1
例 为观察中成药青黛明矾片对急性黄疸
性肝炎退黄效果，以单用输液保肝的病人作
对照进行了观察。
急性黄疸性肝炎病人的退黄天数
中药组 对照组
5 18
10 21
14 30
21 23
17 22
22
2
t检验
两组资料样本均数的比较
17.4)
12
1
13
1(29.108)11(
21
2
21
??????
nn
SS CXX
139.1
17.4
083.5208.48)(
21
2121 ?????????
? xxs
XX
t
??
3
三组战士行军后体温增加数 (度 )
不饮水 定量饮水 不限量饮水 合计
1.9 1.4 0.9
1.8 1.2 0.7
1.6 1.1 0.9
1.7 1.4 1.1
1.5 1.1 0.9
1.6 1.3 0.9
1.3 1.1 0.8
1.4 1.0 1.0
1.6 1.2 0.9 1.23
iX
4
总变异的分解
组间变异
总变异
组内变异
5
组间离均差平方和
?? ?
?? ?
???
k
i
ii
k
i
n
j
i xxnxx
i
1
2
1 1
2 )()(SS组间 =
组内离均差平方和
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
k
i
n
j
iij
i
xx
1 1
2)(
SS组内 =
总离均差平方和
? ?
? ?
?
k
i
n
j
ij
i
xx
1 1
2)(
SS总 =
= 1.97
= 0.54
= 2.51
方差分析
6
一般, 组间变异 大于或等于 组内变异
组间组间组间 dfSSMS /?
组内组内组内 dfSSMS /?
其中：
组内
组间
组内变异
组间变异
MS
MS
F ??
7
MS组间 = 1.97 / 2 = 0.985
MS组内 = 0.54 / 21 = 0.026
F ＝ 0.985 / 0.026 = 37.88
查表得界值
F0.05,2,21=3.47, F0.01,2,21=5.78
所以 P<0.01，三组总体均数不全相等。
8
完全随机设计资料的方差分析
例 为了研究一种降血脂新药的临床疗效，
统一纳入标准选择 120名患者，采用完全随
机设计方法将患者等分为 4组进行双盲试验。
9
iX X?
2X?
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 … 2.59 30 3.43 102.91 367.85
2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 … 2.31 30 2.72 81.46 233.00
4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 80.94 225.54
7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97 58.99 132.13
测量值分 组 n
表 2 4个处理组低密度脂蛋白测量值 (mmol/L)
合计 120 2.70 324.30 958.52
10
分析步骤：
1,检验假设 H0：四个试验组的总体均数相等,
即：
备择假设 H1：四个试验组的总体均数不全
相等 。
2,显著性水准,05.0??
1 2 3 4? ? ? ?? ? ?
11
3,计算
9 5 8, 5 2 8 7 6, 4 2 = 8 2, 1 0SS ??总
8 2, 1 0 3 2, 1 6 4 9, 9 4SS ? ? ?组内
2 2 2 2( 1 0 2, 9 1 ) ( 8 1, 4 6 ) ( 8 0, 9 4 ) ( 5 8, 9 9 )
3 0 3 0 3 0 3 0SS ? ? ? ?组间
8 7 6,4 2 3 2,1 6??
2( 3 2 4, 3 0 ) / 1 2 0 8 7 6, 4 2C ??
12
4,列方差分析表
表 3 方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 119 82.10
组间 3 32.16 10.72 24.93 ＜ 0.01
组内 116 49.94 0.43
13
5,查表作结论
查 F界值表：
F0.01（ 3,116） ≈3.98,F = 24.93> F0.01（ 3,116）,
所以 P<0.01。
结论,按, 拒绝 H0,接受 H1,认
为 四 个处理组患者低密度脂蛋白总体均数不相
等, 即不同剂量药物对血脂中低密度脂蛋白降
低有影响 。
05.0??
14
随机区组设计资料的方差分析
例 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，
先将 15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成 5个区
组，每个区组内 3只小白鼠随机接受三种抗癌药
物，以肉瘤的重量为指标。三种不同的药物的抑
瘤效果有无差别？
15
表 5 不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（ g）
区组 A药 B药 C药
1 0.82 0.65 0.51 1.98
2 0.73 0.54 0.23 1.50
3 0.43 0.34 0.28 1.05
4 0.41 0.21 0.31 0.93
5 0.68 0.43 0.24 1.35
3.07 2.17 1.57 6.81
0.614 0.434 0.314 0.454
2.0207 1.0587 0.5451 3.6245
1
g
iji X??
1
n
ijj X??
iX
2
1
n
ijj X??
