2-8 整体分析
2
￠?
￠ü
￠ù
￠ú
3y
P
3x
P
3
1
4 5
6
2x
P
1y
P
a
a
aa
图示结构的网格共有四
个单元和六个结点。在结
点 1,4,6共有四个支杆支
承。结构的载荷已经转移
为结点载荷。
整体分析的四个步骤：
1、建立整体刚度矩阵；
2、根据支承条件修改整体
刚度矩阵；
3、解方程组，求结点位移；
4、根据结点位移求出应力。
对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成
结构，进行整体分析。
2-8 整体分析
1、建立整体刚度矩阵 (也叫作结构刚度矩阵 )
上图中的结构有六个结点，共有 12个结点位移分量和 12
个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，
转换关系为：
分块形式为：
其中子向量 和 都是二阶向量，子矩阵
是二行二列矩阵。整体刚度矩阵 [K]是 12*12阶矩阵。
? ? ? ?? ??? KF
? ?
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5
4
3
2
1
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565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
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KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
F
F
F
F
F
F
? ?i? ? ?iF ? ?ijK
2-8 整体分析
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。
建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有
考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以
处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点 1,4,6的四
个支杆处相应位移已知为零：
建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出结点位移。
通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据结点位移求出应力。
0000 6441 ???? vvuu,，，
2-9 整体刚度矩阵的形式
整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵 的集成。
1、刚度集成法的物理概念：
刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起
的结点力。
由 2-8节的例题可见，与结点 2和 3相关的单元有单元①和
③，当结点 3发生单位位移时，相关单元①和③同时在结点 2引
起结点力，将相关单元在结点 2的结点力相加，就得出结构在
结点 2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚
度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块
的集成。
??ek??K
2-9 整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则：
先对每个单元求出单元刚度矩阵,然后将其中的每
个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭
加之后即得出结构刚度矩阵 [K]的子块，从而得出结构刚度矩
阵 [K]。
关键是如何找出 中的子块在 [K]中的对应位置。这
需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关
系。
??ek
? ?ijk
??ek
2-9 整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则：
2
③
④
①
②
3
1
4
5
a
a
aa
6
1
j
3
m
2
m
1
m
4
i
3
i
1
i
2
i
4
j
3
j
2
j
4
m
结构中的结点编码称为
结点的总码，各个单元的三
个结点又按逆时针方向编为
i,j,m,称为结点的局部码。
单元刚度矩阵中的子块
是按结点的局部码排列的，
而结构刚度矩阵中的子块是
按结点的总码排列的。因此，
在单元刚度矩阵中，把结点
的局部码换成总码，并把其
中的子块按照总码次序重新
排列。
2-9 整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码 i,j,m对应于总码 5,2,4，因此
中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：
? ?(2)k
? ?(2)K
)2(
jj
]K[
)2(
jm
]K[
)2(
ji
]K[
)2(
mj
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]K[
)2(
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]K[
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]K[
)2(
ii
]K[
2
j
2
m
2
i
2
j
2
m
2
i
1 2
6
5
4
3
2
1
6543
局部码
总码
2-9 整体刚度矩阵的形式
用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵
将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵 [K]：
集成规则包含搬家和迭加两个环节：
1、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩
大刚度矩阵 。
2、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度
矩阵 [K]。
(例题略 )
? ? ? ? ? ?( 4 )( 3 )( 1 ) K、K、K
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? (e)(4)(3)(2)(1) KKKKKK
??ek
? ?eK
? ?eK
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jj
]K[
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)2(
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)1(
jm
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)1(
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)2(
jm
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)4(
ii
]K[
)4(
mi
]K[
)4(
ji
]K[
2
m
1
j
2
m
4
i
1 2
6
5
4
3
2
1
6543
局部码
总码
321
i,j,m
431
j,m,i
432
m,j,i
3
2
1
i
j
m
1
j
4
3
1
j
m
i
4
3
2
m
j
i
4
i
)1(
mm
]K[
)2(
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ij
]K[?
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mj
]K[
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jm
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)2(
ii
]K[
)3(
jj
]K[?
)4(
mm
]K[?
