第 2章 线性时不变系统
Linear Time-Invariant Systems
? LTI系统的框图结构表示。
本章主要内容：
? LTI系统的时域分析 —— 卷积积分与卷积和。
? LTI系统的微分方程及差分方程表示。
? 奇异函数。
? 信号的时域分解 —— 用 表示离散时间信号；
用 表示连续时间信号。
()t?
()n?
2.0 引言 ( Introduction )
基本思想,如果能把任意输入信号分解成基本信号
的线性组合，那么只要得到了 LTI系统对基本信
号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统
对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信
号的响应的线性组合。
由于 LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有
时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的
理论与方法奠定了基础。
问题的实质：
1,研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成
任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单
元的线性组合来构成任意信号；
2,如何得到 LTI系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求：
1,本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示
（构成）尽可能广泛的其它信号；
2,LTI系统对这种信号的响应易于求得。
如果解决了信号分解的问题，即：若有
( ) ( )ii
i
x t a x t? ? ( ) ( )iix t y t?
则
( ) ( )ii
i
y t a y t? ?
?
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变
换域进行，相应地就产生了对 LTI系统的时域分析
法、频域分析法和变换域分析法。
分析方法,
2.1 离散时间 LTI系统：卷积和
离散时间信号中,最简单的是,我们已经看到
可以由它的线性组合构成,即：
()n?
()un
0
( ) ( ) ( )
n
kk
u n k n k??
?
? ? ? ?
? ? ???
一, 用单位脉冲表示离散时间信号
对任何离散时间信号,如果每次从其中取出
一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点
都可以表示为不同加权、不同位臵的单位脉冲。
()xn
（ Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
二, 卷积和 （ Convolution sum）
于是有,
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
?
? ? ?
???
表明,任何信号 都可以被分解成移位加权的
单位脉冲信号的线性组合。
()xn
如果一个线性系统对 的响应是,
由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：
()nk? ? ()khn
()xn
( ) ( ) ( )k
k
y n x k h n
?
? ? ?
? ?
若系统具有时不变性，即,
( ) ( )n h n? ?若, 则 ( ) ( )n k h n k? ? ? ?
因此，只要得到了 LTI系统对 的响应()n? ()hn
单位脉冲响应 ( impulse response )，
就可以得到 LTI系统对任何输入信号 的响应：()xn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k x n h n
?
? ? ?
? ? ? ??
这表明,一个 LTI系统可以完全由它的单位脉冲
响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷
积和（ The convolution sum） 。
三, 卷积和的计算
计算方法,
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。
运算过程,
将一个信号 不动, 另一个信号经反转后成
为,再随参变量 移位。在每个 值的情况
下，将 与 对应点相乘，再把乘积的
各点值累加, 即 得到 时刻的 。
()xk
()hk? n n
()xk ()h n k?
n ()yn
例 1：
( ) ( )nx n u n?? 01??? ( ) ( )h n u n?
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
1
k
kk
nn
k
k
y n x n h n
x k h n k u k u n k
un
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ?
?
??
?
??
?
0
1
k
( ) ( )kx k u k??
...
0
1
n
k
( ) ( )h n k u n k? ? ?
例 2,1 0 4
()
0
n
xn
o t h e r w i s e
???
? ?
?
1,0 6
()
0
n n
hn
o t h e r w i s e
?? ? ? ??
? ?
?
0 n6n?0
1
4
()xk
k k
() nkh n k ? ???
① 时,0n? ( ) 0yn ?
② 时,04n??
00
( 1 ) 1
1
()
11
11
nn
n k n k
kk
nn
n
yn ? ? ?
??
?
??
??
??
? ? ?
?
??
??
? ? ?
??
??
③ 时,46n?? 54
1
0
41
1
()
1
1
n k n
k
nn
yn
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
?
?
④ 时,6 10n??
474
6
() 1
n
nk
kn
yn ??? ?
?
?
??
???
??
⑤ 时，10n? ( ) 0yn ?
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对
于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是
很有用的。
例 3,列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① 与 的 所有各点都要遍乘一次；()xn ()hn
( ) ( )
k
x k h n k
?
? ? ?
??② 在遍乘后，各点相加时，根据,
参与相加的各点都具有 与 的宗量之
和为 的特点。
()xk ()h n k?
n
1 0 2 1
1 0 2 1
2 0 4 2
0 0 0 0
3 0 6 3
1 0 2 1
1
2
0
3
1
()hn ()xn
(0)x (1)x (2)x (3)x
( 1)h ?
(0)h
(1)h
(2)h
(3)h
( 1)y ?
(0)y
(1)y
(2)y
(3)y (4)y (5)y (6)y
优点：
缺点,
计算非常简单。
①只适用于两个有限长序列的卷积和；
②一般情况下，无法写出 的封闭表达式。()yn
（ Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）
一, 用冲激信号表示连续时间信号
0( ) ( ) ( )
tu t d t d? ? ? ? ? ??
??? ? ???
与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号
的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种
关系：
对一般信号,可以将其分成很多 宽度的区
段，用一个阶梯信号 近似表示 。当
时, 有
()xt ?
()xt? 0??
( ) ( )x t x t? ?
()xt
2.2 连续时间 LTI系统：卷积积分
引用,即：()t?
? 1 / 0()
0
tt
o t h e r w i s e? ?
? ? ? ???
?
?
则有, 10
() 0 tt o t h e r w i s e? ? ? ? ???? ?
?
()xt
0 ? k? ( 1)k ??
t
()xk?
()xt?
第 个矩形可表示为：
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号,
即：
k ( ) ( )x k t k? ?? ? ? ? ?
()xt?
( ) ( ) ( )
k
x t x k t k?
?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ??
表明,任何连续时间信号 都可以被分解成移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
()xt
( ) ( ) ( )x t x t d? ? ? ??
??
???
于是：
当 时，0?? k ???
( ) ( )t k t? ? ?? ? ? ? ?
d??? ?? ?
( ) ( )x t x t? ?
二, 卷积积分 （ The convolution integral）
与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统
对 的响应为,则该系统对 的响应可
表示为：
()t??? ()ht? ()xt
( ) ( ) ( )y t x h t d??????? ?
表明,LTI系统可以完全由它的 单位冲激响应
来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积
分 （ The convolution integral） 。
()ht
( ) ( )t h t? ?
( ) ( )t h t? ? ?? ? ? ()xt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d x t h t? ? ????? ? ? ??
若系统是时不变的，即：若,则有,
于是系统对任意输入 的响应
可表示为：
三, 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、
解析法和数值解法。
运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，
一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一
个 的值，将 和 对应相乘，再计算相
乘后曲线所包围的面积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有
用的。
t
t ()x? ()ht ??
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
a
t
a at
y t x t h t x h t
e u u t d
e d e u t
a
?
?
??
? ? ?
?
?
??
?
?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
t0
1
()ut ??