16
拉丁方设计资料的方差分析
实验研究涉及一个处理因素和两个控制
因素，每个因素的类别数或水平数相等，可
采用拉丁方设计 （ latin square design） 来安
排试验，将两个控制因素分别安排在拉丁方
设计的行和列上。
17
表 7 穿五种防护服测得的脉搏均数（次 /分）
实验
日期
受 试 者
甲 乙 丙 丁 戊
1 D 133.4 B 98.0 A 114.0 E 110.8 C 110.6
2 B 144.4 E 132.8 D 113.2 C 119.2 A 115.2
3 C 143.0 A 123.0 E 115.8 D 118.0 B 103.8
4 A 129.8 D 104.0 C 114.8 B 116.2 E 100.6
5 E 142.8 C 120.0 B 105.8 A 110.6 D 109.8
18
设计要求：
①必须是三个因素的实验，且三个因素
的水平数相等；
②行间、列间、处理间均无交互作用；
③各行、列、处理的方差齐性。
19
表 8 拉丁方设计与试验结果（皮肤疱疹大小,mm2）
家兔编号
（行区组）
注射部位编号（列区组） 行区组
合计1 2 3 4 5 6
1 A(73) B(75) C(67) E(61) D(69) F(79) 424 70.7
2 B(83) A(81) E(99) F(82) C(85) D(87) 517 86.2
3 E(73) D(60) F(73) C(77) B(68) A(74) 425 70.8
4 F(58) C(64) B(64) D(71) A(77) E(74) 408 68.0
5 C(64) F(62) D(64) A(81) E(85) B(71) 427 71.2
6 D(77) E(75) A(73) B(59) F(85) C(82) 451 75.2
iX
20
例 4 试验两种不同配方的减肥药物 A和
B，将 10名患有肥胖症的受试者随机地分
为两组进行试验。
21
表 9 受试者的体重下降值（ kg）
给药顺序 分组后受试者编号 前四周 后四周
甲 组 1 6.129 –0.454
(A?B) 2 2.497 0.908
3 4.313 0.454
4 4.540 2.724
5 1.498 1.135
乙 组 6 4.449 2.043
(B?A) 7 4.994 1.816
8 0.454 0.136
9 0.227 1.271
10 1.589 1.271
22
两阶段交叉设计资料的方差分析
在医学研究中，将 A,B两种处理先后
施加于同一批试验对象，随机地使半数受
试者先接受 A后接受 B，而另一半受试者则
正好相反，即先接受 B再接受 A。由于两种
处理在全部试验过程中交叉进行，这种设
计称为交叉设计（ cross-over design）。
23
表 10 两种闪烁液测定血浆中 3H-cGMP的交叉试验
受试者 阶 段 合计 B
iⅠ Ⅱ
1 A（ 760） B（ 770） 1530
2 B（ 860） A（ 855） 1715
3 A（ 568） B（ 602） 1170
4 A（ 780） B（ 800） 1580
5 B（ 960） A（ 958） 1918
6 B（ 940） A（ 952） 1892
7 A（ 635） B（ 650） 1285
8 B（ 440） A（ 450） 890
9 A（ 528） B（ 530） 1058
10 B（ 800） A（ 803） 1603
各阶段合计
A,B合计
S1=7271
T1=7289
S2=7370
T2=7352 14641(∑ X)
24
比较 4种饲料对小鼠体重增加量的影
响, 处理因素是饲料, 有 4个水平 。
目的：比较 4种饲料的差别, 分析脂肪含量高
低, 蛋白含量高低对小鼠体重的影响 。
脂肪含量 高 低
蛋白含量 高 低 高 低
两因素试验
25
多因素试验
的方差分析
第十一章
26
第一节 析因设计的
方差分析
一、两因素两水平的析因分析
27
例 11-1 将 20只家兔随机等分 4组，每
组 5只，进行神经损伤后的缝合试验。处理
由两个因素组合而成,A因素为缝合方法，
B因素为缝合后的时间。试验结果为家兔神
经缝合后的轴突通过率 (%)。
比较不同缝合方法及缝合后时间对轴
突通过率的影响。
28
表 11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
A(缝合方法 ) 外膜缝合 (a1) 束膜缝合 (a2)
B(缝合后时间 ) 1月 (b1) 2月 (b2) 1月 (b1) 2月 (b2) 合计
10 30 10 50
10 30 20 50
40 70 30 70
50 60 50 60
10 30 30 30
24 44 28 52
120 220 140 260 740
4400 11200 4800 14400 34800
x
?x
? 2x
29
表 11-2 2因素 2水平析因试验的均数差别
A因素
B因素
平均 b2－ b1
b1 b2
a1 24 44 34 20
a2 28 52 40 24
平均 26 48 22
a2－ a1 4 8 6
30
1,单独效应 单独效应 (simple effect)是指其
他因素的水平固定时, 同一因素不同水平间
的差别 。
2,主效应 主效应 (main effect)指某一因素各
水平间的平均差别 。
31
3．交互作用 当某因素的各个单独效应随另一因
素变化而变化时，则称这两个因素间存在交互作
用 (interaction)。
0
10
20
30
40
50
60
外膜缝合 束膜缝合
均
数
图 11-2 两因素交互作用示意图
缝合 1月
缝合 2月
32
表 11-3 处理组均数比较的方差分解
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
处理组间 3 2620
误差 16 4800 300
33
A因素合计
A1＝ 120＋ 220＝ 340,A2＝ 140＋ 260＝ 400
B因素合计
B1＝ 120＋ 140＝ 260,B2＝ 220＋ 260＝ 480
2 2 2 2
12
11( ) ( 3 4 0 4 0 0 ) 2 7 3 8 0 1 8 0
2 2 5AS S A A Cn? ? ? ? ? ? ??
