第十一章 渐进法
第一节 引言
现代工程结构中出现了越来越多的超静定结构,其中大多数是梁和刚架(组合结构),如:教学楼,图书馆、外招、科学馆、电教馆等。
基本解法:力法,位移法但是我们发现:无论是力法或位移法,如果未知量数目在三个以内,算起来比较容易,三个—五个,有点费劲,五个以上—十个,比较困难,而十个以至更多未知量,很困难或无法用力法或位移法计算,而工程实际结构,也就是横向三跨七层刚架4×7+7=35个(位移法)7×3×3=63个(力法)。纵向连续梁,七跨或八跨,也有7、8个未知量。
用力法及位移法求解十分困难,逼的人们又想其它方法,于是近几十年来,在力法几位移法的基础上,又发展了许多实用的计算方法:(渐进法,数值法)。
力矩分配法:适用于无结点线位移的刚架AND多跨连续梁
力矩分配法和位移法联合应用:有侧移刚架(线位移较多时,也很麻烦)主要用在单层多跨刚架
无剪力分配法:一些特殊的有侧移刚架。
迭代法:多层多跨刚架
力矩分配法和位移法联合求解:单层多跨刚架,有侧移
电算:(矩阵位移法OR有限元法)
手算:1、精确 力法、位移法、混合法 缺点:当未知量较多时
2、渐进法 力矩分配法、无剪力分配法、迭代法、反弯点(D值法)、弯矩二次分配法、联合法 优点:避免求解联立方程组,但又能满足工程需要
电算:矩阵力法、矩阵位移法、矩阵混合法
力矩分配法:;
无剪力分配法:单层多跨对称刚架(工业厂房)和一些特殊的有侧移刚架
和力矩分配法类似的渐进法
迭代法:多层刚架(多个线位移),有、无侧移刚架均可。(有铰接点,简式刚架,复式刚架和变截面杆件组成的刚架。)
这两种方法的理论基础均是位移法,在计算中采用逐次修正的步骤,一轮一轮的提高计算精度。机械→简单。
其他对于多层多跨刚架近似方法:
分层法:多层多跨刚架在竖向荷载作用下;
反弯点法:水平荷载,层数不多的多层多跨刚架;
D值法:水平荷载作用下层数较多的高层多跨刚架;
弯矩二次分配法:竖向荷载作用下多层多跨刚架;
第二节 力矩分配法的基本原理
理论基础是位移法,解题方法是渐进法。
杆端M的正负和位移法相同。
转动刚度(劲度系数)S:不同杆件对于杆端转动的抵抗能力是不同的。杆件AB的A端(或称近端)产生单位转角时,A端所需施加的力矩值
与杆件线刚度I及远端支承条件有关:
远端为固定支座:
铰支座:
定向支座:
自由端:
注:将A端看成可转动不可移动的刚结点,SAB就代表当刚结点产生单位转角时杆端A引起的杆端弯矩。
传递系数C:当杆件AB仅在A端有转角时,引起B端的弯矩MBA称为传递弯矩。
远端为固定支座:
铰支座、自由端:
定向支座:
3、弯矩分配系数u:只有一个结点角位移,且在相应结点作用作用一个外力偶的超静定结构
基本未知量Z1
转角位移方程:
位移法基本方程:
求Z1(各杆端弯矩:近端e、远端f
(M图
根据平衡条件:
注:1、M将汇交于A结点各杆的转动刚度的比例分配给各杆的A端,转动刚度越大,所承担的弯矩越大。
2、-弯矩分配系数 分配弯矩 记为
3、
4、根据传递系数: :传递弯矩
推广
二、任意荷载下单结点的超静定梁、刚架:
单结点刚架:
采用叠加法
采用位移法计算时:
自由项: 刚臂反力矩:等于汇交于结点的各杆杆端固端弯矩的代数和,即各固端弯矩所不能平衡的差额,又称…不平衡力矩。
系数: 汇交于结点的各杆端劲度系数的总和
各近端弯矩:由叠加
固端弯矩与分配弯矩之和、分配系数
远端弯矩:
固端弯矩与传递弯矩之和、传递系数
根据上述结构,总结过程:
①、固定结点:加入刚臂,此时各杆端有固端弯矩,而结点上有不平衡弯矩,它暂时由刚臂承受;
②、放松结点:取消刚臂,让结点转动。相当于在结点上加入一个反号的不平衡力矩,于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端,于是各近端弯矩等于固端弯矩与分配弯矩之和,而远端弯矩等于固端弯矩与传递弯矩之和。
例1:单结点连续梁
例2:单结点无侧移刚架:
第三节 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
对于只有一个结点角位移,一次放松就可消除刚臂,因此结果为精确解。对具有两个以上结点角位移的连续梁和刚架,可以采用逐个结点轮流放松的办法,把各结点约束力矩轮流进行分配、传递,直到各结点约束力矩小到可略去不计。再叠加。
例1:三跨等截面连续梁叙述求解思路
(1、(2两个独立结点角位移
一、求解思路:
1、位移法求解有两个未知量(1=Z1,(2=Z2,用附加刚臂将结点1、2加以固定,求得固端弯矩为:
2、求得1、2两处的不平衡力矩:
也就是:加了两个附加刚臂限定1、2转动,相当于在1、2两截面加了两个约束力矩,而原结构1、2处无外力矩作用且有转角,所以必须消除这两个不平衡力矩,应放松1、2结点,使它们发生与实际结构相同的角位移。
位移法中:同时放松两个结点,一次恢复到原来的变形位置,并用叠加法得位移法典型方程,联立解(1,(2
力矩分配法能否照猫画虎呢?
