第 7章 采样
Sampling
本章主要内容
6,频域采样。
1.如何用连续时间信号的离散时间样本来表示
连续时间信号 —— 采样定理 。
2,如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。
3,欠采样导致的后果 —— 频谱混叠。
4,连续时间信号的离散时间处理。
5,离散时间信号的采样、抽取及内插。
7.0 引言,( Introduction )
在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表
示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕
的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号
与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条
件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并
不丢失原来信号所包含的信息。
例 1,一幅新闻照片
局部放大后的图片
例 2,另一幅新闻照片
局部放大后的图片
例 3,CCD芯片的光显微图
m?
mm
CCD芯片用 VLSI技术制造 。 被分为许多微小区，
每个小区的尺寸为 13*11 （ 对应一个象素 ）,在
10*9.3 面积上有 500*582 个象素 。
当光成象在 CCD芯片上
时，就在这些空间离散的
象素点上被采样，而生成
了离散时间图象信号。
研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系
主要包括,
4.对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。
2,如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地
恢复成原来的连续时间信号。
3,如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。
1,在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的
离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。
7.1 用样本表示连续时间信号, 采样定理
一, 采样, Sampling
Theorem of Sampling
在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的
过程称为 采样。
是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表
示？
对一维连续时间信号采样的例子：
在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信
号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的
连续时间信号。
此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不
同时也会 得到不同的样本序列。
二,采样的数学模型：
()xt ()pxt
()pt
在时域：
( ) ( ) ( )px t x t p t?
在频域, 1
( ) ( ) ( )2pX j X j P j? ? ????
三,冲激串采样 (理想采样 ):
( ) ( )
n
p t t n T?
?
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??? ( ) ( ) ( )
( ) ( )
p
x t x t p t
x n T t n T?
?
??
?
???为采样间隔
T
()xt
0
()pt
t
t
2T? 2TTT? 0
t
()xT? ()xT (2 )xT
(0)x
0 T 2TT?2T?
()pxt
( 2 )xT?
可见,在时域对连续时间信号进行理想采样，
就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为
周期进行延拓。
s?
在频域由于 22
( ) ( ) ( )
n
p t P j kTT??? ? ?
?
? ? ?
? ? ??
1
( ) ( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
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p
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k
X j X j P j
X j k
T
X j k
T
? ? ?
?
?
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?
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?
? ??
?
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??
? ? ?
??
?
?
2
s T
?? ?
所以
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能够从 中不失真地分离
出 。这就要求 在周期性延拓时 不能
发生频谱的混叠 。为此必须要求,
()pXj?
()Xj? ()pXj?
在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器
从 中不失真地分离出 。
()pXj? ()Xj?
()xt M?
1,必须是带限的，最高频率分量为 。
2sM??? 2/s T???
2,采样间隔 (周期 )不能是任意的，必须保证采样
频率 。 其中 为采样频率 。
()pXj?
?
s?? M?? M? s?
1
T T
0
c?
四, Nyquist 采样定理,
对带限于最高频率 的连续时间信号,
如果以 的频率进行理想采样，则 可
以唯一的由其样本 来确定。
M? ()xt
()xt2sM???
()x nT
? 在工程实际应用中，
理想滤波器是不可能实
现的。而非理想滤波器
一定有过渡带，因此，
实际采样时,必须大
于 。
s?
2 M?
? 低通滤波器的截止频率必须满足,
()M c s M? ? ? ?? ? ?
? 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具
有 倍的通带增益。T
三, 零阶保持采样,
0
1
0()ht
t
T
??
?
()t? 0()ht
延时 T
零阶保持系统
零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个
零阶保持系统。
0()ht1
0
t
T
?
()xt ()pxt 0()xt
( ) ( )
n
p t t n T?
?
? ??
???
0()xt
1,零阶保持系统：是一个 为矩形脉冲的系统。
2,零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到
的信号是一个阶梯形信号。
()ht
0 ( ) ( ) ( )rH j H j H j? ? ???
?
,T c???
0,c???
而
2
0
2 S in / 2 )() TjTH j e ???
?
?? （
2()()
2 Si n 2
T
j
r
Hj
H j e
T
??
?
?
?
??
所以
为了 能 从 恢复,就要求零阶保持后再
级联一个系统 。使得
0()xt ()xt
()rHj?
M c s M? ? ? ?? ? ?
其中
若 则1
2cs T
?????
T
0
2
T
?
0()Hj?
?
()Hj?
T
T
??
T
?
?
0
()rHj?
1
0
T
?
T
??
?
()rHj?
0
T
??
T
?
2
??
2
?
?
以 表示理想低通滤波器的特性，则,()Hj?
内插, 由样本值重建某一函数的过程。
一, 理想内插,
若 为理想低通的单位冲激响应，则()ht
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
n
x t x t h t x n T t n T h t?