2 2 2 2
12
11( ) ( 2 6 0 4 8 0 ) 2 7 3 8 0 2 4 2 0
2 2 5BS S B B Cn? ? ? ? ? ? ??
2 6 2 0 1 8 0 2 4 2 0 2 0A B A BS S S S S S S S? ? ? ? ? ? ?处理
离均差平方和
34
表 11-5 析因试验结果方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
A 1 180 180 0.60 ＞ 0.05
B 1 2420 2420 8.07 ＜ 0.05
AB 1 20 20 0.07 ＞ 0.05
误 差 16 4800 300
结论,尚不能认为两种缝合方法对神经轴突通过率
有影响；可以认为缝合后 2月与 1月相比，神经轴突
通过率提高了。
35
二、完全随机分组两因素
析因设计与方差分析
36
例 11-2 观察 A,B两种镇痛药物联合运用在
产妇分娩时的镇痛 效果。 A药取 3个剂量,1.0m，
2.5mg,5.0mg； B药也取 3个剂量,5μ g,15μ g
,30μ g。共 9个处理组。将 27名产妇随机等分为 9
组，每组 3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时
间。分析 A,B两药联合运用的镇痛效果。
两种药物联合镇痛效果研究
37
表 11-7 A,B两药联合运用的镇痛时间（ min）
A药物剂量 B药物剂量5μg 15μg 30μg
1.0 mg 105 115 75
80 105 95
65 80 85
2.5 mg 75 125 135
115 130 120
80 90 150
5.0 mg 85 65 180
120 120 190
125 100 160
38
表 11-8 镇痛时间的合计值
A 药
(I =3)
B 药 (J=3) 合计
（ Ai）5μg 15μg 30μg
1.0mg 250 300 255 805
2.5mg 270 345 405 1020
5.0mg 330 285 530 1145
合计（ Bi） 850 930 1190 2970
全部数据的平方和：
2 355150X ??
39
表 11-9 两药联合运用的镇痛时间的方差分析表
变异来源 df SS MS F P
总变异 26 28450.000
A药主效应 2 6572.222 3286.111 8.47 ＜ 0.01
B药主效应 2 7022.222 3511.111 9.05 ＜ 0.01
A药 × B药 4 7872.222 1968.056 5.07 ＜ 0.01
误 差 18 6983.334 387.963
结论：① A药不同剂量的镇痛效果不同；② B药不同剂量
的镇痛效果不同；③ A,B两药有交互作用,A药 5.0mg和 B
药 30μ g时,镇痛时间持续最长。
40
三、完全随机分组三因素
析因设计与方差分析
41
例 11-3 用 5× 2× 2析因设计研究 5种类型的军装在
两种环境、两种活动状态下的散热效果，将 100名
受试者随机等分 20组，观察指标是受试者的主观
热感觉 (从, 冷, 到, 热, 按等级评分 )，结果见表
11-11。试进行方差分析。
各型军装散热效果研究
42
表 11-11 战士的主观热感觉（汇总）
军 装 类 型 （ A ） 活动环
境 （ B ）
活动状
态 （ C ） A
1 A 2 A 3 A 4 A 5
B 因素
合计
干燥 静坐 0.9 0 0.6 0 1.0 5 0.4 5 2.4 0
活动 21,60 22,90 20,80 20,55 21,53
1 12,7 8
潮湿 静坐 8.7 0 8.1 7 7.6 2 2.7 8 1 1.7 0
活动 20,60 20,55 21,63 20,03 22,52
14 4.2 9
A 因素 合计 51,80 52,22 51,10 43,80 58,15
C 因素 合计 C 1 = 44,3 7 C 2 = 212,70
43
两因素交叉分组的合计
A, B 交叉分组 合计 A, C 交叉分组 合计
B 1 B 2 C 1 C 2
A 1 22,5 0 29,3 0 A 1 9,60 42,2 0
A 2 23,5 0 28,7 2 A 2 8,77 43,4 5
A 3 21,8 5 29,2 5 A 3 8,67 42,4 3
A 4 21,0 0 22,8 0 A 4 3,23 40,5 8
A 5 23,9 3 34,2 2 A 5 14,1 0 44,4 1
B, C 交叉分组 合计
C 1 C 2
B 1 5,4 0 1 0 7,3 8
B 2 3 8,9 7 1 0 5,3 2
44
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 99 350.5763
A （ 类型 ） 4 5.2088 1.3022 3.03 ＜ 0.05
B （ 环境 ） 1 9.9319 9.9319 23.1 1 ＜ 0.01
