( noninvertible systems )。
如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一
个恒等 系统，则称后者是前者的 逆系统 ( inverse
system )。
Ⅰ Ⅱ()xt
()xn
()yt
()yn
()xt
()xn
例如, 1( ) ( )
2y t x t?
是可逆系统，其逆系统是,
( ) 2 ( )y t x t?
( ) ( )
n
k
y n x k
? ??
? ?
是可逆系统，其逆系统是,
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ?
还原为 。
输入 时,；输入 时,。
2( ) ( )y t x t? 是不可逆系统,因为有两个不同的
()xt ()xt?
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n?? 也是不可逆的,因为
()n? ( ) 0yn ? ( 1)n? ? ( ) 0yn ?
( ) ( 2 )y n x n? 是不可逆系统,因为无法从 (2 )xn
()xn
()() d x tyt
dt?
不可逆； 也是不可逆系统。( ) 0yt ?
调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调
器或解码器。
而
输入 和 能产生相同的输出。
如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时
刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以
后的输入无关就称该系统是 因果的 ( causal )。 否则就
是 非因果的 ( noncausal )。
3,因果性 (causality)
一般说来,非因果系统是物理不可实现的 。这体
现了因果性对系统实现的重要性。但对非实时处理
信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时
间概念的情况，因果性并不一定成为系统能否物理
实现的先决条件。
例如在图像处理中,自变量是图像中各点的坐标
位置，而并非代表时间。对某些数据处理系统，如
股市分析、经济预测等,实际上是以足够的延时来
换取非因果性的实现。
( ) ( )y n x n?? 0n ? 时 决定于以后时刻的输入。()yn
( ) ( ) ( 1 ) ;y n x n x n? ? ?( ) ( 2 )y t x t? 是非因果系统。
RLC电路,,
都是因果系统。
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ?( ) ( )n
k
y n x k
? ??
? ?
4,稳定性 ( stability )
如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有
界的，则该系统是 稳定系统 (stable system)。 否则，
就是 不稳定系统 (unstable system)。
例如：单摆,RC电路都是稳定系统；
也是稳定系统。
( ) ( 1 )y n x n??
( ) ( ),
n
k
y n x k
? ? ?
? ? ( ) ( ),( ) ( )
ty t x d y t tx t??
?????
都是不稳定系统。
如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响
应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何
其它变化，则称该系统是 时不变的 (time-invariant)
。 否则就是 时变的 ( time-varying )。
工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此
稳定性对系统来说是非常重要的。
5,时不变性 ( Time-invariance )
即：若 ( ) ( ),x t y t?
00( ) ( )x t t y t t? ? ?
则系统是时不变的。
检验一个系统时不变性的步骤,
1,令输入为,根据系统的描述，确定此时的输
出 。
2,将输入信号变为,再根据系统的描述确定输
出 。
3,令 根据自变量变换，检验
是否等于 。
1()xt
1()yt
2 1 0( ) ( ),x t x t t??
2()yt
2()yt
10()y t t?
2()xt
如
当 时，
( ) ( 1 ) ( )y n n x n??
1( ) ( )x n x n? 11( ) ( 1 ) ( )y n n x n??
2( ) ( )x n x n?
时,22( ) ( 1 ) ( )y n n x n??
由于
1 0 0 1 0 2( ) ( 1 ) ( ) ( )y n n n n x n n y n? ? ? ? ? ?
? 系统是时变的。
当
令
2 1 0( ) ( )x n x n n??
则有：
2 1 0( ) ( 1 ) ( )y n n x n n? ? ?
又如,( ) ( )y t x t??
1( ) ( )x t x t? 11( ) ( )y t x t??
2 1 0( ) ( )x t x t t??
22( ) ( )y t x t??
该系统是时变的。
1 0 1 0 1 0 2( ) [ ( ) ] ( ) ( )y t t x t t x t t y t? ? ? ? ? ? ?
?