?
??
? ? ? ? ??
( ) ( )
n
x n T h t n T
?
? ? ?
???
7.2 利用内插从样本重建信号
Reconstruction of a Signal from Its Samples
Using Interpolation
表明,理想内插以理想低通滤波器的单位冲激
响应作为内插函数。
S in S in( ) S inc ( )c c c c c
c
T T t th t t T
tt
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
S i n ( )( ) ( )
()
cc
n c
T t nTx t x nT
t nT
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??
当 时
2
s
c T
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()
c
n c
t n Tx t x n T
t n T
?
?
?
? ??
??
??
这种内插称为 时域中的带限内插。
二, 零阶保持内插,
零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单
位冲激响应 。
0()ht
0| ( ) |Hj?
三, 一阶保持内插 (线性内插 )：
1()ht
1
0T? T
t
? ?
? ?
2
1
2
S i n
2
()
2
S i n
1 2
2
T
H j T
T
T
T
?
?
?
?
?
?
?
0T? T2T? 2T
t
线性内插时，其内插函数是三角形脉冲。
1()Hj?
2T?2T?? T?? T?0
T
?
一阶保持内插的结果（采样间隔为 T/4）
一阶保持内插的结果（采样间隔为 T/4）
如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会
在 的频谱周期延拓时，出现 频谱混叠 的现象。()xt
The Effect of Undersampling, Aliasing
7.3 欠采样的效果 — 频谱混叠
此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是
无论怎样，恢复所得的信号 与原信号 在采
样点上将具有相同的值。
()rxt ()xt
( ) ( )rx n T x n T?
一,欠采样与频谱混叠,
例,
0( ) c osx t t??
的频谱 ()Xj?()xt
()pXj?
0?? 0?
? ?
?
0
s?? s?
0s???? 0s???
002s? ? ???
当
时,产生频谱混叠。
0?? 0?
? ?
?
0
s?s??
0s???? 0s???
()rXj?
0( ) c os( )rsx t t????
恢复的信号为
0?0??
? ?
?
0
()Xj?
显然当 时有t nT?
0( ) c os( )rsx nT nT????
00c o s c o s Sin Sinssn T n T n T n T? ? ? ?? ? ? ?
0c o s ( )n T x n T???
如果,则在上述情况下,
0( ) c os( )x t t????
? ?00( ) [ ( ) ] [ ( ) ]jjr s sX j e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
0( ) c os[ ( ) ]rsx t t? ? ?? ? ? ?
表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位 相反。
2/s T???
工程应用时，如果采样频率 将不足
以从样本恢复原信号。
2sM???
00( ) c o s c o s sin sinx t t t? ? ? ???
0( ) c o s c o sx n T n T???
例如
0( ) c os( )x t t???? 0
2 2
s T
?????在 时
这和对
10( ) c o s c o sx t t???
采样的结果一样。
从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的
情况是工程应用中不希望的 。
二, 欠采样在工程实际中的应用：
1,采样示波器,
2,频闪测速,
旋转圆盘
0?
s?
频闪器
02s???
0s???
04s???
1 2 3 4
0
4
3s???
对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视
为三个环节的级连。
()cxt ()dxn ()dyn ()cyt离散时间系统
/CD /DC
()cxt ()cyt()Hj?
7.4 连续时间信号的离散时间处理
Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals
一, C/D 转换,
在时域：
( ) (
n
p t t n T?
?
? ??
??? ）
( ) ( ) ( ) ( ) (p c c
n
x t x t p t x n T t n T?
?
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? ? ? ?? ）
( ) ( )dcx n x nT?
在频域,
? ?1( ) ( ),p c s
k
X j X j kT? ? ?
?
? ??
??? 2s T?? ?
( ) ( )dcx n x nT?
()pt
()cxt
()pxt 冲激串
到序列
可见,冲激串到序列的变换过程，在时域是一
个对时间归一化的过程； 在频域是一个频率去归一
化的过程。
( ) ( )jdpX e X j T? ??( ) ( )jTpdX j X e ?? ?
11( ) [ ( 2 ) ]j
dc
k
X e X j kTT ?
?
?
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( ) ( )j j ndc
n
X e x n T e
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（以 表示离散域频率）?
( ) ( ) j n Tpc
n
X j x nT e ??
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1
M?? M?
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()cXj?
()pXj?
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T
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02?? 2?MT?
1
T
()jdXe?
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MT??
二, D/C 转换：
( ) ( ) ( )pd
n
y t y n t n T?
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??? ( ) ( ) j n Tpd
n
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( ) ( )j j ndd
n
Y e y n e
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()dyn
()pyt
()cyt序列到
冲激串
T
?
c?? c?
T
( ) ( )jdpY e Y j T? ?? ( ) ( )jTpdY j Y e ?? ?
