有限元分析
主讲：王志诚
第一章 弹性力学简介
1-1 材料力学与弹性力学
1-2 应力的概念
1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移
1-4 应力应变关系，物理方程
1-5 虚功原理及虚功方程
1-6 两种平面问题
1-1 材料力学与弹性力学
有限单元法
— 本课程中所指的是有限单元法在弹
性力学问题中的应用。因此要用到弹性力
学的某些基本概念和基本方程。本章将简
单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有
限单元法的预备知识。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
1,研究的内容,基本上没有什么区别。
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运
动，以及由此产生的应力和变形。
2,研究的对象,有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，
即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究
杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它
实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸
相当的构件。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
3,研究的方法,有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，
但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而
要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这
样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近
似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单
元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析
的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们
可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，
并确定它们的适用范围。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
x
q
y
x
s
í? 1 - 1 a
x
q
y
x
s
0
í? 1 - 1 b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
x
q
y
x
s
í? 1 - 2 a
y
s
x
q
y
y
s
í? 1 - 2 b
q
y
=s
x
s
x
s
q
í? 1-2c
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
í? 1-3 a
í? 1-3 b
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。
它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，
研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果
更精确，因而应用的范围更广泛 。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对
象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解
算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计
算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材
料性质的假定：
弹性力学中关于材料性质的假定
(1) 物体是连续的,亦即物体整个体积内部被组成这种物体
的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如
应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。
(2) 物体是完全弹性的, 亦即当使物体产生变形的外力被除
去以后, 物体能够完全恢复原形, 而不留任何残余变形 。 这样,
当温度不变时, 物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬
时所受的外力, 与它过去的受力情况无关 。
(3) 物体是均匀的, 也就是说整个物体是由同一种材料组成
的 。 这样, 整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质, 因
而物体的弹性常数 (弹性模量和波桑系数 )才不随位置座标而变 。
弹性力学中关于材料性质的假定
(4) 物体是各向同性的, 也就是说物体内每一点各个不同方
向的物理性质和机械性质都是相同的 。
(5) 物体的变形是微小的, 亦即当物体受力以后, 整个物
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸, 因而应变和转角
都远小于 1,这样, 在考虑物体变形以后的平衡状态时, 可以
用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸, 而不致有显著的误差；
并且, 在考虑物体的变形时, 应变和转角的平方项或乘积项都
可以略去不计, 这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方
程 。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力 (或称荷载 )可能有两种：
表面力,是分布于物体表面的力，如静水
压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位
面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成
分，用记号 来表示。
体力,是分布于物体体积内的外力，如重力、
磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三
个成分，用记号 X,Y,Z表示。
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
???,、
1-2 应力的概念
弹性体内微小的平行六面体 PABC,称为体素
PA=dx,PB=dy,PC=dz
正应力
s
?
剪应力
图 1-4
每一个面上的应力
分解为一个正应力
和两个剪应力，分
别与三个坐标轴平
行
1-2 应力的概念
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一
个角码，例如，正应力 是作用在垂直于 x轴的面
上同时也沿着 X轴方向作用的。 xs
正应力
s
xy?
加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一
个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐
标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于 X轴的面
上而沿着 y轴方向作用的。
?
剪应力
1-2 应力的概念
应力的正负
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方
向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿
坐标轴负方向为负。
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴
的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向
为正，沿坐标轴正方向为负。
1-2 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面
交线的剪应力是互等的。 (大小相等，正负号也相
同 )。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出
02222 =? dZd X d ydyd X d Z zyyz ??
简化得
zyyz ?? =
1)-(1 xzzxzyyzyxxy ?????? ===,，剪应力互等
应力分量
可以证明：如果 这六个量
在 P点是已知的, 就可以求得经过该点的任何面上的正应力
和剪应力, 因此, 这六个量可以完全确定该点的应力状态,
它们就称为在该点的 应力分量 。
一般说来, 弹性体内各点的应力状态都不相同, 因此,
描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量,
而是坐标 x,y,z的函数 。
六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：
zxyzxyzyx ???sss,、、、、
??s
? ? ? ? 2)-(1
T
zxyzxyzyx
zx
yz
xy
z
y
x
???sss
?
?
?
s
s
s
s =
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移
弹性体在受外力以后，还将发生 变形 。物体的变
形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出 各点的位移 ； 2、给出 各体素的变形 。
弹性体内任一点的 位移,用此位移在 x,y,z三
个坐标轴上的投影 u,v,w来表示。以沿坐标轴正方
向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为 位移
分量 。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并
不是定值，而是坐标的函数。
应 变
体素的变形可以分为两类：
一类是长度的变化, 一类是角度的变化 。
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为 线应变 (或称
正应变 ),用符号 来表示 。 沿坐标轴的线应变, 则加上相应
的角码, 分别用 来表示 。 当线素伸长时, 其线应变为
正 。 反之, 线素缩短时, 其线应变为负 。 这与正应力的正负号
规定相对应 。
任意两个原来彼此正交的线素, 在变形后其夹角的变化值称
为 角应变或剪应变, 用符号 来表示 。 两坐标轴之间的角应变,
则加上相应的角码, 分别用 来表示 。 规定当夹角变
小时为正, 变大时为负, 与剪应力的正负号规定相对应
(正的 引起正的, 等等 )。
?
zyx ???,、
?
zxyzxy ???,、
xy? xy?
v
u
dx
dy
A B
CD
dx
x
u
u
?
?
+
dx
x
v
v
?
?
+
dy
y
u
u
?
?
+
dy
y
v
v
?
?
+
'A
'B
'C
'D
"D
"B
b
a
x
y
0
í? 1 - 5
应变分量与位移分量的关系
A点在 X方向的位移分量
为 u；
B点在 X方向的位移：
ABCD---A’B’C’D’
求线素 AB,AD的正应变,用位移分量来表示：
yx ??,
dxxuuuu ??+=?+
线素 AB的正应变为：
x
u
dx
udxxuu
x ?
?=??
?+
=
)(
?
同理,AD的正应变为：
y
v
dy
vdyyvv
y ?
?=??
?+
=
)(
?
v
u
dx
dy
A B
CD
dx
x
u
u
?
?
+
dx
x
v
v
?
?
+
dy
y
u
u
?
?
+
dy
y
v
v
?
?
+
'A
'B
'C
'D"D
"B
b
a
x
y
0
í? 1 - 5
应变分量与位移分量的关系
X向线素 AB的转角 Y向线素 AD的转角
求剪应变,也就是线素 AB与 AD之间的直角的改变
线素 AB的转角为：
xy?
a b
A点在 Y方向的位移分量
为 v；
B点在 Y方向的位移分量：
dxxvv ??+
BA
BBtg
???
???=? aa
x
u
x
v
dx
x
u
dx
vdx
x
v
v
?
?
+
?
?
=
?