当 时，
当 时，
2( ) ( )x t x t?
令 则有：
2 1 0( ) ( )y t x t t? ? ?
而
6,线性 （ Linearity）
11( ) ( )x t y t? 22( ) ( )x t y t?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a y t b y t? ? ?
其中 a,b是常数
（包括复数），满足此关系的系统是线性的。
若
例如：,满足可加性，但不满足齐
次性。当 时其实部变为虚部，虚部变为实部。
? ?( ) R e ( )y t x t?
aj?
满足齐次性但不满足可加性。
21( ) [ ( ) ]
()
y t x t
xt
??
因为，若输入为 则
12( ) ( )x t x t?
2
2 1 2
12
1( ) [ ( ( ) ( ) ) ]
( ) ( )y t x t x tx t x t
???
?
2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
x t x t x t x t
x t x t x t x t
? ? ? ??
? ? ?
?
如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号
分解成若干个简单信号的线性组合时，只要能
得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可
以很方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系
统对 的输出响应。即,
()xt
()xt
若,且
( ) ( )kk
k
x t a x t? ?
( ) ( )kkx t y t?
则
( ) ( )kk
k
y t a y t? ?
这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。
在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的
要求。但是这类系统的 输出响应的增量 与 输入信号
的增量 之间 满足线性 特性。这类系统称为 增量线性
系统 （ incrementally linear systems)。
该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但
当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时，
有
( ) ( ) 2y t x t??
1 1 1( ) ( ) ( ) 2x t y t x t? ? ?
2 2 2( ) ( ) ( ) 2x t y t x t? ? ?
例如：
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t x t x t? ? ? ? ?
可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关
系的，它是一个 增量线性系统 。
显然有
任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统
再加上一部分与输入无关的响应。
?线性系统
()xt 1()yt ()yt
0()yt
增量线性系统
当增量线性系统的 时,。此时
系统的输出响应完全由 决定。此时系统处于
零初始状态，故将 称为系统的 零状态响应 。
0 ( ) 0yt ? 1( ) ( )y t y t?
1()yt
1()yt
可见，增量线性系统的响应包括 零输入响应和零
状态响应 两部分。
根据线性系统的齐次性，可得出：线性系统当输
入为零（即根本没有输入）时，系统的输出响应为
零（即没有输出响应）。这就是所谓 线性系统的零
输入 — 零输出特性。
增量线性系统当 时，有,
因此将 称为系统的 零输入响应 。
( ) 0xt ? 10( ) 0,( ) ( )y t y t y t??
0()yt
建立了信号与系统的数学描述方法。
讨论了信号自变量变换对信号的影响。
介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数
信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。
讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。
定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。
讨论了增量线性系统及其等效方法。
1.7 本章小结 （ Summary）
由于在工程实际中，相当广泛的系统其数学模型
都可以描述成一个线性时不变 ( LTI )系统，而且基
于线性和时不变性，为系统分析建立一套完整的、
普遍适用的方法提供了可能，因此,线性时不变系
统将成为本课程所研究的对象 。
Signals and Systems
?信号的描述
?信号的自变量变换
?基本信号
?系统及其数学模型
?系统的性质
本章的基本内容,
1.0 引言 ( Introduction )
讨论信号与系统的基本概念，建立其
相应的数学描述方法，以便利用这种数学
描述及其表示方法，建立一套信号与系统
的分析体系。
目的：
1.1 连续时间与离散时间信号
（ Continuous-Time and Discrete-Time Signals）
一,信号：
信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信
号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连
续时间信号与离散时间信号。
确知信号可以表示成一个或几个自变量的函
数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信
号。
连续时间信号的例子,离散时间信号的例子：
信号的描述：
( ),xt 12(,),,,,,,x t t
离散时间信号
( ),xn 12(,),.,.,.x n n
人口
年份
1900－ 1930 1930－ 1960 1960－ 2000
人口统计数据
连续时间信号
连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成
一个离散时间信号。
二, 信号的能量与功率：
12[,]tt
2
1
2()t
t
E x t d t? ?