?
0
1
?
()x?
例 1,( ) ( ),0
atx t e u t a??? ( ) ( )h t u t?
例 2,
10()
0
tTxt
o th e r w is e
????
??
02()
0
t t Tht
o th e r w is e
????
?
?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y t x t h t x h t d
x t h d
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ? ?
??
?
?
0
2T
2T
?
()h? ()xt ??
0
1
tT? t
?
① 当 时，0t? ( ) 0yt ?
② 当 时，0 tT?? 2
0
1()
2
ty t d t?????
③ 当 时，2T t T?? 21()
2
t
tT
y t d T t T??
?
? ? ??
④ 当 时，23T t T?? 2 221( ) 2 ( )
2
T
tT
y t d T t T??
?
? ? ? ??
⑤ 当 时，3tT? ( ) 0yt ?
212T
232T
T 3T2T0
t
()yt
2.3 线性时不变系统的性质
（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
y n x n h n x k h n k
x n k h k h n x n
?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
一, 卷积积分与卷积和的性质
1,交换律：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
y t x t h t x h t d
x t h d h t x t
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
结论：
一个单位冲激响应是 的 LTI系统对输入
信号 所产生的响应，与一个单位冲激响应
是 的 LTI系统对输入信号 所产生的响应
相同。
()ht
()xt ()ht
()xt
()xt ()yt
()ht
()xn ()yn
()hn
()ht ()yt
()xt
()hn
()xn
()yn
?
()xn
12( ) ( )h n h n?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y n x n h n h n? ? ?
()xt
12( ) ( )h t h t?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
()xn
?
1()hn
2()hn
1( ) ( )x n h n?
2( ) ( )x n h n?
()yn
()xt
1()ht
2()ht
()yt
?
2,分配律：
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
x n h n h n x n h n x n h n
x t h t h t x t h t x t h t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
结论,两个 LTI系统并联，其总的单位脉冲 (冲激 )响
应等于各子系统单位脉冲 (冲激 )响应之和。
3,结合律,
1 2 1 2
1 2 1 2
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
x n h n h n x n h n h n
x t h t h t x t h t h t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
()xt
1()ht 2()ht
1( ) ( )x t h t? 12( ) [ ( ) ( ) ] ( )y t x t h t h t? ? ?
()xn
1()hn 2()hn
12( ) [ ( ) ( ) ] ( )y n x n h n h n? ? ?
12( ) ( )h t h t?
()xt
()xn
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y n x n h n h n? ? ?
12( ) ( )h n h n?
?
? 两个 LTI系统级联时，系统总的单位冲激 (脉冲 )响
应等于各子系统单位冲激 (脉冲 )响应的卷积。
? 由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后
次序可以调换。
结论：
1 2 2 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x n h n h n x n h n h n
x t h t h t x t h t h t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
()xn ()yn
1()hn 2 ()hn
()xt ()yt
1()ht 2()ht
()xn ()yn
2 ()hn 1()hn
()xt ()yt
1()ht2()ht
?
产生以上结论的前提条件：
① 系统必须是 LTI系统；
②所有涉及到的卷积运算必须收敛。
如, ()xt 平方 乘 2 2( ) 2 ( )y t x t?
()xt 乘 2 平方 2( ) 4 ( )y t x t?
若交换级联次序，即成为：
又如：若,
虽然系统 都是 LTI系统。当 时，如果交换
级联次序，则由于 不收敛，因而也是不
允许的。
12( ) ( ) ( 1 ),( ) ( )h n n n h n u n??? ? ? ?
( ) 1xn ?
( ) ( )x n u n?
( ) 1xn ?
1()hn 2()hn
0 ( ) 0yn ?
显然与原来是不等价的。因为系统不是 LTI系统。
4,卷积运算还有如下性质：
② 若,则( ) ( ) ( )x t h t y t??
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t h t x t h t t y t t? ? ? ? ? ? ?
卷积积分满足微分、积分及时移特性：
( ) ( ) ( )x t h t y t??
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
t t t
x t h t x t h t y t
x d h t x t h d y d? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
① 若,则
② 若,则( ) ( ) ( )x n h n y n??
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n n h n x n h n n y n n? ? ? ? ? ? ?
卷积和满足差分、求和及时移特性：
恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：
( ) ( ) ( )x n h n y n??
[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( )
n n n
k k k
x k h n x n h k y k
? ?? ? ?? ? ??
? ? ? ?? ? ?
① 若,则
? ?[ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
x n x n h n x n h n h n
y n y n
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
将 微分一次有,()xt ( ) ( ) ( )x t t t T??? ? ? ?
()xt?
tT
0
(1)
( 1)?
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
y t x t h t h t t t T
h t h t T
???? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
例如,2.2 中的例 2
根据微分特性有,
0
2T
2T
t
()ht
?
T
2T
T
2T
()yt?
3T
2T?
T?
0 t
21
2T
23
2T
T 3T2T0
t
()yt
( ) ( )ty t y d???? ?? ?
利用积分特性即可得,
二,LTI系统的性质
1,记忆性：
LTI 系统可以由它的单位冲激 /脉冲响应来表征，
因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）
都应在其单位冲激 /脉冲响应中有所体现。
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
则在任何时刻, 都只能和 时刻的输入有关，
和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：
根据,如果系统是无记忆的，
n ()yn n
kn?
( ) 0,h n k k n? ? ?即,( ) 0,0h n n??
所以，无记忆系统的单位脉冲 /冲激响应为：
( ) ( ) ( ) ( )h n k n h t k t????
如果 LTI系统的单位冲激 /脉冲响应不满足上述要
求，则系统是 记忆的 。
2,可逆性：
如果 LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且
逆系统也是 LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系
统。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n h n k x n x t h t k x t? ? ? ?
当 时系统是 恒等系统 。1k?
此时，
()xt ()xt
()ht ()gt
因此有,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t t h n g n n??? ? ? ?
例如,延时器是可逆的 LTI系统，,
其逆系统是,显然有：
0( ) ( )h t t t???
0( ) ( )g t t t???
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t t t t t t? ? ?? ? ? ? ? ?
累加器是可逆的 LTI系统，其,其逆
系统是,显然也有：
( ) ( )h n u n?
( ) ( ) ( 1 )g n n n??? ? ?
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ]
( ) ( 1 ) ( )
h n g n u n n n
u n u n n
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
3,因果性：
由,当 LTI系统是因果系统时，
在任何时刻, 都只能取决于 时刻及其以前
的输入，即和式中所有 的项都必须为零,即：
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
n ()yn n
kn?
( ) 0,h n k k n? ? ?
( ) 0,0h n n??或,
对连续时间系统有,
这是 LTI系统具有因果性的充分必要条件 。
( ) 0,0h t t??
但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。
根据稳定性的定义，由,
若 有界，则 ;若系统稳定，则要
求 必有界，由
( ) ( ) ( )
k
y n h k x n k
?