2-10 支承条件的处理
整体刚度矩阵 [K]求出后，结构的结点力 {F}可表示为
在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在
有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考
虑在内。如果用 {P}表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则
结点的平衡方程为
根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点 n有水平
支杆的情况。与结点 n水平方向对应的平衡方程是第 2n-1个方
程，
根据支承情况，上式应换成,即在 [K]中，第
2n-1行的对角线元素 应改为 1，该行全部非对角线元
素应改为 0。在 {P}中，第 2n-1个元素 应改为 0。
此外，为了保持矩阵 [K]的对称性，则第 2n-1列全部非对
角线元素也改为 0。
? ? ? ?δ[K ]F ?
? ? ? ?Pδ ?[K ]
xnn1,2 n2nn11,2 n2n11,22n11,12n P...vKuK...vKuK ?????? ?????
0u n ?
11,2n2nK ??
xnP
2-10 支承条件的处理
同理，如果结点 n有竖向支杆，则平衡方程的第 2n个方程
应改为,为此，在矩阵 [K]中，第 2n行的对角线元素
改为 1，该行全部非对角线元素改为 0，同时，第 2n列全部非
对角线元素也改为 0。在 {P}中，第 2n个元素改为 0。
0vn ?
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P
P
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00
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00
00
00
00
00
y2
x2
y1
x1
n
n
2
2
1
1
2-10 支承条件的处理
2-8节中的结构，结点 1有水平支杆，结点 2有两个支杆，
结点 3有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：
2
￠?
￠ü
￠ù
￠ú
3y
P
3x
P
3
1
4 5
6
2x
P
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P
a
a
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2
1
0*
0**
0***
00001
000001
0***00*
0***00**
0***00***
0***00****
0***00*****
000000000001
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称对
2-10 支承条件的处理
最后考虑支点 n的水平位移 为已知非零值 的情
况，这时的支承条件为
对平衡方程的第 2n-1个方程作如下修改：
对角线系数 乘以一个大数 A ( 例如 A=1010 )；
右边自由项换成 ；
其余各项保持不变，即有
实际上，上式中除包含大数 A的两项外，其他各项相对地
都比较小，可以忽略不计，因此与支承条件等价。
对于支点的竖向位移 的支承条件，也可用同
样的方法进行修改。
nu *nu
)*n(*nn 0u uu ??
*nn vv ?
11,2n2nK ??
*n11,2 n2n uAK ??
*n11,2 n2nn1,2 n2nn11,2 n2n11,22n11,12n uAK...vKuAK...vKuK ??????? ??????
2-11 整体刚度矩阵的特点
在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在
解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体
刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。
1、对称性。
只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。
2、稀疏性。
矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
2-11 整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。
矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
结点 5只与周围的六个结
点 (2,3,4,6,8,9)用三角
形单元相连，它们是 5的相关
结点。只有当这七个相关结点
产生位移时，才使该结点产生
结点力，其余结点发生位移时
并不在该结点处引起结点力。
因此，在矩阵 [K]中，第 5行的
非零子块只有七个 (即与相关
结点对应的七个子块 )。
2-11 整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。
一般，一个结点的相关结
点不会超过九个，如果网格中
有 200个结点，则一行中非零
子块的个数与该行的子块总数
相比不大于 9/200，即在 5%以
下，如果网格的结点个数越多，
则刚度矩阵的稀疏性就越突出。
利用矩阵 [K]的稀疏性，
可设法只存贮非零元素，从而
可大量地节省存贮容量。
1
1
1098765432
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2-11 整体刚度矩阵的特点
3、带形分布规律。
上图中，矩阵 [K]的非零元素分布在以对角线为中心
的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中 (包括对角
线元素在内 )，每行具有的元素个数叫做半带宽，用 d表示。
半带宽的一般计算公式是：
半带宽 d = ( 相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2
上图中相邻结点码的最大差值为 4，故 d=(4+1)*2=10
利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的
元素，叫半带存贮。
2-11 整体刚度矩阵的特点
图 (a)中的矩阵 [K]为 n行 n列矩阵，半带宽为 d。半带存贮
时从 [K]中取出上半带元素，按图 (b)中的矩阵 的排列方
式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量 n*d，存贮量
与 [K]中元素总数之比为 d/n,d值越小，则存贮量约省。
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( a ) [ K ]
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[ K ] )( b
*[K]
矩阵 [K] 矩阵
对角线 第 1列
r行 r行
r列 45度斜线
r行 s列 r行 s-r+1列元素
元素
*[K]
2-11 整体刚度矩阵的特点
同一网格中，如果采用不同的结点编码，则相应的半带
宽 d也可能不同。如图，是同一网格的三种结点编码，相邻结
点码的最大差值分别为 4,6,8，半带宽分别为 10,14,18。
因此，应当采用合理的结点编码方式，以便得到最小的半带
宽，从而节省存贮容量。 1
6
10987
4
3
2
5
1
8
7654
3
9
2
10
1
4
10987
6
3
2
5
2
￠?