连续时间信号在 区间的平均功率定义为：
12[,]tt
2
1
2
21
1 ()t
t
P x t d t
tt
?
? ?
连续时间信号在 区间的能量定义为：
离散时间信号在 区间的能量定义为
12[,]nn
2
1
2()
n
nn
E x n
?
? ?
离散时间信号 在 区间的平均功率为
12[,]nn
2
1
2
21
1 ()
1
n
nn
P x n
nn ?
?
?? ?
在无限区间上也可以定义信号的总能量：
dtdtE txtxT T
T ??
?
?????? ?? )()(l i m
22
? 连续时间情况下,
?离散时间情况下,
?? ?
?????
? ??
22 )()(lim nxnxE N
NN
在无限区间内的平均功率可定义为：
?
???
? ??
N
NN
nx
N
P 2)(
12
1lim
21
l i m 2 ()
T
TT
P d tT xt?
???
? ?
1,能量信号 —— 信号具有有限的总能量，
即：
三类重要信号：
,0EP??? ? ?
2,功率信号 —— 信号有无限的总能量，但平均功率
有限。即：
,0EP??? ? ? ? ?
3,信号的总能量和平均功率都是无限的。
即：
,EP??? ? ? ?
如果信号是周期信号,则
( ) ( )x t T x t??
( ) ( )x n N x n??
三, 周期信号与非周期信号：
或
连续时间周期信号
离散时间周期信号
2
0
1 ()TP x t d t
T? ? ?
（以 T为周期） 或 21
()2 T
T
P x t d tT?
?
? ?
1 2
0
1 ()N
n
P x nN
?
?
?
? ?
（以 N为周期） 或
21 ()
21
N
nN
P x nN?
??
? ? ?
如果信号是非周期的，且能量有限则称为 能量信号 。
这种信号也称为 功率信号,通常用它 的平均功
率来表征。
1.2 自变量变换
（ Transformations of the Independent Variable)
一,由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变
时，必然会使信号的特性相应地改变。
()xt 0()x t t? 当 时，信号向右平移0 0t ? 0t
0 0t ?
时，信号向左平移
0t
()xn ? ?0x n n? 当 时，信号向右平移
0 0n ? 0
n
0 0n ?
时，信号向左平移
0||n
1,时移变换,Shift of Signals
2,反转变换,Reflection of Signals
()xt ()xt? 信号以 为轴呈镜像对称。0t?
()xn ()xn? 与连续时间的情况相同。
3,尺度变换,Scaling
()xt ()x at
1a? 时,是将 在时间上压缩 a倍，()x at ()xt
01a?? 时,是将 在时间上扩展 1/a倍。()x at ()xt
实例,照片放大。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因
而尺度变换只对连续时间信号而言。
()xn (2 )xn
0 1 2 3 4 5 6
()xn
2
1 1
2
3
2
n
2 2 2
0 1 2 3
n
(2 )xn
例如：
11( ) ( ) ( 3 )
22x t x t x t? ? ? ?
显然 是从 中依次抽出自变量取偶数时
的各点而构成的。这一过程称为对信号 的 抽
取（ decimation） 。
(2 )xn ()xn
()xn
综合示例,由 1
( ) ( 3 )2x t x t??
0 1
()xt
t
1
0
t
1
1/2 3/2 0
t
1
1/21/6
1()
2xt?
1(3 )
2xt?
?
1
2tt??
?
3tt?
做法一：
做法二, 1
( ) ( 3 ) ( 3 )2x t x t x t? ? ?
做法三, 11
( ) ( ) ( [ 3 ( ) ]66x t x t x t? ? ? ?
0 1
()xt
t
1
0
t
1
1/3
(3 )xt
0
t
1
1/6 1/2
??
1
6tt??
3tt?
1(3 )
2xt ?
