FOURIER SERIES
REPRESENTATION OF PERIODIC
SIGNALS
第 3章 周期信号的傅里叶级数表示
本章内容：
Ⅰ,周期信号的频域分析
Ⅱ,LTI系统的频域分析
Ⅲ,傅立叶级数的性质
3.0 引言 Introduction
? 时域分析方法的基础：
1) 信号在时域的分解。
2) LTI系统满足线性、时不变性。
2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
1.本身简单，且 LTI系统对它的响应能简便得到。
? 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满
足两个要求：
3.1历史的回顾 （ A Historical Perspective）
任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多
人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为
之献出了生命。 历史的经验告诉我们,要想在
科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。
今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲
折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人
反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分
析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
? 1768年生于法国
? 1807年提出“任何周
期信号都可以用正弦
函数的级数来表示”
? 拉格朗日反对发表
? 1822年首次发表“热
的分析理论”
? 1829年狄里赫利第一
个给出收敛条件
傅里叶生平
1768— 1830
傅里叶的两个最重要的贡献 ——
?, 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信
号的加权和” —— 傅里叶的第一个主要论点
?,非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来
表示” —— 傅里叶的第二个主要论点
由时域分析方法有，
()( ) ( ) ( ) ( )s t s t s s ty t e h d e h e d H s e??? ? ? ?????
? ? ? ?? ? ???
()( ) ( ) ( ) ( )n k n k n
kk
y n z h k z h k z H z z
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
The Response of LTI Systems to Complex
Exponentials
ste nz
()hn()htste ()yt nz ()yn
? 考查 LTI系统对复指数信号 和 的响应
可见 LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得
的。这说明 和 符合对单元信号的第一项要
求。
ste nz
特征函数 (Eigenfunction)
? 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘
以一个常数，则称该信号是这个系统的 特征函数 。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对
应的 特征值 。
结论：
? 只有复指数函数才能成为一切 LTI系统的特征
函 数。
?复指数函数, 是一切 LTI系统的特征函
数。, 分别是 LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ? ( ) ( ) n
k
H z h n z
?
?
? ? ?
? ?
ste nz
()Hs ()Hz
对时域的任何一个信号 或者,若能将
其表示为下列形式：
()xt ()xn
tststs eaeaeatx 321 321)( ???
利用系统的齐次性与叠加性
同理,
n
k
k
k Zanx ??)(
n
k
k
kk ZZHany ?? )()(
ts
k
kk kesHaty ?? )()(ts
k
k keatx ??)(
即：
*问题,究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
tststs esHaesHaesHatytx 321 )()()()()( 332211 ???? ??
所以有
111()s t s te H s e? 222()s t s te H s e?
333()s t s te H s e?
由于
Fourier Series Representation of Continuous-Time
Periodic Signals
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，
一, 连续时间傅里叶级数
0( ) { }jk tk te ???
0
2
k
?
?
0
2?
?
成谐波关系的复指数信号集,
，其中每个信号都是以
为周期的，它们的公共周期为,且该集合
中所有的信号都是彼此独立的。
0,1,2,k ? ? ?
例 1：
0( ) c o sx t t?? 0011
22
j t j tee?? ???
显然 也是以 为周期的。该级数就是 傅里
叶级数, 称 为傅立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即, 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数
谐波分量 。
0
2?
?()xt
ka
0( ),0,1,2j k t
k
k
x t a e k?
?
? ??
? ? ? ??
有
例 2：
00( ) c o s 2 c o s 3x t t t????
0 0 0 0331 []
2
j t j t j t j te e e e? ? ? ???? ? ? ?
显然该信号中，有两个谐波分量,为相应
分量的加权因子, 即傅立叶系数 。
1
1
2a? ?
在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1 ???k
时对应的谐波分量。
傅里叶级数表明,连续时间周期信号可以按傅立叶
级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。
二,频谱 （ Spectral） 的概念
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）
间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。
因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用
线段的位置表示相应的频率。
t
()k t?
信号集 中的每一个信号，除了成谐波关
系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，
差别仅仅是频率不同。
0?
1
?
分量 可表示为0jte ?
因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数
时, 就可以将 表示为
()xt
()xt0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ?
这样绘出的图
称为 频谱图
1212
?
0?0?? 0
0?0??
0a
1a
2a
3a3a?
2a?
1a?
?
gggg gggg
00
0
1c o s ( )
2
j t j tt e e??? ???
表示为
频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，
即 的关系。由于 信号的频谱完全代表了
信号,研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，
这种表示信号的方法称为 频域表示法 。
ka
~ka ?
三,傅里叶级数的其它形式
0 0 0 0
*
() j k t j k t j k t j k tk k k k
k k k k
x t a e a e a e a e? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
????? ? ? ?
kkaa
?
???
或 *
kkaa ??
若 是实信号,则有 )()( txtx ??,于是()xt
若令
kjkka A e ??,则 为实数。于是0a
00
0
1
[] kkjk t j jk t jkk
k
a A e e A e e? ? ? ??
?
?
?
?
? ? ??
0 0 0
1
( ) ( )
0
1
() k k kj jk t j k t j k tk k k
k k k
x t A e e a A e A e? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
* kkjj
k k k ka a A e A e
?? ??
??? ? ?Q
即,
kkAA?? kk?????
表明 的 模关于 偶对称, 幅角关于 奇对称 。
ka k k
00
0
1
( ) [ ]kkjk t j jk t jkk
k
x t a A e e A e e? ? ? ??
?
?
?
?
? ? ? ??
00
1
2 c o s ( )kk
k
a A k t??
?
?
? ? ??
