有限元分析
第二章
平面问题的有限单元法
第二章 平面问题的有限单元法
2-1、有限单元法的概念
2-2、有限单元法的计算步骤
2-3、单元位移函数
2-4、单元载荷移置
2-5、单元应力矩阵
2-6、单元刚度矩阵
2-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质
2-8、整体分析
2-9、整体刚度矩阵的形成
2-10、支承条件的处理
2-11、整体刚度矩阵的特点
2-1 有限单元法的概念
有限单元法的发展历史：
弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围，提高了解题的
精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上，能获得较为
精确而实用的解答。由于复杂的数学运算；或难以确定简单
合理的数学模型，对于大量的工程实际问题往往难以解决。
计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的
解析法不能解决的问题，应用数值法 (以计算机为工具 )可以
求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。
有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速
度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复
杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不
均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构
件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水
利、机械工业中。
2-1 有限单元法的概念
通过材料力学求解和有限元求解进行比较
例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图 (a)
单位杆长重量为 q，杆长为 L，截面面积为 A，弹性模数为 E
L
x
L-x
L
3
L
3
L
3
0
u
dx
X
N
N
N
x
(a) (b) (c)
í? 2 - 1
EA
qa
2
5
2
EA
qa
2
8
2
EA
qa
2
9
2
3
L
a =
2-1 有限单元法的概念
材料力学方法求解直杆拉伸,图 (b)---位移法
考虑微段 dx,内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
x截面上的位移：
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
应力
EA
x ) d xq ( L
EA
N ( x ) d xΔ (dx) ?==
)2x(LxEAqEA x ) d xq(LEAN ( x ) d xu
2x
0
x
0 ?=
?== ??
X)(LEAqdXduε x ?==
X)(LEAqE εσ xx ?==
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
1
L
2
L
i
L
1i
L
+
1
í? 2 - 2
n
n-1
i+1
i
i-1
2
i
L
1i
L
+
í? 2 - 3
i+1
i
i-1
2
)LL( q
1ii +
+
1、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把投
影部分的重量作用在结点 i上
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
i
L
í? 2 - 4
i
i-1
X
u
x
1i
x
?
1i
u
?
)x( u
i
u
) XX(L u u u)x( uu 1i
i
1ii
1i ?
?
? ?
?+==
i
1ii
x L
uu
dX
duε ??==
)L uu(EE
i
1ii
ii
??=?=?
)L uu( E A A N
i
1ii
ii
??=?=
)L uu( E A N
1i
i1i
1i
+
+
+
?=
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
4、以 i结点为对象，列力的平衡方程
令
将位移和内力的关系代入得
i
N
1i
N
+
í? 2 - 5
i
2
)LL( q
1ii +
+
0Fx =?
2
)LL( qNN 1ii
1i i
+
+
+=?
1i
i
i L
L
+
=?
1)-(2 L )11(EA2 quu )1(u 2i
i
1i ii i1-i ?+=???++? +
用结点位移表示的平衡方程，其中 i=1,2,… n有 n个方程
未知数也有 n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
假设线单元数为 3个的情况，
平衡方程有 3个：
i=1时，
i=2时,
i=3时，
联立解得
aL
1
=
aL
3
=
aL
2
=
0
u
1
u
2
u
3
u
0
1
2
3
í? 2 - 6
2
2 1 aEA
quu 2 =?
2
3 2 1 aEA
quu 2u =?+?
2
3 2 aEA 2
quu =+?
EA
qa
2
5u 2
1 = EA
qa
2
8u 2
2 = EA
qa
2
9u 2
3 =
与材料力学的精确解答在结点处完全相同
2-1 有限单元法的概念
有限单元法的基本思路：
(1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。
(2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设
成线性函数 (或其它函数 )，保证在单元内和单元间位移连接。
(3) 将结点的位移与结点的力联系起来。
(4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。
(5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出
各单元中的应力。
有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程
来求解。
2-2 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：
1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
í? 2 - 7
2-2 有限单元法的计算步骤
1、离散化
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体
来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由
有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，
因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点
处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。
在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点
上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
2-2 有限单元法的计算步骤
j
m
i
j
m
i
i
v
i
v
j
v
í? 2 - 8
m
v
i
u
j
u
m
u
i
V
j
V
m
V
i
U
j
U
m
U
(a) (b)
e e
2、单元分析
对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
m
m
j
j
i
i
e
v
u
v
u
v
u
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
m
m
j
j
i
i
e
V
U
V
U
V
U
F
结点位移 结点力
2-2 有限单元法的计算步骤
2、单元分析 -----单元刚度矩阵
取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：
其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的
就是要求出单元刚度矩阵。
单元分析的步骤可表示如下：
? ? ? ? ? ? 2)-(2 KF eee ?=
?á μ?