?
+
?
?
?
+
=
1
)(
v
u
dx
dy
A B
CD
dx
x
u
u
?
?
+
dx
x
v
v
?
?
+
dy
y
u
u
?
?
+
dy
y
v
v
?
?
+
'A
'B
'C
'D"D
"B
b
a
x
y
0
í? 1 - 5
应变分量与位移分量的关系
X向线素 AB的转角 Y向线素 AD的转角
求剪应变,也就是线素 AB与 AD之间的直角的改变
同理,Y向线素 AD的转角
xy?
a b
由于变形是微小的，所
以上式可将比单位值小
得多的 略去，得
x
u
?
?
x
v
?
?=a
y
u
?
?=b
因此，剪应变为：
y
u
x
v
xy ?
?+
?
?=+= ba?
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在 XOY一个平面内的变形情况，
y
u
x
v
xy ?
?+
?
?=+= ba?
x
u
x ?
?=?
y
v
y ?
?=?
同样方法来考察体素在 XOZ和 YOZ平面内的变形
情况，可得：
z
u
x
w
y
w
z
v
z
w
zxyzz ?
?+
?
?=
?
?+
?
?=
?
?= ???,，
联立得到 几何方程,表明应变分量与位移分量之间
的关系。
1)-3-(1
?
?
?
??
?
?
?
?
+
?
?
=
?
?
+
?
?
=
?
?
+
?
?
=
?
?
=
?
?
=
?
?
=
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxyzxy
zyx
???
???
，，
，，
应变分量矩阵
可以证明, 如果弹性体内任一点, 已知这三个垂直方
向的正应变及其相应的三个剪应变, 则该点任意方向的正
应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出, 当然也可求出
它的最大和最小正应变 。 因此, 这六个量可以完全确定该
点的应变分量, 它们就称为该点的 应变分量 。
六个应变分量的总体, 可以用一个列矩阵 来表示：???
? ? ? ? 2)-3-(1
T
zxyzxyzyx
zx
yz
xy
z
y
x
??????
?
?
?
?
?
?
? =
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
刚体位移
由几何方程 (1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定
时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确
定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状
的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试
在 (1-3)中命：
有：
积分后，得
式中的 是积分常数
0====== zxyzxyzyx ??????
000000 =??+??=??+??=??+??=??=??=?? yuxwxwzvzvyuzwyvxu,，，，，
4)-(1
0
0
0
?
?
?
?
?
?+=
?+=
?+=
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
??
??
??
、、、、、,zyxwvu ???000
积分常数的几何意义 r
x
y
oz x
y
P
x
z
?
y
z
?
a
q
í? 1 - 6
4)-(1
0
0
0
?
?
?
?
?
?+=
?+=
?+=
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
??
??
??
代表弹性体沿 x方向的刚
体移动 。 及 分别代表
弹性体沿 y方向及 Z方向的
刚体移动 。
0u
0v 0w
代表弹性体绕 Z轴的刚
体转动 。 同样, 及 分
别代表弹性体绕 x轴及 y轴
的刚体位移 。
z?
x? y?
为了完全确定弹性体的位移, 必须有六个适当的约束条件
来确定 这六个刚体位移 。
zyxwvu ???,、、、,000
1-4 应力应变关系，物理方程
当沿 X轴方向的两个对面受有均匀
分布的正应力时，在满足先前假定
的材料性质条件下，正应力不会引
起角度的任何改变，而其在 X方向
的单位伸长则可表以方程
式中 E为弹性模量。
弹性体在 X方向的伸长还伴随有侧
向收缩, 即在 y和 Z方向的单位缩短
可表示为：
式中 为波桑系数 。 方程 (1-5)和 (1-6)
既可用于简单拉伸, 也可用于简单
压缩, 且在弹性极限之内, 两种情
况下的弹性模量和波桑系数相同 。
z
y
x
0
x
s
x
s
y
s
y
s
z
s
z
s
图 1 - 7
应力分量与应变分量之间的关系
----虎克定律
5)-(1 E xx s? =
6)-(1 EE xzxy s??s?? ?=?=,
?
1-4 应力应变关系，物理方程
设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布
的正应力, 则合成应变的分量可用 (1-5)和
(1-6)式求得 。 实验证明, 只须将三个应力
中的每一应力所引起的应变分量叠加, 就
得到合成应变的分量 。
单位伸长与应力之间的关系完全由两个物
理常数 E及 所确定 。 两个常数也可用来
确定剪应力与剪应变之间的关系 。
z
y
x
0
x
s
x
s
y
s
y
s
z
s
z
s
图 1 - 7
? ?
? ?
? ?
7)-(1
)(
1
)(
1
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+?=
+?=
+?=
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
ss?s?
ss?s?
ss?s?
?
1-4 应力应变关系，物理方程
如果弹性体的各面有剪应力作用, 如图 1-4
所示, 任何两坐标轴的夹角的改变仅与平
行于这两轴的剪应力分量有关, 即得到：
式中 G称为剪切模量, 它与弹性模量 E，
波桑系数 存在如下的关系：
方程 (1-7)中的正应变与方程 (1-8)中的剪应
变是各自独立的 。 因此, 由三个正应力分
量与三个剪应力分量引起的一般情形的应
变, 可用叠加法求得；即将 (1-7)和 (1-8)的
六个关系式写在一起, 得式 (1-10),称为
弹性方程或物理方程, 这种空间状态的应
力应变关系称为广义虎克定律 。
图 1-4
8)-(1 111 zxzxyzyzxyxy GGG ?????? ===,，
9)-(1 )1(2 ?+= EG
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
=
=
+?=
+?=
+?=
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
zxyy
zyxx
G
G
G
E
E
E
??
??
??
ss?s?
ss?s?
ss?s?
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
?
1-4 应力应变关系，物理方程
将应变分量表为应力分量的函数, 可称为物理方程的第一种形式 。 若将
式 (1-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式, 并将式 (1-9)代入,
可得物理方程的第二种形式：
11)-(1
)1(2
)1(2
)1(2
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=
+
=
+
=
+
?
+
??+
?
=
?
++
??+
?
=
?
+
?
+
?+
?
=
zxzx
yzyz
xyxy
zyxz
zyxy
zyxx
E
E
E
E
E
E
?
?
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s
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?
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??
?
?
??
?
s
?
?
?
?
?
?
?
??
?
s
式 (1-11)可用矩阵的形式表示如下：
12)-(1
)1(2
21
00000
0
)1(2
21
0000
00
)1(2
21
000
0001
11
000
1
1
1
000
11
1
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?+
?
=
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zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
s
s
s
式 (1-12)可简写为,? ? ? ?? ?
13 )-(1 ?s D=
[D]称为 弹性矩阵, 它完全决定于弹性常数 E和
? ? 14)-(1
)1(2
21
00000
)1(2
21
0000
)1(2
21
000
1
11
1
1
1
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
?+
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
称
对
E
D
?