看,同时放松1、2,消除不平衡力矩、
按分配系数反号分给10、12端,12端并传给21端及23端;按分配系数反号分给21、23端,21端又传给12端及01端。
这样一来乱,同时进行也乱,是分还是传?1处分了以后平衡,又传来一个弯矩,还不平衡,2处分了以后平衡,也又传来一个弯矩,也不平衡。达不到消除不平衡力矩的目的,此路不通。所以在力矩分配法中采用逐个结点依次(先后)放松的办法,使各结点逐步恢复到原来的变形位置。
依次类推,轮流去掉结点B和结点C的约束,逐步逼近到实际状态。由于每次只放松一个结点,故每一步均为单结点的分配和传递运算,即可用力矩分配法进行。
3、第一次循环:只先放松1,消除1处不平衡力矩,也就是反号分配给10、12端(分配系数)传给01、21端(传递系数),1点暂时平衡,重新固定;单独放松2,此时2的不平衡力矩+(第一次传来的弯矩),反号分配给21、23端,传给12、32端,2点暂时平衡,重新固定;
第二次循环:再看2,由于又传来弯矩,又产生不平衡力矩...
如此循环下去,可使各结点上的不平衡力矩越来越小,而使所得结果逐渐趋近于真实解。实际上:只需要对各结点进行两到三个循环的运算,就能达到较好精度。
4、最后的杆端弯矩:每个杆端的最后杆端弯矩=该杆端固定端+每次分配或传递的弯矩(弯矩增量)
5、校核:超静定结构最后解答应同时满足1),2)
1)静力平衡条件,力矩分配法每次分配总使各结点保持平衡,故总能满足...
2)变形条件:可校核汇交于每一个刚结点处各杆端的角位移(是否相同,依据这一条件,由转角位移方程便可导出变形条件的校核公式:
如果:汇交于刚结点i的杆之一ik是两端固定的单跨超静定梁:ik杆βik=0(无侧移)
(
汇交于刚结点i有很多杆:ik,ij...
由ik杆(i如上。
由ij杆:
所有(I应该相等:
(近端弯矩增量-0.5远端弯矩)=iik:iii:...
这就是变形条件的校核公式,也适于一端固定,一端铰支。也就是:对任一刚结点i,求出汇交于i的所有杆的的值,若和相应的线刚度成比例,变形满足。
例:B结点:BA、BC两杆
C结点:CB、CD两杆
上面校核变形适用于等截面杆件组成的连续梁和无侧移刚架的步骤:P190。
6、注意:首次宜从不平衡力矩较大的结点开始放松,分配,传递,收敛速度加快。
7、总结力矩分配法解题步骤:
1)固端弯矩:各转角位移对应刚结点分配及传递系数
2)放松一转角,分配、传递(only one)
3)放松另一转角(固定刚放松的),分配,传递
4)多个依次
5)第二轮循环
6)第三、四……循环
7)叠加最后弯矩=每个杆端
8)校核 等截面杆件组成的连续梁和无侧移刚架
例2:无侧移刚架计算
无侧移,一般等截面直杆转角位移方程(一,二,三……杆,(i相同)
力矩分配法+对称性的利用:对称结构
正对称荷载
分配系数
变形校核,原来变形校核公式只适用于两端固定
一端固定一端绞支;两端固定;如一端固定一端滑动,公式类似系数不同
反对称对称荷载
转动刚度和劲度系数
变形校核
两个表格合在一起叠加出最后内力,选一部分作图
力矩分配法(地基不均匀沉陷;作为非结点荷载(固端弯矩
注意:相对转动位移正负号一定要区别清
第四节 力矩分配法与位移法的联合应用
(有侧移刚架):单层多跨(主要)
叠加法、位移法:(等效变换的方式有很多)
原结构:基本结构
叠加,成比例
:力矩分配法:隔离体平衡(
:力矩分配法:隔离体平衡(
(后再叠加
(多个侧移,也可以采用叠加法
第六节 无剪力分配法
单跨多层对称刚架(多跨多层,迭代法)
正对称荷载,无侧移,半刚架法(力矩分配法
反对称荷载,有侧移,半刚架法(无剪力分配法
先从一个简单的例子解释方法的步骤和概念
适用条件
主要步骤
重要区别及做法:柱的转动刚度,转动刚度系数;传递系数;固端力矩(弯矩)
推广到单跨三层(二层)举例说明
一个例子加深一下过程(3.4