—— 傅里叶级数的三角函数表示式
k k ka B jC??
若令 则
00
1
0
1
( ) ( ) ( )jk t jk tk k k k
kk
x t a B j C e B j C e??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ???
00
0
1
( ) ( )jk t jk tk k k k
k
a B j C e B j C e??
?
?
??
?
??? ? ? ? ????
*kkaa ??Q k k k kB jC B jC??? ? ? ?
因此
kkBB?? kkCC???
即 的 实部关于 偶对称, 虚部关于 奇对称 。
ka
kk
00
0
1
( ) ( ) ( )jk t jk tk k k k
k
x t a B jC e B jC e??
?
?
?
??? ? ? ? ????
? ?0 0 0
1
2 c os si nkk
k
a B k t C k t??
?
?
? ? ??
—— 傅里叶级数的另一种三角函数形式
将此关系代入，可得到
四,连续时间傅里叶级数系数的确定
00 ()() j n t j k n t
k
k
x t e a e??
?
??
? ??
? ?
对两边同时在一个周期内积分，有
00 00 ()()TT jn t j k n t
k
k
x t e dt a e dt??
?
??
? ? ?
? ???
0( ),jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ? 0 0
2
T
?? ?
()xt
则有
如果周期信号 可以表示为傅里叶级数
0 0 00()
000 0 0c o s( ) sin ( )
T T Tj k n te d t k n td t j k n td t? ??? ? ? ? ?? ? ?
0 0
00 ()
T jn t
nx t e d t a T
????? 0 0
0
0
1 ()T jn t
na x t e dtT
??? ?即
? 00,,T?
kn?
kn?
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，
对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为
0
00
1 () jk t
k Ta x t e dtT
??? ?
0
0
0
1 ()
T
a x t d tT? ?
是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a
五,周期性矩形脉冲信号的频谱
1 00 1
11
01
0 0 0 0 0
2 si n11T jk t jk t T
kTT
kTa e d t e
T j k T k T
?? ?
??
??
??? ? ? ??
1 0 1 1 1 1
01
0 0 1 0 0 0
2 sin 2 2 2S a ( ) sinc ( )T k T T T Tk T k
T k T T T T
? ?
?? ? ?
sinS a ( ) xx
x?
s ins in c ( ) xx
x
?
??
其中
1
0T0T?
t
()xt
???? ????
根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比
ka ()xt 1
0
2T
T
0 ?
??
()Sa x1
?
x
0
1
2
1?
sin ( )cx
1
x
1
1
0
21
2
T
T ?
1
0
21
4
T
T ?
1
0
21
8
T
T ?
不变 时
0T 1T?
1
0
21
2
T
T ?
1
0
21
4
T
T ?
1
0
21
8
T
T ?
1T
不变 时
0T ?
周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
1,离散性 2,谐波性 3,收敛性
考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：
0T 12T
1,当 不变，改变 时，随 使占空比减小,谱
线间隔变小，幅度下降 。但 频谱包络的形状不变,
包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
2,当 改变,不变时，随 使占空比减小,谱
线间隔不变，幅度下降 。 频谱的包络改变, 包络
主瓣变宽 。主瓣内包含的谐波数量也增加。
1T
1T?0T
0T?
1T
0T
当 时，有( ) ( )x t x t??
00
0
0
22
00
200
12 ( ) ( ) c o sTT j k t
Tka x t e d t x t k t d tTT
? ??
?????
当 时，有( ) ( )x t x t? ? ?
00
0
0
22
00
200
12 ( ) ( ) s i nTT j k t
Tka x t e d t j x t k t d tTT
? ??
?? ? ???
表明,奇信号的 是关于 的奇函数、虚函数。
ka k
表明,偶信号的 是关于 的偶函数、实函数。
ka k
信号对称性与频谱的关系：
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性
问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里
叶级数。
一, 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 以 为周期
0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ? 0
0
2
T
?? ?()xt
0T
用有限个谐波分量近似 时，有()xt
0()
N
jk t
Nk
kN
x t a e ?
??
? ?
Convergence of the Fourier series
误差为 ( ) ( ) ( )
NNe t x t x t??
以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为
00
22
00
11( ) ( ) ( ) ( )
N N NTTE t e t dt x t x t dtTT? ? ???
00
0
*
0
1 ( ) ( )NN j k t j k t
kkT
k N k N
x t a e x t a e d tT ??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ????
于是：
0
2 2
00
12) ( ) c o s( )NN
N k k k k kT
k N k N
E t x t dt A A BTT ??
? ? ? ?
? ? ? ????（
结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数 是对
周期信号的最佳近似。
在均方误差最小的准则下，可以证明，此时
应满足：
ka
0
00
1 () jk t
k Ta x t e dtT
??? ?
这就是傅氏级数的系数
其中
kjkka A e ??
0
0
( ),kj k t jkT x t e dt B e??? ?? 0
0
() kj k t jkT x t e d t B e?? ?? ??
二, 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义,
① 是否存在?
② 级数是否收敛于?
()xt
ka
两组条件：
1.平方可积条件：
如果 则 必存在。
在一个周期内能量有限,一定存在。
ka?
0
2()
T x t d t ??? k
a
()xtQ
2,Dirichlet条件：
①,在任何周期内信号绝对可积。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
0
()T x t d t ???
0
0000
11 ( ) ( )jk t
k TTa x t e dt x t dtTT
??? ? ? ???
因此，信号绝对可积就保证了 的存在。
ka
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数
收敛的 充分条件 。相当广泛的信号都能满足这两组
条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具
有相当的普遍适用性 。
几个不满足 Dirichlet条件的信号
三,Gibbs现象
满足 Dirichlet 条件 的信号，其傅里叶级数是如
何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间
断点附近，如何收敛于?