1-5 虚功原理及虚功方程
图 1-8a示一平衡的杠杆, 对 C点
写力矩平衡方程：
图 1-8b表示杠杆绕支点 C转动时
的刚体位移图：
综合可得：
即：
式 (1-15)是以功的形式表述的 。
表明：图 a的平衡力系在图 b的
位移上作功时, 功的总和必须
等于零 。 这就叫做 虚功原理 。
a b
A
C
B
(a)
(b)
B
P
A
P
c
R
B
?
A
? C
B
A
'B
'A
í? 1 - 8
a
b
P
P
B
A =
a
b
A
B =
?
?
A
B
B
A
a
b
P
P
?
?==
15)-(1 0=??? BBAA PP
虚功原理
进一步分析 。 当杠杆处于平衡状态时, 和 这两个位移
是不存在的, 但是如果某种原因, 例如人为地振一下让它倾
斜, 一定满足 (1-15)式的关系 。
将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理, 去指导分
析和计算结构 。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体, 不用考虑它
是否真正发生了位移, 而假想它发生了位移, (由于是假想,
故称为虚位移 ),那么, 物体上所有的力在这个虚位移上的总
功必定等于零 。 这就叫做 虚位移原理, 也称虚功原理 。 在图
1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身 (状态 a)的位移
上, (因为它本身是平衡的, 不存在位移 ),而是在状态 (b)的
位移上作的功 。 可见, 这个位移对于状态 (a)来说就是虚位移,
亦即是状态 (a)假象的位移 。
A? B?
AP BP
虚功原理
必须指出, 虚功原理的应用范围是有条件的, 它所涉及到
的两个方面, 力和位移并不是随意的 。 对于力来讲, 它必须
是在位移过程中处于平衡的力系； 对于位移来讲, 虽然是虚
位移, 但并不是可以任意发生的 。 它必须是和约束条件相符
合的微小的刚体位移 。
还要注意, 当位移是在某个约束条件下发生时, 则在该约
束力方向的位移应为零, 因而该约束力所作的虚功也应为零 。
这时该约束力叫做 被动力 。 (如图 1-8中的反力, 由于支点 C
没有位移, 故 所作的虚功对于零 )。 反之, 如图 1-8中的
和 是在位移过程中作功的力, 称为 主动力 。 因此, 在平
衡力系中应当分清楚哪些是主动力, 哪些是被动力, 而在写
虚功方程时, 只有主动力作虚功, 而被动力是不作虚功的 。
cR
cR
AP BP
虚功原理与虚功方程
虚功原理 表述如下：
在力的作用下处于平衡状态的体系, 当发生与约
束条件相符合的任意微小的刚体位移时, 体系上所
有的主动力在位移上所作的总功 (各力所作的功的代
数和 )恒对于零 。
虚功原理用公式表示为：
这就是 虚功方程, 其中 P和 相应的代表力和虚位移 。
1 6 )-(1 0=??= PW
?
虚功原理 ----用于弹性体的情况
虚功方程 (1-16)是按刚体的情况得出的, 即假设图 1-8的杠
杆是绝对刚性, 没有任何的变形, 因而在方程 (1-15)或 (1-16)
中没有内功项出现, 而只有外功项 。
将虚功原理用于弹性变形时, 总功 W要 包括外力功 (T)和内
力功 (U)两部分, 即,W = T - U ；内力功 (-U)前面有一负
号, 是由于弹性体在变形过程中, 内力是克服变形而产生的,
所有内力的方向总是与变形的方向相反, 所以内力功取负值 。
根据虚功原理, 总功等于零得,T - U = 0
外力虚功 T = 内力虚功 U
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡
状态的弹性体, 如果发生了虚位移, 那么所有的外力在虚位
移上的虚功 (外力功 )等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功
(内力功 )。
虚功原理 ----用于弹性体的情况
i点外力分量
j点外力分量
外力分量用 表示；
引起的应力分量用
表示
y
Z
X
0
i
V
i
U
i
W
i
i
w
i
v
i
u
j
U
j
u
j
W
j
w
j
V
j
v
j
í? 1 - 9
iii WVU,、
jjj WVU,、
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yz
xy
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j
j
i
i
i
W
V
U
W
V
U
F
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s
s，
虚功原理 ----用于弹性体的情况
假设发生了虚位移
虚位移分量为
用 表示；引起的虚
应变分量用 表示
y
Z
X
0
i
V
i
U
i
W
i
i
w
i
v
i
u
j
U
j
u
j
W
j
w
j
V
j
v
j
í? 1 - 9
****** jjjiii wvuwvu,、、、、
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zx
yz
xy
z
y
x
j
j
j
i
i
i
w
v
u
w
v
u
?
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?
?
??,
虚功原理 ----用于弹性体的情况
在虚位移发生时, 外力在虚位移上的虚功是：
式中 是 的转置矩阵 。
同样, 在虚位移发生时, 在弹性体单位体积内, 应力在虚
应变上的虚功是：
因此, 在整个弹性体内, 应力在虚应变上的虚功是：
根据虚功原理得到：
这就是弹性变形体的虚功方程, 它通过虚位移和虚应变表
明外力与应力之间的关系 。
? ? ? ?FwWvVuUwWvVuU Tjjjjjjiiiiii ******* ?=++++++
??T*? ??*?
? ? ? ?s????????s?s?s Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx ******* =+++++
? ? ? ???? d x d y d zT s? *
? ? ? ? ? ? ? ? 17)-(1 ** ???= d x d y d zF TT s??
虚功原理 ----用于弹性体的情况
应该指出，在虚位移发生时，约束力 (支座反力 )是不做功
的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果
解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生
时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束
力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及
中的元素进入虚功方程 (1-17)。
??*???F
1-6 两种平面问题
弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何
一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而
任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、
应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊
的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化
为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应
力分量即可。
平面应力问题
平面应变问题
平面
应力
问题
厚度为 t的很薄的均匀木板 。 只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化
的面力, 同时, 体力也平行于板面且不沿厚度变化 。
以薄板的中面为 xy面, 以垂直于中面的任一直线为 Z轴 。 由于薄板两表面
上没有垂直和平行于板面的外力, 所以板面上各点均有：
另外由于平板很薄, 外力又不沿厚度变化, 可认为在整个薄板内各点均有：
于是, 在六个应力分量中, 只需要研究剩下的平行于 XOY平面的三个应力分
量, 即, 所以称为 平面应力问题 。
x
y
0
t/2t/2
z
y
í? 1 - 1 0
yxxyyx ??ss =、、
000 ===== yzzyxzzxz ????s,，
0)(0)(0)(
222
=== ?=?=?= tzzytzzxtzz ??s,，
平面应力问题
应力矩阵 (1-2)
可以简化为：
? ? ? ? 2)-(1
T
zxyzxyzyx
zx
yz
xy
z
y
x
???sss
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s
s
s
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xy
y
x
?
s
s
s
平面应力问题
物理方程 (1-10)中后两式可见, 这时的
剪应变：
由物理方程 (1-10)中的第三式可见：
一般, 并不一定等于零, 但
可由 及 求得, 在分析问题时不
必考虑 。 于是只需要考虑
三个应变分量即可, 于是应变矩阵 (1-
3-2)简化为：
? ?
