第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的理论 —— 矩阵 力学和 波动 力学,
相对论量子力学 （ 1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程,
薛定谔（ Erwin Schrodinger，
1887~1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
..
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介一 波函数 概率密度
1） 经典的波与波函数
)(π2cos),( 0
xtEtxE
)(π2cos),( 0 xtHtxH
电磁波
)(π2c o s),( xtAtxy机械波
]eR e [),( )(π2i
xt
Atxy
经典波为 实 函数第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
2） 量子力学波函数（ 复函数 ）
)(π2i
0 e),(
pxEth
txΨ
自由 粒子平面波函数
),,,( tzyxΨ描述 微观 粒子运动的 波 函数
h
E
p
h微观粒子的 波粒二象性自由 粒子能量 和动量 是 确定 的，其德布罗意频率和波长均不变,可认为它是一 平面 单色波,
平面单色波波列 无限长,根据不确定原理,粒子在
x方向上的位置 完全不 确定,
E p?
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2?Ψ
1d2 VΨ归一化条件 ( 束缚态 )
某一时刻在整个空间内发现粒子的 概率为
3） 波函数的统计意义
*2Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率,
正实数第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介二 薛定谔方程（ 1925 年 ）
自由粒子 薛定谔方程的建立
)(π2i
0 e),(
pxEth
txΨ
自由 粒子平面波函数上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ
h
p
x
Ψ
2
22
2
2 π4
E Ψ
ht
Ψ π2i
自由粒子 )c(v kEE? k2 2 mEp?
t
Ψh
x
Ψ
m
h
π2iπ8 2
2
2
2一维运动自由粒子的含时 薛定谔方程第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
t
ΨhΨtxE
x
Ψ
m
h
π2
i),(
π8 p2
2
2
2
一维运动粒子的含时薛定谔方程若粒子在势能为 的势场中运动 pk EEEpE
质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 ),( txΨΨ?
)(pp xEE?粒子在 恒定势场 中的运动
hEtxtxtxΨ /π2i0 e)()()(),(
在 势场 中 一维 运动粒子的 定态 薛定谔方程
0)()(π8
d
d
p2
2
2
2
xEE
h
m
x
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
0)(π8 p2
2
2
2
2
2
2
2
EE
h
m
zyx
在 三维 势场中运动粒子的 定态 薛定谔方程拉普拉斯算子 2
2
2
2
2
2
2
zyx?
0)(π8 p2
2
2 EE
h
m
定态 薛定谔方程定态 波函数 ),,( zyx?
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介波函数的 标准条件,单值的，有限的和连续的,
1ddd,,2 zyx zyx?1） 可归一化 ;
zyx?
,,2） 和 连续 ;
),,( zyx?3） 为有限的、单值函数,
1） 能量 E 不随时间变化；
2） 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介三 一维势阱问题
pE axxE
ax
,0,
0,0
p
粒子 势能 满足的 边界 条件
pE
pE
a xo
1） 是固体物理金属中自由电子的简化模型；
2） 数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来,
意义
0)(π8dd 2
2
2
2
xh mEx薛定谔方程第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
),0(,0 axx axxE,0,p?
2
2π8
h
mEk?
axE 0,0p
0π8
d
d
2
2
2
2
h
mE
x
0dd 22
2
kx
kxBkxAx co ss i n)(
波函数的 标准条件,单值、有限和连续,
0,0,0 Bx kxAx si n)(?
pE
a xo
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
nkaka,0s i n?
2
2π8
h
mEk?
2
2
2
8 ma
hnE?
,3,2,1, nank? 量子数基态 能量 )1(,
8 2
2
1 nma
hE
激发态 能量 ),3,2(,
8 2
2
2 n
ma
hnE
n
一维无限深方势阱中粒子的 能量 是 量子化 的,
0s i n, kaAax 0s in ka
pE
a xo
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
022
2
k
x
kxAx si n)(?
xanAx πs i n)(
归一化 条件 1dd
0
*2
xx
a
1dπs i n0 22 xxanA a
)0(,πs in2)( axxanax
,3,2,1, nank? 量子数
pE
a xo
aA
2?
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
pE
a xo
xanax πs i n2)( 22概率密度
2
2
2
8 ma
hnE
n?能量
0π8
d
d
2
2
2
2
h
mE
x
波动方程
)0(,πsi n2 axxana
)(x?
),0(,0 axx
波函数
,3,2,1?n量子数第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
0?x 2a a
1?n
2?n
3?n
4?n
n?