()xt ()xt
()xt
1N? 3N?
7N? 19N ?
100N ?
用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，
在间断点附近不可避免的 会 出现振荡和超量。超
量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随
着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压
缩，从而使它所占有的能量减少 。
Gibbs现象表明：
Properties of Continuous-Time Fourier Series
3.5 连续时间傅里叶级数的性质
学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进
行级数展开。
一, 线性：
若 和 都是以 为周期的信号，且
() F kx t a? ?? () F ky t b? ??
()xt ()yt T
则 ( ) ( ) F
kkAx t By t Aa Bb? ? ?? ?
二,时移,
三,反转,
000() j k tF kx t t a e ??? ? ??() F
kx t a? ??
若 是以 为周期的信号，且()xt T
则
0
2
T
?? ?
若 是以 为周期的信号，且()xt T
() F kx t a? ?? 则 () F kx t a ?? ? ??
四,尺度变换, 若 是以 为周期的信号，且()xt T
() F kx t a? ?? 则 以 为周期，于是()x at /Ta
0
/
( ) ( ) j k a tF k
Ta
ax a t b x a t e d t
T
??? ?? ? ?
令,当 在 变化时,从 变化，at ?? t 0 ~ /Ta ? 0~T
于是有：
01 () jk
kkTb x e d aT
????????
() F kkx at b a? ? ?? ?
五, 相乘, 若 和 都是以 为周期的信号，且
() F kx t a? ?? () F ky t b? ??
()xt ()yt T
则
01( ) ( ) ( ) ( ) j k tF
k Tx t y t C x t y t e d tT
??? ?? ? ?g
001 ()jl t jk t
kl T
l
C a e y t e d tT ??
?
?
? ? ?
? ?? g
也即
0()1 () j k l t
k l l k lT
ll
C a y t e dt a bT ?
??
??
?
? ? ? ? ? ?
?????
( ) ( ) F l k l k k
l
x t y t a b a b
?
?
? ??
? ? ?? ? ??
六,共轭对称性,
若 是以 为周期的信号，且()xt T () F
kx t a? ??
则 ?
?? ? ?? katx )(
由此可推得,对实信号有, 或
kkaa??? kkaa
? ??
kjkka A e ??
时有：
k k k kAA ????? ? ?
当
七,Parseval 定理：
??
??
???
?
k
k
T
adttx
T
22)(1
表明,一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波
分量的平均功率之和,
* 掌握表 3.1
对实信号,当 时，( ) ( )x t x t??
kkaa??
（实偶函数）
当 时，( ) ( )x t x t? ? ?
kkaa ???
（虚奇函数）
k k ka B jC??
时有：
k k k kB B C C??? ? ?
当
例 1,???
???
??
k
kTttx )()( ?
-T
1
tT0
)(tx
… …
0
/2
/2
11()T j k t
k Ta t e d tTT
?? ?
????
01() jk t
k
x t eT ?
?
? ? ?
?? ? 0
2
T
?? ?
)(tg1
0
… …
1T? 1T?
-T
．,
T t例 2：周期性矩形脉冲
)()()( 11' TtxTtxtg ????
将其微分后，可利用例 1表示为
设 ( ) ( )FF
kkg t c g t b?? ?? ? ??
由时域微分性质有
0kkb jk c??
根据时移特性，有
0 1 0 1 012 s i nj k T j k Tk k kb a e e j a k T?? ????? ? ???
由例 1知 1/
kaT? 0
2/T???
0 1 0 11
0 0 0 1
2 si n si n2k
k
b k T k TTc
j k k T T k T
??
? ? ?? ? ? ?
()gt?1
t0
… …
1T?
1T? 1TT?
1TT??
Fourier Series Representation of Discrete-Time
Periodic Signals
一,离散时间傅里叶级数 （ DFS）
Discrete-Time Fourier Series
考察成谐波关系的复指数信号集,
该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中
只有 个信号是彼此独立的。
2
( ) { }j k nNk ne
?
??
N
N
3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示
这个级数就称为 离散时间傅里叶级数（ DFS）,
其中 也称为周期信号 的频谱。
ka
()xn
二, 傅里叶级数系数的确定
给 两边同乘以,得：2
() j knNk
kN
x n a e
?
? ? ?
? ?
2j rn
Ne
??
将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表
示一个以 为周期的序列。即：
2
() j knNk
kN
x n a e
?
? ? ?
? ? 其中 为 个相连的整数
N
N
Nk
22 ()
()
j rn j k r n
NN
k
kN
x n e a e
????
?? ?
? ?
2 2 2( ) ( )
() j rn j k r n j k r nN N Nkk
n N n N k N k N n N
x n e a e a e
? ? ?? ? ?
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
??? ? ? ? ?
2
() j rnN r
nN
x n e N a
??
?? ?
???
?
22 ( ) 21( ) ( )
0,
,2
()0
1
1
j k rNj k r n j k r n
NN
N
j k rn N n
N
eee
e
?? ?
?
?????
?? ? ? ?
?? ? ?
?
??
而
kr?
kr?
显然 仍是以 为周期的，对两边求和2() j rnNx n e ?? N
21
() j rnNr
nN
a x n eN
??
?? ?
? ?
21
() j k nNk
nN
a x n eN
??
?? ?
? ?
即
或
对实信号同样有,
kkaa
?
??
kkaa ?? kkaa ???RR
? ? ? ?R e R ekkaa ?? ? ? ? ?I m I mkkaa ???