? ? ?
???
()xn ()x n k A??
()yn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k
y n h k x n k h k x n k A h k
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ?
可知，必须有,
()
n
hn
?
? ? ?
???
对连续时间系统，相应有, ()h t dt?
?? ???
这是 LTI系统稳定的充分必要条件 。
4,稳定性：
5,LTI系统的单位阶跃响应：
在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述 LTI
系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产生
的响应。因此有,
()ut ()un
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t u t h t s n u n h n? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )t ds t h d h t s tdt??
??
???
LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
n
k
s n h k h n s n s n
? ? ?
? ? ? ??
2.4 用微分和差分方程描述的因果 LTI系统
在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型
可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来
描述。分析这类 LTI系统，就是要求解线性常系数微
分 方程 或差分方程。
一,线性常系数微分方程
（ Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）
00
( ) ( ),kkNM
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???,kkab
均为常数
( Causal LTI Systems Described by Differential and
Difference Equations )
求解该微分方程，通常是求出 通解 和 一个特
解,则 。特解 是与输
入 同类型的函数，通解 是齐次方程的解，
即 的解。 欲求得齐次解，可根据齐
次方程建立一个特征方程,求出其特
征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形
式为：
()pyt
()hyt
( ) ( ) ( )phy t y t y t?? ()pyt
()xt ()hyt
0
() 0kN
k k
k
d y ta
dt? ??
0
0
N
k
k
k
a ?
?
??
1
( ),k
N
t
hk
k
y t C e ?
?
? ?
其中 是待定的常数。
kC
要确定系数,需要有一组条件，暂且称为 附加
条件 。仅仅从确定待定系数 的角度来看，这一组
附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给
出附加条件的时刻都可以是任意的。
当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足
系统零输入 — 零输出的特性。也就是系统在没有输
入，即 时,。此时，微分方程就蜕
变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐
次解必须为零，这就要求所有的 都为零。
kC
kC
( ) 0xt ?
kC
( ) 0yt ?
可以证明：当这组 零附加条件在信号加入的时刻
给出时,LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因
果的和时不 变的。
也就是要求确定待定系数所需的一组 附加条件的
值必须全部为零,因此,LCCDE具有一组零附加
条件时，才能描述线性系统。
在信号加入的时刻给出的零附加条件称为 零初始
条件 。
结论：
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述
一个 因果 的 LTI系统。这组条件是：
( 1 )( 0 ) 0,( 0 ) 0,,( 0 ) 0Ny y y ??? ? ?LL
如果一个因果的 LTI系统由 LCCDE描述，且方程
具有零初始条件，就称该系统 初始是静止的 或 最初
是松弛的。
如果 LCCDE具有一组 不全为零的初始条件,则可
以证明它所描述的系统是 增量线性的 。
二, 线性常系数差分方程,
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个 特
解 和通解，即齐次解 来进行，其过程与解
微分方程类似。
00
( ) ( )
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
()pyn ()hyn
要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组 附加
条件 。同样地,当 LCCDE具有一组全部为零的初始
条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的 。
对于差分方程，还可以将其改写为：
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n ka
??
??? ? ? ?
??????
()xn
( 1 ),( 2 ),,( )y y y N? ? ?LL
(0)y
可以看出：要求出,不仅要知道所有的,
还要知道,这就是一组 初始条
件,由此可以得出 。进一步，又可以通过
和 求得,依次类推可求出
所有 时的解。
(0)y (0)y
( 1 ),( 2 ),,( 1 )y y y N? ? ? ?LL (1)y
0n?
若将差分方程改写为：
1
00
1( ) ( ) ( )MN
kk
kkN
y n N b x n k a y n ka
?
??
??? ? ? ? ?
??????
则可由 求得,进而由
可求得,依次可推出
时的解。
由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为
递归方程 （ recursive equation）。
(1 ),( 2 ),,( )y y y N (0),y(0)y
(1 ),( 2 ),,( 1 )y y y N ?( 1)y ?
0n?
当 时，差分方程变为：
0,0kak??
0 0
( ) ( )
M
k
k
by n x n k
a????
此时,解方程不再需要迭代运算，因而称为 非递
归方程 （ nonrecursive equation）。 显然，此时方
程就是一个卷积和的形式，其中
此时，系统单位脉冲响应 是有限长的,因而
把这种方程描述的 LTI系统称为 FIR（ Finite
Impulse Response） 系统 。将递归方程描述的系统
称为 IIR（ Infinite Impulse Response） 系统,此时系
统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。
0
( ),0nbh n n Ma? ? ?
()hn
FIR系统与 IIR系统是离散时间 LTI系统中两类
很 重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法
都存在很大的差异。
由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有
与 输入信号相同的函数形式，即特解完全 是由输
入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应
称为 受迫响应 或 强迫响应 。齐次解所对应的部分
由于与输入信号无关，也称为系统的 自然响应 。
增量线性系统的响应分为 零状态响应 和 零输入
响应 。零输入响应由于与输入信号无关，因此它
属于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，
也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也
包含有一部分自然响应。
三,由微分和差分方程描述的 LTI系统的方框图表示
（ Block-Diagram Respresentation of the LTI
System described by LCCDE）
由 LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基
本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运
算关系，就会更加形象直观；另一方面,分析系统
很重要 的 目的是为了设计或实现一个系统,用图形
表示系统的数学模型,将对系统的特性仿真、硬件
或软件实现具有重要意义。
不同的结构也会在设计和实现一个系 统时带来不
同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难
度等方面都会有差异。
1,由差分方程描述的 LTI系统的方框图表示：
由 可看出：
方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位
（延迟） 。这些运算可用以下符号表示：
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n ka
??
??? ? ? ?
??????
a
?
a
b
ab? D()xn ( 1)xn?
若令,则
0
( ) ( )
M
k
k
w n b x n k
?
???
10
1( ) ( ) ( )N
k
k
y n w n a y n ka
?
??? ? ?
?????
D
D
D
?
?
?
?
()xn ()wn0b
1b
2b
1Mb ?
Mb
D
D
D
?
?
?
?
()wn ()yn01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
直接 Ⅰ 型
据此可得方框图：
0
( ) ( )
M
k
k
w n b x n k
?
???
将其级联起来,就成为 LCCDE描述的系统，它具
有与差分方程完全相同的运算功能。显然,它可以
看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序,
并将移位单元合并，于是得到：
直接 Ⅱ 型
D
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?
()xn ()yn0b
1b
2b
1Nb?
Nb
01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
2,由微分方程描述的 LTI系统的方框图表示：
由 看出它也包括三种基本
运算：微分、相加、乘系数。
但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对
误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分
器而不用微分器。
将微分方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积
分方程：
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
( ) ( )
00
( ) ( )
NN
k N k k N k
kk
a y t b x t??
??
???
