《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 教学目的：了解事件的概念及概率的三种定义（主观概率，古典概率及几何概率），重点掌握古典概率的计算方法，掌握事件之间的几种常见关系，加法定理，全概率公式及贝叶斯公式，贝努利试验。 教学方法：课堂讲授。用引言的方式介绍确定性现象与不确定性现象，并指出不确定性现象是概率论的研究对象。在引入概率的概念的时候采用教学辅助软件的帮助，让学生有一定的视觉感受。通过五个著名问题介绍事件概率的常见计算方法。采用当堂启发、实践，引入贝努利试验中成功事件概率的计算方法。 教学手段：多媒体教学（电子教案，投影及粉笔、黑板的有机结合） 教学时数：8学时 §1.1 引言 教学内容：确定性现象与随机现象 教学形式：通过身边的事情引入必然现象，进而通过类比的方法引入随机现象，并指出这就是概率的研究对象。 §1.2 概率的统计定义（频率） 教学内容： 事件的基本概念（基本事件，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件） 概率的统计定义。 定义1.2.1 在一定的条件下,重复做次试验,为次试验中事件发生的次数，如果随着逐渐增大，频率逐渐稳定在某一数值附近，则数值称为事件在该条件下发生的概率，记做。这个定义称为概率的统计定义。 教学形式：首先介绍事件的基本概念，然后通过教学辅助软件，用模拟的方法引入概率的统计定义。 §1.3 概率的古典定义（比率） 教学内容： 古典试验 概率的古典定义 对于古典试验中的事件，它的概率定义为：  （1.3.1） 表示该试验中所有可能出现基本结果的总数目。表示事件包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 教学形式：通过实际抛掷一枚均匀硬币的方法引入古典试验的概念，然后通过教学辅助软件，用模拟的方法引入概率按照古典定义的计算方法，并且指出计算中的分子与分母并不总是容易获得。 §1.4 排列组合与古典概率计算 教学内容： 元素不允许重复的排列（全排列与选排列） 元素允许重复的排列 组合 超几何概率 教学形式：由于排列组合的内容大部分同学在高中接触过，所以可以直接将概念回顾以下，并且举几个实际的例子即可，在引入超几何概率时，可以借助软件的帮助。 §1.5 事件的关系与运算，加法公理 教学内容： 包含关系 若事件发生必导致事件发生，则称包含，记作。若且，则，称与相等 事件的并与交 事件的并表示，两个事件中至少有一个发生，记为。事件的交表示两事件中同时发生，记为，或。 对立事件与差事件 事件“非”称为的对立事件，记作。，所以也是的对立事件。 差事件表示事件发生，但事件不发生。于是 加法公式 如果事件是互不相容的，则 教学形式：首先介绍事件之间的各种可能关系的概念，在此基础上引入两个互斥事件的加法公式，若学生接受状况良好，可将这个公式推广到多个互斥事件的和事件上来。 §1.6 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 教学内容： 条件概率 定义1.6.1 对任意事件，则称  为在已发生的情况下,事件发生的条件概率。 乘法公式  这公式称为概率的乘法公式。 全概率公式 设为两两互斥事件，且满足，则对于任意的事件，均有此式称为全概率公式。 设为两两互不相容事件，且，若对任意事件，则  此式称为贝叶斯公式。 教学形式：首先通过例子引入两个事件的条件概率的概念，进而推广到多个事件上，其次引入乘法公式，当这个两个概念学生完全明白后，即可引入本节课的核心全概率公式与贝叶斯公式上来。最后通过敏感性调查这个有趣的问题介绍全概率公式的实际应用，在讲贝叶斯公式时可以结合色盲的例子进行。 §1.7 事件的独立性 教学内容： 两个事件相互独立的概念 对于两个事件,如果 或 则称是相互独立的事件。 三个事件相互独立的概念 对于三个事件的相互独立用下面四个式子来定义  多个事件相互独立的概念 个事件相互独立是由下列个式子定义的。  教学形式：首先通过例子引入两个事件独立的概念，进而推广到三个事件上，并指出两个定义的区别与联系，其次推广到多个事件相互独立的概念上。可通过多个例子展示独立性这个概念在概率论中的重要地位。 §1.8 独立试验序列 教学内容： 独立试验序列的概念 假若一串试验具备下列三条： （1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，,； （2）成功的概率在每次试验中保持不变； （3）试验与试验之间是相互独立的。 则这一串试验称为独立试验序列，也称为Bernoulli概型。 在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率： （1）次试验中恰有次“成功”的概率； （2）第次试验首次出现“成功”的概率。 教学形式：由于独立试验序列在概率论中的重要地位，所以例子非常丰富，此处可以多加展示，同时重点解释象例1.8.4那样题目的解决方法。 §1.9 几何概率和概率的数学定义 教学内容： 几何概率 设某一事件（也是中的某一区域），,它的量度大小为，若以表示事件发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件发生的概率取为  这样计算的概率。称为几何概率。 概率的数学定义 （1）非负性，即任何一个事件的概率； （2）规范性，即必然事件的概率等于1，； （3）无限可加性：即。 教学形式：通过著名的蒲丰针问题展示几何概率的计算方法，之后将本章的三种概率的定义用数学定义来统一，从而符合从具体到抽象的人类一般的思维过程。