? ?
? ?
?
?
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?
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+?=
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xyxy
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zxyy
zyxx
G
G
G
E
E
E
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??
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ss?s?
ss?s?
ss?s?
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
00 == zxyz ??,
)( yxz E ss?? +?=
0=zs z?
xs ys
xyyx ???,、
? ? 1 9 )-(1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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xy
y
x
?
?
?
?
平面应力问题
物理方程 (1-10)简化为：
转化成应力分量用应变分量表示的形式：
? ?
? ? 20)-(1
)1(21
1
1
?
?
?
?
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?
?
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?
+
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?=
?=
xyxyxy
xyy
yxx
EG
E
E
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?ss?
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? ? 21)-(1
2
1
1)1(2
1
1
2
2
2
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yxy
yxx
EE
E
E
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s
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?
s
平面应力问题
将 (1-21)式用矩阵方程表示：
它仍然可以简写为：
弹性矩阵 [D]则简化为：
22)-(1
2
1
00
01
01
1
2
?
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?
?
?
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y
x
xy
y
x
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s
s
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2
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01
01
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E
D
平面应力问题
只有 三个应变分量需要考虑, 所以几何方程 (1-3)
简化为：
1)-3-(1
?
?
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+
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x
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w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
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zyx
???
???
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，，
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x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
?
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xyyx ???,、
平面应力问题
弹性体的虚功方程 (1-17)
简化为
? ? ? ? ? ? ? ? 17)-(1 ** ???= d x d y d zF TT s??
? ? ? ? ? ? ? ? 25)-(1 ** ??= d x d y tF TT s??
平面应变问题 一纵向 (即 Z向 )很长, 且沿横截面不变的物体, 受有平行于横截面
而且不沿长度变化的面力和体力,
如图 1-11所示 。
由于物体的纵向很长 (在力学上
可近似地作为无限长考虑 ),截面尺
寸与外力又不沿长度变化；当以任
一横截面为 xy面, 任一纵线为 Z轴时,
则所有一切应力分量, 应变分量和
位移分量都不沿 Z方向变化, 它们都
只是 x和 y的函数 。 此外, 在这一情
况下, 由于对称 (任一横截面都可以
看作对称面 ),所有各点都只会有 x
和 y方向的位移而不会有 Z方向的位
移, 即 w = 0
因此, 这种问题称为平面位移问
题, 但习惯上常称为 平面应变问题 。
0
y
x
í? 1 - 1 1
平面应变问题
既然 w = 0,而且 u及 v又只是 x和 y的函数, 由几何方程 (1-3-1)
可见 。 于是只剩下三个应变分量,
几何方程仍然简化为方程 (1-24)。
1)-3-(1
?
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+
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+
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z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxyzxy
zyx
???
???
，，
，，
? ? 24)-(1
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x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
?
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?
?
xyyx ???,、0=== zxyzz ???
平面应变问题
因为
由物理方程 (1-11)中后两式可见
又由物理方程 (1-11)中的第三式可见：
在平面应变问题中，虽然,
但 一般并不等于零，不过它可以由
及 求得，在分析问题时不必考
虑，于是也就只有三个应力分量
需要考虑。
xs ys
00 == zxyz ??,
00 == zxyz ??,
)( yxz ss?s +=
0=z?
zs
xyyx ?ss,、
?
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xyxy
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zyxy
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E
E
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E
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)1(2
)1(2
)1(2
)
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(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
平面应变问题
物理方程 (1-11)简化为：
26)-(1
)1(2
21
)21)(1(
)1(
)1(2
)
1
(
)21)(1(
)1(
)
1
(
)21)(1(
)1(
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xyxyxy
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s
平面应变问题
将 (1-25)式用矩阵方程表示：
它仍然可以简写为：
弹性矩阵 [D]则为：
? ? ? ?? ??s D=
27)-(1
)1(2
21
00
01
1
0
1
1
)21)(1(
)1(
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y
x
xy
y
x
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)1(2
21
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01
1
0
1
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)1(
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?E
D
平面应变问题
平面应变问题, 由于在 Z方向没有外力, 应力和应变也不
沿 Z方向变化, 所以虚功方程 (1-25)仍然适用, 其中的 t可以取
为任意数值, 但 必须是这个 t范围内的外力 。
需要说明一下, 工程中有许多问题很接近于平面应变问题,
如受内压力的圆管, 滚柱轴承中的滚柱等等, 但它们的沿 Z
向长度都不是无限长的 。 故在靠近两端的部分, 其应力应变
状态比较复杂, 并不符合平面应变问题的条件；因此将这类
问题当作平面应变问题来考虑时, 对于离开两端有一定距离
的地方, 得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位,
却有较大的出入, 往往需要加以处理 。
? ? ? ? ? ? ? ? 25)-(1 ** ??= d x d y tF TT s??
??F
平面应力问题与平面应变问题
对于两种平面问题, 几何方程都是 (1-24),虚功方程都是
(1-25),物理方程都是：
? ? 24)-(1
?
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x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
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? ? ? ? ? ? ? ? 25)-(1 ** ??= d x d y tF TT s??
? ? ? ?? ??s D=
平面应力问题与平面应变问题
对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用 (1-23)式，
而对于平面应变则采用 (1-28)式，
还可注意，在 (1-23)式中，若将 E改换为,将 改换为,
就得出公式 (1-28)。
? ? 23)-(1
2
1
00
01
01
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
=
?
?
?
?
E
D
? ? 28)-(1
)1(2
21
00
01
1
0
1
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)1(
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??
?E
D
21 ??
E ? ???1
平面应力问题与平面应变问题
在两种平面问题中, 如果命, 则和 1-3中
(1-4)式相似,
由几何方程的积分得出：
其中 及 分别代表弹性体沿 x及 y方向的刚体移动, 而
代表弹性体绕 Z轴的刚体转动 。
0=== xyyx ???
4)-(1
0
0
0
?
?
?
?
?
?+=
?+=
?+=
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
??
??
??
2 9 )-(1
0
0
?
?
?
+=
?=
xvv
yuu
z
z
?
?
0u 0v z?