1
0 1
()xt
t
0
t
1
1/6 7/6
1()
6xt?
0
t
1
1/6 1/2
1(3 )
2xt ?
?
1
6tt??
?
113
62tt? ? ?
可视为周期信号，但它的基波周期没有
确定的定义。
二, 周期信号与非周期信号：
周期信号,( ) ( )x t T x t??
( ) ( )x n N x n??
满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，
称为信号的 基波周期 （ ）。
0T 0N
()x t c?
可以视为周期信号，其基波周期 。()x n c?
0 1N ?
如果有 则称该信号是 偶信号 。( ) ( )x t x t??
( ) ( )x n x n?? （镜像偶对称）
三, 奇信号与偶信号,odd Signals and even Signals
对实信号而言：
非周期信号 周期信号
如果有 则称该信号为 奇信号
（镜像奇对称）
( ) ( )x t x t? ? ?
( ) ( )x n x n? ? ?
如果有 则称该信号为 共轭偶信号 。( ) ( )x t x t???
( ) ( )x n x n???
如果有 则称为 共轭奇信号 。( ) ( )x t x t?? ? ?
( ) ( )x n x n?? ? ?
对复信号而言：
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex t x t x t? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox t x t x t? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex n x n x n? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n? ? ?
其中
其中
对复信号有：
其中：
其中：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex t x t x t
?? ? ? 1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox t x t x t
?? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex n x n x n
?? ? ? 1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n
?? ? ?
0-1-2
1
2
1 2
()xt
t
-2 2
1
0
()ext
t
-1
1
1
-1
? ?
t
()oxt
例 1：
例 2,信号的奇偶分解：
1.3 复指数信号与正弦信号
（ Exponential and Sinusoidal Signals ）
一, 连续时间复指数信号与正弦信号
() atx t C e? 其中 C,a 为复数
1,实指数信号,C,a 为实数
0a? 呈单调指数上升。
0a?
0
t
()xt
c
0a? 呈单调指数下降。
0a? ()x t C? 是常数。
2,周期性复指数信号与正弦信号,
0aj??
，不失一般性取 1C?
0 00( ) c os si njtx t e t j t? ??? ? ?
实部与虚部都是正弦信号。
()xt 显然是周期的，其基波周期为：
0
0
2T ?
??
0
一般情况下
0( ) c o s( )x t A t???? 00
22
j t j tjjAAe e e e???? ????
其基波周期为,基波频率为,当 时
通常称为直流信号。
0
0
2T ?
??
0? 0 0? ?
对 而言，它在一个周期内的能量是
它的平均功率为：
0() jtx t e ??
000 2
000 1
TTjt
TE e d t d t T
?? ? ? ???
1TP ?
3,成谐波关系的复指数信号集,
? ?0() jk tk te ?? ?,0,1,2k ? ? ? ??????
当 k取任何整数时，该信号集中的每个信号都是
彼此 独立的。只有 该信号集中的所有信号才能构成
一个完备的正交函数集。
0k? 0?
该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率
分别 为,都是 的整数倍，因而称它们是 成
谐波关系 的。
0?
0
0
2T ?
??
0
2
kT k
?
??
0T
信号集中信号的基波频率为,基波周期为,
各次谐波的周期分别为,它们的公共周期
是 。
4,一般复指数信号,
() atx t C e? 其中 C,a 为复数
令 则jC C e ??
0a r j???
00 ()() j t j tj r t r tx t C e e e C e e? ? ?? ???
该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的
周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实
指数规律变化的正弦振荡。
当 时，是指数增长的正弦振荡。
时，是指数衰减的正弦振荡。
时，是等幅的正弦振荡。
0r?
0r?
0r?
0r? 0r?
0r?
() nx n C ?? 当 时，呈单调指数增长
时，呈单调指数衰减
时，呈摆动指数衰减
时，呈摆动指数增长
1??
01???
10?? ? ?
1? ??
