第五章 大数定律及中心极限定理
第一节引言、第二节大数定律
一、教学目的要求
1.了解大数定律及中心极限定理的提出和发展历史。
2.掌握引理：切贝雪夫不等式。
3.掌握常用的切贝雪夫大数定律、贝努里大数定理、辛钦大数定律的适用条件及定律内容，会解答有关问题。
二、教学方法
讲授法：讲授大数定律、中心极限定理的概念。
演绎法：推导切贝雪夫不等式、定理1，2，3及例题
三、重点难点
重点：掌握切贝雪夫不等式及握常用的大数定律。
难点：大数定律应用具体应用。
四、课时安排：2课时
五、教具准备：多媒体。
六、教学步骤：
（一）明确目标：通过问题引入本次课的教学，明确大数定律、中心极限定理的概念，掌握贝雪夫不等式的推导及应用，定理1及2的证明，了解定理3的条件及应用。
（二）教学过程及教学内容：
1问题引入：大数定律及中心极限定理的提出和发展历史
2.内容：
（1）定义5.2.1 设是随机变量序列，记
，
若存在一个常数序列，使得对任意正数，有
则称随机变量序列服从大数定律（Law of Great Numbers）。
（2）定义5.2.2 设是随机变量序列，是一个常数，若对任意正数，有
则称随机变量序列依概率收敛(Convergence In Probability)于常数，记为：。
（3）推论：可以证明：若，，在点连续，则有：。
（4）.（重要）引理5.2.1 对于任何具有有限方差的随机变量及任意正数恒成立
（5.2.1）
公式（5.2.1）称为契比雪夫（Chebyshev）不等式。
（5）.利用引理的例子： 例5.2.1 证明：当时，。
（6）定理 5.2.1 设随机变量相互独立，具有有限方差，且存在常数使得，则对任意正数，恒成立
（5.2.2）
定理5.2.1称为契比雪夫Chebyshev大数定律。
利用引理证明契比雪夫Chebyshev大数定律。
（7）注意到上述定理的全部条件实际上是为了保证下述的Markov条件成立
所以我们又可以得到更为一般的马尔可夫（Markov）大数定律：若随机变量序列满足Markov条件，则公式（5.2.2）成立。这里甚至不要求随机变量序列的相互独立性。
（8）.定理5.2.2 记为次重复独立的试验中事件发生的次数，为事件在每次试验中发生的概率，则对任意正数，恒成立
（5.2.3）
定理5.2.2称为贝努利(Bernoulli)大数定律。
（9）. 定理5.2.3 设随机变量相互独立，服从同一分布，且,，则对任意正数，恒有
（5.2.4）
定理5.2.3称为辛钦大数定律。
（10）.大数定律运用。
例5.2.2 若相互独立且与具有相同的分布，并有，试证
。
（三）.总结及扩展
结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容，并注意概念的教学启发学生理解概念，运用有关概念及定理解决问题，本次课教学有一定难度。详见教学课件。
（四）布置作业：第5章习题
七、板书设计
第三节 中心极限定理
一、教学目的要求
1.掌握中心极限定理的概念
2. 掌握Lindeberg-Levy中心极限定理（5.3.1）
3.了解李雅普诺夫中心极限定理.（5.3.2）
4.掌握德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（5.3.3）
5.会运用定理解决有关问题。
二、教学方法：
讲授法：定义5.3.1、定理5.3.1、定理5.3.2
演绎法：定理5.3.3、例1、例4
案例法：保险案例例2
三、重点难点：
重点：三个极限定理的内容。
难点：极限定理的运用。
四、课时安排：2课时
五、教具准备：多媒体
六、教学步骤
（一）明确目标：明确极限定理的内容及使用条件，注意和实际问题的结合，重点掌握定理5.3.1、5.3.3
（二）教学过程教学内容：
1.复习大数定律引入中心极限定理
（1）.中心极限定理的概念：
定义5.3.1 若独立随机变量序列的标准化和使得恒成立，则称随机变量序列服从中心极限定理（The Central Limit Theorem）。
（2）.定理5.3.1 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，，
记，则恒成立
（5.3.1）
定理5.3.1称为林德贝格——勒维(Lindeberg-Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理。
证明略。
（3）.例5.3.1 在数值计算中，任何实数都只能用一定位数的有限小数来近似，这就产生了一个误差。假定每个数都按四舍五入的方法保留到十进制小数点后5位，则相应的舍入误差可以看作是上的均匀分布。若将10000个数相加，试估计所有这些数和的误差。
（4）.定理5.3.2 设随机变量相互独立，且
，记，，
若存在，使得当时，，则恒成立
（5.3.2）
定理5.3.2称为李雅普诺夫（Liapunov）中心极限定理。
证明略。
（5）.定理5.3.3 若是随机变量序列，且,
，记，则恒成立
（5.3.3）
定理5.3.3称为德莫佛 拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限定理。
要求会应用Lindeberg-levy中心极限定理证明 。
（6）.注意两种极限过程：泊松分布虽然是作为二项分布的极限分布而引入的，但极限过程是：，而现在所说的“二项分布的极限分布是正态分布”这一结论涉及的极限过程是：。
（7）.（案例） 例5.3.3 在一家保险公司里有10000人参加人寿保险，每人每年交保费12元，假定一年内一个人意外死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司索赔1000元，问：
（1）保险公司亏本的概率有多大？
（2）保险公司一年的利润不低于40000元的概率有多大？
（8）.例5.3.4 某车间有同型号机床200台，每台开动的概率为0.7，假定各机床开动与否是相互独立的，开动时每台机床耗电15个单位，问：最少要供应这个车间多少电能，才能以不低于95%的概率保证不致因电力不足而影响生产。
（三）. 总结扩展
结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容，并注意概念的教学启发学生理解概念，运用有关概念及定理解决问题，本次课教学有一定难度。详见教学课件。
（四）.布置作业：第五章习题
七、板书设计