?? ò?
?ú 2? ?÷
μ? ?? ò?
ó| ±? ó| á| ?á μ? á|
(1)
μ￥ ?a ·? ??
(4)(3)(2)
2-2 有限单元法的计算步骤
3、单元综合
将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程
求出结点位移。
在位移法中，主要的任务是求出基本未知量 ---结点位移。
为此需要建立结点的平衡方程。
i
j
m
￠?
￠ü
￠ù
￠ú
￠?￠?
￠ù
￠ù
￠ü
￠ü
iii
i
)1(
i
V
yi
P
xi
P
)e(
i
U?
)3(
i
V
)3(
i
U
)1(
i
U
)4(
i
V
)4(
i
U
)e(
i
V?
(a) (b) (c)
í? 2 - 9
2-2 有限单元法的计算步骤
3、单元综合
i点总的结点力应为：
根据结点的平衡条件，得
单元 e的结点力，可按式 (2-2)用结点位移表示，代入得
到用结点位移表示的平衡方程。
每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以
方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。
单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，
可进一步求出各单元的应力。
)e(
i
e
)4(
i
)3(
i
)1(
i
)e(
i
e
)4(
i
)3(
i
)1(
i
VVVV
UUUU
?
?
=++
=++
??
?
?
?
=
=
?
?
e
yi
)e(
j
e
xi
)e(
i
PV
PU
2-3 单元位移函数
如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何
方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续
体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成
若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化
情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一
个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为 位
移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场 。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精
确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
...yaxyaxayaxaau 26524321 ++++++=
...ybxybxbybxbbv 26524321 ++++++=
2-2 单元位移函数
三结点三角形单元 六个节点位移只能确定六个多
项式的系数, 所以平面问题的 3
结点三角形单元的位移函数如
下,
所选用的这个位移函数, 将单
元内部任一点的位移定为座标
的线性函数, 位移模式很简单 。
??
?
++=
++=
yaxaav
yaxaau
654
321
位移函数写成矩阵形式为：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
6
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
yx1000
000yx1
v
u
f
2-3 单元位移函数
最终确定六个待定系数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
j
i
mji
mji
mji
3
2
1
u
u
u
ccc
bbb
aaa
A2
1
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
j
i
mji
mji
mji
6
5
4
v
v
v
ccc
bbb
aaa
A2
1
a
a
a
]u)ycxba(u)ycxba(u)ycxba[(A21u mmmmjjjjiiii ++++++++=
]v)ycxba(v)ycxba(v)ycxba[(A21v mmmmjjjjiiii ++++++++=
2-3 单元位移函数
令 （ 下标 i,j,m轮换 ）
简写为
)ycxba(A21N iiii ++=? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
m
m
j
j
i
i
mji
mji
v
u
v
u
v
u
N0N0N0
0N0N0N
v
u
f
? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
=?=
m
j
i
mji
e INININNf
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
m
m
j
j
i
i
m
j
i
e
v
u
v
u
v
u
[I]是单位矩阵,
[N]称为形态矩阵,
Ni称为位移的形态函数
2-3 单元位移函数
选择单元位移函数时, 应当保证有限元法解答的收敛性,
即当网格逐渐加密时, 有限元法的解答应当收敛于问题的正确
解答 。 因此, 选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：
(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变 。
6个参数 到 反映了三个刚体位移和三个常量应变 。
(2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性 。
(线性函数的特性 )
1a 6a
2-3 单元位移函数
例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵 [N]。
0yxyxa jmmji =?=
ayyb mji =?=
0xxc jmi =?=
0yxyxa miimj =?=
0yyb imj =?=
axxc mij =?=
2ijjim ayxyxa =?=
ayyb jim ?=?=
axxc ijm ?=?=
2-3 单元位移函数
由三角形的面积
2
aA 2=
a
x)0ax0(
a
1)ycxba(
A2
1N
2iiii =++=++=
a
y)ay00(
a
1)ycxba(
A2
1N
2jjjj =++=++=
a
y
a
x1)ayaxa(
a
1)ycxba(
A2
1N 2
2mmmm ??=??=++=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
=
a
y
a
x
10
a
y
0
a
x
0
0
a
y
a
x
10
a
y
0
a
x
]N[
2-4 单元载荷移置
连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，
需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点 移置 (分解 )，
而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，