二, 离散时间复指数信号与正弦信号
() nx n C ??,C ? 一般为复数
1,实指数信号,均为实数,C ?
1??
01???
10?? ? ?
1? ??
2,正弦信号：
0() jnx n e ??
其中 为实数。
0?
0 00( ) c os si njnx n e n j n? ??? ? ?
( ) c o s ( 2 / 1 2 )x n n??
( ) c o s ( 8 / 3 1 )x n n??
( ) c o s ( / 6 )x n n?
离散时间正弦信号不一定是周期的,这是与连
续时间正弦信号的重大区别。
0?
离散时间信号的频率表示为,其量纲是弧度。
3,一般复指数信号：
() nx n C ?? jC C e ?? 0je ????
0()() n jnx n C e ??? ??
00[ c o s ( ) s i n ( ) ]
nC n j n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
令 则
其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦
序列。
当 时幅度呈指数增长,时 幅度呈指数衰减。1? ? 1? ?
1? ?
1? ?
离散时间复指数序列 不一定是周期性
的，要具有周期性，必须具备一定条件。
0() jnx n e ??
( ) ( )x n N x n??
0 0 0 0()j n N j n j N j ne e e e? ? ? ?? ? ? ?
0 1jNe ???
即
0 2Nm???
于是有
0
2
m
N
?
? ?
三,离散时间复指数序列的周期性
设 则有：
表明 只有在 与 的比值是一个有理数时,
才具有周期性 。
0? 2?
0jne ?
0() jtx t e ??
0??
对,当 时，对应的信号振荡频率越
来越高不会发生逆转。
而对, 当 时，只要是 变化 的
范围，如,则由于,总是
会有 。这表明：当 变化时，并非
所有的 都是互相独立的。 离散时间信号的有
效频率范围只有 区间。 其中,
处都对应最低频率； 或 处都对应
最高频率。
0jne ? 0? ? 0? 2?
0 2k k? ? ??? 2 1j kne ? ?
0kj n j nee??? 0?
0jne ?
2? 0? ? 2 k???
??? 2 k? ? ???
( ) c o s (0 ) 1x n n? ? ? ( ) c o s ( / 8 )x n n?? ( ) c o s ( / 4 )x n n??
( ) c o s ( / 2 )x n n?? ( ) c o s ( )x n n?? ( ) c o s ( 3 / 2 )x n n??
( ) c o s (7 / 4 )x n n?? ( ) c o s (1 5 / 8 )x n n?? ( ) c o s ( 2 )x n n??
在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数
的两个正整数 m,N 使得：
0
2
m
N
?
? ?
（ m与 N无公因子）
此时 即为该信号的周期,也称为 基波周期,
因此该信号的基波频率为 。0
2Nm?
??
02
Nm
??? ??
离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐
波关系的信号集。
2
()
j k n
N
k ne
?
?
??
? ??
??
0,1,2k ? ? ? ??????
该信号集中的每一个信号都是以 N为周期的,N
是它们的基波周期。
称为直流分量,称为基波分量。0k ? 1k?
称为二次谐波分量等等。2k ?
每个谐波分量的频率都是 的整数倍。2
N
?
特别值得指出的是,该信号集中的所有信号并不
是全部独立的。
( ) ( )k N knn??? ?
这表明,该信号集中只有 N个信号是独立的 。即
当 k 取相连的 N个整数时所对应的各个谐波才是彼此
独立的。因此,由 N个独立的谐波分量就能构成一个
完备的正交函数集 。
显然有：
这是与连续时间的情况有重大区别的。
信号 和 的比较
? 不同，信号不同
? 对任何 信号都是周
期的
? 基波频率
? 基波周期,T0
? 频差 的整数倍时，
信号相同
? 仅当 时，
信号是周期的
? 基波频率
? 基波周期,N
2?0?
0
2 m
N
?? ?0
0
2
T
?? ?
02
Nm
?? ?
0?
0jte ? 0jne ?