C （ 状态 ） 1 283.3330 283.3330 659.22 ＜ 0.01
AB 4 1.9418 0.4855 1.13 ＞ 0,05
AC 4 1.4795 0.3699 0.86 ＞ 0,05
BC 1 12.6914 12.6914 29.53 ＜ 0.01
ABC 4 1.6088 0.4022 0.94 ＞ 0.05
误差 80 34.3 81 1 0.4298
表 11-12 战士的主观热感觉的方差分析表
45
第二节 正交设计与
方差分析
46
析因设计 （ the orthogonal design） 是
全面试验,g个处理组是各因素各水平的全
面组合；正交设计则是非全面试验,g个处
理组是各因素各水平的部分组合，或称析
因试验的部分实施。正交设计各因素各水
平的组合方式要查正交表决定。
一、正交设计的基本概念
47
二、正交设计表的使用
处理 列 号1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
表 11-14 L8（ 27）正交设计表
48
表 11-14 L8（ 27）正交设计表的表头设计
因素 实施 列 号
个数 比例 1 2 3 4 5 6 7
3 1 A B AB C AC BC ABC
4 1/2 A B AB C AC BC D
‖ ‖ ‖
CD BD AD
49
例 11-4 研究雌螺产卵的最优条件，在 20cm2的泥
盒里饲养同龄雌螺 10只，试验条件有 4个因素，
每个因素 2个水平。试在考虑温度与含氧量对雌
螺产卵有交互作用的情况下安排正交试验。
50
表 11-15 雌螺产卵条件因素与水平
因素
水平
A因素
温度 (℃ )
B因素
含氧量 (%)
C因素
含水量 (%)
D因素
pH值
1 5 0.5 10 6.0
2 25 5.0 30 8.0
51
表 11-16 雌螺产卵条件的正交试验
试验
序号
A因素
温度 (℃ )
B因素
含氧量 (%)
C因素
含水量 (%)
D因素
pH值
产卵
数量
1 5 0.5 10 6.0 86
2 5 0.5 30 8.0 95
3 5 5.0 10 8.0 91
4 5 5.0 30 6.0 94
5 25 0.5 10 8.0 91
6 25 0.5 30 6.0 96
7 25 5.0 10 6.0 83
8 25 5.0 30 8.0 88
52
表 11-20 雌螺产卵条件的 L8（ 27）正交试验结果
序号 1(A) 2(B) 3(AB) 4(C) 5 6 7(D) X
1 1 1 1 1 1 1 1 86
2 1 1 1 2 2 2 2 95
3 1 2 2 1 1 2 2 91
4 1 2 2 2 2 1 1 94
5 2 1 2 1 2 1 2 91
6 2 1 2 2 1 2 1 96
7 2 2 1 1 2 2 1 83
8 2 2 1 2 1 1 2 88
T1k 366 368 352 351 … … 359
T2k 358 356 372 373 … … 365 724
L8（ 27）正交表各列 (试验因素 ) 试验结果
53
三、试验结果分析
1．直接分析
单因素分析结果：温度 5℃,含氧量 0.5%、
含水量 30%,pH值 8.0时产卵较多 (95个，第 2次
试验结果 )。温度和含氧量存在交互作用。
A因素（温度）
5℃ （ a1） 25℃ （ a2）
B因素 0.5% （ b1） 86+95=181 91+96=187
（ 含氧量 ） 5.0%（ b2） 91+94=185 83+88=171
54
2．方差分析
计算离均差平方和
SS N T Tk k k? ?
1
1 2
2( )
2S S X C???
总
组间
雌螺产卵条件的 L8（ 27）正交试验中，假定只
有 AB存在一阶交互作用，则指定
SSE= SS5+SS6=0.5+4.5=5.0
55
表 11-23 雌螺产卵条件的 L8（ 27）正交试验方差分析表
总变异 7 146.0
A（ 温度 ） 1 8.0 8.0 3.2 >0.05
B（ 含氧量 ） 1 18.0 18.0 7.2 >0.05
C（ 含水量 ） 1 60.5 60.5 24.2 <0.05
D（ pH值 ） 1 4.5 4.5 1.8 >0.05
AB 1 50.0 50.0 20.0 <0.05
误差 2 5.0 2.5
变异来源 自由度 SS MS F P
结论：雌螺产卵条件主要与泥土含水量、温度与含氧量
的交互作用有关。
例 为观察中成药青黛明矾片对急性黄疸
性肝炎退黄效果，以单用输液保肝的病人作
对照进行了观察。
急性黄疸性肝炎病人的退黄天数
中药组 对照组
5 18
10 21
14 30
21 23
17 22
22
2
t检验
两组资料样本均数的比较
17.4)
12
1
13
1(29.108)11(
21
2
21
??????
nn
SS CXX
139.1
17.4
083.5208.48)(
21
2121 ?????????
