2-6 单元刚度矩阵
讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结
点位移表示结点力的表达式。
由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经
用虚功方程表示出平衡方程。
? ? ? ? ? ? ? ? 17)-(1 dxdydzζεFδ T*T* ???? iv
i
m
U
j
U
i
U
m
v
j
v
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j
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*
y
*
x
￡?￡? gee
xy
t
x
s
( a ) ?á μ? á| ?￠ ?ú 2? ó| á| ( b ) Dé ?? ò? ?￠ Dé ó| ±?
2-6 单元刚度矩阵
考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：
任意虚设位移，结点位移与内部应变为
? ?
??
?
?
?
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t
s
s
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xy
y
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j
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u
v
u
v
u
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2-6 单元刚度矩阵
令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为
m*mm*mj*jj*ji*ii*i VvUuVvUuVvUu ??????T
? ?
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j
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i
V
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V
U
V
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vuvuvu
? ? ? ? eeT* Fδ?
2-6 单元刚度矩阵
计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为 dx
和 dy,厚度为 t,图示微小矩形的实际应力和虚设变形。
dy
dx dx dx
dydy
dx dxdx
dy dy dyt d yxs
t dy
x
s
t d x
y
s
t d x
y
s
t dx
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t
t dx
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t
t dy
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t
t dy
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t
dx
*
x
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dy
*
y
e
*
xy
g
*
xy
g
( a ) êμ ?ê ó| á|
( b ) Dé éè ó| ±?
2-6 单元刚度矩阵
微小矩形的内力虚功为
整个弹性体的内力虚功为
? ? ? ????? ?? t d x d yζεdUU T*
dy)( γtdx)( ηdy)( εtdx)( ζdx)( εtdy)( ζdU *xyxy*yy*xx ??????
)tdxdyηγζεζ( ε xy*xyy*yx*x ???
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x
*
xy
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y
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x
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? ? ? ? ???? t d x d yζε T*
2-6 单元刚度矩阵
根据虚功原理，得
这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之
间的平衡方程。
虚应变可以由结点虚位移求出：
代入虚功方程
? ? ? ? ? ? ? ??? se?? tdxdyF T*eTe*
? ? ? ?? ? ? ? TTe*Te*T* [B]δ)δB(ε ??
? ? ? ? ? ? ? ??? s??? tdxdy]B[F TTe*eTe*
? ? ? ???? t d x d yζ[ B ]F Te
2-6 单元刚度矩阵
接上式，将应力用结点位移表示出
有
令
则
建立了单元的结点力与结点位移之间的关系,称
为单元刚度矩阵。它是 6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点
沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的
形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随
单元或坐标轴的平行移动而改变。
? ? ? ?? ?? ? eδBDζ ?
? ? ? ???? eTe δy[ D ] [ B ] t d x d[ B ]F
? ? ??? y[ D ] [ B ] t d x d[ B ]K Te
? ? ? ? ? ? eee δKF ?
? ?eK
2-6 单元刚度矩阵
由于 [D]中元素是常量，而在线性位移模式下,[B]中的
元素也是常量，且
因此
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元
刚度矩阵。
? ? ? ???? eTe δy[ D ] [ B ] t d x d[ B ]F
Adxdy ???
? ? ? ? eTe δ[ D ] [ B ] t A[ B ]F ?
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2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
已经求出了下列关系
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Te
?
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e
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(6)
(3) (3)
(6 ¨w 3) (3 ¨w 3) (3 ¨w 6)
(3 ¨w 6)
(6 ¨w 6)
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
结点力和结点位移的关系,(以简单平面桁架为例 )
平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合
体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力
与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。
结点力和结点位移的关系前面已经求出：
A D
B
P
C
A
P
? ? ? ? ? ? eee δKF ?
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将 写成分块矩阵
写成普通方程
其中 表示结点 S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点
r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。
?
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KKK
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δ Kδ Kδ KF
δ Kδ Kδ KF
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mjmjjjijij
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? ?rsK
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将结点力列矩阵 与结点位移列矩阵 均展开成
(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成 (6*6)阶方阵：
元素 K的脚码，标有, -” 的表示水平方向，没有标, -”
的表示垂直方向。
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m
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KKKKKK
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KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
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U
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U
V
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2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。
表示结点 S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向
产生单位位移时，在结点 r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平
结点力和垂直结点力的大小。例如 表示结点 j在垂直方
向产生单位位移时，在结点 i所需要施加的水平结点力的大小。
?
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mj,i,S ssrssrr
m)j,i,)(rvKu(K U
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mj,i,S
srsssrr m)j,i,)(rvKu(K V
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jiK
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性,是对称矩阵
2)奇异性,是奇异矩阵，
单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶
数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元
素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。
? ?eK
? ?eK 0K e ?
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设 y
x
a
a
i(a,0)m(0,0)
j(0,a)
1、求 [B]
2,求 [D]
3,求 [S]
4,求
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5.5.05.5.0
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010001
2
Et
K
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2-8 整体分析
将各单元组合成结构，进行整体分析。
2
￠?