￠ü
￠ù
￠ú
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P
3x
P
3
1
4 5
6
2x
P
1y
P
a
a
aa
图示结构的网格共有四
个单元和六个结点。在结
点 1,4,6共有四个支杆支
承。结构的载荷已经转移
为结点载荷。
整体分析的四个步骤：
1、建立整体刚度矩阵；
2、根据支承条件修改整体
刚度矩阵；
3、解方程组，求结点位移；
4、根据结点位移求出应力。
对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成
结构，进行整体分析。
2-8 整体分析
1、建立整体刚度矩阵 (也叫作结构刚度矩阵 )
上图中的结构有六个结点，共有 12个结点位移分量和 12
个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，
转换关系为：
分块形式为：
其中子向量 和 都是二阶向量，子矩阵
是二行二列矩阵。整体刚度矩阵 [K]是 12*12阶矩阵。
? ? ? ?? ??? KF
? ?
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363534333231
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161514131211
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KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
F
F
F
F
F
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2-8 整体分析
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。
建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有
考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以
处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点 1,4,6的四
个支杆处相应位移已知为零：
建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出结点位移。
通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据结点位移求出应力。
0000 6441 ???? vvuu,，，
2-9 整体刚度矩阵的形式
整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵 的集成。
1、刚度集成法的物理概念：
刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起
的结点力。
由 2-8节的例题可见，与结点 2和 3相关的单元有单元①和
③，当结点 3发生单位位移时，相关单元①和③同时在结点 2引
起结点力，将相关单元在结点 2的结点力相加，就得出结构在
结点 2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚
度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块
的集成。
??ek??K
2-9 整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则：
先对每个单元求出单元刚度矩阵,然后将其中的每
个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭
加之后即得出结构刚度矩阵 [K]的子块，从而得出结构刚度矩
阵 [K]。
关键是如何找出 中的子块在 [K]中的对应位置。这
需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关
系。
??ek
? ?ijk
??ek
2-9 整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则：
2
③
④
①
②
3
1
4
5
a
a
aa
6
1
j
3
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1
i
2
i
4
j
3
j
2
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4
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结构中的结点编码称为
结点的总码，各个单元的三
个结点又按逆时针方向编为
i,j,m,称为结点的局部码。
单元刚度矩阵中的子块
是按结点的局部码排列的，
而结构刚度矩阵中的子块是
按结点的总码排列的。因此，
在单元刚度矩阵中，把结点
的局部码换成总码，并把其
中的子块按照总码次序重新
排列。
2-9 整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码 i,j,m对应于总码 5,2,4，因此
中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：
? ?(2)k
? ?(2)K
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jm
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)2(
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2
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m
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1 2
6
5
4
3
2
1
6543
局部码
总码
2-9 整体刚度矩阵的形式
用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵
将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵 [K]：
集成规则包含搬家和迭加两个环节：
1、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩
大刚度矩阵 。
2、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度
矩阵 [K]。
(例题略 )
? ? ? ? ? ?( 4 )( 3 )( 1 ) K、K、K
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? (e)(4)(3)(2)(1) KKKKKK
??ek
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1 2
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6543
局部码
总码
321
i,j,m
431
j,m,i
432
m,j,i
3
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]K[?
2-10 支承条件的处理
整体刚度矩阵 [K]求出后，结构的结点力 {F}可表示为
在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在
有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考
虑在内。如果用 {P}表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则
结点的平衡方程为
根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点 n有水平
支杆的情况。与结点 n水平方向对应的平衡方程是第 2n-1个方
程，
根据支承情况，上式应换成,即在 [K]中，第
2n-1行的对角线元素 应改为 1，该行全部非对角线元
素应改为 0。在 {P}中，第 2n-1个元素 应改为 0。
此外，为了保持矩阵 [K]的对称性，则第 2n-1列全部非对
角线元素也改为 0。
? ? ? ?δ[K ]F ?
? ? ? ?Pδ ?[K ]
xnn1,2 n2nn11,2 n2n11,22n11,12n P...vKuK...vKuK ?????? ?????