? xxs
XX
t
??
3
三组战士行军后体温增加数 (度 )
不饮水 定量饮水 不限量饮水 合计
1.9 1.4 0.9
1.8 1.2 0.7
1.6 1.1 0.9
1.7 1.4 1.1
1.5 1.1 0.9
1.6 1.3 0.9
1.3 1.1 0.8
1.4 1.0 1.0
1.6 1.2 0.9 1.23
iX
4
总变异的分解
组间变异
总变异
组内变异
5
组间离均差平方和
?? ?
?? ?
???
k
i
ii
k
i
n
j
i xxnxx
i
1
2
1 1
2 )()(SS组间 =
组内离均差平方和
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
k
i
n
j
iij
i
xx
1 1
2)(
SS组内 =
总离均差平方和
? ?
? ?
?
k
i
n
j
ij
i
xx
1 1
2)(
SS总 =
= 1.97
= 0.54
= 2.51
方差分析
6
一般, 组间变异 大于或等于 组内变异
组间组间组间 dfSSMS /?
组内组内组内 dfSSMS /?
其中：
组内
组间
组内变异
组间变异
MS
MS
F ??
7
MS组间 = 1.97 / 2 = 0.985
MS组内 = 0.54 / 21 = 0.026
F ＝ 0.985 / 0.026 = 37.88
查表得界值
F0.05,2,21=3.47, F0.01,2,21=5.78
所以 P<0.01，三组总体均数不全相等。
8
完全随机设计资料的方差分析
例 为了研究一种降血脂新药的临床疗效，
统一纳入标准选择 120名患者，采用完全随
机设计方法将患者等分为 4组进行双盲试验。
9
iX X?
2X?
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 … 2.59 30 3.43 102.91 367.85
2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 … 2.31 30 2.72 81.46 233.00
4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 80.94 225.54
7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97 58.99 132.13
测量值分 组 n
表 2 4个处理组低密度脂蛋白测量值 (mmol/L)
合计 120 2.70 324.30 958.52
10
分析步骤：
1,检验假设 H0：四个试验组的总体均数相等,
即：
备择假设 H1：四个试验组的总体均数不全
相等 。
2,显著性水准,05.0??
1 2 3 4? ? ? ?? ? ?
11
3,计算
9 5 8, 5 2 8 7 6, 4 2 = 8 2, 1 0SS ??总
8 2, 1 0 3 2, 1 6 4 9, 9 4SS ? ? ?组内
2 2 2 2( 1 0 2, 9 1 ) ( 8 1, 4 6 ) ( 8 0, 9 4 ) ( 5 8, 9 9 )
3 0 3 0 3 0 3 0SS ? ? ? ?组间
8 7 6,4 2 3 2,1 6??
2( 3 2 4, 3 0 ) / 1 2 0 8 7 6, 4 2C ??
12
4,列方差分析表
表 3 方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 119 82.10
组间 3 32.16 10.72 24.93 ＜ 0.01
组内 116 49.94 0.43
13
5,查表作结论
查 F界值表：
F0.01（ 3,116） ≈3.98,F = 24.93> F0.01（ 3,116）,
所以 P<0.01。
结论,按, 拒绝 H0,接受 H1,认
为 四 个处理组患者低密度脂蛋白总体均数不相
等, 即不同剂量药物对血脂中低密度脂蛋白降
低有影响 。
05.0??
14
随机区组设计资料的方差分析
例 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，
先将 15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成 5个区
组，每个区组内 3只小白鼠随机接受三种抗癌药
物，以肉瘤的重量为指标。三种不同的药物的抑
瘤效果有无差别？
15
表 5 不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（ g）
区组 A药 B药 C药
1 0.82 0.65 0.51 1.98
2 0.73 0.54 0.23 1.50
3 0.43 0.34 0.28 1.05
4 0.41 0.21 0.31 0.93
5 0.68 0.43 0.24 1.35
3.07 2.17 1.57 6.81
0.614 0.434 0.314 0.454
2.0207 1.0587 0.5451 3.6245
1
g
iji X??
1
n
ijj X??
iX
2
1
n
ijj X??