显然上式满足,即 也是以 为周
期的，或者说 中只有 个是独立的 。
k N kaa? ? ka
ka N
N
三,周期性方波序列的频谱
11
2 1 2 1
( ) ( )
22
1
j k j k N j k N
N N N
j k j k j k
N N N
e e e
N
e e e
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
??
???
??
?
??
???
??
2
1 1
1
1
2
( 1 )2
2
11
1
j k N
N j N kN N
j k n
N
k
jknN
N
ee
ae
NN
e
? ?
?
?
??
?
???
?
??
?
?
显然 的包络具有 的形状。
ka sin
sin
x
x
?
121
k
Na
N
?? k rN? 时
1s i n ( 2 1 )1
s i n
kN
N
N k
N
?
?
?
? 0,,2,k N N? ? ? ???
k
k
k
1 2
20
N
N
?
?
1 1
10
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
周期性方波序列的频谱
? 当 不变,时，频谱的 包络形状不变,
只是 幅度减小，谱线间隔变小 。
? 当 改变,不变时，由于 的包络具有
的形状，而, 可知其包络
形状一定 发生变化。当 时，包络的第一个
零点会远离 原点从而使 频谱主瓣变宽 。这一点
也与连续时间周期矩形 脉冲的情况类似。
1N
1N N
N?
ka
sin
sin
x
x
?
121N? ??
1N ?
三, DFS的收敛
DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系
式也是有限项的和式，因而 不存在收敛问题,也
不会产生 Gibbs现象 。
ka
周期序列的频谱也具有 离散性、谐波性,当在
区间 考查时,也 具有 收敛性 。不同的是，
离散时间周期信号的频谱具有 周期性 。
~???
1,相乘
2,差分
周期卷积
Properties of Discrete-Time Fourier Series
3.7 DFS的性质
DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。
() D F S kx n a? ??? () D F S ky n b? ???
( ) ( ) DFS k l k l
lN
x n y n c a b ?
?? ?
? ??? ? ?
() D F S kx n a? ???
00( ) ( ) ( 1 )jnDFS kx n x n n e a??? ? ? ??? ?
3,时域内插
()mxn ? ?
( / )x n m
0
n rm?
n rm?
若 以 N为周期，()xn
则 以 mN为周期。()
mxn () Fmkx n h? ??
令
21
() j k nmNkm
n m N
h x n emN
??
?? ?
? ?
令,则有n rm?
时0~n m N? 0~rN?
221 1 1
( ) ( )j k rm j k rmN Nkk
r N r N
h x r e x r e amN mN m
????
?? ? ?? ?
? ? ???
4,Paseval定理
左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是
信号的各次谐波的总功率。
这表明,一个周期信号的平均功率等于它的所
有谐波分量的功率之和。 也表明,周期信号的功
率既可以由时域求得，也可以由频域求得。
221 | ( ) | | |
k
n N k N
x n aN
? ? ? ? ? ?
???
() D F S kx n a? ???
3.8 傅里叶级数与 LTI系统
Fourier Series and LTI Systems
LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信
号加权了一个相应的特征值。
( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?
对连续时间系统
对离散时间系统
( ) ( ) n
n
H z h n z
?
?
? ? ?
? ?
,被 称 为系统的 系统函数 。()Hs ()Hz
如果 sj?? 则
( ) ( ) jtH j h t e dt?? ? ???? ?
()Hj? 被称为连续时间 LTI系统的 频率响应
如果 jze?? 则
( ) ( )j j n
n
H e h n e??
?
?
? ??
? ?
()jHe? 称为离散时间 LTI系统的 频率响应
()jHe? 对 而言，是以 为周期的。? 2?
如果一个 LTI系统 输入周期性信号 或()xt ()xn
0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ? 0
2
T
?? ?
0
0( ) ( )
j k t
k
k
y t a H j k e ??
?
? ??
? ?
22
( ) ( )j k j k nNNk
kN
y n a H e e
??
?? ?
? ?
则
2
() j k nNk
kN
x n a e
?
?? ?
? ?
* 可见,LTI系统对周期信号的响应仍是一个周
期信号,LTI系统的作用是对各个谐波频率的信
号分量进行不同的加权处理。
][
2
1)( 22 nNjnNj eenx ?? ???
例,某离散时间 LTI系统，
输入为,求输出 。
11),()( ???? ?? nunh n
)2c o s ()( nNnx ?? ()yn
22
( ) ( )
j k j k n
NN
n
H e h n e
???? ?
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2
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j k nn
N
n
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?
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1
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jk
Ne
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?
2
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11 ?? ?aa
即：
2
1
()
j k n
N
k
k
y n b e
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?? ?
2
()jkNkkb a H e
?
?由
1 2
1 / 2
1
j
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1 / 2
1 j N
b
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得
2
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1()
1
j
N
j
N
He
e
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2
2
1()
1
j
N
j
N
He
e
?
?
?
?
?
?