回顾 第一章 弹性力学简介
1-1 材料力学与弹性力学
1-2 应力的概念
1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移
1-4 应力应变关系，物理方程
1-5 虚功原理及虚功方程
1-6 两种平面问题
主讲：王志诚
第一章 弹性力学简介
1-1 材料力学与弹性力学
1-2 应力的概念
1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移
1-4 应力应变关系，物理方程
1-5 虚功原理及虚功方程
1-6 两种平面问题
1-1 材料力学与弹性力学
有限单元法
— 本课程中所指的是有限单元法在弹
性力学问题中的应用。因此要用到弹性力
学的某些基本概念和基本方程。本章将简
单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有
限单元法的预备知识。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
1,研究的内容,基本上没有什么区别。
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运
动，以及由此产生的应力和变形。
2,研究的对象,有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，
即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究
杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它
实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸
相当的构件。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
3,研究的方法,有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，
但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而
要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这
样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近
似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单
元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析
的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们
可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，
并确定它们的适用范围。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
x
q
y
x
s
í? 1 - 1 a
x
q
y
x
s
0
í? 1 - 1 b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
x
q
y
x
s
í? 1 - 2 a
y
s
x
q
y
y
s
í? 1 - 2 b
q
y
=s
x
s
x
s
q
í? 1-2c
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
í? 1-3 a
í? 1-3 b
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。
它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，
研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果
更精确，因而应用的范围更广泛 。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对
象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解
算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计
算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材
料性质的假定：
弹性力学中关于材料性质的假定
(1) 物体是连续的,亦即物体整个体积内部被组成这种物体
的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如
应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。
(2) 物体是完全弹性的, 亦即当使物体产生变形的外力被除
去以后, 物体能够完全恢复原形, 而不留任何残余变形 。 这样,
当温度不变时, 物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬
时所受的外力, 与它过去的受力情况无关 。
(3) 物体是均匀的, 也就是说整个物体是由同一种材料组成
的 。 这样, 整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质, 因
而物体的弹性常数 (弹性模量和波桑系数 )才不随位置座标而变 。
弹性力学中关于材料性质的假定
(4) 物体是各向同性的, 也就是说物体内每一点各个不同方
向的物理性质和机械性质都是相同的 。
(5) 物体的变形是微小的, 亦即当物体受力以后, 整个物
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸, 因而应变和转角
都远小于 1,这样, 在考虑物体变形以后的平衡状态时, 可以
用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸, 而不致有显著的误差；
并且, 在考虑物体的变形时, 应变和转角的平方项或乘积项都
可以略去不计, 这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方
程 。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力 (或称荷载 )可能有两种：
表面力,是分布于物体表面的力，如静水
压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位
面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成
分，用记号 来表示。
体力,是分布于物体体积内的外力，如重力、
磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三
个成分，用记号 X,Y,Z表示。
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
???,、
1-2 应力的概念
弹性体内微小的平行六面体 PABC,称为体素
PA=dx,PB=dy,PC=dz
正应力
s
?
剪应力
图 1-4
每一个面上的应力
分解为一个正应力
和两个剪应力，分
别与三个坐标轴平
行
1-2 应力的概念
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一
个角码，例如，正应力 是作用在垂直于 x轴的面
上同时也沿着 X轴方向作用的。 xs
正应力
s
xy?
加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一
个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐
标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于 X轴的面
上而沿着 y轴方向作用的。
?
剪应力
1-2 应力的概念
应力的正负
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方
向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿
坐标轴负方向为负。
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴
的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向
为正，沿坐标轴正方向为负。
1-2 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面
交线的剪应力是互等的。 (大小相等，正负号也相
同 )。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出
02222 =? dZd X d ydyd X d Z zyyz ??
简化得
zyyz ?? =
1)-(1 xzzxzyyzyxxy ?????? ===,，剪应力互等
应力分量
可以证明：如果 这六个量
在 P点是已知的, 就可以求得经过该点的任何面上的正应力
和剪应力, 因此, 这六个量可以完全确定该点的应力状态,
它们就称为在该点的 应力分量 。
一般说来, 弹性体内各点的应力状态都不相同, 因此,
描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量,
而是坐标 x,y,z的函数 。
六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：
zxyzxyzyx ???sss,、、、、
??s
? ? ? ? 2)-(1
T
zxyzxyzyx
zx
yz
xy
z
y
x
???sss
?
?
?
s
s
s
s =
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移
弹性体在受外力以后，还将发生 变形 。物体的变
形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出 各点的位移 ； 2、给出 各体素的变形 。
弹性体内任一点的 位移,用此位移在 x,y,z三
个坐标轴上的投影 u,v,w来表示。以沿坐标轴正方
向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为 位移
分量 。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并
不是定值，而是坐标的函数。
应 变
体素的变形可以分为两类：
一类是长度的变化, 一类是角度的变化 。
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为 线应变 (或称
正应变 ),用符号 来表示 。 沿坐标轴的线应变, 则加上相应
的角码, 分别用 来表示 。 当线素伸长时, 其线应变为
正 。 反之, 线素缩短时, 其线应变为负 。 这与正应力的正负号
规定相对应 。
任意两个原来彼此正交的线素, 在变形后其夹角的变化值称
为 角应变或剪应变, 用符号 来表示 。 两坐标轴之间的角应变,
则加上相应的角码, 分别用 来表示 。 规定当夹角变
小时为正, 变大时为负, 与剪应力的正负号规定相对应
(正的 引起正的, 等等 )。
?
zyx ???,、
?
zxyzxy ???,、
xy? xy?
v
u
dx
dy
A B
CD
dx
x
u
u
?
?
+
dx
x
v
v
?
?
+
dy
y
u
u
?
?
+
dy
y
v
v
?
?
+
'A
'B
'C
'D
"D
"B
b
a
x
y
0
í? 1 - 5
应变分量与位移分量的关系
A点在 X方向的位移分量
为 u；
B点在 X方向的位移：
ABCD---A’B’C’D’
求线素 AB,AD的正应变,用位移分量来表示：
yx ??,
dxxuuuu ??+=?+
线素 AB的正应变为：
x
u
dx
udxxuu
x ?
?=??
?+
=
)(
?
同理,AD的正应变为：
y
v
dy
vdyyvv
y ?
?=??
?+
=
)(
?
v
u
dx
dy
A B
CD
dx
x
u
u
?
?
+
dx
x
v
v
?
?
+
dy
y
u
u
?
?
+
dy
y
v
v
?
?
+
'A
'B
'C
'D"D
"B
b
a
x
y
0
í? 1 - 5
应变分量与位移分量的关系
X向线素 AB的转角 Y向线素 AD的转角
求剪应变,也就是线素 AB与 AD之间的直角的改变
线素 AB的转角为：
xy?
a b
A点在 Y方向的位移分量
为 v；
B点在 Y方向的位移分量：
dxxvv ??+
BA
BBtg
???
???=? aa
x
u
x
v
dx
x
u
dx
vdx
x
v
v
?
?
+
?
?