16
拉丁方设计资料的方差分析
实验研究涉及一个处理因素和两个控制
因素，每个因素的类别数或水平数相等，可
采用拉丁方设计 （ latin square design） 来安
排试验，将两个控制因素分别安排在拉丁方
设计的行和列上。
17
表 7 穿五种防护服测得的脉搏均数（次 /分）
实验
日期
受 试 者
甲 乙 丙 丁 戊
1 D 133.4 B 98.0 A 114.0 E 110.8 C 110.6
2 B 144.4 E 132.8 D 113.2 C 119.2 A 115.2
3 C 143.0 A 123.0 E 115.8 D 118.0 B 103.8
4 A 129.8 D 104.0 C 114.8 B 116.2 E 100.6
5 E 142.8 C 120.0 B 105.8 A 110.6 D 109.8
18
设计要求：
①必须是三个因素的实验，且三个因素
的水平数相等；
②行间、列间、处理间均无交互作用；
③各行、列、处理的方差齐性。
19
表 8 拉丁方设计与试验结果（皮肤疱疹大小,mm2）
家兔编号
（行区组）
注射部位编号（列区组） 行区组
合计1 2 3 4 5 6
1 A(73) B(75) C(67) E(61) D(69) F(79) 424 70.7
2 B(83) A(81) E(99) F(82) C(85) D(87) 517 86.2
3 E(73) D(60) F(73) C(77) B(68) A(74) 425 70.8
4 F(58) C(64) B(64) D(71) A(77) E(74) 408 68.0
5 C(64) F(62) D(64) A(81) E(85) B(71) 427 71.2
6 D(77) E(75) A(73) B(59) F(85) C(82) 451 75.2
iX
20
例 4 试验两种不同配方的减肥药物 A和
B，将 10名患有肥胖症的受试者随机地分
为两组进行试验。
21
表 9 受试者的体重下降值（ kg）
给药顺序 分组后受试者编号 前四周 后四周
甲 组 1 6.129 –0.454
(A?B) 2 2.497 0.908
3 4.313 0.454
4 4.540 2.724
5 1.498 1.135
乙 组 6 4.449 2.043
(B?A) 7 4.994 1.816
8 0.454 0.136
9 0.227 1.271
10 1.589 1.271
22
两阶段交叉设计资料的方差分析
在医学研究中，将 A,B两种处理先后
施加于同一批试验对象，随机地使半数受
试者先接受 A后接受 B，而另一半受试者则
正好相反，即先接受 B再接受 A。由于两种
处理在全部试验过程中交叉进行，这种设
计称为交叉设计（ cross-over design）。
23
表 10 两种闪烁液测定血浆中 3H-cGMP的交叉试验
受试者 阶 段 合计 B
iⅠ Ⅱ
1 A（ 760） B（ 770） 1530
2 B（ 860） A（ 855） 1715
3 A（ 568） B（ 602） 1170
4 A（ 780） B（ 800） 1580
5 B（ 960） A（ 958） 1918
6 B（ 940） A（ 952） 1892
7 A（ 635） B（ 650） 1285
8 B（ 440） A（ 450） 890
9 A（ 528） B（ 530） 1058
10 B（ 800） A（ 803） 1603
各阶段合计
A,B合计
S1=7271
T1=7289
S2=7370
T2=7352 14641(∑ X)
24
比较 4种饲料对小鼠体重增加量的影
响, 处理因素是饲料, 有 4个水平 。
目的：比较 4种饲料的差别, 分析脂肪含量高
低, 蛋白含量高低对小鼠体重的影响 。
脂肪含量 高 低
蛋白含量 高 低 高 低
两因素试验
25
多因素试验
的方差分析
第十一章
26
第一节 析因设计的
方差分析
一、两因素两水平的析因分析
27
例 11-1 将 20只家兔随机等分 4组，每
组 5只，进行神经损伤后的缝合试验。处理
由两个因素组合而成,A因素为缝合方法，
B因素为缝合后的时间。试验结果为家兔神
经缝合后的轴突通过率 (%)。
比较不同缝合方法及缝合后时间对轴
突通过率的影响。
28
表 11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
A(缝合方法 ) 外膜缝合 (a1) 束膜缝合 (a2)
B(缝合后时间 ) 1月 (b1) 2月 (b2) 1月 (b1) 2月 (b2) 合计
10 30 10 50
10 30 20 50
40 70 30 70
50 60 50 60
10 30 30 30
24 44 28 52
120 220 140 260 740
4400 11200 4800 14400 34800
x
?x
? 2x
29
表 11-2 2因素 2水平析因试验的均数差别
A因素
B因素
平均 b2－ b1
b1 b2
a1 24 44 34 20
a2 28 52 40 24
平均 26 48 22
a2－ a1 4 8 6
30
1,单独效应 单独效应 (simple effect)是指其
他因素的水平固定时, 同一因素不同水平间
的差别 。
2,主效应 主效应 (main effect)指某一因素各
水平间的平均差别 。
31
3．交互作用 当某因素的各个单独效应随另一因
素变化而变化时，则称这两个因素间存在交互作
用 (interaction)。
0
10
20
30
40
50
60
外膜缝合 束膜缝合
均
数
图 11-2 两因素交互作用示意图
缝合 1月
缝合 2月
32
表 11-3 处理组均数比较的方差分解
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
处理组间 3 2620
误差 16 4800 300
33
A因素合计
A1＝ 120＋ 220＝ 340,A2＝ 140＋ 260＝ 400
B因素合计
B1＝ 120＋ 140＝ 260,B2＝ 220＋ 260＝ 480
2 2 2 2
12
11( ) ( 3 4 0 4 0 0 ) 2 7 3 8 0 1 8 0
2 2 5AS S A A Cn? ? ? ? ? ? ??