3.9 滤波 Filtering
本节移至第 6章讲授。
3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例
本节移至第 6章讲授相关内容时由学生自学。
3.11用差分方程描述的离散时间滤波器举例
本节移至第 6章讲授相关内容时由学生自学。
3.12 小结 Summary
本章主要讨论了：
? 复指数函数是一切 LTI系统的特征函数。
? 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，
实现了对周期信号的频域分解。
? 以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了
连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱
特点及信号参量改变对频谱的影响。
? 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级
数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法
完全类似，又研究了它们之间的重大区别。
? 在对信号分析的基础上，研究了 LTI系统的频
率响应及 LTI系统对周期信号的响应。
REPRESENTATION OF PERIODIC
SIGNALS
第 3章 周期信号的傅里叶级数表示
本章内容：
Ⅰ,周期信号的频域分析
Ⅱ,LTI系统的频域分析
Ⅲ,傅立叶级数的性质
3.0 引言 Introduction
? 时域分析方法的基础：
1) 信号在时域的分解。
2) LTI系统满足线性、时不变性。
2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
1.本身简单，且 LTI系统对它的响应能简便得到。
? 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满
足两个要求：
3.1历史的回顾 （ A Historical Perspective）
任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多
人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为
之献出了生命。 历史的经验告诉我们,要想在
科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。
今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲
折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人
反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分
析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
? 1768年生于法国
? 1807年提出“任何周
期信号都可以用正弦
函数的级数来表示”
? 拉格朗日反对发表
? 1822年首次发表“热
的分析理论”
? 1829年狄里赫利第一
个给出收敛条件
傅里叶生平
1768— 1830
傅里叶的两个最重要的贡献 ——
?, 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信
号的加权和” —— 傅里叶的第一个主要论点
?,非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来
表示” —— 傅里叶的第二个主要论点
由时域分析方法有，
()( ) ( ) ( ) ( )s t s t s s ty t e h d e h e d H s e??? ? ? ?????
? ? ? ?? ? ???
()( ) ( ) ( ) ( )n k n k n
kk
y n z h k z h k z H z z
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
The Response of LTI Systems to Complex
Exponentials
ste nz
()hn()htste ()yt nz ()yn
? 考查 LTI系统对复指数信号 和 的响应
可见 LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得
的。这说明 和 符合对单元信号的第一项要
求。
ste nz
特征函数 (Eigenfunction)
? 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘
以一个常数，则称该信号是这个系统的 特征函数 。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对
应的 特征值 。
结论：
? 只有复指数函数才能成为一切 LTI系统的特征
函 数。
?复指数函数, 是一切 LTI系统的特征函
数。, 分别是 LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ? ( ) ( ) n
k
H z h n z
?
?
? ? ?
? ?
ste nz
()Hs ()Hz
对时域的任何一个信号 或者,若能将
其表示为下列形式：
()xt ()xn
tststs eaeaeatx 321 321)( ???
利用系统的齐次性与叠加性
同理,
n
k
k
k Zanx ??)(
n
k
k
kk ZZHany ?? )()(
ts
k
kk kesHaty ?? )()(ts
k
k keatx ??)(
即：
*问题,究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
tststs esHaesHaesHatytx 321 )()()()()( 332211 ???? ??
所以有
111()s t s te H s e? 222()s t s te H s e?
333()s t s te H s e?
由于
Fourier Series Representation of Continuous-Time
Periodic Signals
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，
一, 连续时间傅里叶级数
0( ) { }jk tk te ???
0
2
k
?
?
0
2?
?
成谐波关系的复指数信号集,
，其中每个信号都是以
为周期的，它们的公共周期为,且该集合
中所有的信号都是彼此独立的。
0,1,2,k ? ? ?
例 1：
0( ) c o sx t t?? 0011
22
j t j tee?? ???
显然 也是以 为周期的。该级数就是 傅里
叶级数, 称 为傅立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即, 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数
谐波分量 。
0
2?
?()xt
ka
0( ),0,1,2j k t
k
k
x t a e k?
?
? ??
? ? ? ??
有
例 2：
00( ) c o s 2 c o s 3x t t t????
0 0 0 0331 []
2
j t j t j t j te e e e? ? ? ???? ? ? ?
显然该信号中，有两个谐波分量,为相应
分量的加权因子, 即傅立叶系数 。
1
1
2a? ?
在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1 ???k
时对应的谐波分量。
傅里叶级数表明,连续时间周期信号可以按傅立叶
级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。
二,频谱 （ Spectral） 的概念
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）
间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。
因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用
线段的位置表示相应的频率。
t
()k t?
信号集 中的每一个信号，除了成谐波关
系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，
差别仅仅是频率不同。
0?
1
?
分量 可表示为0jte ?
因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数
时, 就可以将 表示为
()xt
()xt0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ?
这样绘出的图
称为 频谱图
1212
?
0?0?? 0
0?0??
0a
1a
2a
3a3a?
2a?
1a?
?
gggg gggg
00
0
1c o s ( )
2
j t j tt e e??? ???
表示为
频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，
即 的关系。由于 信号的频谱完全代表了
信号,研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，
这种表示信号的方法称为 频域表示法 。
ka
~ka ?
三,傅里叶级数的其它形式
0 0 0 0
*
() j k t j k t j k t j k tk k k k
k k k k
x t a e a e a e a e? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
????? ? ? ?
kkaa
?
???
或 *
kkaa ??
若 是实信号,则有 )()( txtx ??,于是()xt
若令
kjkka A e ??,则 为实数。于是0a
00
0
1
[] kkjk t j jk t jkk
k
a A e e A e e? ? ? ??
?
?
?
?
? ? ??
0 0 0
1
( ) ( )
0
1
() k k kj jk t j k t j k tk k k
k k k
x t A e e a A e A e? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
* kkjj
k k k ka a A e A e
?? ??
??? ? ?Q
即,
kkAA?? kk?????
表明 的 模关于 偶对称, 幅角关于 奇对称 。
ka k k
00
0
1
( ) [ ]kkjk t j jk t jkk
k
x t a A e e A e e? ? ? ??
?
?
?
?
? ? ? ??
00
1
2 c o s ( )kk
k
a A k t??
?
?
? ? ??
—— 傅里叶级数的三角函数表示式
k k ka B jC??