先作好所有过程图,最后M图可以直接画。
第五节 无剪力分配法
对比图:一梁一柱无侧移
一梁一柱有侧移,全过程,作M图
放松:无剪力分配法
主要区别:(结点力偶作用下)
转动刚度
分配和传递系数
固端力矩
推广到单跨多层反对称荷载作用
固端弯矩
两种方法:1)直接用公式
2)一端公式一端滑动
转动刚度、传递系数
一端固定一端自由的悬臂杆
横梁,一端固定一端铰支的方法
书上例题,简单的。
无剪力分配法
1、无侧移刚架,一柱一梁。
有侧移刚架,一柱一梁。
多种方法:力法、位移法、力矩分配法与位移法联合应用、无剪力分配法
只要三点区别:固定端弯矩、转动刚度→分配系数、传递系数。
应用条件:梁:两端无相对线位移;柱:剪力静定杆件
(多层结构(先画图表示)
三、无剪力分配法的推广应用(原理不多讲)
多跨多层刚架(单跨多层刚架叠加。
11-5 无剪力分配法
今天,我们继续讨论无剪力分配法(计算原理前面已讲过,主要的再强调一下)
1、应用条件:(单跨对称刚架在反对称荷载作用下)
图:
各梁:两端结点没有相对线位移(也就是无垂直杆轴的相对位移)
称两端无线位移的杆件。
各柱:两端结点虽有侧移,但剪力是静定的,称剪力静定杆件(柱)。
应用条件:刚架中除两端无相对线位移的杆件外,其余的杆件全是剪力静定杆件。(单跨对称刚架在反对称荷载作用下可化成此结构)
计算步骤:
和力矩分配法一样,只是每步具体计算稍有不同,结合下面一个例子说明:
力法:一个未知数;位移法:两个未知数;力矩分配法不可求;(BC:两端无相对线位移的杆件;AB:静定剪力杆件);可用无剪力分配法。
1、在刚结点附近加刚臂求各杆的固端弯矩。横梁BC,按一端固定,一端铰支计算。
竖柱AB:
变形特点:两端没有转角,但有相对侧移;受力特点:整个杆件的剪力是固定的。
QAB=0
B点不平衡力矩:-6.42KN·m
也就是在B附加刚臂,人为加上-6.42KN·m的力矩,而B点无外力矩作用,保持一致,消去这一不平衡力矩(在刚结点和反向不平衡力矩加上一个结点力偶)。
2、放松结点,求各杆的分配弯矩和传递弯矩。
1)先求转动刚度(劲度系数,转角位移方程中转角的系数)及分配系数,传递系数
横梁:SBC=3i1=12
竖柱:SBA=i2=3
原因:
BA:变形特点,结点B既有转角同时也有侧移;受力特点,各截面剪力均为零,因而各截面的弯矩为一常数。
这种杆件叫零剪力杆件。受力状态如图所示悬臂杆。当B端转动θB时,杆端力偶为MBA=iBA·θB,MBA=-MAB
主要结论:零剪力杆件的转动刚度(劲度系数)为SAB=iBA ,传递系数CBA=-1
总之:1)在结点力偶作用下,刚架中的剪力静定杆件都是零剪力杆件。因此,放松结点时(结点既转动又侧移),这些杆件都是在零剪力的条件下得到分配弯矩和传递弯矩,故称:无剪力分配。μBC=0.8,μBA=0.2,CBA=-1,CBC=0。
2)不平衡力矩的分配和传递;
3)叠加出各杆端弯矩,作M图
3、剪力静定杆件的固端弯矩
对刚架中任何形式的剪力静定杆件,求固端弯矩的步骤:
先根据静力平衡条件求出杆端剪力,然后将杆端剪力看作杆端荷载,按该端滑动另一端固定的杆件进行计算。
直接利用公式(P54,11-7)静定剪力杆件的修正固端弯矩。
4、零剪力杆件的转动刚度和传递系数(劲度系数)
零剪力杆件在结点力偶作用下受力状态类似于一端固定一端自由的悬臂杆。
修正:劲度系数,传递系数
横梁按一端固定一端铰支计算
例题:P55,三层对称刚架,受水平结点荷载作用
正对称:(只产生横梁轴力)+反对称:可用无剪力分配法
求修正固端弯矩
查表或直接用公式(11-7)
求劲度系数及分配系数,传递系数
力矩(不平衡力矩)的分配和传递(从大的开始分配)
叠加出最后的杆端弯矩(注意正负)
作M图→Q图→N图(注意方向)
(P76,11-16题)
第八章 用渐进法计算朝静定梁和刚架
第一节 力矩分配法的基本概念
P182