2 2 2 2
12
11( ) ( 2 6 0 4 8 0 ) 2 7 3 8 0 2 4 2 0
2 2 5BS S B B Cn? ? ? ? ? ? ??
2 6 2 0 1 8 0 2 4 2 0 2 0A B A BS S S S S S S S? ? ? ? ? ? ?处理
离均差平方和
34
表 11-5 析因试验结果方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
A 1 180 180 0.60 ＞ 0.05
B 1 2420 2420 8.07 ＜ 0.05
AB 1 20 20 0.07 ＞ 0.05
误 差 16 4800 300
结论,尚不能认为两种缝合方法对神经轴突通过率
有影响；可以认为缝合后 2月与 1月相比，神经轴突
通过率提高了。
35
二、完全随机分组两因素
析因设计与方差分析
36
例 11-2 观察 A,B两种镇痛药物联合运用在
产妇分娩时的镇痛 效果。 A药取 3个剂量,1.0m，
2.5mg,5.0mg； B药也取 3个剂量,5μ g,15μ g
,30μ g。共 9个处理组。将 27名产妇随机等分为 9
组，每组 3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时
间。分析 A,B两药联合运用的镇痛效果。
两种药物联合镇痛效果研究
37
表 11-7 A,B两药联合运用的镇痛时间（ min）
A药物剂量 B药物剂量5μg 15μg 30μg
1.0 mg 105 115 75
80 105 95
65 80 85
2.5 mg 75 125 135
115 130 120
80 90 150
5.0 mg 85 65 180
120 120 190
125 100 160
38
表 11-8 镇痛时间的合计值
A 药
(I =3)
B 药 (J=3) 合计
（ Ai）5μg 15μg 30μg
1.0mg 250 300 255 805
2.5mg 270 345 405 1020
5.0mg 330 285 530 1145
合计（ Bi） 850 930 1190 2970
全部数据的平方和：
2 355150X ??
39
表 11-9 两药联合运用的镇痛时间的方差分析表
变异来源 df SS MS F P
总变异 26 28450.000
A药主效应 2 6572.222 3286.111 8.47 ＜ 0.01
B药主效应 2 7022.222 3511.111 9.05 ＜ 0.01
A药 × B药 4 7872.222 1968.056 5.07 ＜ 0.01
误 差 18 6983.334 387.963
结论：① A药不同剂量的镇痛效果不同；② B药不同剂量
的镇痛效果不同；③ A,B两药有交互作用,A药 5.0mg和 B
药 30μ g时,镇痛时间持续最长。
40
三、完全随机分组三因素
析因设计与方差分析
41
例 11-3 用 5× 2× 2析因设计研究 5种类型的军装在
两种环境、两种活动状态下的散热效果，将 100名
受试者随机等分 20组，观察指标是受试者的主观
热感觉 (从, 冷, 到, 热, 按等级评分 )，结果见表
11-11。试进行方差分析。
各型军装散热效果研究
42
表 11-11 战士的主观热感觉（汇总）
军 装 类 型 （ A ） 活动环
境 （ B ）
活动状
态 （ C ） A
1 A 2 A 3 A 4 A 5
B 因素
合计
干燥 静坐 0.9 0 0.6 0 1.0 5 0.4 5 2.4 0
活动 21,60 22,90 20,80 20,55 21,53
1 12,7 8
潮湿 静坐 8.7 0 8.1 7 7.6 2 2.7 8 1 1.7 0
活动 20,60 20,55 21,63 20,03 22,52
14 4.2 9
A 因素 合计 51,80 52,22 51,10 43,80 58,15
C 因素 合计 C 1 = 44,3 7 C 2 = 212,70
43
两因素交叉分组的合计
A, B 交叉分组 合计 A, C 交叉分组 合计
B 1 B 2 C 1 C 2
A 1 22,5 0 29,3 0 A 1 9,60 42,2 0
A 2 23,5 0 28,7 2 A 2 8,77 43,4 5
A 3 21,8 5 29,2 5 A 3 8,67 42,4 3
A 4 21,0 0 22,8 0 A 4 3,23 40,5 8
A 5 23,9 3 34,2 2 A 5 14,1 0 44,4 1
B, C 交叉分组 合计
C 1 C 2
B 1 5,4 0 1 0 7,3 8
B 2 3 8,9 7 1 0 5,3 2
44