若令 则
00
1
0
1
( ) ( ) ( )jk t jk tk k k k
kk
x t a B j C e B j C e??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ???
00
0
1
( ) ( )jk t jk tk k k k
k
a B j C e B j C e??
?
?
??
?
??? ? ? ? ????
*kkaa ??Q k k k kB jC B jC??? ? ? ?
因此
kkBB?? kkCC???
即 的 实部关于 偶对称, 虚部关于 奇对称 。
ka
kk
00
0
1
( ) ( ) ( )jk t jk tk k k k
k
x t a B jC e B jC e??
?
?
?
??? ? ? ? ????
? ?0 0 0
1
2 c os si nkk
k
a B k t C k t??
?
?
? ? ??
—— 傅里叶级数的另一种三角函数形式
将此关系代入，可得到
四,连续时间傅里叶级数系数的确定
00 ()() j n t j k n t
k
k
x t e a e??
?
??
? ??
? ?
对两边同时在一个周期内积分，有
00 00 ()()TT jn t j k n t
k
k
x t e dt a e dt??
?
??
? ? ?
? ???
0( ),jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ? 0 0
2
T
?? ?
()xt
则有
如果周期信号 可以表示为傅里叶级数
0 0 00()
000 0 0c o s( ) sin ( )
T T Tj k n te d t k n td t j k n td t? ??? ? ? ? ?? ? ?
0 0
00 ()
T jn t
nx t e d t a T
????? 0 0
0
0
1 ()T jn t
na x t e dtT
??? ?即
? 00,,T?
kn?
kn?
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，
对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为
0
00
1 () jk t
k Ta x t e dtT
??? ?
0
0
0
1 ()
T
a x t d tT? ?
是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a
五,周期性矩形脉冲信号的频谱
1 00 1
11
01
0 0 0 0 0
2 si n11T jk t jk t T
kTT
kTa e d t e
T j k T k T
?? ?
??
??
??? ? ? ??
1 0 1 1 1 1
01
0 0 1 0 0 0
2 sin 2 2 2S a ( ) sinc ( )T k T T T Tk T k
T k T T T T
? ?
?? ? ?
sinS a ( ) xx
x?
s ins in c ( ) xx
x
?
??
其中
1
0T0T?
t
()xt
???? ????
根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比
ka ()xt 1
0
2T
T
0 ?
??
()Sa x1
?
x
0
1
2
1?
sin ( )cx
1
x
1
1
0
21
2
T
T ?
1
0
21
4
T
T ?
1
0
21
8
T
T ?
不变 时
0T 1T?
1
0
21
2
T
T ?
1
0
21
4
T
T ?
1
0
21
8
T
T ?
1T
不变 时
0T ?
周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
1,离散性 2,谐波性 3,收敛性
考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：
0T 12T
1,当 不变，改变 时，随 使占空比减小,谱
线间隔变小，幅度下降 。但 频谱包络的形状不变,
包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
2,当 改变,不变时，随 使占空比减小,谱
线间隔不变，幅度下降 。 频谱的包络改变, 包络
主瓣变宽 。主瓣内包含的谐波数量也增加。
1T
1T?0T
0T?
1T
0T
当 时，有( ) ( )x t x t??
00
0
0
22
00
200
12 ( ) ( ) c o sTT j k t
Tka x t e d t x t k t d tTT
? ??
?????
当 时，有( ) ( )x t x t? ? ?
00
0
0
22
00
200
12 ( ) ( ) s i nTT j k t
Tka x t e d t j x t k t d tTT
? ??
?? ? ???
表明,奇信号的 是关于 的奇函数、虚函数。
ka k
表明,偶信号的 是关于 的偶函数、实函数。
ka k
信号对称性与频谱的关系：
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性
问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里
叶级数。
一, 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 以 为周期
0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ? 0
0
2
T
?? ?()xt
0T
用有限个谐波分量近似 时，有()xt
0()
N
jk t
Nk
kN
x t a e ?
??
? ?
Convergence of the Fourier series
误差为 ( ) ( ) ( )
NNe t x t x t??
以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为
00
22
00
11( ) ( ) ( ) ( )
N N NTTE t e t dt x t x t dtTT? ? ???
00
0
*
0
1 ( ) ( )NN j k t j k t
kkT
k N k N
x t a e x t a e d tT ??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ????
于是：
0
2 2
00
12) ( ) c o s( )NN
N k k k k kT
k N k N
E t x t dt A A BTT ??
? ? ? ?
? ? ? ????（
结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数 是对
周期信号的最佳近似。
在均方误差最小的准则下，可以证明，此时
应满足：
ka
0
00
1 () jk t
k Ta x t e dtT
??? ?
这就是傅氏级数的系数
其中
kjkka A e ??
0
0
( ),kj k t jkT x t e dt B e??? ?? 0
0
() kj k t jkT x t e d t B e?? ?? ??
二, 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义,
① 是否存在?
② 级数是否收敛于?
()xt
ka
两组条件：
1.平方可积条件：
如果 则 必存在。
在一个周期内能量有限,一定存在。
ka?
0
2()
T x t d t ??? k
a
()xtQ
2,Dirichlet条件：
①,在任何周期内信号绝对可积。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
0
()T x t d t ???
0
0000
11 ( ) ( )jk t
k TTa x t e dt x t dtTT
??? ? ? ???
因此，信号绝对可积就保证了 的存在。
ka
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数
收敛的 充分条件 。相当广泛的信号都能满足这两组
条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具
有相当的普遍适用性 。
几个不满足 Dirichlet条件的信号
三,Gibbs现象
满足 Dirichlet 条件 的信号，其傅里叶级数是如
何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间
断点附近，如何收敛于?