1
( ) ( )
00
1( ) ( ) ( )NN
k N k k N k
kkN
y t b x t a y t
a
?
??
??
????
??????
()wt
()wt ()yt1/ Na
?
?
?
?
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()wtNb
1Nb?
2Nb?
1b
0b
?
?
? 直接 Ⅰ 型
对此积分方程完全按照差分方程的办法有,
?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()yt1/ Na
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
Nb
1Nb ?
2Nb ?
1b
0b
?
?
? 直接 Ⅱ 型
通过交换级联次序，合并积分器可得直接 Ⅱ 型：
（ Singularity function）
例如,以下信号的面积都等于 1，而且在
时，它们的极限都表现为单位冲激。
0??
2.5 奇异函数
在第一章中介绍单位冲激时，开始将 定义
为 显然是不严密的，因为 在
不连续。进而采用极限的观点，将 视为
在 时的极限。但这种定义或描述 的方法
在数学上仍然是不严格的，因为有许多不同的函
数在 时都表现为与 有相同的特性。
()() d u tt
dt? ?
()ut 0t?
()t? ()t??
0?? ()t?
0?? ()t??
()t?
0 ?
1
?
t
()t??
0 ? 2?
1
?
t
( ) ( ) ( )r t t t??? ? ???
0 2? 4?
1
?
t
( ) ( )r t r t???
0
1
?
t
? ?1 te u t? ??
0
1
?
?
t
sin t
t
?
?
?
之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化
的非常规函数，被称为 奇异函数 。通常采用在卷积
或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。
()t?
一, 通过卷积定义
()t?
从系统的角度,可以说 是一个恒等系统的
单位冲激响应,因此,—— 这就是
在卷积运算下 的定义。
()t?
( ) ( ) ( )x t x t t???
()t?
()t?
根据定义可以得出 的如下性质：
00
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t t x t
t t t t t t t t
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
⒈
⒉ 当 时，有( ) 1xt ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x t t x t d d? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???
( ) 1t d t???????
⒊ 由此定义可得：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t t g t d g t? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??
若,则有：0t? ( 0) ( ) ( )g g d? ? ? ??
??? ?
二, 通过积分定义 ()t?
积分表达式 也可以作为
在积分运算下的定义，这就是 分配函数 的定义方法。
( 0) ( ) ( )g g t t d t????? ? ()t?
此式即可作为在积分运算下 的定义式。()t?
据此定义又可以推出：
⒋ 若 是奇函数，则,因此 是偶函数,
即：
()gt (0) 0g ? ()t?
( ) ( )tt????
( ) ( )g x t????若令,代入积分定义式就有,
这就是卷积运算下的定义。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d x t t? ? ? ? ????? ? ? ??
()f t t? ( ) 0tt? ?
若,则可推出
12( ) ( )tf t tf t?
12( ) ( ) ( )f t f t C t???
因此，若有,则
( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )g f g t f t t d t f g t t d t????? ? ? ?????
( ) ( ) (0 ) ( )f t t f t????
⒌ 根据积分下的定义有：
三, 单位冲激偶及其他奇异函数
理想微分器的单位冲激响应应该是 的 微分，
记为,从卷积运算或 LTI系统分析的角
度应该有：
()t?
1 ( ) ( )
du t t
dt ??
1( ) ( ) ( )
dx t u t x t
dt??
0
t
(1)
( 1)?
1()ut
1()ut
称为 单位冲激偶
（ Unit doublet）
微分器()xt ()dx t
dt
⒈ 当 时，有：( ) 1xt ?
11( ) ( ) ( ) 0x t u d u d? ? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ???
1 ( ) 0u t dt
?
?????
⒉ 考察
当 时，有,此积分可
作为 在积分意义下的定义。
11( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
t
g t u t g t u d
dd
g t g
d t d ?
? ? ?
?
?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
0t? 1( 0 ) ( ) ( )g g u d? ? ??????? ?
1()ut
由此定义出发可以推出：
⒊ 若 是一个偶函数，则 。由此可推
得 是 奇函数,即：
11( ) ( )u t u t? ? ?
(0 ) 0g? ?
1()ut
()gt
⒋ 考察
? ?
? ?
? ?
1
0
0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )
t
t
d
g t f t u t d t f t g t
dt
f t g t f t g t
f g f g
f g t t d t f g t u t d t?
?
??
?
?
??
? ? ? ?
??
??? ? ?
??? ? ?
?? ? ?
?
??
11( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( )f t u t f u t f t??? ? ?
⒌ 若,进而有：
因此，若有,则
()f t t? 1 ( ) ( )tu t t???
2212( ) ( )t f t t f t?
2 1 ( ) 0t u t ?
1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t C t C u t?? ? ?
按此定义方法推广下去，有：
2 1 1( ) ( ) ( )u t u t u t??
2
2 2
11
()
( ) ( )
( ) ( ) ( )
d x t
x t u t
dt
x t u t u t
??
????
? ? ???
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )k
k
u t u t u t u t? ? ? ?
个
在积分运算下有：
()( ) ( ) ( 1 ) ( 0 )kk
kg t u t d t g
?
?? ???
例如, 2
1 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 0 )
g t u t d t
g t d u t g t u t g t u t d t
g t d t g t t g t t d t
g
? ? ?
?
??
??
?
??
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
?? ? ?
? ? ??? ? ? ? ?
???
?
??
??
四, 的积分
()t?
若用,则有：
01( ) ( ) ( ) ( )u t t u t u t? ???
1 ( ) ( ) ( )
tu t d u t? ? ?
? ?????
是 理想积分器的单位冲激响应。
1( ) ( ) ( )
tx t u t x d??
? ???? ?
1()ut?
因此：
2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tu t u t u t u t d t tu t
? ? ? ??? ? ? ??
称为单位斜坡函数（ Unit ramp function ）
()t?用类似方法也可以定义 的积分。
事实上,的各次积分已经是常规函数了，
当然可以按常规函数定义的方法去描述。
()t?
2
3 1 1 1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
u t u t u t u t t u t? ? ? ?? ? ? ?
1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
()
( 1 ) !
k
k
k
u t u t u t u t
t
ut
k
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
个
2.6 小结 （ Summary）
本章主要讨论了以下内容,
⒊ LTI系统的描述方法：
①用 描述系统（也可用 描述） ；
②用 LCCDE连同零初始条件描述 LTI系统；
( ) ( )h t h n,( ) ( )s t n、s
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k
x t x t d
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
??
??
??
?
?
⒈ 信号的时域分解,
⒉ LTI系统的时域分析 —— 卷积和与卷积积分
⒌ 奇异函数
③ 用方框图描述系统（等价于 LCCDE描述）。
( ) ( )h t h n、
? 系统级联、并联时,与各子系统
的关系。
( ) ( )h t h n、
()ht、
()hn
? 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与
的关系；
⒋ LTI系统的特性与 的关系：
Linear Time-Invariant Systems
? LTI系统的框图结构表示。
本章主要内容：
? LTI系统的时域分析 —— 卷积积分与卷积和。
? LTI系统的微分方程及差分方程表示。
? 奇异函数。
? 信号的时域分解 —— 用 表示离散时间信号；
用 表示连续时间信号。
()t?