可见,D/C转换是 C/D转换的逆过程。
三, 连续时间信号的离散时间处理,
()cHj?()cxt ()cyt
()cxt
()pxt
()dxn ()dyn ()pyt
()cyt
()pt
C/D D/C
冲激串
到序列 ()jdHe?
序列到
冲激串
假定,有,在 满足采
样定理时 有,,整个系统是
恒等系统，表明 D/C转换是 C/D转换的逆系统 。
( ) 1jdHe ? ? ( ) ( )ddy n x n?
( ) ( )ppy t x t? ( ) ( )ccy t x t?
对一般情况：
( ) ( ) ( )j j jd d dY e X e H e? ? ???
( ) ( ) ( )j T j T j Td d dY e X e H e? ? ??
( ) ( ) ( )jTp d pX j H e Y j???? ? ?
( ) ( ) ( )cpY j Y j H j? ? ???
2
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2
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0
( ) ( )
( ) ( )
cc
jT
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X j H j
T X j H e ?
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即
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0
2
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2
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或
( ) ( )jcdH j H eT ?? ? ???
()cXj?
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1
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M?? M?0
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s?? s?
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()pXj? ()jTdHe?
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MT?? MT?0 sT?
?
cT?
M?M??
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1
()cXj? ()cHj?
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A ()cHj?()cXj?
()jdHe?
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MT?? MT? 2?c?c??
A
()jdXe?
()jdHe?
?
()jdXe?
2??
()jdYe?
()pYj?
()cYj?
可见,等效连续时间系统的频率响应，就是离
散时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不
过在频率上有一个尺度变换。
c?? c?
1
0 ? 2?2??
?
()jdHe?
1
0
()cHj?
?
cT?? cT?
对连续时间信号进行离散时间处理的系统只
在 带限，且 采样频率满足采样定理的要求
时才能等效为一个 LTI系统。
()cxt
例：数字微分器：
带限微分器 ()
cHj? ? ?
j?
0
,
,
c???
c???
/2??
/2?
0c??
c?
?
()cHj?
c?c??
c?
()cHj?
?
0
由 可得,时有：
( ) ( )jcdH j H eT ?? ? 2sc ?? ?
()jdH e j T? ?? ???
?? ?0
c?
?
()jdHe?
2
?
2
??
?? ?0
?
()jdHe ?
7.5 离散时间信号采样：
Sampling of Discrete-Time Signal
一, 脉冲串采样,
( ) ( ) ( )px n x n p n??
( ) ( )
k
x k N n k N?
?
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???
22( ) ( )j
k
P e kNN? ????
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k
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???
()xn ()pxn
()pn1
NN?
n
0
()xn
n
N? N2N? 0
()pxn
n
N? N02N?
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2
j j j
pX e X e P e
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???
()
2
1 ( ( )
2
jjX e P e d? ? ?
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0
1 ()N jkN
k
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?
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k
X e k dNN?? ?? ? ? ?
?
? ??
? ? ???
()jPe?
2N?
2N?2N??
?
0
()jXe?
1
0 M?2?? 2?
?
M??
?
1N
()jpXe?
2N?2N?? M? 2?2?? 0
要使 能恢复成,则频谱在周期性延拓
时不能发生混叠。为此要求：
1,带限于 。 2,。
()pxn ()xn
()xn M? 2 2sM
N
?????
?
()pxn
()xn
()pn
()rxn
c?? c?
?
2
N
?
在时域，对离散时间信号以 为间隔采样，在
频域,信号的频谱就在一个周期内以 为间隔周
期性延拓。
N
此时 可以通过离散时间理想低通滤波器实现对
信号 的恢复。理想低通的通带增益为 N，截
止频率满足,。
()xn
M c s M? ? ? ?? ? ?
恢复 的过程也是一种带限内插过程，其
内插函数为理想低通的单位脉冲响应 。
()xn
()hn
0
c?? c? ?
()jHe?
?
??
N
( ) ( ) ( )
()
( ) Sin c
rp
cc
k
x n x n h n
N n k N
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()
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k c
N n k Nx k N
n k N
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当 时，
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S i n ( )( ) ( )
()
c
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k c
n k Nx n x k N
n k N
?
?
?
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??
??
S i n( ) S i n C ( )c c cN n nh n N
n
? ? ?
? ? ?? ? ?
二, 离散时间抽取与内插：
如果,则把由 经
过 到 的过程称为 抽取 。
()xn
()pxn
( ) ( ) ( )dpx n x n N x n N??
()dxn
抽取过程在频域的反映：
()dxn()xn
()xn
()dxn()pxn
若直接从 抽取得到,这个过程是不
可逆的。但当 满足采样定理的要求时，先
经过 再到,则抽取过程是可逆的。
Discrete-Time Decimation and Interpolation
( ) ( )
jn j
NN
pp
n
x n e X e
??? ?