0?x 2a a
2n?
xanAx πs i n)( xanax πs i n2)( 22
0p?E
1E
14E
19E
116E
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介四 对应原理在某些 极限 的条件下，量子规律可以 转化 为经典规律,
2
2
1 8)12( ma
hnEEE
nn
势阱中相邻 能级 之 差
21,1 amE
能量 ),3,2,1(,
8 2
2
2 n
ma
hnE
n
能级 相对 间隔
nma
hn
ma
hn
E
E
n
n 2
88
2 2
2
2
2
2
当 时，,能量视为 连续 变化,n 0)(
nn EE
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介例,电子在 的势阱中,m100.1 2a
eV1054.7
8
2 152
2
n
ma
hnE （ 近似于连续 ）
当 时,（ 能量分立 ） eV4.75nm10.0 nEa
当 很大时，,量子效应不明显，能量可视为 连续 变化，此即为 经典对应,
amn,,0E
物理意义
eV1077.3
8
152
2
2
2 n
ma
hnE
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介五 一维方势垒 隧道效应
)(p xE
axx,0,0
axE0,p0
一维方势垒
0pEE?
粒子的能量
0pE
)(p xE
ao x
隧道效应从左方射入的粒子，在各区域内的波函数
1? 2? 3?
)(x?
a xo
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
1? 2? 3?
)(x?
a xo
粒子的能量虽 不 足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为 隧道效应,
ax?
隧道效应的本质,来源于微观粒子的波粒二相性,
量子围栏照片
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜 ( STM ),可观测固体表面原子排列的状况,1986年宾尼希又研制了原子力显微镜,
应用
相对论量子力学 （ 1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程,
薛定谔（ Erwin Schrodinger，
1887~1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
..
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介一 波函数 概率密度
1） 经典的波与波函数
)(π2cos),( 0
xtEtxE
)(π2cos),( 0 xtHtxH
电磁波
)(π2c o s),( xtAtxy机械波
]eR e [),( )(π2i
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Atxy
经典波为 实 函数第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
2） 量子力学波函数（ 复函数 ）
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pxEth
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自由 粒子平面波函数
),,,( tzyxΨ描述 微观 粒子运动的 波 函数
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E
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h微观粒子的 波粒二象性自由 粒子能量 和动量 是 确定 的，其德布罗意频率和波长均不变,可认为它是一 平面 单色波,
平面单色波波列 无限长,根据不确定原理,粒子在
x方向上的位置 完全不 确定,
E p?
第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2?Ψ
1d2 VΨ归一化条件 ( 束缚态 )
某一时刻在整个空间内发现粒子的 概率为
3） 波函数的统计意义
*2Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率,
正实数第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介二 薛定谔方程（ 1925 年 ）
自由粒子 薛定谔方程的建立
)(π2i
0 e),(
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自由 粒子平面波函数上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
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2一维运动自由粒子的含时 薛定谔方程第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
t
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一维运动粒子的含时薛定谔方程若粒子在势能为 的势场中运动 pk EEEpE
质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 ),( txΨΨ?
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在 势场 中 一维 运动粒子的 定态 薛定谔方程
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第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介波函数的 标准条件,单值的，有限的和连续的,
1ddd,,2 zyx zyx?1） 可归一化 ;
zyx?
,,2） 和 连续 ;
),,( zyx?3） 为有限的、单值函数,
1） 能量 E 不随时间变化；
2） 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介三 一维势阱问题
pE axxE
ax
,0,
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粒子 势能 满足的 边界 条件
pE
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1） 是固体物理金属中自由电子的简化模型；
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2
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第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
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0?x 2a a
1?n
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第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介四 对应原理在某些 极限 的条件下，量子规律可以 转化 为经典规律,
2
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1 8)12( ma
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势阱中相邻 能级 之 差
21,1 amE
能量 ),3,2,1(,
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2
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能级 相对 间隔
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当 时，,能量视为 连续 变化,n 0)(
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第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介例,电子在 的势阱中,m100.1 2a
eV1054.7
8
2 152
2
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hnE （ 近似于连续 ）
当 时,（ 能量分立 ） eV4.75nm10.0 nEa
当 很大时，,量子效应不明显，能量可视为 连续 变化，此即为 经典对应,
amn,,0E
物理意义
eV1077.3
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第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介五 一维方势垒 隧道效应
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一维方势垒
0pEE?
粒子的能量
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)(p xE
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隧道效应从左方射入的粒子，在各区域内的波函数
1? 2? 3?
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第十九章 量子物理19 - 8 量子力学简介
1? 2? 3?
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粒子的能量虽 不 足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为 隧道效应,
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隧道效应的本质,来源于微观粒子的波粒二相性,
量子围栏照片
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜 ( STM ),可观测固体表面原子排列的状况,1986年宾尼希又研制了原子力显微镜,
应用