=
?
?
+
?
?
?
+
=
1
)(
v
u
dx
dy
A B
CD
dx
x
u
u
?
?
+
dx
x
v
v
?
?
+
dy
y
u
u
?
?
+
dy
y
v
v
?
?
+
'A
'B
'C
'D"D
"B
b
a
x
y
0
í? 1 - 5
应变分量与位移分量的关系
X向线素 AB的转角 Y向线素 AD的转角
求剪应变,也就是线素 AB与 AD之间的直角的改变
同理,Y向线素 AD的转角
xy?
a b
由于变形是微小的，所
以上式可将比单位值小
得多的 略去，得
x
u
?
?
x
v
?
?=a
y
u
?
?=b
因此，剪应变为：
y
u
x
v
xy ?
?+
?
?=+= ba?
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在 XOY一个平面内的变形情况，
y
u
x
v
xy ?
?+
?
?=+= ba?
x
u
x ?
?=?
y
v
y ?
?=?
同样方法来考察体素在 XOZ和 YOZ平面内的变形
情况，可得：
z
u
x
w
y
w
z
v
z
w
zxyzz ?
?+
?
?=
?
?+
?
?=
?
?= ???,，
联立得到 几何方程,表明应变分量与位移分量之间
的关系。
1)-3-(1
?
?
?
??
?
?
?
?
+
?
?
=
?
?
+
?
?
=
?
?
+
?
?
=
?
?
=
?
?
=
?
?
=
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxyzxy
zyx
???
???
，，
，，
应变分量矩阵
可以证明, 如果弹性体内任一点, 已知这三个垂直方
向的正应变及其相应的三个剪应变, 则该点任意方向的正
应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出, 当然也可求出
它的最大和最小正应变 。 因此, 这六个量可以完全确定该
点的应变分量, 它们就称为该点的 应变分量 。
六个应变分量的总体, 可以用一个列矩阵 来表示：???
? ? ? ? 2)-3-(1
T
zxyzxyzyx
zx
yz
xy
z
y
x
??????
?
?
?
?
?
?
? =
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
刚体位移
由几何方程 (1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定
时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确
定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状
的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试
在 (1-3)中命：
有：
积分后，得
式中的 是积分常数
0====== zxyzxyzyx ??????
000000 =??+??=??+??=??+??=??=??=?? yuxwxwzvzvyuzwyvxu,，，，，
4)-(1
0
0
0
?
?
?
?
?
?+=
?+=
?+=
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
??
??
??
、、、、、,zyxwvu ???000
积分常数的几何意义 r
x
y
oz x
y
P
x
z
?
y
z
?
a
q
í? 1 - 6
4)-(1
0
0
0
?
?
?
?
?
?+=
?+=
?+=
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
??
??
??
代表弹性体沿 x方向的刚
体移动 。 及 分别代表
弹性体沿 y方向及 Z方向的
刚体移动 。
0u
0v 0w
代表弹性体绕 Z轴的刚
体转动 。 同样, 及 分
别代表弹性体绕 x轴及 y轴
的刚体位移 。
z?
x? y?
为了完全确定弹性体的位移, 必须有六个适当的约束条件
来确定 这六个刚体位移 。
zyxwvu ???,、、、,000
1-4 应力应变关系，物理方程
当沿 X轴方向的两个对面受有均匀
分布的正应力时，在满足先前假定
的材料性质条件下，正应力不会引
起角度的任何改变，而其在 X方向
的单位伸长则可表以方程
式中 E为弹性模量。
弹性体在 X方向的伸长还伴随有侧
向收缩, 即在 y和 Z方向的单位缩短
可表示为：
式中 为波桑系数 。 方程 (1-5)和 (1-6)
既可用于简单拉伸, 也可用于简单
压缩, 且在弹性极限之内, 两种情
况下的弹性模量和波桑系数相同 。
z
y
x
0
x
s
x
s
y
s
y
s
z
s
z
s
图 1 - 7
应力分量与应变分量之间的关系
----虎克定律
5)-(1 E xx s? =
6)-(1 EE xzxy s??s?? ?=?=,
?
1-4 应力应变关系，物理方程
设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布
的正应力, 则合成应变的分量可用 (1-5)和
(1-6)式求得 。 实验证明, 只须将三个应力
中的每一应力所引起的应变分量叠加, 就
得到合成应变的分量 。
单位伸长与应力之间的关系完全由两个物
理常数 E及 所确定 。 两个常数也可用来
确定剪应力与剪应变之间的关系 。
z
y
x
0
x
s
x
s
y
s
y
s
z
s
z
s
图 1 - 7
? ?
? ?
? ?
7)-(1
)(
1
)(
1
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+?=
+?=
+?=
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
ss?s?
ss?s?
ss?s?
?
1-4 应力应变关系，物理方程
如果弹性体的各面有剪应力作用, 如图 1-4
所示, 任何两坐标轴的夹角的改变仅与平
行于这两轴的剪应力分量有关, 即得到：
式中 G称为剪切模量, 它与弹性模量 E，
波桑系数 存在如下的关系：
方程 (1-7)中的正应变与方程 (1-8)中的剪应
变是各自独立的 。 因此, 由三个正应力分
量与三个剪应力分量引起的一般情形的应
变, 可用叠加法求得；即将 (1-7)和 (1-8)的
六个关系式写在一起, 得式 (1-10),称为
弹性方程或物理方程, 这种空间状态的应
力应变关系称为广义虎克定律 。
图 1-4
8)-(1 111 zxzxyzyzxyxy GGG ?????? ===,，
9)-(1 )1(2 ?+= EG
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
=
=
+?=
+?=
+?=
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
zxyy
zyxx
G
G
G
E
E
E
??
??
??
ss?s?
ss?s?
ss?s?
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
?
1-4 应力应变关系，物理方程
将应变分量表为应力分量的函数, 可称为物理方程的第一种形式 。 若将
式 (1-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式, 并将式 (1-9)代入,
可得物理方程的第二种形式：
11)-(1
)1(2
)1(2
)1(2
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=
+
=
+
=
+
?
+
??+
?
=
?
++
??+
?
=
?
+
?
+
?+
?
=
zxzx
yzyz
xyxy
zyxz
zyxy
zyxx
E
E
E
E
E
E
?
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s
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?
?
??
?
?
??
?
s
?
?
?
?
?
?
?
??
?
s
式 (1-11)可用矩阵的形式表示如下：
12)-(1
)1(2
21
00000
0
)1(2
21
0000
00
)1(2
21
000
0001
11
000
1
1
1
000
11
1
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
s
s
s
式 (1-12)可简写为,? ? ? ?? ?
13 )-(1 ?s D=
[D]称为 弹性矩阵, 它完全决定于弹性常数 E和
? ? 14)-(1
)1(2
21
00000
)1(2
21
0000
)1(2
21
000
1
11
1
1
1
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
?+
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
称
对
E
D
?