? ??
???
,
( ) ( ) ( )
()
j j n j n
d d p
nn
n
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X e x n e x nN e
x n e
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?
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
??
?
??
?
即 ( ) ( )jj N
dpX e X e
?
? ?
这表明,在 时域 对带限序列进行 抽取,相当
于在 频域 对采样序列的频谱进行 尺度变换 。
?
?
?
0
1
0
0
?? ?
2??
2??
2?? 2?
2?
2?
()jdXe?
()jpXe?
()jXe?
1
N
1
N
M?? M?
M?? M?
MN?? MN?
3N ? 时：
0
()cxt
t
0
1
?
()cXj?
M?M??
?
()pXj?
M?M??
2
T
?? 2
T?
1
T
0
?
MT?MT??2?? 2?
1
T
()jXe?
0
n
()xn
0
t
()pxt
T
0
n
()dxn
0
?
()jdXe?
MNT?2?? 2?
1
NT
0
n
()pxn
NN?
?
()jpXe?
MT?
2?? 2?
2
N
?? 2
N
?
1
NT
N=3
0
t
()pxt
T
对 以 T为间隔采样后再以 N为间隔抽取，相
当于直接对 以 NT为间隔采样。
()cxt
()cxt
三, 抽取与内插的应用：
()cxt ()pxt ()xn
2N?
1()xn
2()xn 2( 1)xn?
2N?
3()xn()pyt
()Hj?
()cyt
( ) ( )
n
p t t n T??
? ??
??? 抽取
内插/CD
/DC
D
()jHe?
半抽样间隔延时：
0
()cxt
t
0
n
2()xn
0
n
2 ( 1)xn?
0
n
()xn
0 t
()pxt
T
0
n
1()xn
0
n
3()xn
0
t
()cyt
2
T??( ) ( )
ccy t x t? ? ?
0
t
()pyt
T
()cxt
t
0
()cyt
?
7.6 频域采样
采样的本质是将连续变量的函数离散化。因此，
在频域也可以对连续的频谱进行采样。这一过程
与时域采样是完全对偶的。
0( ) ( )
k
P j k? ? ? ?
?
? ??
???
()Xj?
?
0 0?
0?? 03?03??
()pXj?
Sampling in Frequency Domain
()Xj? ()pXj?
()Pj?
00
12( ) ( )
k
p t t k????
?
? ? ?
???( ) ( ) ( )px t x t p t??
在时域有：
00
12( ) ( )
p
k
x t x t k???
?
? ??
? ? ??
这表明,对信号的频谱在频域理想采样，相当于
在时域将信号以 为周期无限延拓。
02/??
00( ) ( )
k
X k k? ? ? ?
?
? ? ?
???
( ) ( ) ( )pX j X j P j? ? ??
在频域有：
MTMT? 02/??02/???
()pxt
MTMT?
要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须
保证信号在周期性延拓时不发生重叠。为此要求：
1,信号 必须时限于 。()xt MT
2.
0
22
MT
?
??
即
0
2
MMTT
?
???
此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截
取出原信号。
()wt ? ?
0?
0
0| | /t ???
0| | /t ???
( ) ( ) ( )px t x t w t?
()wt
0?
t
0/??0/??? 0
在频域，从频谱的样本重建连续频谱时的 频域
时限内插 过程是 以矩形窗的频谱作为内插函数 实
现的。
1( ) ( ) ( )
2 pX j X j W j? ? ????
0( ) 2 s i n c( / )Wj ? ? ? ??
内插函数
0
0
0
( ) ( ) si n c ( )
k
kX j X k ????
?
?
? ? ?
??? ?
应该指出：
带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。 因
此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代
表原信号。对时限信号在时域采样时也是如此。
在频域有：
对 有限长的离散时间信号 当然也可以在频域采
样。但由于离散时间信号的频谱是以 为周期
的，因此在频域采样时，必须保证 在频谱的一个
周期内采样的点数为整数，并且不能小于信号的
长度 。否则，频域采样的样本将不能完全代表原
信号。例如：对一个 N 点序列，必须以 为
频域的采样间隔，其中 M为整数，且满足：
2?
2/M?