一, 离散时间单位脉冲与单位阶跃
1,单位脉冲序列
()n?,
1.4 单位冲激与单位阶跃
（ The Unit Impulse and Unit Step Functions）
?()n? ?
1 0n?
0 0n?
定义
()n?
1
n
0? ? ? ? ??????? ?
2,单位阶跃序列,()un
，定义
?()un ?
1
0
0n?
0n?，
()n? ()un与 之间的关系：
( ) ( ) ( 1 )n u n u n? ? ? ? 一次差分
()un
n
1
0??????
0
( ) ( ) ( )
n
kk
u n k n k??
?
? ? ?
? ? ???
－
()n? 具有提取信号 中某一点的样值的作用。()xn
( ) ( ) (0 ) ( )x n n x n???
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x n n n x n n n??? ? ?
1
()nk? ?
n
k? ? ? ??? ?? ? ?
1.单位阶跃 ()ut
?()ut ?
1
0
，
，
0t?
0t?
1
0
()ut
t
2,单位冲激 ()t?
定义：
定义的不严密性，由于 在 不连续，因
而在该处不可导。
()() d u tt
dt? ?
( ) ( )tu t d? ? ???? ?
()ut 0t?
二, 连续时间单位阶跃与单位冲激
定义：
定义 如图所示,()ut
?
1
0 ?
()ut?
t
? 0
()ut? ()ut
可认为
()() d u tt
dt?
?
? ?
()t??
0
1
?
?
t 0lim?? ( ) ( )tt??? ?
()t?即 可视为一个面积始终为 1的矩形，当其宽度
趋于零时的 极限 。
显然当 时
()t? 表示为 1
0
()t?
t 0
0()tt? ?
0t
t
1
矩形面积称为 冲激强度 。
( ) 1t dt???? ??
0
( ) ( ) ( )tu t d t d? ? ? ? ? ??
??
? ? ???
显然有：
( ) ( ) (0 ) ( )x t t x t???
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t??? ? ?
0lim?? 0( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )x t t x t??? ??
0
t
?
1 (0)x
?
(0 ) ( )xt? ?
()t? 也具有提取连续时间信号样本的作用。
用阶跃表示矩形脉冲
)()()( ???? tututG
)()()( 001 ?????? ttuttutG
G(t)
0 ? t
G1(t)
0 t0 ? t
输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。
连续时间系统()xt ()yt
1.5 连续时间与离散时间系统
一, 系统
（ Continuous-Time and Discrete-Time Systems）
连续时间系统：
系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，
相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为
系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。
系统分析的基本思想：
1,根据工程实际应用，对系统建立数学模型。
通常表现为描述输入－输出关系的方程。
2,建立求解这些数学模型的方法。
离散时间系统()xn ()yn
离散时间系统：
输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。
本课程所研究的对象 —— LTI（ Linear Time－
Invariant Systems） 系统就是这样的一类系统。
（ 2） 很多工程实际中的系统都能够利用这类系统
的方法建模（即具有普遍性）。
为此要求所研究的系统具有以下 两点重要特性,
（ 1） 这一类系统应该具有一些性质和结构，通过
它们能够对系统的行为作出透彻的描述，并能对这
一类系统建立有效的分析方法（即可行性）。
可以通过对简单系统（子系统）的分析并通 过子
系统互联而达到分析复杂系统的目的。
也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现
一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统
综合都是十分重要的。
二, 系统的互联 （ Interconnection of Systems）
现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相
径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的
组合。
2,并联 ( parallel interconnection )
Ⅰ
Ⅱ
?
()xt
()xn
()yt
()yn
1,级联 (cascade interconnection)
Ⅰ Ⅱ()xt
()xn
()yt
()yn
3,反馈联结 ( Feedback interconnection )
Ⅱ
?