1-5 虚功原理及虚功方程
图 1-8a示一平衡的杠杆, 对 C点
写力矩平衡方程：
图 1-8b表示杠杆绕支点 C转动时
的刚体位移图：
综合可得：
即：
式 (1-15)是以功的形式表述的 。
表明：图 a的平衡力系在图 b的
位移上作功时, 功的总和必须
等于零 。 这就叫做 虚功原理 。
a b
A
C
B
(a)
(b)
B
P
A
P
c
R
B
?
A
? C
B
A
'B
'A
í? 1 - 8
a
b
P
P
B
A =
a
b
A
B =
?
?
A
B
B
A
a
b
P
P
?
?==
15)-(1 0=??? BBAA PP
虚功原理
进一步分析 。 当杠杆处于平衡状态时, 和 这两个位移
是不存在的, 但是如果某种原因, 例如人为地振一下让它倾
斜, 一定满足 (1-15)式的关系 。
将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理, 去指导分
析和计算结构 。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体, 不用考虑它
是否真正发生了位移, 而假想它发生了位移, (由于是假想,
故称为虚位移 ),那么, 物体上所有的力在这个虚位移上的总
功必定等于零 。 这就叫做 虚位移原理, 也称虚功原理 。 在图
1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身 (状态 a)的位移
上, (因为它本身是平衡的, 不存在位移 ),而是在状态 (b)的
位移上作的功 。 可见, 这个位移对于状态 (a)来说就是虚位移,
亦即是状态 (a)假象的位移 。
A? B?
AP BP
虚功原理
必须指出, 虚功原理的应用范围是有条件的, 它所涉及到
的两个方面, 力和位移并不是随意的 。 对于力来讲, 它必须
是在位移过程中处于平衡的力系； 对于位移来讲, 虽然是虚
位移, 但并不是可以任意发生的 。 它必须是和约束条件相符
合的微小的刚体位移 。
还要注意, 当位移是在某个约束条件下发生时, 则在该约
束力方向的位移应为零, 因而该约束力所作的虚功也应为零 。
这时该约束力叫做 被动力 。 (如图 1-8中的反力, 由于支点 C
没有位移, 故 所作的虚功对于零 )。 反之, 如图 1-8中的
和 是在位移过程中作功的力, 称为 主动力 。 因此, 在平
衡力系中应当分清楚哪些是主动力, 哪些是被动力, 而在写
虚功方程时, 只有主动力作虚功, 而被动力是不作虚功的 。
cR
cR
AP BP
虚功原理与虚功方程
虚功原理 表述如下：
在力的作用下处于平衡状态的体系, 当发生与约
束条件相符合的任意微小的刚体位移时, 体系上所
有的主动力在位移上所作的总功 (各力所作的功的代
数和 )恒对于零 。
虚功原理用公式表示为：
这就是 虚功方程, 其中 P和 相应的代表力和虚位移 。
1 6 )-(1 0=??= PW
?
虚功原理 ----用于弹性体的情况
虚功方程 (1-16)是按刚体的情况得出的, 即假设图 1-8的杠
杆是绝对刚性, 没有任何的变形, 因而在方程 (1-15)或 (1-16)
中没有内功项出现, 而只有外功项 。
将虚功原理用于弹性变形时, 总功 W要 包括外力功 (T)和内
力功 (U)两部分, 即,W = T - U ；内力功 (-U)前面有一负
号, 是由于弹性体在变形过程中, 内力是克服变形而产生的,
所有内力的方向总是与变形的方向相反, 所以内力功取负值 。
根据虚功原理, 总功等于零得,T - U = 0
外力虚功 T = 内力虚功 U
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡
状态的弹性体, 如果发生了虚位移, 那么所有的外力在虚位
移上的虚功 (外力功 )等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功
(内力功 )。
虚功原理 ----用于弹性体的情况
i点外力分量
j点外力分量
外力分量用 表示；
引起的应力分量用
表示
y
Z
X
0
i
V
i
U
i
W
i
i
w
i
v
i
u
j
U
j
u
j
W
j
w
j
V
j
v
j
í? 1 - 9
iii WVU,、
jjj WVU,、
??F
??s? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
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zx
yz
xy
z
y
x
j
j
j
i
i
i
W
V
U
W
V
U
F
?
?
?
s
s
s
s，
虚功原理 ----用于弹性体的情况
假设发生了虚位移
虚位移分量为
用 表示；引起的虚
应变分量用 表示
y
Z
X
0
i
V
i
U
i
W
i
i
w
i
v
i
u
j
U
j
u
j
W
j
w
j
V
j
v
j
í? 1 - 9
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zx
yz
xy
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y
x
j
j
j
i
i
i
w
v
u
w
v
u
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??,
虚功原理 ----用于弹性体的情况
在虚位移发生时, 外力在虚位移上的虚功是：
式中 是 的转置矩阵 。
同样, 在虚位移发生时, 在弹性体单位体积内, 应力在虚
应变上的虚功是：
因此, 在整个弹性体内, 应力在虚应变上的虚功是：
根据虚功原理得到：
这就是弹性变形体的虚功方程, 它通过虚位移和虚应变表
明外力与应力之间的关系 。
? ? ? ?FwWvVuUwWvVuU Tjjjjjjiiiiii ******* ?=++++++
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? ? ? ?s????????s?s?s Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx ******* =+++++
? ? ? ???? d x d y d zT s? *
? ? ? ? ? ? ? ? 17)-(1 ** ???= d x d y d zF TT s??
虚功原理 ----用于弹性体的情况
应该指出，在虚位移发生时，约束力 (支座反力 )是不做功
的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果
解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生
时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束
力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及
中的元素进入虚功方程 (1-17)。
??*???F
1-6 两种平面问题
弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何
一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而
任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、
应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊
的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化
为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应
力分量即可。
平面应力问题
平面应变问题
平面
应力
问题
厚度为 t的很薄的均匀木板 。 只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化
的面力, 同时, 体力也平行于板面且不沿厚度变化 。
以薄板的中面为 xy面, 以垂直于中面的任一直线为 Z轴 。 由于薄板两表面
上没有垂直和平行于板面的外力, 所以板面上各点均有：
另外由于平板很薄, 外力又不沿厚度变化, 可认为在整个薄板内各点均有：
于是, 在六个应力分量中, 只需要研究剩下的平行于 XOY平面的三个应力分
量, 即, 所以称为 平面应力问题 。
x
y
0
t/2t/2
z
y
í? 1 - 1 0
yxxyyx ??ss =、、
000 ===== yzzyxzzxz ????s,，
0)(0)(0)(
222
=== ?=?=?= tzzytzzxtzz ??s,，
平面应力问题
应力矩阵 (1-2)
可以简化为：
? ? ? ? 2)-(1
T
zxyzxyzyx
zx
yz
xy
z
y
x
???sss
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xy
y
x
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s
s
s
平面应力问题
物理方程 (1-10)中后两式可见, 这时的
剪应变：
由物理方程 (1-10)中的第三式可见：
一般, 并不一定等于零, 但
可由 及 求得, 在分析问题时不
必考虑 。 于是只需要考虑
三个应变分量即可, 于是应变矩阵 (1-
3-2)简化为：
? ?