MN? （请大家解释为什么会有这样的约束）
7.7 小结,Summary
1,连续时间信号的时域采样，采样定理。
3,欠采样引起的频谱混叠，及欠采样在工程实
际中的某些应用。
4,连续时间信号的离散时间处理。
5,离散时间信号的时域采样、抽取与内插。
6,频域采样。
2,从样本通过内插重建信号。
Sampling
本章主要内容
6,频域采样。
1.如何用连续时间信号的离散时间样本来表示
连续时间信号 —— 采样定理 。
2,如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。
3,欠采样导致的后果 —— 频谱混叠。
4,连续时间信号的离散时间处理。
5,离散时间信号的采样、抽取及内插。
7.0 引言,( Introduction )
在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表
示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕
的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号
与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条
件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并
不丢失原来信号所包含的信息。
例 1,一幅新闻照片
局部放大后的图片
例 2,另一幅新闻照片
局部放大后的图片
例 3,CCD芯片的光显微图
m?
mm
CCD芯片用 VLSI技术制造 。 被分为许多微小区，
每个小区的尺寸为 13*11 （ 对应一个象素 ）,在
10*9.3 面积上有 500*582 个象素 。
当光成象在 CCD芯片上
时，就在这些空间离散的
象素点上被采样，而生成
了离散时间图象信号。
研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系
主要包括,
4.对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。
2,如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地
恢复成原来的连续时间信号。
3,如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。
1,在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的
离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。
7.1 用样本表示连续时间信号, 采样定理
一, 采样, Sampling
Theorem of Sampling
在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的
过程称为 采样。
是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表
示？
对一维连续时间信号采样的例子：
在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信
号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的
连续时间信号。
此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不
同时也会 得到不同的样本序列。
二,采样的数学模型：
()xt ()pxt
()pt
在时域：
( ) ( ) ( )px t x t p t?
在频域, 1
( ) ( ) ( )2pX j X j P j? ? ????
三,冲激串采样 (理想采样 ):
( ) ( )
n
p t t n T?
?
? ??
??? ( ) ( ) ( )
( ) ( )
p
x t x t p t
x n T t n T?
?
??
?
???为采样间隔
T
()xt
0
()pt
t
t
2T? 2TTT? 0
t
()xT? ()xT (2 )xT
(0)x
0 T 2TT?2T?
()pxt
( 2 )xT?
可见,在时域对连续时间信号进行理想采样，
就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为
周期进行延拓。
s?
在频域由于 22
( ) ( ) ( )
n
p t P j kTT??? ? ?
?
? ? ?
? ? ??
1
( ) ( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
1
( ( ) )
p
s
k
s
k
X j X j P j
X j k
T
X j k
T
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
??
?
? ??
?
? ??
??
? ? ?
??
?
?
2
s T
?? ?
所以
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能够从 中不失真地分离
出 。这就要求 在周期性延拓时 不能
发生频谱的混叠 。为此必须要求,
()pXj?
()Xj? ()pXj?
在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器
从 中不失真地分离出 。
()pXj? ()Xj?
()xt M?
1,必须是带限的，最高频率分量为 。
2sM??? 2/s T???
2,采样间隔 (周期 )不能是任意的，必须保证采样
频率 。 其中 为采样频率 。
()pXj?
?
s?? M?? M? s?
1
T T
0
c?
四, Nyquist 采样定理,
对带限于最高频率 的连续时间信号,
如果以 的频率进行理想采样，则 可
以唯一的由其样本 来确定。
M? ()xt
()xt2sM???
()x nT
? 在工程实际应用中，
理想滤波器是不可能实
现的。而非理想滤波器
一定有过渡带，因此，
实际采样时,必须大
于 。
s?
2 M?
? 低通滤波器的截止频率必须满足,
()M c s M? ? ? ?? ? ?
? 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具
有 倍的通带增益。T
三, 零阶保持采样,
0
1
0()ht
t
T
??
?
()t? 0()ht
延时 T
零阶保持系统
零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个
零阶保持系统。
0()ht1
0
t
T
?
()xt ()pxt 0()xt
( ) ( )
n
p t t n T?
?
? ??
???
0()xt
1,零阶保持系统：是一个 为矩形脉冲的系统。
2,零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到
的信号是一个阶梯形信号。
()ht
0 ( ) ( ) ( )rH j H j H j? ? ???
?
,T c???
0,c???
而
2
0
2 S in / 2 )() TjTH j e ???
?
?? （
2()()
2 Si n 2
T
j
r
Hj
H j e
T
??
?
?
?
??
所以
为了 能 从 恢复,就要求零阶保持后再
级联一个系统 。使得
0()xt ()xt
()rHj?
M c s M? ? ? ?? ? ?
其中
若 则1
2cs T
?????
T
0
2
T
?
0()Hj?
?
()Hj?
T
T
??
T
?
?
0
()rHj?
1
0
T
?
T
??
?
()rHj?
0
T
??
T
?
2
??
2
?
?
以 表示理想低通滤波器的特性，则,()Hj?
内插, 由样本值重建某一函数的过程。
一, 理想内插,
若 为理想低通的单位冲激响应，则()ht
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
n
x t x t h t x n T t n T h t?
?
??
? ? ? ? ??
( ) ( )
n
x n T h t n T
?
? ? ?
???