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P
3x
P
3
1
4 5
6
2x
P
1y
P
a
a
aa
整体分析分 4个步骤
1、建立整体刚度矩阵；
2、根据支承条件修改整
体刚度矩阵；
3、解方程组，求出结点
位移； (消去法与叠加法 )
4、根据结点位移求出应
力。
? ? ? ?? ??? KF
讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结
点位移表示结点力的表达式。
由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经
用虚功方程表示出平衡方程。
? ? ? ? ? ? ? ? 17)-(1 dxdydzζεFδ T*T* ???? iv
i
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U
j
U
i
U
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s
( a ) ?á μ? á| ?￠ ?ú 2? ó| á| ( b ) Dé ?? ò? ?￠ Dé ó| ±?
2-6 单元刚度矩阵
考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：
任意虚设位移，结点位移与内部应变为
? ?
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?
?
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t
s
s
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xy
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u
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2-6 单元刚度矩阵
令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为
m*mm*mj*jj*ji*ii*i VvUuVvUuVvUu ??????T
? ?
?
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?
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j
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i
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i
V
U
V
U
V
U
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? ? ? ? eeT* Fδ?
2-6 单元刚度矩阵
计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为 dx
和 dy,厚度为 t,图示微小矩形的实际应力和虚设变形。
dy
dx dx dx
dydy
dx dxdx
dy dy dyt d yxs
t dy
x
s
t d x
y
s
t d x
y
s
t dx
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t
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x
e
dy
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y
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xy
g
*
xy
g
( a ) êμ ?ê ó| á|
( b ) Dé éè ó| ±?
2-6 单元刚度矩阵
微小矩形的内力虚功为
整个弹性体的内力虚功为
? ? ? ????? ?? t d x d yζεdUU T*
dy)( γtdx)( ηdy)( εtdx)( ζdx)( εtdy)( ζdU *xyxy*yy*xx ??????
)tdxdyηγζεζ( ε xy*xyy*yx*x ???
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2-6 单元刚度矩阵
根据虚功原理，得
这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之
间的平衡方程。
虚应变可以由结点虚位移求出：
代入虚功方程
? ? ? ? ? ? ? ??? se?? tdxdyF T*eTe*
? ? ? ?? ? ? ? TTe*Te*T* [B]δ)δB(ε ??
? ? ? ? ? ? ? ??? s??? tdxdy]B[F TTe*eTe*
? ? ? ???? t d x d yζ[ B ]F Te
2-6 单元刚度矩阵
接上式，将应力用结点位移表示出
有
令
则
建立了单元的结点力与结点位移之间的关系,称
为单元刚度矩阵。它是 6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点
沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的
形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随
单元或坐标轴的平行移动而改变。
? ? ? ?? ?? ? eδBDζ ?
? ? ? ???? eTe δy[ D ] [ B ] t d x d[ B ]F
? ? ??? y[ D ] [ B ] t d x d[ B ]K Te
? ? ? ? ? ? eee δKF ?
? ?eK
2-6 单元刚度矩阵
由于 [D]中元素是常量，而在线性位移模式下,[B]中的
元素也是常量，且
因此
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元
刚度矩阵。
? ? ? ???? eTe δy[ D ] [ B ] t d x d[ B ]F
Adxdy ???
? ? ? ? eTe δ[ D ] [ B ] t A[ B ]F ?
? ? [D][B]tA[B]K Te ?
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
已经求出了下列关系
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? ? tAB
T
? ? tA]B][D[]B[K
Te
?
? ?
e
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e
F
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(6)
(3) (3)
(6 ¨w 3) (3 ¨w 3) (3 ¨w 6)
(3 ¨w 6)
(6 ¨w 6)
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
结点力和结点位移的关系,(以简单平面桁架为例 )
平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合
体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力
与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。
结点力和结点位移的关系前面已经求出：
A D
B
P
C
A
P
? ? ? ? ? ? eee δKF ?
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将 写成分块矩阵
写成普通方程
其中 表示结点 S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点
r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。
?
?
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2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将结点力列矩阵 与结点位移列矩阵 均展开成
(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成 (6*6)阶方阵：
元素 K的脚码，标有, -” 的表示水平方向，没有标, -”
的表示垂直方向。
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v
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KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
V
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V
U
V
U
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。
表示结点 S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向
产生单位位移时，在结点 r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平
结点力和垂直结点力的大小。例如 表示结点 j在垂直方
向产生单位位移时，在结点 i所需要施加的水平结点力的大小。
?
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srsssrr m)j,i,)(rvKu(K V
rssrsrsr,K，K，KK
jiK
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性,是对称矩阵
2)奇异性,是奇异矩阵，
单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶
数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元
素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。
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? ?eK 0K e ?
2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设 y
x
a
a
i(a,0)m(0,0)
j(0,a)
1、求 [B]
2,求 [D]
3,求 [S]
4,求
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5.5.05.5.0
5.5.05.5.0
010001
2
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K
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2-8 整体分析
将各单元组合成结构，进行整体分析。
2
￠?
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￠ú
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P
3x
P
3
1
4 5
6
2x
P
1y
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整体分析分 4个步骤
1、建立整体刚度矩阵；
2、根据支承条件修改整
体刚度矩阵；
3、解方程组，求出结点
位移； (消去法与叠加法 )
4、根据结点位移求出应
力。
? ? ? ?? ??? KF