()n?
2.0 引言 ( Introduction )
基本思想,如果能把任意输入信号分解成基本信号
的线性组合，那么只要得到了 LTI系统对基本信
号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统
对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信
号的响应的线性组合。
由于 LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有
时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的
理论与方法奠定了基础。
问题的实质：
1,研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成
任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单
元的线性组合来构成任意信号；
2,如何得到 LTI系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求：
1,本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示
（构成）尽可能广泛的其它信号；
2,LTI系统对这种信号的响应易于求得。
如果解决了信号分解的问题，即：若有
( ) ( )ii
i
x t a x t? ? ( ) ( )iix t y t?
则
( ) ( )ii
i
y t a y t? ?
?
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变
换域进行，相应地就产生了对 LTI系统的时域分析
法、频域分析法和变换域分析法。
分析方法,
2.1 离散时间 LTI系统：卷积和
离散时间信号中,最简单的是,我们已经看到
可以由它的线性组合构成,即：
()n?
()un
0
( ) ( ) ( )
n
kk
u n k n k??
?
? ? ? ?
? ? ???
一, 用单位脉冲表示离散时间信号
对任何离散时间信号,如果每次从其中取出
一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点
都可以表示为不同加权、不同位臵的单位脉冲。
()xn
（ Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
二, 卷积和 （ Convolution sum）
于是有,
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
?
? ? ?
???
表明,任何信号 都可以被分解成移位加权的
单位脉冲信号的线性组合。
()xn
如果一个线性系统对 的响应是,
由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：
()nk? ? ()khn
()xn
( ) ( ) ( )k
k
y n x k h n
?
? ? ?
? ?
若系统具有时不变性，即,
( ) ( )n h n? ?若, 则 ( ) ( )n k h n k? ? ? ?
因此，只要得到了 LTI系统对 的响应()n? ()hn
单位脉冲响应 ( impulse response )，
就可以得到 LTI系统对任何输入信号 的响应：()xn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k x n h n
?
? ? ?
? ? ? ??
这表明,一个 LTI系统可以完全由它的单位脉冲
响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷
积和（ The convolution sum） 。
三, 卷积和的计算
计算方法,
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。
运算过程,
将一个信号 不动, 另一个信号经反转后成
为,再随参变量 移位。在每个 值的情况
下，将 与 对应点相乘，再把乘积的
各点值累加, 即 得到 时刻的 。
()xk
()hk? n n
()xk ()h n k?
n ()yn
例 1：
( ) ( )nx n u n?? 01??? ( ) ( )h n u n?
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
1
k
kk
nn
k
k
y n x n h n
x k h n k u k u n k
un
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ?
?
??
?
??
?
0
1
k
( ) ( )kx k u k??
...
0
1
n
k
( ) ( )h n k u n k? ? ?
例 2,1 0 4
()
0
n
xn
o t h e r w i s e
???
? ?
?
1,0 6
()
0
n n
hn
o t h e r w i s e
?? ? ? ??
? ?
?
0 n6n?0
1
4
()xk
k k
() nkh n k ? ???
① 时,0n? ( ) 0yn ?
② 时,04n??
00
( 1 ) 1
1
()
11
11
nn
n k n k
kk
nn
n
yn ? ? ?
??
?
??
??
??
? ? ?
?
??
??
? ? ?
??
??
③ 时,46n?? 54
1
0
41
1
()
1
1
n k n
k
nn
yn
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
?
?
④ 时,6 10n??
474
6
() 1
n
nk
kn
yn ??? ?
?
?
??
???
??
⑤ 时，10n? ( ) 0yn ?
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对
于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是
很有用的。
例 3,列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① 与 的 所有各点都要遍乘一次；()xn ()hn
( ) ( )
k
x k h n k
?
? ? ?
??② 在遍乘后，各点相加时，根据,
参与相加的各点都具有 与 的宗量之
和为 的特点。
()xk ()h n k?
n
1 0 2 1
1 0 2 1
2 0 4 2
0 0 0 0
3 0 6 3
1 0 2 1
1
2
0
3
1
()hn ()xn
(0)x (1)x (2)x (3)x
( 1)h ?
(0)h
(1)h
(2)h
(3)h
( 1)y ?
(0)y
(1)y
(2)y
(3)y (4)y (5)y (6)y
优点：
缺点,
计算非常简单。
①只适用于两个有限长序列的卷积和；
②一般情况下，无法写出 的封闭表达式。()yn
（ Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）
一, 用冲激信号表示连续时间信号
0( ) ( ) ( )
tu t d t d? ? ? ? ? ??
??? ? ???
与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号
的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种
关系：
对一般信号,可以将其分成很多 宽度的区
段，用一个阶梯信号 近似表示 。当
时, 有
()xt ?
()xt? 0??
( ) ( )x t x t? ?
()xt
2.2 连续时间 LTI系统：卷积积分
引用,即：()t?
? 1 / 0()
0
tt
o t h e r w i s e? ?
? ? ? ???
?
?
则有, 10
() 0 tt o t h e r w i s e? ? ? ? ???? ?
?
()xt
0 ? k? ( 1)k ??
t
()xk?
()xt?
第 个矩形可表示为：
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号,
即：
k ( ) ( )x k t k? ?? ? ? ? ?
()xt?
( ) ( ) ( )
k
x t x k t k?
?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ??
表明,任何连续时间信号 都可以被分解成移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
()xt
( ) ( ) ( )x t x t d? ? ? ??
??
???
于是：
当 时，0?? k ???
( ) ( )t k t? ? ?? ? ? ? ?
d??? ?? ?
( ) ( )x t x t? ?
二, 卷积积分 （ The convolution integral）
与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统
对 的响应为,则该系统对 的响应可
表示为：
()t??? ()ht? ()xt
( ) ( ) ( )y t x h t d??????? ?
表明,LTI系统可以完全由它的 单位冲激响应
来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积
分 （ The convolution integral） 。
()ht
( ) ( )t h t? ?
( ) ( )t h t? ? ?? ? ? ()xt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d x t h t? ? ????? ? ? ??
若系统是时不变的，即：若,则有,
于是系统对任意输入 的响应
可表示为：
三, 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、
解析法和数值解法。
运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，
一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一
个 的值，将 和 对应相乘，再计算相
乘后曲线所包围的面积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有
用的。
t
t ()x? ()ht ??
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
a
t
a at
y t x t h t x h t
e u u t d
e d e u t
a
?
?
??
? ? ?
?
?
??
?
?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
t0
1
()ut ??
?