7.2 利用内插从样本重建信号
Reconstruction of a Signal from Its Samples
Using Interpolation
表明,理想内插以理想低通滤波器的单位冲激
响应作为内插函数。
S in S in( ) S inc ( )c c c c c
c
T T t th t t T
tt
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
S i n ( )( ) ( )
()
cc
n c
T t nTx t x nT
t nT
??
??
?
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?? ? ?
??
当 时
2
s
c T
? ?? ?? S i n ( )( ) ( )
()
c
n c
t n Tx t x n T
t n T
?
?
?
? ??
??
??
这种内插称为 时域中的带限内插。
二, 零阶保持内插,
零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单
位冲激响应 。
0()ht
0| ( ) |Hj?
三, 一阶保持内插 (线性内插 )：
1()ht
1
0T? T
t
? ?
? ?
2
1
2
S i n
2
()
2
S i n
1 2
2
T
H j T
T
T
T
?
?
?
?
?
?
?
0T? T2T? 2T
t
线性内插时，其内插函数是三角形脉冲。
1()Hj?
2T?2T?? T?? T?0
T
?
一阶保持内插的结果（采样间隔为 T/4）
一阶保持内插的结果（采样间隔为 T/4）
如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会
在 的频谱周期延拓时，出现 频谱混叠 的现象。()xt
The Effect of Undersampling, Aliasing
7.3 欠采样的效果 — 频谱混叠
此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是
无论怎样，恢复所得的信号 与原信号 在采
样点上将具有相同的值。
()rxt ()xt
( ) ( )rx n T x n T?
一,欠采样与频谱混叠,
例,
0( ) c osx t t??
的频谱 ()Xj?()xt
()pXj?
0?? 0?
? ?
?
0
s?? s?
0s???? 0s???
002s? ? ???
当
时,产生频谱混叠。
0?? 0?
? ?
?
0
s?s??
0s???? 0s???
()rXj?
0( ) c os( )rsx t t????
恢复的信号为
0?0??
? ?
?
0
()Xj?
显然当 时有t nT?
0( ) c os( )rsx nT nT????
00c o s c o s Sin Sinssn T n T n T n T? ? ? ?? ? ? ?
0c o s ( )n T x n T???
如果,则在上述情况下,
0( ) c os( )x t t????
? ?00( ) [ ( ) ] [ ( ) ]jjr s sX j e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
0( ) c os[ ( ) ]rsx t t? ? ?? ? ? ?
表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位 相反。
2/s T???
工程应用时，如果采样频率 将不足
以从样本恢复原信号。
2sM???
00( ) c o s c o s sin sinx t t t? ? ? ???
0( ) c o s c o sx n T n T???
例如
0( ) c os( )x t t???? 0
2 2
s T
?????在 时
这和对
10( ) c o s c o sx t t???
采样的结果一样。
从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的
情况是工程应用中不希望的 。
二, 欠采样在工程实际中的应用：
1,采样示波器,
2,频闪测速,
旋转圆盘
0?
s?
频闪器
02s???
0s???
04s???
1 2 3 4
0
4
3s???
对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视
为三个环节的级连。
()cxt ()dxn ()dyn ()cyt离散时间系统
/CD /DC
()cxt ()cyt()Hj?
7.4 连续时间信号的离散时间处理
Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals
一, C/D 转换,
在时域：
( ) (
n
p t t n T?
?
? ??
??? ）
( ) ( ) ( ) ( ) (p c c
n
x t x t p t x n T t n T?
?
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? ? ? ?? ）
( ) ( )dcx n x nT?
在频域,
? ?1( ) ( ),p c s
k
X j X j kT? ? ?
?
? ??
??? 2s T?? ?
( ) ( )dcx n x nT?
()pt
()cxt
()pxt 冲激串
到序列
可见,冲激串到序列的变换过程，在时域是一
个对时间归一化的过程； 在频域是一个频率去归一
化的过程。
( ) ( )jdpX e X j T? ??( ) ( )jTpdX j X e ?? ?
11( ) [ ( 2 ) ]j
dc
k
X e X j kTT ?
?
?
? ? ?
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( ) ( )j j ndc
n
X e x n T e
?
? ? ?
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? ?
（以 表示离散域频率）?
( ) ( ) j n Tpc
n
X j x nT e ??
?
?
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? ?
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0
1
M?? M?
?
()cXj?
()pXj?
1
T
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M?s?? s?
?
02?? 2?MT?
1
T
()jdXe?
?
MT??
二, D/C 转换：
( ) ( ) ( )pd
n
y t y n t n T?
?
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??? ( ) ( ) j n Tpd
n
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?
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( ) ( )j j ndd
n
Y e y n e
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? ? ?
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()dyn
()pyt
()cyt序列到
冲激串
T
?
c?? c?
T
( ) ( )jdpY e Y j T? ?? ( ) ( )jTpdY j Y e ?? ?
