4. 弹性力学轴对称问题的有限元法 本章包括以下内容： 4.1用虚功方程建立有限元方程 4.2三结点单元位移函数 4.3三结点单元刚度矩阵 4.4载荷移置 4.5轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程 物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。  图4.1受均布内压作用的长圆筒 如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：  （4-1） 其中表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。 同样，轴对称问题共有4个应变分量：  （4-2） 其中表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿θ方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变；表示沿r和z方向的剪应变。 在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u和轴向位移w，两个位移分量表示为，  （4-3） 在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。 由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，  （4-4） 其中{F}为体力，{p}为面力。 将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向分量，轴向分量，  （4-5） 每个节点的虚位移也只有径向分量，轴向位移分量。  （4-6） 在单元中由虚位移引起的虚应变为，  （4-7） 单元中的实际应力为，  （4-8） 离散后的单元组合体的虚功方程为，  （4-9）  （4-10）  就是单元刚度矩阵。 对于轴对称问题，  （4-11） 将（4-11）代入（4-10）可得  （4-12）  为整体刚度矩阵，得到方程组，  （4-13） 4.2三结点单元位移函数 轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，  （4-14）  图4-2 三结点单元 按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（4-14）得到，  （4-15）  （4-16） 其中，  （4-17） ，， 定义形态函数为，  (下标i,j,m轮换) (4-18) 用矩阵表示的单元位移为，  (4-19) 4.3三结点单元刚度矩阵 轴对称问题的几何方程：  （4-20） 由（4-19）式得，  （4-21a）  （4-21b） 其中，（下标轮换）  （4-21c）  （4-21d）  （4-21e） 用几何矩阵表示单元的应变，  （4-22）  （4-23）  （下标轮换） （4-24） 由于在是坐标r、z的函数，分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元中仍为常量。 由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵，  （4-25） 令，，则弹性矩阵为，  （4-26） 由弹性矩阵[D]和几何矩阵[B]可以得到应力矩阵[S]，并计算出单元内的应力分量，  （4-27） （4-28）   （4-27） 下标轮换，可得到。 由应力矩阵可知，除剪应力为常量，其它三个正应力分量都是r、z的函数。 单元刚度矩阵为，  （4-28） 单元刚度矩阵的分块矩阵为，  （4-29） 由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标代替[B]矩阵中的变量r、z。 ，  应变矩阵变成，   （4-30） 单元刚度矩阵的近似表达式为：  （4-31） 单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为，  （4-32）  (4-33) 4.4载荷移置 单元上的体力为{p}，与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载荷，  (4-34) 作用在单元上的面力为，结点载荷为，  （4-35） 轴对称问题分析中，如果直接定义结点载荷，载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载荷的累计结果。 4.5轴对称分析实例   图4-3 带裙座封头的结构   图4-4 坯料形状 图4-5成形分析的轴对称有限元模型 封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图4-3所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于： 如何保证锻件的厚度； 2）如何保证成形后的裙座位置。 厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。 制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通的半球形封头采用圆饼形坯料，制造带裙座封头要采用如图4-4所示的坯料。 分析整个成形过程可以发现，封头的底部明显变薄，会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时，要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分，在成形过程中明显增厚，壁厚的增加量会超过10%，制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。在图4-5中，可以看出，我们制作了一个心部增厚，边缘减薄的坯料。 坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关，由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移，合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。  图4-6 成形初期的等效应力分布  图4-7 成形中间阶段的等效应力分布  图4-8成形结束阶段的等效应力分布  图4-9 等效应变分布与成形缺陷 通过有限元分析还发现，如果坯料上的凸台尺寸过大，会在封头的内壁上产生图4-9所示的凹限，导致封头内表面尺寸超出设计要求。 采用ANSYS软件，对坯料形状和尺寸、模具的尺寸、成形缺陷进行了综合分析得到了优化的坯料设计和制造工艺。