则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，
集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和
体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移
置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向
结点移置。
将载荷移置到结点上，必须遵循 静力等效的原则 。静
力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相
等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符
合静力等效原则。
2-4 单元载荷移置
在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过
简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。
y
j
c
b
x
i
w
l
m
m
y
i
y
j
y
y
j
c
b
x
i
w
l
m
m
x
i
x
j
x
均质等厚度的三角形单元所受的重力，把 1/3的重力移到每个结点
2-4 单元载荷移置
例：
总载荷的 2/3移置到结点 i,1/3移置到结点 j,与原载荷同向
y
x
m
j
i
p
i
x
j
x
j
L
i
L
y
x
m
j
i q
i
x
j
x
L
2-4 单元载荷移置
载荷向结点的移置，可
以用普遍公式来表示。
体力的移置
分布面力的移置
在线性位移模式下，用
直接计算法简单；非线
性模式下，要用普遍公
式计算。
y
x
o
M
p
m
j
i
m
x
j
x
i
x
m
y
j
y
i
y
y
p
x
p
??= t d x d y}p{]N[}R{ Te
?= s Te t d s}P{]N[}R{
2-5 单元应力矩阵
本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单
元的应变和单元的应力。
用结点位移表示单元的应变的表达式为
,[B]矩阵称为几何矩阵。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
=?
m
m
j
j
i
i
mmjjii
mji
mji
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
c0c0c0
0b0b0b
A2
1
x
v
y
u
y
v
x
u
e}]{B[}{ ?=?
? ? ? ?mji BBBB = ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
ii
i
i
i
bc
c0
0b
A2
1
B
2-5 单元应力矩阵
由物理方程，可以得到单元的应力表达式
为应力矩阵
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eBDD ?=?=?
? ? ? ?? ?BDS =
? ? ? ?mji SSSS =
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
==
ii
ii
ii
2ii
b
2
1
c
2
1
cb
cb
)1(A2
E
BDS
第二章
平面问题的有限单元法
第二章 平面问题的有限单元法
2-1、有限单元法的概念
2-2、有限单元法的计算步骤
2-3、单元位移函数
2-4、单元载荷移置
2-5、单元应力矩阵
2-6、单元刚度矩阵
2-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质
2-8、整体分析
2-9、整体刚度矩阵的形成
2-10、支承条件的处理
2-11、整体刚度矩阵的特点
2-1 有限单元法的概念
有限单元法的发展历史：
弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围，提高了解题的
精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上，能获得较为
精确而实用的解答。由于复杂的数学运算；或难以确定简单
合理的数学模型，对于大量的工程实际问题往往难以解决。
计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的
解析法不能解决的问题，应用数值法 (以计算机为工具 )可以
求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。
有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速
度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复
杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不
均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构
件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水
利、机械工业中。
2-1 有限单元法的概念
通过材料力学求解和有限元求解进行比较
例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图 (a)
单位杆长重量为 q，杆长为 L，截面面积为 A，弹性模数为 E
L
x
L-x
L
3
L
3
L
3
0
u
dx
X
N
N
N
x
(a) (b) (c)
í? 2 - 1
EA
qa
2
5
2
EA
qa
2
8
2
EA
qa
2
9
2
3
L
a =
2-1 有限单元法的概念
材料力学方法求解直杆拉伸,图 (b)---位移法
考虑微段 dx,内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
x截面上的位移：
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
应力
EA
x ) d xq ( L
EA
N ( x ) d xΔ (dx) ?==
)2x(LxEAqEA x ) d xq(LEAN ( x ) d xu
2x
0
x
0 ?=
?== ??
X)(LEAqdXduε x ?==
X)(LEAqE εσ xx ?==
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
1
L
2
L
i
L
1i
L
+
1
í? 2 - 2
n
n-1
i+1
i
i-1
2
i
L
1i
L
+
í? 2 - 3
i+1
i
i-1
2
)LL( q
1ii +
+
1、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把投
影部分的重量作用在结点 i上
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
i
L
í? 2 - 4
i
i-1
X
u
x
1i
x
?
1i
u
?
)x( u
i
u
) XX(L u u u)x( uu 1i
i
1ii
1i ?
?
? ?