0u n ?
11,2n2nK ??
xnP
2-10 支承条件的处理
同理，如果结点 n有竖向支杆，则平衡方程的第 2n个方程
应改为,为此，在矩阵 [K]中，第 2n行的对角线元素
改为 1，该行全部非对角线元素改为 0，同时，第 2n列全部非
对角线元素也改为 0。在 {P}中，第 2n个元素改为 0。
0vn ?
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0
0
P
P
P
P
v
u
v
u
v
u
00
00
00
00
000010000000
000001000000
00
00
00
00
00
00
y2
x2
y1
x1
n
n
2
2
1
1
2-10 支承条件的处理
2-8节中的结构，结点 1有水平支杆，结点 2有两个支杆，
结点 3有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：
2
￠?
￠ü
￠ù
￠ú
3y
P
3x
P
3
1
4 5
6
2x
P
1y
P
a
a
aa
2
1
0*
0**
0***
00001
000001
0***00*
0***00**
0***00***
0***00****
0***00*****
000000000001
Et
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称对
2-10 支承条件的处理
最后考虑支点 n的水平位移 为已知非零值 的情
况，这时的支承条件为
对平衡方程的第 2n-1个方程作如下修改：
对角线系数 乘以一个大数 A ( 例如 A=1010 )；
右边自由项换成 ；
其余各项保持不变，即有
实际上，上式中除包含大数 A的两项外，其他各项相对地
都比较小，可以忽略不计，因此与支承条件等价。
对于支点的竖向位移 的支承条件，也可用同
样的方法进行修改。
nu *nu
)*n(*nn 0u uu ??
*nn vv ?
11,2n2nK ??
*n11,2 n2n uAK ??
*n11,2 n2nn1,2 n2nn11,2 n2n11,22n11,12n uAK...vKuAK...vKuK ??????? ??????
2-11 整体刚度矩阵的特点
在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在
解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体
刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。
1、对称性。
只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。
2、稀疏性。
矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
2-11 整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。
矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
结点 5只与周围的六个结
点 (2,3,4,6,8,9)用三角
形单元相连，它们是 5的相关
结点。只有当这七个相关结点
产生位移时，才使该结点产生
结点力，其余结点发生位移时
并不在该结点处引起结点力。
因此，在矩阵 [K]中，第 5行的
非零子块只有七个 (即与相关
结点对应的七个子块 )。
2-11 整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。
一般，一个结点的相关结
点不会超过九个，如果网格中
有 200个结点，则一行中非零
子块的个数与该行的子块总数
相比不大于 9/200，即在 5%以
下，如果网格的结点个数越多，
则刚度矩阵的稀疏性就越突出。
利用矩阵 [K]的稀疏性，
可设法只存贮非零元素，从而
可大量地节省存贮容量。
1
1
1098765432
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2-11 整体刚度矩阵的特点
3、带形分布规律。
上图中，矩阵 [K]的非零元素分布在以对角线为中心
的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中 (包括对角
线元素在内 )，每行具有的元素个数叫做半带宽，用 d表示。
半带宽的一般计算公式是：
半带宽 d = ( 相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2
上图中相邻结点码的最大差值为 4，故 d=(4+1)*2=10
利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的
元素，叫半带存贮。
2-11 整体刚度矩阵的特点
图 (a)中的矩阵 [K]为 n行 n列矩阵，半带宽为 d。半带存贮
时从 [K]中取出上半带元素，按图 (b)中的矩阵 的排列方
式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量 n*d，存贮量
与 [K]中元素总数之比为 d/n,d值越小，则存贮量约省。
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?
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d
n
( a ) [ K ]
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?
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?
n n
d
*
[ K ] )( b
*[K]
矩阵 [K] 矩阵
对角线 第 1列
r行 r行
r列 45度斜线
r行 s列 r行 s-r+1列元素
元素
*[K]
2-11 整体刚度矩阵的特点
同一网格中，如果采用不同的结点编码，则相应的半带
宽 d也可能不同。如图，是同一网格的三种结点编码，相邻结
点码的最大差值分别为 4,6,8，半带宽分别为 10,14,18。
因此，应当采用合理的结点编码方式，以便得到最小的半带
宽，从而节省存贮容量。 1
6
10987
4
3
2
5
1
8
7654
3
9
2
10
1
4
10987
6
3
2
5