()xt ()xt
()xt
1N? 3N?
7N? 19N ?
100N ?
用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，
在间断点附近不可避免的 会 出现振荡和超量。超
量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随
着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压
缩，从而使它所占有的能量减少 。
Gibbs现象表明：
Properties of Continuous-Time Fourier Series
3.5 连续时间傅里叶级数的性质
学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进
行级数展开。
一, 线性：
若 和 都是以 为周期的信号，且
() F kx t a? ?? () F ky t b? ??
()xt ()yt T
则 ( ) ( ) F
kkAx t By t Aa Bb? ? ?? ?
二,时移,
三,反转,
000() j k tF kx t t a e ??? ? ??() F
kx t a? ??
若 是以 为周期的信号，且()xt T
则
0
2
T
?? ?
若 是以 为周期的信号，且()xt T
() F kx t a? ?? 则 () F kx t a ?? ? ??
四,尺度变换, 若 是以 为周期的信号，且()xt T
() F kx t a? ?? 则 以 为周期，于是()x at /Ta
0
/
( ) ( ) j k a tF k
Ta
ax a t b x a t e d t
T
??? ?? ? ?
令,当 在 变化时,从 变化，at ?? t 0 ~ /Ta ? 0~T
于是有：
01 () jk
kkTb x e d aT
????????
() F kkx at b a? ? ?? ?
五, 相乘, 若 和 都是以 为周期的信号，且
() F kx t a? ?? () F ky t b? ??
()xt ()yt T
则
01( ) ( ) ( ) ( ) j k tF
k Tx t y t C x t y t e d tT
??? ?? ? ?g
001 ()jl t jk t
kl T
l
C a e y t e d tT ??
?
?
? ? ?
? ?? g
也即
0()1 () j k l t
k l l k lT
ll
C a y t e dt a bT ?
??
??
?
? ? ? ? ? ?
?????
( ) ( ) F l k l k k
l
x t y t a b a b
?
?
? ??
? ? ?? ? ??
六,共轭对称性,
若 是以 为周期的信号，且()xt T () F
kx t a? ??
则 ?
?? ? ?? katx )(
由此可推得,对实信号有, 或
kkaa??? kkaa
? ??
kjkka A e ??
时有：
k k k kAA ????? ? ?
当
七,Parseval 定理：
??
??
???
?
k
k
T
adttx
T
22)(1
表明,一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波
分量的平均功率之和,
* 掌握表 3.1
对实信号,当 时，( ) ( )x t x t??
kkaa??
（实偶函数）
当 时，( ) ( )x t x t? ? ?
kkaa ???
（虚奇函数）
k k ka B jC??
时有：
k k k kB B C C??? ? ?
当
例 1,???
???
??
k
kTttx )()( ?
-T
1
tT0
)(tx
… …
0
/2
/2
11()T j k t
k Ta t e d tTT
?? ?
????
01() jk t
k
x t eT ?
?
? ? ?
?? ? 0
2
T
?? ?
)(tg1
0
… …
1T? 1T?
-T
．,
T t例 2：周期性矩形脉冲
)()()( 11' TtxTtxtg ????
将其微分后，可利用例 1表示为
设 ( ) ( )FF
kkg t c g t b?? ?? ? ??
由时域微分性质有
0kkb jk c??
根据时移特性，有
0 1 0 1 012 s i nj k T j k Tk k kb a e e j a k T?? ????? ? ???
由例 1知 1/
kaT? 0
2/T???
0 1 0 11
0 0 0 1
2 si n si n2k
k
b k T k TTc
j k k T T k T
??
? ? ?? ? ? ?
()gt?1
t0
… …
1T?
1T? 1TT?
1TT??
Fourier Series Representation of Discrete-Time
Periodic Signals
一,离散时间傅里叶级数 （ DFS）
Discrete-Time Fourier Series
考察成谐波关系的复指数信号集,
该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中
只有 个信号是彼此独立的。
2
( ) { }j k nNk ne
?
??
N
N
3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示
这个级数就称为 离散时间傅里叶级数（ DFS）,
其中 也称为周期信号 的频谱。
ka
()xn
二, 傅里叶级数系数的确定
给 两边同乘以,得：2
() j knNk
kN
x n a e
?
? ? ?
? ?
2j rn
Ne
??
将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表
示一个以 为周期的序列。即：
2
() j knNk
kN
x n a e
?
? ? ?
? ? 其中 为 个相连的整数
N
N
Nk
22 ()
()
j rn j k r n
NN
k
kN
x n e a e
????
?? ?
? ?
2 2 2( ) ( )
() j rn j k r n j k r nN N Nkk
n N n N k N k N n N
x n e a e a e
? ? ?? ? ?
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
??? ? ? ? ?
2
() j rnN r
nN
x n e N a
??
?? ?
???
?
22 ( ) 21( ) ( )
0,
,2
()0
1
1
j k rNj k r n j k r n
NN
N
j k rn N n
N
eee
e
?? ?
?
?????
?? ? ? ?
?? ? ?
?
??
而
kr?
kr?
显然 仍是以 为周期的，对两边求和2() j rnNx n e ?? N
21
() j rnNr
nN
a x n eN
??
?? ?
? ?
21
() j k nNk
nN
a x n eN
??
?? ?
? ?
即
或
对实信号同样有,
kkaa
?
??
kkaa ?? kkaa ???RR
? ? ? ?R e R ekkaa ?? ? ? ? ?I m I mkkaa ???