可见,D/C转换是 C/D转换的逆过程。
三, 连续时间信号的离散时间处理,
()cHj?()cxt ()cyt
()cxt
()pxt
()dxn ()dyn ()pyt
()cyt
()pt
C/D D/C
冲激串
到序列 ()jdHe?
序列到
冲激串
假定,有,在 满足采
样定理时 有,,整个系统是
恒等系统，表明 D/C转换是 C/D转换的逆系统 。
( ) 1jdHe ? ? ( ) ( )ddy n x n?
( ) ( )ppy t x t? ( ) ( )ccy t x t?
对一般情况：
( ) ( ) ( )j j jd d dY e X e H e? ? ???
( ) ( ) ( )j T j T j Td d dY e X e H e? ? ??
( ) ( ) ( )jTp d pX j H e Y j???? ? ?
( ) ( ) ( )cpY j Y j H j? ? ???
2
s?? ?
2
s?? ?
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0
( ) ( )
( ) ( )
cc
jT
pd
X j H j
T X j H e ?
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即
()cHj? ? ?
()jTdHe ?
0
2
s?? ?
2
s?? ?
或
( ) ( )jcdH j H eT ?? ? ???
()cXj?
M?? M?0
1
?
M?? M?0
1T
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s?? s?
?
s?s??
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1
T
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()pXj? ()jTdHe?
?
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MT?? MT?0 sT?
?
cT?
M?M??
cT??
1
()cXj? ()cHj?
?
A ()cHj?()cXj?
()jdHe?
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MT?? MT? 2?c?c??
A
()jdXe?
()jdHe?
?
()jdXe?
2??
()jdYe?
()pYj?
()cYj?
可见,等效连续时间系统的频率响应，就是离
散时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不
过在频率上有一个尺度变换。
c?? c?
1
0 ? 2?2??
?
()jdHe?
1
0
()cHj?
?
cT?? cT?
对连续时间信号进行离散时间处理的系统只
在 带限，且 采样频率满足采样定理的要求
时才能等效为一个 LTI系统。
()cxt
例：数字微分器：
带限微分器 ()
cHj? ? ?
j?
0
,
,
c???
c???
/2??
/2?
0c??
c?
?
()cHj?
c?c??
c?
()cHj?
?
0
由 可得,时有：
( ) ( )jcdH j H eT ?? ? 2sc ?? ?
()jdH e j T? ?? ???
?? ?0
c?
?
()jdHe?
2
?
2
??
?? ?0
?
()jdHe ?
7.5 离散时间信号采样：
Sampling of Discrete-Time Signal
一, 脉冲串采样,
( ) ( ) ( )px n x n p n??
( ) ( )
k
x k N n k N?
?
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???
22( ) ( )j
k
P e kNN? ????
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???
( ) ( )
k
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???
()xn ()pxn
()pn1
NN?
n
0
()xn
n
N? N2N? 0
()pxn
n
N? N02N?
1( ) ( ) ( )
2
j j j
pX e X e P e
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???
()
2
1 ( ( )
2
jjX e P e d? ? ?
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21 ()
0
1 ()N jkN
k
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?
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12( ) ( )j
k
X e k dNN?? ?? ? ? ?
?
? ??
? ? ???
()jPe?
2N?
2N?2N??
?
0
()jXe?
1
0 M?2?? 2?
?
M??
?
1N
()jpXe?
2N?2N?? M? 2?2?? 0
要使 能恢复成,则频谱在周期性延拓
时不能发生混叠。为此要求：
1,带限于 。 2,。
()pxn ()xn
()xn M? 2 2sM
N
?????
?
()pxn
()xn
()pn
()rxn
c?? c?
?
2
N
?
在时域，对离散时间信号以 为间隔采样，在
频域,信号的频谱就在一个周期内以 为间隔周
期性延拓。
N
此时 可以通过离散时间理想低通滤波器实现对
信号 的恢复。理想低通的通带增益为 N，截
止频率满足,。
()xn
M c s M? ? ? ?? ? ?
恢复 的过程也是一种带限内插过程，其
内插函数为理想低通的单位脉冲响应 。
()xn
()hn
0
c?? c? ?
()jHe?
?
??
N
( ) ( ) ( )
()
( ) Sin c
rp
cc
k
x n x n h n
N n k N
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()
cc
k c
N n k Nx k N
n k N
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当 时，
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S i n ( )( ) ( )
()
c
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k c
n k Nx n x k N
n k N
?
?
?
? ??
??
??
S i n( ) S i n C ( )c c cN n nh n N
n
? ? ?
? ? ?? ? ?
二, 离散时间抽取与内插：
如果,则把由 经
过 到 的过程称为 抽取 。
()xn
()pxn
( ) ( ) ( )dpx n x n N x n N??