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 99 350.5763
A （ 类型 ） 4 5.2088 1.3022 3.03 ＜ 0.05
B （ 环境 ） 1 9.9319 9.9319 23.1 1 ＜ 0.01
C （ 状态 ） 1 283.3330 283.3330 659.22 ＜ 0.01
AB 4 1.9418 0.4855 1.13 ＞ 0,05
AC 4 1.4795 0.3699 0.86 ＞ 0,05
BC 1 12.6914 12.6914 29.53 ＜ 0.01
ABC 4 1.6088 0.4022 0.94 ＞ 0.05
误差 80 34.3 81 1 0.4298
表 11-12 战士的主观热感觉的方差分析表
45
第二节 正交设计与
方差分析
46
析因设计 （ the orthogonal design） 是
全面试验,g个处理组是各因素各水平的全
面组合；正交设计则是非全面试验,g个处
理组是各因素各水平的部分组合，或称析
因试验的部分实施。正交设计各因素各水
平的组合方式要查正交表决定。
一、正交设计的基本概念
47
二、正交设计表的使用
处理 列 号1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
表 11-14 L8（ 27）正交设计表
48
表 11-14 L8（ 27）正交设计表的表头设计
因素 实施 列 号
个数 比例 1 2 3 4 5 6 7
3 1 A B AB C AC BC ABC
4 1/2 A B AB C AC BC D
‖ ‖ ‖
CD BD AD
49
例 11-4 研究雌螺产卵的最优条件，在 20cm2的泥
盒里饲养同龄雌螺 10只，试验条件有 4个因素，
每个因素 2个水平。试在考虑温度与含氧量对雌
螺产卵有交互作用的情况下安排正交试验。
50
表 11-15 雌螺产卵条件因素与水平
因素
水平
A因素
温度 (℃ )
B因素
含氧量 (%)
C因素
含水量 (%)
D因素
pH值
1 5 0.5 10 6.0
2 25 5.0 30 8.0
51
表 11-16 雌螺产卵条件的正交试验
试验
序号
A因素
温度 (℃ )
B因素
含氧量 (%)
C因素
含水量 (%)
D因素
pH值
产卵
数量
1 5 0.5 10 6.0 86
2 5 0.5 30 8.0 95
3 5 5.0 10 8.0 91
4 5 5.0 30 6.0 94
5 25 0.5 10 8.0 91
6 25 0.5 30 6.0 96
7 25 5.0 10 6.0 83
8 25 5.0 30 8.0 88
52
表 11-20 雌螺产卵条件的 L8（ 27）正交试验结果
序号 1(A) 2(B) 3(AB) 4(C) 5 6 7(D) X
1 1 1 1 1 1 1 1 86
2 1 1 1 2 2 2 2 95
3 1 2 2 1 1 2 2 91
4 1 2 2 2 2 1 1 94
5 2 1 2 1 2 1 2 91
6 2 1 2 2 1 2 1 96
7 2 2 1 1 2 2 1 83
8 2 2 1 2 1 1 2 88
T1k 366 368 352 351 … … 359
T2k 358 356 372 373 … … 365 724
L8（ 27）正交表各列 (试验因素 ) 试验结果
53
三、试验结果分析
1．直接分析
单因素分析结果：温度 5℃,含氧量 0.5%、
含水量 30%,pH值 8.0时产卵较多 (95个，第 2次
试验结果 )。温度和含氧量存在交互作用。
A因素（温度）
5℃ （ a1） 25℃ （ a2）
B因素 0.5% （ b1） 86+95=181 91+96=187
（ 含氧量 ） 5.0%（ b2） 91+94=185 83+88=171
54
2．方差分析
计算离均差平方和
SS N T Tk k k? ?
1
1 2
2( )
2S S X C???
总
组间
雌螺产卵条件的 L8（ 27）正交试验中，假定只
有 AB存在一阶交互作用，则指定
SSE= SS5+SS6=0.5+4.5=5.0
55
表 11-23 雌螺产卵条件的 L8（ 27）正交试验方差分析表
总变异 7 146.0
A（ 温度 ） 1 8.0 8.0 3.2 >0.05
B（ 含氧量 ） 1 18.0 18.0 7.2 >0.05
C（ 含水量 ） 1 60.5 60.5 24.2 <0.05
D（ pH值 ） 1 4.5 4.5 1.8 >0.05
AB 1 50.0 50.0 20.0 <0.05
误差 2 5.0 2.5
变异来源 自由度 SS MS F P
结论：雌螺产卵条件主要与泥土含水量、温度与含氧量
的交互作用有关。