0
1
?
()x?
例 1,( ) ( ),0
atx t e u t a??? ( ) ( )h t u t?
例 2,
10()
0
tTxt
o th e r w is e
????
??
02()
0
t t Tht
o th e r w is e
????
?
?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y t x t h t x h t d
x t h d
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ? ?
??
?
?
0
2T
2T
?
()h? ()xt ??
0
1
tT? t
?
① 当 时，0t? ( ) 0yt ?
② 当 时，0 tT?? 2
0
1()
2
ty t d t?????
③ 当 时，2T t T?? 21()
2
t
tT
y t d T t T??
?
? ? ??
④ 当 时，23T t T?? 2 221( ) 2 ( )
2
T
tT
y t d T t T??
?
? ? ? ??
⑤ 当 时，3tT? ( ) 0yt ?
212T
232T
T 3T2T0
t
()yt
2.3 线性时不变系统的性质
（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
y n x n h n x k h n k
x n k h k h n x n
?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
一, 卷积积分与卷积和的性质
1,交换律：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
y t x t h t x h t d
x t h d h t x t
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
结论：
一个单位冲激响应是 的 LTI系统对输入
信号 所产生的响应，与一个单位冲激响应
是 的 LTI系统对输入信号 所产生的响应
相同。
()ht
()xt ()ht
()xt
()xt ()yt
()ht
()xn ()yn
()hn
()ht ()yt
()xt
()hn
()xn
()yn
?
()xn
12( ) ( )h n h n?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y n x n h n h n? ? ?
()xt
12( ) ( )h t h t?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
()xn
?
1()hn
2()hn
1( ) ( )x n h n?
2( ) ( )x n h n?
()yn
()xt
1()ht
2()ht
()yt
?
2,分配律：
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
x n h n h n x n h n x n h n
x t h t h t x t h t x t h t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
结论,两个 LTI系统并联，其总的单位脉冲 (冲激 )响
应等于各子系统单位脉冲 (冲激 )响应之和。
3,结合律,
1 2 1 2
1 2 1 2
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
x n h n h n x n h n h n
x t h t h t x t h t h t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
()xt
1()ht 2()ht
1( ) ( )x t h t? 12( ) [ ( ) ( ) ] ( )y t x t h t h t? ? ?
()xn
1()hn 2()hn
12( ) [ ( ) ( ) ] ( )y n x n h n h n? ? ?
12( ) ( )h t h t?
()xt
()xn
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y n x n h n h n? ? ?
12( ) ( )h n h n?
?
? 两个 LTI系统级联时，系统总的单位冲激 (脉冲 )响
应等于各子系统单位冲激 (脉冲 )响应的卷积。
? 由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后
次序可以调换。
结论：
1 2 2 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x n h n h n x n h n h n
x t h t h t x t h t h t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
()xn ()yn
1()hn 2 ()hn
()xt ()yt
1()ht 2()ht
()xn ()yn
2 ()hn 1()hn
()xt ()yt
1()ht2()ht
?
产生以上结论的前提条件：
① 系统必须是 LTI系统；
②所有涉及到的卷积运算必须收敛。
如, ()xt 平方 乘 2 2( ) 2 ( )y t x t?
()xt 乘 2 平方 2( ) 4 ( )y t x t?
若交换级联次序，即成为：
又如：若,
虽然系统 都是 LTI系统。当 时，如果交换
级联次序，则由于 不收敛，因而也是不
允许的。
12( ) ( ) ( 1 ),( ) ( )h n n n h n u n??? ? ? ?
( ) 1xn ?
( ) ( )x n u n?
( ) 1xn ?
1()hn 2()hn
0 ( ) 0yn ?
显然与原来是不等价的。因为系统不是 LTI系统。
4,卷积运算还有如下性质：
② 若,则( ) ( ) ( )x t h t y t??
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t h t x t h t t y t t? ? ? ? ? ? ?
卷积积分满足微分、积分及时移特性：
( ) ( ) ( )x t h t y t??
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
t t t
x t h t x t h t y t
x d h t x t h d y d? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
① 若,则
② 若,则( ) ( ) ( )x n h n y n??
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n n h n x n h n n y n n? ? ? ? ? ? ?
卷积和满足差分、求和及时移特性：
恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：
( ) ( ) ( )x n h n y n??
[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( )
n n n
k k k
x k h n x n h k y k
? ?? ? ?? ? ??
? ? ? ?? ? ?
① 若,则
? ?[ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
x n x n h n x n h n h n
y n y n
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
将 微分一次有,()xt ( ) ( ) ( )x t t t T??? ? ? ?
()xt?
tT
0
(1)
( 1)?
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
y t x t h t h t t t T
h t h t T
???? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
例如,2.2 中的例 2
根据微分特性有,
0
2T
2T
t
()ht
?
T
2T
T
2T
()yt?
3T
2T?
T?
0 t
21
2T
23
2T
T 3T2T0
t
()yt
( ) ( )ty t y d???? ?? ?
利用积分特性即可得,
二,LTI系统的性质
1,记忆性：
LTI 系统可以由它的单位冲激 /脉冲响应来表征，
因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）
都应在其单位冲激 /脉冲响应中有所体现。
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
则在任何时刻, 都只能和 时刻的输入有关，
和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：
根据,如果系统是无记忆的，
n ()yn n
kn?
( ) 0,h n k k n? ? ?即,( ) 0,0h n n??
所以，无记忆系统的单位脉冲 /冲激响应为：
( ) ( ) ( ) ( )h n k n h t k t????
如果 LTI系统的单位冲激 /脉冲响应不满足上述要
求，则系统是 记忆的 。
2,可逆性：
如果 LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且
逆系统也是 LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系
统。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n h n k x n x t h t k x t? ? ? ?
当 时系统是 恒等系统 。1k?
此时，
()xt ()xt
()ht ()gt
因此有,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t t h n g n n??? ? ? ?
例如,延时器是可逆的 LTI系统，,
其逆系统是,显然有：
0( ) ( )h t t t???
0( ) ( )g t t t???
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t t t t t t? ? ?? ? ? ? ? ?
累加器是可逆的 LTI系统，其,其逆
系统是,显然也有：
( ) ( )h n u n?
( ) ( ) ( 1 )g n n n??? ? ?
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ]
( ) ( 1 ) ( )
h n g n u n n n
u n u n n
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
3,因果性：
由,当 LTI系统是因果系统时，
在任何时刻, 都只能取决于 时刻及其以前
的输入，即和式中所有 的项都必须为零,即：
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
n ()yn n
kn?
( ) 0,h n k k n? ? ?
( ) 0,0h n n??或,
对连续时间系统有,
这是 LTI系统具有因果性的充分必要条件 。
( ) 0,0h t t??
但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。
根据稳定性的定义，由,
若 有界，则 ;若系统稳定，则要
求 必有界，由
( ) ( ) ( )
k
y n h k x n k
?