()dxn
抽取过程在频域的反映：
()dxn()xn
()xn
()dxn()pxn
若直接从 抽取得到,这个过程是不
可逆的。但当 满足采样定理的要求时，先
经过 再到,则抽取过程是可逆的。
Discrete-Time Decimation and Interpolation
( ) ( )
jn j
NN
pp
n
x n e X e
??? ?
? ??
???
,
( ) ( ) ( )
()
j j n j n
d d p
nn
n
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X e x n e x nN e
x n e
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?
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
??
?
??
?
即 ( ) ( )jj N
dpX e X e
?
? ?
这表明,在 时域 对带限序列进行 抽取,相当
于在 频域 对采样序列的频谱进行 尺度变换 。
?
?
?
0
1
0
0
?? ?
2??
2??
2?? 2?
2?
2?
()jdXe?
()jpXe?
()jXe?
1
N
1
N
M?? M?
M?? M?
MN?? MN?
3N ? 时：
0
()cxt
t
0
1
?
()cXj?
M?M??
?
()pXj?
M?M??
2
T
?? 2
T?
1
T
0
?
MT?MT??2?? 2?
1
T
()jXe?
0
n
()xn
0
t
()pxt
T
0
n
()dxn
0
?
()jdXe?
MNT?2?? 2?
1
NT
0
n
()pxn
NN?
?
()jpXe?
MT?
2?? 2?
2
N
?? 2
N
?
1
NT
N=3
0
t
()pxt
T
对 以 T为间隔采样后再以 N为间隔抽取，相
当于直接对 以 NT为间隔采样。
()cxt
()cxt
三, 抽取与内插的应用：
()cxt ()pxt ()xn
2N?
1()xn
2()xn 2( 1)xn?
2N?
3()xn()pyt
()Hj?
()cyt
( ) ( )
n
p t t n T??
? ??
??? 抽取
内插/CD
/DC
D
()jHe?
半抽样间隔延时：
0
()cxt
t
0
n
2()xn
0
n
2 ( 1)xn?
0
n
()xn
0 t
()pxt
T
0
n
1()xn
0
n
3()xn
0
t
()cyt
2
T??( ) ( )
ccy t x t? ? ?
0
t
()pyt
T
()cxt
t
0
()cyt
?
7.6 频域采样
采样的本质是将连续变量的函数离散化。因此，
在频域也可以对连续的频谱进行采样。这一过程
与时域采样是完全对偶的。
0( ) ( )
k
P j k? ? ? ?
?
? ??
???
()Xj?
?
0 0?
0?? 03?03??
()pXj?
Sampling in Frequency Domain
()Xj? ()pXj?
()Pj?
00
12( ) ( )
k
p t t k????
?
? ? ?
???( ) ( ) ( )px t x t p t??
在时域有：
00
12( ) ( )
p
k
x t x t k???
?
? ??
? ? ??
这表明,对信号的频谱在频域理想采样，相当于
在时域将信号以 为周期无限延拓。
02/??
00( ) ( )
k
X k k? ? ? ?
?
? ? ?
???
( ) ( ) ( )pX j X j P j? ? ??
在频域有：
MTMT? 02/??02/???
()pxt
MTMT?
要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须
保证信号在周期性延拓时不发生重叠。为此要求：
1,信号 必须时限于 。()xt MT
2.
0
22
MT
?
??
即
0
2
MMTT
?
???
此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截
取出原信号。
()wt ? ?
0?
0
0| | /t ???
0| | /t ???
( ) ( ) ( )px t x t w t?
()wt
0?
t
0/??0/??? 0
在频域，从频谱的样本重建连续频谱时的 频域
时限内插 过程是 以矩形窗的频谱作为内插函数 实
现的。
1( ) ( ) ( )
2 pX j X j W j? ? ????
0( ) 2 s i n c( / )Wj ? ? ? ??
内插函数
0
0
0
( ) ( ) si n c ( )
k
kX j X k ????
?
?
? ? ?
??? ?
应该指出：
带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。 因
此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代
表原信号。对时限信号在时域采样时也是如此。
在频域有：
对 有限长的离散时间信号 当然也可以在频域采
样。但由于离散时间信号的频谱是以 为周期
的，因此在频域采样时，必须保证 在频谱的一个
周期内采样的点数为整数，并且不能小于信号的
长度 。否则，频域采样的样本将不能完全代表原
信号。例如：对一个 N 点序列，必须以 为
频域的采样间隔，其中 M为整数，且满足：
2?
2/M?
MN? （请大家解释为什么会有这样的约束）
7.7 小结,Summary
1,连续时间信号的时域采样，采样定理。
3,欠采样引起的频谱混叠，及欠采样在工程实
际中的某些应用。
4,连续时间信号的离散时间处理。
5,离散时间信号的时域采样、抽取与内插。
6,频域采样。
2,从样本通过内插重建信号。