?+==
i
1ii
x L
uu
dX
duε ??==
)L uu(EE
i
1ii
ii
??=?=?
)L uu( E A A N
i
1ii
ii
??=?=
)L uu( E A N
1i
i1i
1i
+
+
+
?=
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
4、以 i结点为对象，列力的平衡方程
令
将位移和内力的关系代入得
i
N
1i
N
+
í? 2 - 5
i
2
)LL( q
1ii +
+
0Fx =?
2
)LL( qNN 1ii
1i i
+
+
+=?
1i
i
i L
L
+
=?
1)-(2 L )11(EA2 quu )1(u 2i
i
1i ii i1-i ?+=???++? +
用结点位移表示的平衡方程，其中 i=1,2,… n有 n个方程
未知数也有 n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
假设线单元数为 3个的情况，
平衡方程有 3个：
i=1时，
i=2时,
i=3时，
联立解得
aL
1
=
aL
3
=
aL
2
=
0
u
1
u
2
u
3
u
0
1
2
3
í? 2 - 6
2
2 1 aEA
quu 2 =?
2
3 2 1 aEA
quu 2u =?+?
2
3 2 aEA 2
quu =+?
EA
qa
2
5u 2
1 = EA
qa
2
8u 2
2 = EA
qa
2
9u 2
3 =
与材料力学的精确解答在结点处完全相同
2-1 有限单元法的概念
有限单元法的基本思路：
(1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。
(2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设
成线性函数 (或其它函数 )，保证在单元内和单元间位移连接。
(3) 将结点的位移与结点的力联系起来。
(4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。
(5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出
各单元中的应力。
有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程
来求解。
2-2 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：
1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
í? 2 - 7
2-2 有限单元法的计算步骤
1、离散化
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体
来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由
有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，
因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点
处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。
在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点
上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
2-2 有限单元法的计算步骤
j
m
i
j
m
i
i
v
i
v
j
v
í? 2 - 8
m
v
i
u
j
u
m
u
i
V
j
V
m
V
i
U
j
U
m
U
(a) (b)
e e
2、单元分析
对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
=?
m
m
j
j
i
i
e
v
u
v
u
v
u
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
m
m
j
j
i
i
e
V
U
V
U
V
U
F
结点位移 结点力
2-2 有限单元法的计算步骤
2、单元分析 -----单元刚度矩阵
取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：
其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的
就是要求出单元刚度矩阵。
单元分析的步骤可表示如下：
? ? ? ? ? ? 2)-(2 KF eee ?=
?á μ?
?? ò?
?ú 2? ?÷
μ? ?? ò?
ó| ±? ó| á| ?á μ? á|
(1)
μ￥ ?a ·? ??
(4)(3)(2)
2-2 有限单元法的计算步骤
3、单元综合
将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程
求出结点位移。
在位移法中，主要的任务是求出基本未知量 ---结点位移。
为此需要建立结点的平衡方程。
i
j
m
￠?
￠ü
￠ù
￠ú
￠?￠?
￠ù
￠ù
￠ü
￠ü
iii
i
)1(
i
V
yi
P
xi
P
)e(
i
U?
)3(
i
V
)3(
i
U
)1(
i
U
)4(
i
V
)4(
i
U
)e(
i
V?
(a) (b) (c)
í? 2 - 9
2-2 有限单元法的计算步骤
3、单元综合
i点总的结点力应为：
根据结点的平衡条件，得
单元 e的结点力，可按式 (2-2)用结点位移表示，代入得
到用结点位移表示的平衡方程。
每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以
方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。
单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，
可进一步求出各单元的应力。
)e(
i
e
)4(
i
)3(
i
)1(
i
)e(
i
e
)4(
i
)3(
i
)1(
i
VVVV
UUUU
?
?
=++
=++
??
?
?
?
=
=
?
?
e
yi
)e(
j
e
xi
)e(
i
PV
PU
2-3 单元位移函数
如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何
方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续
体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成
若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化
情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一
个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为 位
移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场 。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精
确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
...yaxyaxayaxaau 26524321 ++++++=
...ybxybxbybxbbv 26524321 ++++++=
2-2 单元位移函数
三结点三角形单元 六个节点位移只能确定六个多
项式的系数, 所以平面问题的 3
结点三角形单元的位移函数如
下,
所选用的这个位移函数, 将单
元内部任一点的位移定为座标
的线性函数, 位移模式很简单 。
??
?