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? ?
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yzyz
xyxy
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zxyy
zyxx
G
G
G
E
E
E
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ss?s?
ss?s?
ss?s?
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
00 == zxyz ??,
)( yxz E ss?? +?=
0=zs z?
xs ys
xyyx ???,、
? ? 1 9 )-(1
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xy
y
x
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?
?
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平面应力问题
物理方程 (1-10)简化为：
转化成应力分量用应变分量表示的形式：
? ?
? ? 20)-(1
)1(21
1
1
?
?
?
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?=
?=
xyxyxy
xyy
yxx
EG
E
E
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?ss?
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? ? 21)-(1
2
1
1)1(2
1
1
2
2
2
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xyxyxy
yxy
yxx
EE
E
E
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s
???
?
s
平面应力问题
将 (1-21)式用矩阵方程表示：
它仍然可以简写为：
弹性矩阵 [D]则简化为：
22)-(1
2
1
00
01
01
1
2
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y
x
xy
y
x
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s
s
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? ? 23)-(1
2
1
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01
01
1
2
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E
D
平面应力问题
只有 三个应变分量需要考虑, 所以几何方程 (1-3)
简化为：
1)-3-(1
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x
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y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxyzxy
zyx
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，，
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v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
?
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xyyx ???,、
平面应力问题
弹性体的虚功方程 (1-17)
简化为
? ? ? ? ? ? ? ? 17)-(1 ** ???= d x d y d zF TT s??
? ? ? ? ? ? ? ? 25)-(1 ** ??= d x d y tF TT s??
平面应变问题 一纵向 (即 Z向 )很长, 且沿横截面不变的物体, 受有平行于横截面
而且不沿长度变化的面力和体力,
如图 1-11所示 。
由于物体的纵向很长 (在力学上
可近似地作为无限长考虑 ),截面尺
寸与外力又不沿长度变化；当以任
一横截面为 xy面, 任一纵线为 Z轴时,
则所有一切应力分量, 应变分量和
位移分量都不沿 Z方向变化, 它们都
只是 x和 y的函数 。 此外, 在这一情
况下, 由于对称 (任一横截面都可以
看作对称面 ),所有各点都只会有 x
和 y方向的位移而不会有 Z方向的位
移, 即 w = 0
因此, 这种问题称为平面位移问
题, 但习惯上常称为 平面应变问题 。
0
y
x
í? 1 - 1 1
平面应变问题
既然 w = 0,而且 u及 v又只是 x和 y的函数, 由几何方程 (1-3-1)
可见 。 于是只剩下三个应变分量,
几何方程仍然简化为方程 (1-24)。
1)-3-(1
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?
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+
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+
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u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxyzxy
zyx
???
???
，，
，，
? ? 24)-(1
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x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
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xyyx ???,、0=== zxyzz ???
平面应变问题
因为
由物理方程 (1-11)中后两式可见
又由物理方程 (1-11)中的第三式可见：
在平面应变问题中，虽然,
但 一般并不等于零，不过它可以由
及 求得，在分析问题时不必考
虑，于是也就只有三个应力分量
需要考虑。
xs ys
00 == zxyz ??,
00 == zxyz ??,
)( yxz ss?s +=
0=z?
zs
xyyx ?ss,、
?
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+
?+
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zxzx
yzyz
xyxy
zyxz
zyxy
zyxx
E
E
E
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E
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)1(2
)1(2
)1(2
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
平面应变问题
物理方程 (1-11)简化为：
26)-(1
)1(2
21
)21)(1(
)1(
)1(2
)
1
(
)21)(1(
)1(
)
1
(
)21)(1(
)1(
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yxy
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s
平面应变问题
将 (1-25)式用矩阵方程表示：
它仍然可以简写为：
弹性矩阵 [D]则为：
? ? ? ?? ??s D=
27)-(1
)1(2
21
00
01
1
0
1
1
)21)(1(
)1(
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y
x
xy
y
x
E
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s
s
? ? 28)-(1
)1(2
21
00
01
1
0
1
1
)21)(1(
)1(
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D
平面应变问题
平面应变问题, 由于在 Z方向没有外力, 应力和应变也不
沿 Z方向变化, 所以虚功方程 (1-25)仍然适用, 其中的 t可以取
为任意数值, 但 必须是这个 t范围内的外力 。
需要说明一下, 工程中有许多问题很接近于平面应变问题,
如受内压力的圆管, 滚柱轴承中的滚柱等等, 但它们的沿 Z
向长度都不是无限长的 。 故在靠近两端的部分, 其应力应变
状态比较复杂, 并不符合平面应变问题的条件；因此将这类
问题当作平面应变问题来考虑时, 对于离开两端有一定距离
的地方, 得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位,
却有较大的出入, 往往需要加以处理 。
? ? ? ? ? ? ? ? 25)-(1 ** ??= d x d y tF TT s??
??F
平面应力问题与平面应变问题
对于两种平面问题, 几何方程都是 (1-24),虚功方程都是
(1-25),物理方程都是：
? ? 24)-(1
?
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v
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v
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xy
y
x
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?
? ? ? ? ? ? ? ? 25)-(1 ** ??= d x d y tF TT s??
? ? ? ?? ??s D=
平面应力问题与平面应变问题
对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用 (1-23)式，
而对于平面应变则采用 (1-28)式，
还可注意，在 (1-23)式中，若将 E改换为,将 改换为,
就得出公式 (1-28)。
? ? 23)-(1
2
1
00
01
01
1 2
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? ? 28)-(1
)1(2
21
00
01
1
0
1
1
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)1(
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?E
D
21 ??
E ? ???1
平面应力问题与平面应变问题
在两种平面问题中, 如果命, 则和 1-3中
(1-4)式相似,
由几何方程的积分得出：
其中 及 分别代表弹性体沿 x及 y方向的刚体移动, 而
代表弹性体绕 Z轴的刚体转动 。
0=== xyyx ???
4)-(1
0
0
0
?
?
?
?
?
?+=
?+=
?+=
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
??
??
??
2 9 )-(1
0
0
?
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?
+=
?=
xvv
yuu
z
z
?
?
0u 0v z?
回顾 第一章 弹性力学简介
1-1 材料力学与弹性力学
1-2 应力的概念
1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移
1-4 应力应变关系，物理方程
1-5 虚功原理及虚功方程
1-6 两种平面问题