? ? ?
???
()xn ()x n k A??
()yn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k
y n h k x n k h k x n k A h k
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ?
可知，必须有,
()
n
hn
?
? ? ?
???
对连续时间系统，相应有, ()h t dt?
?? ???
这是 LTI系统稳定的充分必要条件 。
4,稳定性：
5,LTI系统的单位阶跃响应：
在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述 LTI
系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产生
的响应。因此有,
()ut ()un
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t u t h t s n u n h n? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )t ds t h d h t s tdt??
??
???
LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
n
k
s n h k h n s n s n
? ? ?
? ? ? ??
2.4 用微分和差分方程描述的因果 LTI系统
在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型
可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来
描述。分析这类 LTI系统，就是要求解线性常系数微
分 方程 或差分方程。
一,线性常系数微分方程
（ Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）
00
( ) ( ),kkNM
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???,kkab
均为常数
( Causal LTI Systems Described by Differential and
Difference Equations )
求解该微分方程，通常是求出 通解 和 一个特
解,则 。特解 是与输
入 同类型的函数，通解 是齐次方程的解，
即 的解。 欲求得齐次解，可根据齐
次方程建立一个特征方程,求出其特
征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形
式为：
()pyt
()hyt
( ) ( ) ( )phy t y t y t?? ()pyt
()xt ()hyt
0
() 0kN
k k
k
d y ta
dt? ??
0
0
N
k
k
k
a ?
?
??
1
( ),k
N
t
hk
k
y t C e ?
?
? ?
其中 是待定的常数。
kC
要确定系数,需要有一组条件，暂且称为 附加
条件 。仅仅从确定待定系数 的角度来看，这一组
附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给
出附加条件的时刻都可以是任意的。
当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足
系统零输入 — 零输出的特性。也就是系统在没有输
入，即 时,。此时，微分方程就蜕
变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐
次解必须为零，这就要求所有的 都为零。
kC
kC
( ) 0xt ?
kC
( ) 0yt ?
可以证明：当这组 零附加条件在信号加入的时刻
给出时,LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因
果的和时不 变的。
也就是要求确定待定系数所需的一组 附加条件的
值必须全部为零,因此,LCCDE具有一组零附加
条件时，才能描述线性系统。
在信号加入的时刻给出的零附加条件称为 零初始
条件 。
结论：
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述
一个 因果 的 LTI系统。这组条件是：
( 1 )( 0 ) 0,( 0 ) 0,,( 0 ) 0Ny y y ??? ? ?LL
如果一个因果的 LTI系统由 LCCDE描述，且方程
具有零初始条件，就称该系统 初始是静止的 或 最初
是松弛的。
如果 LCCDE具有一组 不全为零的初始条件,则可
以证明它所描述的系统是 增量线性的 。
二, 线性常系数差分方程,
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个 特
解 和通解，即齐次解 来进行，其过程与解
微分方程类似。
00
( ) ( )
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
()pyn ()hyn
要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组 附加
条件 。同样地,当 LCCDE具有一组全部为零的初始
条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的 。
对于差分方程，还可以将其改写为：
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n ka
??
??? ? ? ?
??????
()xn
( 1 ),( 2 ),,( )y y y N? ? ?LL
(0)y
可以看出：要求出,不仅要知道所有的,
还要知道,这就是一组 初始条
件,由此可以得出 。进一步，又可以通过
和 求得,依次类推可求出
所有 时的解。
(0)y (0)y
( 1 ),( 2 ),,( 1 )y y y N? ? ? ?LL (1)y
0n?
若将差分方程改写为：
1
00
1( ) ( ) ( )MN
kk
kkN
y n N b x n k a y n ka
?
??
??? ? ? ? ?
??????
则可由 求得,进而由
可求得,依次可推出
时的解。
由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为
递归方程 （ recursive equation）。
(1 ),( 2 ),,( )y y y N (0),y(0)y
(1 ),( 2 ),,( 1 )y y y N ?( 1)y ?
0n?
当 时，差分方程变为：
0,0kak??
0 0
( ) ( )
M
k
k
by n x n k
a????
此时,解方程不再需要迭代运算，因而称为 非递
归方程 （ nonrecursive equation）。 显然，此时方
程就是一个卷积和的形式，其中
此时，系统单位脉冲响应 是有限长的,因而
把这种方程描述的 LTI系统称为 FIR（ Finite
Impulse Response） 系统 。将递归方程描述的系统
称为 IIR（ Infinite Impulse Response） 系统,此时系
统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。
0
( ),0nbh n n Ma? ? ?
()hn
FIR系统与 IIR系统是离散时间 LTI系统中两类
很 重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法
都存在很大的差异。
由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有
与 输入信号相同的函数形式，即特解完全 是由输
入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应
称为 受迫响应 或 强迫响应 。齐次解所对应的部分
由于与输入信号无关，也称为系统的 自然响应 。
增量线性系统的响应分为 零状态响应 和 零输入
响应 。零输入响应由于与输入信号无关，因此它
属于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，
也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也
包含有一部分自然响应。
三,由微分和差分方程描述的 LTI系统的方框图表示
（ Block-Diagram Respresentation of the LTI
System described by LCCDE）
由 LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基
本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运
算关系，就会更加形象直观；另一方面,分析系统
很重要 的 目的是为了设计或实现一个系统,用图形
表示系统的数学模型,将对系统的特性仿真、硬件
或软件实现具有重要意义。
不同的结构也会在设计和实现一个系 统时带来不
同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难
度等方面都会有差异。
1,由差分方程描述的 LTI系统的方框图表示：
由 可看出：
方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位
（延迟） 。这些运算可用以下符号表示：
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n ka
??
??? ? ? ?
??????
a
?
a
b
ab? D()xn ( 1)xn?
若令,则
0
( ) ( )
M
k
k
w n b x n k
?
???
10
1( ) ( ) ( )N
k
k
y n w n a y n ka
?
??? ? ?
?????
D
D
D
?
?
?
?
()xn ()wn0b
1b
2b
1Mb ?
Mb
D
D
D
?
?
?
?
()wn ()yn01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
直接 Ⅰ 型
据此可得方框图：
0
( ) ( )
M
k
k
w n b x n k
?
???
将其级联起来,就成为 LCCDE描述的系统，它具
有与差分方程完全相同的运算功能。显然,它可以
看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序,
并将移位单元合并，于是得到：
直接 Ⅱ 型
D
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?
()xn ()yn0b
1b
2b
1Nb?
Nb
01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
2,由微分方程描述的 LTI系统的方框图表示：
由 看出它也包括三种基本
运算：微分、相加、乘系数。
但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对
误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分
器而不用微分器。
将微分方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积
分方程：
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
( ) ( )
00
( ) ( )
NN
k N k k N k
kk
a y t b x t??
??
???