++=
++=
yaxaav
yaxaau
654
321
位移函数写成矩阵形式为：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
6
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
yx1000
000yx1
v
u
f
2-3 单元位移函数
最终确定六个待定系数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
j
i
mji
mji
mji
3
2
1
u
u
u
ccc
bbb
aaa
A2
1
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
=
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
m
j
i
mji
mji
mji
6
5
4
v
v
v
ccc
bbb
aaa
A2
1
a
a
a
]u)ycxba(u)ycxba(u)ycxba[(A21u mmmmjjjjiiii ++++++++=
]v)ycxba(v)ycxba(v)ycxba[(A21v mmmmjjjjiiii ++++++++=
2-3 单元位移函数
令 （ 下标 i,j,m轮换 ）
简写为
)ycxba(A21N iiii ++=? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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=
?
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?
?
?
=
m
m
j
j
i
i
mji
mji
v
u
v
u
v
u
N0N0N0
0N0N0N
v
u
f
? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
=?=
m
j
i
mji
e INININNf
? ?
?
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=
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?
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?
?
?
?
=?
m
m
j
j
i
i
m
j
i
e
v
u
v
u
v
u
[I]是单位矩阵,
[N]称为形态矩阵,
Ni称为位移的形态函数
2-3 单元位移函数
选择单元位移函数时, 应当保证有限元法解答的收敛性,
即当网格逐渐加密时, 有限元法的解答应当收敛于问题的正确
解答 。 因此, 选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：
(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变 。
6个参数 到 反映了三个刚体位移和三个常量应变 。
(2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性 。
(线性函数的特性 )
1a 6a
2-3 单元位移函数
例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵 [N]。
0yxyxa jmmji =?=
ayyb mji =?=
0xxc jmi =?=
0yxyxa miimj =?=
0yyb imj =?=
axxc mij =?=
2ijjim ayxyxa =?=
ayyb jim ?=?=
axxc ijm ?=?=
2-3 单元位移函数
由三角形的面积
2
aA 2=
a
x)0ax0(
a
1)ycxba(
A2
1N
2iiii =++=++=
a
y)ay00(
a
1)ycxba(
A2
1N
2jjjj =++=++=
a
y
a
x1)ayaxa(
a
1)ycxba(
A2
1N 2
2mmmm ??=??=++=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
=
a
y
a
x
10
a
y
0
a
x
0
0
a
y
a
x
10
a
y
0
a
x
]N[
2-4 单元载荷移置
连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，
需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点 移置 (分解 )，
而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，
则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，
集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和
体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移
置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向
结点移置。
将载荷移置到结点上，必须遵循 静力等效的原则 。静
力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相
等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符
合静力等效原则。
2-4 单元载荷移置
在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过
简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。
y
j
c
b
x
i
w
l
m
m
y
i
y
j
y
y
j
c
b
x
i
w
l
m
m
x
i
x
j
x
均质等厚度的三角形单元所受的重力，把 1/3的重力移到每个结点
2-4 单元载荷移置
例：
总载荷的 2/3移置到结点 i,1/3移置到结点 j,与原载荷同向
y
x
m
j
i
p
i
x
j
x
j
L
i
L
y
x
m
j
i q
i
x
j
x
L
2-4 单元载荷移置
载荷向结点的移置，可
以用普遍公式来表示。
体力的移置
分布面力的移置
在线性位移模式下，用
直接计算法简单；非线
性模式下，要用普遍公
式计算。
y
x
o
M
p
m
j
i
m
x
j
x
i
x
m
y
j
y
i
y
y
p
x
p
??= t d x d y}p{]N[}R{ Te
?= s Te t d s}P{]N[}R{
2-5 单元应力矩阵
本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单
元的应变和单元的应力。
用结点位移表示单元的应变的表达式为
,[B]矩阵称为几何矩阵。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
+
?
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?
?
=?
m
m
j
j
i
i
mmjjii
mji
mji
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
c0c0c0
0b0b0b
A2
1
x
v
y
u
y
v
x
u
e}]{B[}{ ?=?
? ? ? ?mji BBBB = ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
ii
i
i
i
bc
c0
0b
A2
1
B
2-5 单元应力矩阵
由物理方程，可以得到单元的应力表达式
为应力矩阵
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eBDD ?=?=?
? ? ? ?? ?BDS =
? ? ? ?mji SSSS =
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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????
?
?
??
==
ii
ii
ii
2ii
b
2
1
c
2
1
cb
cb
)1(A2
E
BDS