()xn
()xt ()yt
()yn
Ⅰ
工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：
Ⅰ Ⅱ
III
? Ⅳ
在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入
有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是
无记忆系统 。否则就是 记忆系统,即 （ memory
systems 或 systems with memory )。
如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关
,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系
统是记忆的。
1.6 系统的基本性质 ( Basic System Properties )
1,记忆系统与无记忆系统
(memory systems and memoryless systems)
例如：
1( ) ( )ty t x d
C ????? ?
（电容） ( ) ( 1 )y t x t??
RC,RLC电路
( ) ( )
n
k
y n x k
? ??
? ?
（累加器）
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ?（差分器） 等都是 记忆系统
在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统
的输出响应与输入信号都相同，即有,
或 。这样的无记忆系统称为 恒等系统
( identity system )。
( ) ( )y t x t?
( ) ( )y n x n?
2,可逆性与逆系统
(Inveritibility and inverse systems)
如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同
的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统
是 可逆系统 ( invertible systems )。
如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信
号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为 不
可逆系统 ( noninvertible systems )。
如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一
个恒等 系统，则称后者是前者的 逆系统 ( inverse
system )。
Ⅰ Ⅱ()xt
()xn
()yt
()yn
()xt
()xn
例如, 1( ) ( )
2y t x t?
是可逆系统，其逆系统是,
( ) 2 ( )y t x t?
( ) ( )
n
k
y n x k
? ??
? ?
是可逆系统，其逆系统是,
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ?
还原为 。
输入 时,；输入 时,。
2( ) ( )y t x t? 是不可逆系统,因为有两个不同的
()xt ()xt?
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n?? 也是不可逆的,因为
()n? ( ) 0yn ? ( 1)n? ? ( ) 0yn ?
( ) ( 2 )y n x n? 是不可逆系统,因为无法从 (2 )xn
()xn
()() d x tyt
dt?
不可逆； 也是不可逆系统。( ) 0yt ?
调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调
器或解码器。
而
输入 和 能产生相同的输出。
如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时
刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以
后的输入无关就称该系统是 因果的 ( causal )。 否则就
是 非因果的 ( noncausal )。
3,因果性 (causality)
一般说来,非因果系统是物理不可实现的 。这体
现了因果性对系统实现的重要性。但对非实时处理
信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时
间概念的情况，因果性并不一定成为系统能否物理
实现的先决条件。
例如在图像处理中,自变量是图像中各点的坐标
位置，而并非代表时间。对某些数据处理系统，如
股市分析、经济预测等,实际上是以足够的延时来
换取非因果性的实现。
( ) ( )y n x n?? 0n ? 时 决定于以后时刻的输入。()yn
( ) ( ) ( 1 ) ;y n x n x n? ? ?( ) ( 2 )y t x t? 是非因果系统。
RLC电路,,
都是因果系统。
( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ?( ) ( )n
k
y n x k
? ??
? ?
4,稳定性 ( stability )
如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有
界的，则该系统是 稳定系统 (stable system)。 否则，
就是 不稳定系统 (unstable system)。
例如：单摆,RC电路都是稳定系统；
也是稳定系统。
( ) ( 1 )y n x n??
( ) ( ),
n
k
y n x k
? ? ?
? ? ( ) ( ),( ) ( )
ty t x d y t tx t??
?????
都是不稳定系统。
如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响
应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何
其它变化，则称该系统是 时不变的 (time-invariant)
。 否则就是 时变的 ( time-varying )。
工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此
稳定性对系统来说是非常重要的。
5,时不变性 ( Time-invariance )
即：若 ( ) ( ),x t y t?
00( ) ( )x t t y t t? ? ?
则系统是时不变的。
检验一个系统时不变性的步骤,
1,令输入为,根据系统的描述，确定此时的输
出 。
2,将输入信号变为,再根据系统的描述确定输
出 。
3,令 根据自变量变换，检验
是否等于 。
1()xt
1()yt
2 1 0( ) ( ),x t x t t??
2()yt
2()yt
10()y t t?