1
( ) ( )
00
1( ) ( ) ( )NN
k N k k N k
kkN
y t b x t a y t
a
?
??
??
????
??????
()wt
()wt ()yt1/ Na
?
?
?
?
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()wtNb
1Nb?
2Nb?
1b
0b
?
?
? 直接 Ⅰ 型
对此积分方程完全按照差分方程的办法有,
?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()yt1/ Na
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
Nb
1Nb ?
2Nb ?
1b
0b
?
?
? 直接 Ⅱ 型
通过交换级联次序，合并积分器可得直接 Ⅱ 型：
（ Singularity function）
例如,以下信号的面积都等于 1，而且在
时，它们的极限都表现为单位冲激。
0??
2.5 奇异函数
在第一章中介绍单位冲激时，开始将 定义
为 显然是不严密的，因为 在
不连续。进而采用极限的观点，将 视为
在 时的极限。但这种定义或描述 的方法
在数学上仍然是不严格的，因为有许多不同的函
数在 时都表现为与 有相同的特性。
()() d u tt
dt? ?
()ut 0t?
()t? ()t??
0?? ()t?
0?? ()t??
()t?
0 ?
1
?
t
()t??
0 ? 2?
1
?
t
( ) ( ) ( )r t t t??? ? ???
0 2? 4?
1
?
t
( ) ( )r t r t???
0
1
?
t
? ?1 te u t? ??
0
1
?
?
t
sin t
t
?
?
?
之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化
的非常规函数，被称为 奇异函数 。通常采用在卷积
或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。
()t?
一, 通过卷积定义
()t?
从系统的角度,可以说 是一个恒等系统的
单位冲激响应,因此,—— 这就是
在卷积运算下 的定义。
()t?
( ) ( ) ( )x t x t t???
()t?
()t?
根据定义可以得出 的如下性质：
00
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t t x t
t t t t t t t t
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
⒈
⒉ 当 时，有( ) 1xt ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x t t x t d d? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???
( ) 1t d t???????
⒊ 由此定义可得：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t t g t d g t? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??
若,则有：0t? ( 0) ( ) ( )g g d? ? ? ??
??? ?
二, 通过积分定义 ()t?
积分表达式 也可以作为
在积分运算下的定义，这就是 分配函数 的定义方法。
( 0) ( ) ( )g g t t d t????? ? ()t?
此式即可作为在积分运算下 的定义式。()t?
据此定义又可以推出：
⒋ 若 是奇函数，则,因此 是偶函数,
即：
()gt (0) 0g ? ()t?
( ) ( )tt????
( ) ( )g x t????若令,代入积分定义式就有,
这就是卷积运算下的定义。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d x t t? ? ? ? ????? ? ? ??
()f t t? ( ) 0tt? ?
若,则可推出
12( ) ( )tf t tf t?
12( ) ( ) ( )f t f t C t???
因此，若有,则
( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )g f g t f t t d t f g t t d t????? ? ? ?????
( ) ( ) (0 ) ( )f t t f t????
⒌ 根据积分下的定义有：
三, 单位冲激偶及其他奇异函数
理想微分器的单位冲激响应应该是 的 微分，
记为,从卷积运算或 LTI系统分析的角
度应该有：
()t?
1 ( ) ( )
du t t
dt ??
1( ) ( ) ( )
dx t u t x t
dt??
0
t
(1)
( 1)?
1()ut
1()ut
称为 单位冲激偶
（ Unit doublet）
微分器()xt ()dx t
dt
⒈ 当 时，有：( ) 1xt ?
11( ) ( ) ( ) 0x t u d u d? ? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ???
1 ( ) 0u t dt
?
?????
⒉ 考察
当 时，有,此积分可
作为 在积分意义下的定义。
11( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
t
g t u t g t u d
dd
g t g
d t d ?
? ? ?
?
?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
0t? 1( 0 ) ( ) ( )g g u d? ? ??????? ?
1()ut
由此定义出发可以推出：
⒊ 若 是一个偶函数，则 。由此可推
得 是 奇函数,即：
11( ) ( )u t u t? ? ?
(0 ) 0g? ?
1()ut
()gt
⒋ 考察
? ?
? ?
? ?
1
0
0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )
t
t
d
g t f t u t d t f t g t
dt
f t g t f t g t
f g f g
f g t t d t f g t u t d t?
?
??
?
?
??
? ? ? ?
??
??? ? ?
??? ? ?
?? ? ?
?
??
11( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( )f t u t f u t f t??? ? ?
⒌ 若,进而有：
因此，若有,则
()f t t? 1 ( ) ( )tu t t???
2212( ) ( )t f t t f t?
2 1 ( ) 0t u t ?
1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t C t C u t?? ? ?
按此定义方法推广下去，有：
2 1 1( ) ( ) ( )u t u t u t??
2
2 2
11
()
( ) ( )
( ) ( ) ( )
d x t
x t u t
dt
x t u t u t
??
????
? ? ???
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )k
k
u t u t u t u t? ? ? ?
个
在积分运算下有：
()( ) ( ) ( 1 ) ( 0 )kk
kg t u t d t g
?
?? ???
例如, 2
1 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 0 )
g t u t d t
g t d u t g t u t g t u t d t
g t d t g t t g t t d t
g
? ? ?
?
??
??
?
??
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
?? ? ?
? ? ??? ? ? ? ?
???
?
??
??
四, 的积分
()t?
若用,则有：
01( ) ( ) ( ) ( )u t t u t u t? ???
1 ( ) ( ) ( )
tu t d u t? ? ?
? ?????
是 理想积分器的单位冲激响应。
1( ) ( ) ( )
tx t u t x d??
? ???? ?
1()ut?
因此：
2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tu t u t u t u t d t tu t
? ? ? ??? ? ? ??
称为单位斜坡函数（ Unit ramp function ）
()t?用类似方法也可以定义 的积分。
事实上,的各次积分已经是常规函数了，
当然可以按常规函数定义的方法去描述。
()t?
2
3 1 1 1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
u t u t u t u t t u t? ? ? ?? ? ? ?
1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
()
( 1 ) !
k
k
k
u t u t u t u t
t
ut
k
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
个
2.6 小结 （ Summary）
本章主要讨论了以下内容,
⒊ LTI系统的描述方法：
①用 描述系统（也可用 描述） ；
②用 LCCDE连同零初始条件描述 LTI系统；
( ) ( )h t h n,( ) ( )s t n、s
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k
x t x t d
?
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??
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?
⒈ 信号的时域分解,
⒉ LTI系统的时域分析 —— 卷积和与卷积积分
⒌ 奇异函数
③ 用方框图描述系统（等价于 LCCDE描述）。
( ) ( )h t h n、
? 系统级联、并联时,与各子系统
的关系。
( ) ( )h t h n、
()ht、
()hn
? 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与
的关系；
⒋ LTI系统的特性与 的关系：