显然上式满足,即 也是以 为周
期的，或者说 中只有 个是独立的 。
k N kaa? ? ka
ka N
N
三,周期性方波序列的频谱
11
2 1 2 1
( ) ( )
22
1
j k j k N j k N
N N N
j k j k j k
N N N
e e e
N
e e e
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
??
???
??
?
??
???
??
2
1 1
1
1
2
( 1 )2
2
11
1
j k N
N j N kN N
j k n
N
k
jknN
N
ee
ae
NN
e
? ?
?
?
??
?
???
?
??
?
?
显然 的包络具有 的形状。
ka sin
sin
x
x
?
121
k
Na
N
?? k rN? 时
1s i n ( 2 1 )1
s i n
kN
N
N k
N
?
?
?
? 0,,2,k N N? ? ? ???
k
k
k
1 2
20
N
N
?
?
1 1
10
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
周期性方波序列的频谱
? 当 不变,时，频谱的 包络形状不变,
只是 幅度减小，谱线间隔变小 。
? 当 改变,不变时，由于 的包络具有
的形状，而, 可知其包络
形状一定 发生变化。当 时，包络的第一个
零点会远离 原点从而使 频谱主瓣变宽 。这一点
也与连续时间周期矩形 脉冲的情况类似。
1N
1N N
N?
ka
sin
sin
x
x
?
121N? ??
1N ?
三, DFS的收敛
DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系
式也是有限项的和式，因而 不存在收敛问题,也
不会产生 Gibbs现象 。
ka
周期序列的频谱也具有 离散性、谐波性,当在
区间 考查时,也 具有 收敛性 。不同的是，
离散时间周期信号的频谱具有 周期性 。
~???
1,相乘
2,差分
周期卷积
Properties of Discrete-Time Fourier Series
3.7 DFS的性质
DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。
() D F S kx n a? ??? () D F S ky n b? ???
( ) ( ) DFS k l k l
lN
x n y n c a b ?
?? ?
? ??? ? ?
() D F S kx n a? ???
00( ) ( ) ( 1 )jnDFS kx n x n n e a??? ? ? ??? ?
3,时域内插
()mxn ? ?
( / )x n m
0
n rm?
n rm?
若 以 N为周期，()xn
则 以 mN为周期。()
mxn () Fmkx n h? ??
令
21
() j k nmNkm
n m N
h x n emN
??
?? ?
? ?
令,则有n rm?
时0~n m N? 0~rN?
221 1 1
( ) ( )j k rm j k rmN Nkk
r N r N
h x r e x r e amN mN m
????
?? ? ?? ?
? ? ???
4,Paseval定理
左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是
信号的各次谐波的总功率。
这表明,一个周期信号的平均功率等于它的所
有谐波分量的功率之和。 也表明,周期信号的功
率既可以由时域求得，也可以由频域求得。
221 | ( ) | | |
k
n N k N
x n aN
? ? ? ? ? ?
???
() D F S kx n a? ???
3.8 傅里叶级数与 LTI系统
Fourier Series and LTI Systems
LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信
号加权了一个相应的特征值。
( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?
对连续时间系统
对离散时间系统
( ) ( ) n
n
H z h n z
?
?
? ? ?
? ?
,被 称 为系统的 系统函数 。()Hs ()Hz
如果 sj?? 则
( ) ( ) jtH j h t e dt?? ? ???? ?
()Hj? 被称为连续时间 LTI系统的 频率响应
如果 jze?? 则
( ) ( )j j n
n
H e h n e??
?
?
? ??
? ?
()jHe? 称为离散时间 LTI系统的 频率响应
()jHe? 对 而言，是以 为周期的。? 2?
如果一个 LTI系统 输入周期性信号 或()xt ()xn
0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ? 0
2
T
?? ?
0
0( ) ( )
j k t
k
k
y t a H j k e ??
?
? ??
? ?
22
( ) ( )j k j k nNNk
kN
y n a H e e
??
?? ?
? ?
则
2
() j k nNk
kN
x n a e
?
?? ?
? ?
* 可见,LTI系统对周期信号的响应仍是一个周
期信号,LTI系统的作用是对各个谐波频率的信
号分量进行不同的加权处理。
][
2
1)( 22 nNjnNj eenx ?? ???
例,某离散时间 LTI系统，
输入为,求输出 。
11),()( ???? ?? nunh n
)2c o s ()( nNnx ?? ()yn
22
( ) ( )
j k j k n
NN
n
H e h n e
???? ?
? ? ?
? ?
2
0
j k nn
N
n
e
?
?
?? ?
?
? ? 2
1
1
jk
Ne
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?
?
?
?
2
1
11 ?? ?aa
即：
2
1
()
j k n
N
k
k
y n b e
?
??
?? ?
2
()jkNkkb a H e
?
?由
1 2
1 / 2
1
j
N
b
e
?
?
?
?
?
1 2
1 / 2
1 j N
b
e
?
?
? ?
?
得
2
2
1()
1
j
N
j
N
He
e
?
?
?
?
??
?
2
2
1()
1
j
N
j
N
He
e
?
?
?
?
?
?
3.9 滤波 Filtering
本节移至第 6章讲授。
3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例
本节移至第 6章讲授相关内容时由学生自学。
3.11用差分方程描述的离散时间滤波器举例
本节移至第 6章讲授相关内容时由学生自学。
3.12 小结 Summary
本章主要讨论了：
? 复指数函数是一切 LTI系统的特征函数。
? 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，
实现了对周期信号的频域分解。
? 以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了
连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱
特点及信号参量改变对频谱的影响。
? 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级
数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法
完全类似，又研究了它们之间的重大区别。
? 在对信号分析的基础上，研究了 LTI系统的频
率响应及 LTI系统对周期信号的响应。