2()xt
如
当 时，
( ) ( 1 ) ( )y n n x n??
1( ) ( )x n x n? 11( ) ( 1 ) ( )y n n x n??
2( ) ( )x n x n?
时,22( ) ( 1 ) ( )y n n x n??
由于
1 0 0 1 0 2( ) ( 1 ) ( ) ( )y n n n n x n n y n? ? ? ? ? ?
? 系统是时变的。
当
令
2 1 0( ) ( )x n x n n??
则有：
2 1 0( ) ( 1 ) ( )y n n x n n? ? ?
又如,( ) ( )y t x t??
1( ) ( )x t x t? 11( ) ( )y t x t??
2 1 0( ) ( )x t x t t??
22( ) ( )y t x t??
该系统是时变的。
1 0 1 0 1 0 2( ) [ ( ) ] ( ) ( )y t t x t t x t t y t? ? ? ? ? ? ?
?
当 时，
当 时，
2( ) ( )x t x t?
令 则有：
2 1 0( ) ( )y t x t t? ? ?
而
6,线性 （ Linearity）
11( ) ( )x t y t? 22( ) ( )x t y t?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a y t b y t? ? ?
其中 a,b是常数
（包括复数），满足此关系的系统是线性的。
若
例如：,满足可加性，但不满足齐
次性。当 时其实部变为虚部，虚部变为实部。
? ?( ) R e ( )y t x t?
aj?
满足齐次性但不满足可加性。
21( ) [ ( ) ]
()
y t x t
xt
??
因为，若输入为 则
12( ) ( )x t x t?
2
2 1 2
12
1( ) [ ( ( ) ( ) ) ]
( ) ( )y t x t x tx t x t
???
?
2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
x t x t x t x t
x t x t x t x t
? ? ? ??
? ? ?
?
如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号
分解成若干个简单信号的线性组合时，只要能
得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可
以很方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系
统对 的输出响应。即,
()xt
()xt
若,且
( ) ( )kk
k
x t a x t? ?
( ) ( )kkx t y t?
则
( ) ( )kk
k
y t a y t? ?
这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。
在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的
要求。但是这类系统的 输出响应的增量 与 输入信号
的增量 之间 满足线性 特性。这类系统称为 增量线性
系统 （ incrementally linear systems)。
该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但
当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时，
有
( ) ( ) 2y t x t??
1 1 1( ) ( ) ( ) 2x t y t x t? ? ?
2 2 2( ) ( ) ( ) 2x t y t x t? ? ?
例如：
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t x t x t? ? ? ? ?
可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关
系的，它是一个 增量线性系统 。
显然有
任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统
再加上一部分与输入无关的响应。
?线性系统
()xt 1()yt ()yt
0()yt
增量线性系统
当增量线性系统的 时,。此时
系统的输出响应完全由 决定。此时系统处于
零初始状态，故将 称为系统的 零状态响应 。
0 ( ) 0yt ? 1( ) ( )y t y t?
1()yt
1()yt
可见，增量线性系统的响应包括 零输入响应和零
状态响应 两部分。
根据线性系统的齐次性，可得出：线性系统当输
入为零（即根本没有输入）时，系统的输出响应为
零（即没有输出响应）。这就是所谓 线性系统的零
输入 — 零输出特性。
增量线性系统当 时，有,
因此将 称为系统的 零输入响应 。
( ) 0xt ? 10( ) 0,( ) ( )y t y t y t??
0()yt
建立了信号与系统的数学描述方法。
讨论了信号自变量变换对信号的影响。
介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数
信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。
讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。
定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。
讨论了增量线性系统及其等效方法。
1.7 本章小结 （ Summary）
由于在工程实际中，相当广泛的系统其数学模型
都可以描述成一个线性时不变 ( LTI )系统，而且基
于线性和时不变性，为系统分析建立一套完整的、
普遍适用的方法提供了可能，因此,线性时不变系
统将成为本课程所研究的对象 。
