第十五章 结构弹性稳定的计算
第一节 一般概念
1结构设计：强度、刚度、稳定性（有细长杆的结构、受压、受拉）
（细长柱、长柱、短柱、超短柱）
2平衡状态（干扰影响）：稳定平衡；随遇平衡、中性平衡；不稳定平衡
3结构失稳的两种基本形式：先画图：受力图，P-Δ曲线。大挠度，小挠度理论。
（根据P-Δ曲线）：
分支点失稳（图15-1、图15-2）：结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的突变，原有的平衡形式成为不稳定的，同时出现新的有质的区别的平衡形式
极值点失稳（图15-3）：结构的平衡形式并不发生质的突变，变形按原有形式迅速增长，以至使结构丧失承载能力
主要目的，稳定平衡→不稳定平衡状态（非唯一的平衡状态，直线形式或弯曲形式的平衡）
中性平衡状态（随遇平衡）临界状态：Plj或荷载参数，小挠度理论
大挠度理论→精确结果（结构变形比较大，拖带坐标系）；小挠度理论→近似结果。
弹性范围内：小挠度理论(Pcr
4两类基本方法：静力法，根据临界状态的静力特征而提出的方法；
能量法，根据临界状态的能量特征而提出的方法。
，线弹性纯弯时，Q影响不考虑，
y’很小而略去不计( 梁的挠曲线近似微分方程。
共同点：都根据结构失稳时可具有原来和新的两种平衡形式，通过寻求结构在新形式下能维持平衡的荷载，来确定临界荷载
不同点：静力法根据静力平衡条件，能量法根据能量形式表示的平衡条件
5自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数数目
第二节 用静力法确定临界荷载
静力法
图15-5单自由度结构
β—刚性压杆抗转弹簧的刚度（发生单位转角所需的力矩）
平衡方程
稳定方程（特征方程） （）
n个自由度结构→n个平衡方程(n个参数不能全为0)→稳定方程D=0→n个特征荷载的最小者Pcr
例15-1试求图15-6所示结构的临界荷载。两抗侧弹性支座的刚度均为β解：平衡方程
y1、y2不全为0
P2-βlP+(βl)2=0
三、位移法→稳定方程
第一类稳定：随遇平衡，满足静力平衡条件。
一些微弯平衡→荷载不变→（叠加法）：基本结构（放松）(（加约束）原结构
注意不同（无P作用，有P作用两种不同情形）
稳定方程：
假定刚架处于微弯的随遇平衡状态，利用位移法建立典型方程，需要用到（轴向压力作用下）两端固定柱（一端固定，一端铰支）在发生转角、相对侧移时，两端内力大小，可以利用静力法推出相应的转角位移方程。
由于典型方程是关于位移未知量的齐次线性方程组，两种解的结果，也就是，根据位移非0时维持随遇平衡的先决条件得稳定方程→最小根(Pij
书上三个例子。
例15-1
例1、材力中两端铰支，长度l的等截面中心受压杆件：Plj（细长中心受压直杆临界力的欧拉公式）压杆在临界力作用下失稳时，在不稳定平衡的直轴线形状下材料仍处于弹塑性状态，有可能在微弯的形状下维持平衡。
EIy’’= - M(x)= - Plj·y，y’’+k2y=0
通解：y=Asinkx+Bcoskx ，
边界条件：①x=0，y=0(B=0；②x=l，y=0(Asinkl=0，和图结合起来，水平方向反力为零。
三个位移条件 两端和中间 ③ x=l/2；y=δ
，
，
n=1时，，L.Euler公式：
例2：一端固定，一端铰支
EIy’’+Py= - R(l-x) （注意一次函数）
一般解：y=Acosnx+Bsinnx-R(l-x)/P
A、B、R/P是未知的，
边界条件：
x=0，y=0；2）x=0，y’=0；3）x=l，y=0
两个解：0解，直线平衡；非0解，随遇平衡。
，特征方程：D=0
0·a+alcos(al)-sin(al)=0。tg(al)=al
用图解法：
两个函数曲线交点：
（随遇平衡）
例3：P146
①x=0，y=0（x=l，y=0）；②x=l1，y=(·l2 ；③x=l1，y’=-(
A、B、(未知：D=0，tgn1l1=-n1l2
静力法主要缺陷：微分方程无解，具有变导数不能积分，边界比较复杂。
主要步骤
极限临界状态，微弯平衡，Plj，平衡条件
（材力弯矩与曲率的近似关系）——依据
建立M（x）与Plj 之间的关系，得微分方程
求微分方程一般解
引入边界条件
第三节 等截面直杆的稳定
刚性支承上等截面直杆的稳定
：两端铰支
2：一端固定，一端自由
0.7：一端固定，一端铰支
0.5：一端固定，一端滑动？两端固定
1：两端固定，沿横向可相对移动
两端弹簧：0.5<<1.0
具有弹性支承的等截面直杆的稳定
多种形式：弹性支承，主要三种情况（推广价值十分重要）结构中一些杆件。注意刚度系数含义和求解方法
如图15-8a所示刚架可用图15-8b所示刚架表示
压赣失稳时，下端转角，反力矩，上端反力Q
平衡方程
压杆挠曲线的平衡微分方程
稳定方程
P=n2EI
两端铰支: ,sinnl=0
一端固定，一端铰支: ,tgnl=nl
一端弹性固定，一端自由: 稳定方程
一端固定，一端有抗侧移弹簧支座：稳定方程
两端各有一抗转弹簧，上端并有抗侧移弹簧：
稳定方程
例15-2试求图15-10所示刚架的临界荷载。
正对称失稳：半结构，立柱为下端铰支上端弹性固定
最小正根：
反对称失稳：半结构，压杆为下端铰支上端弹性固定，上下两端有相对侧移无水平反力
最小正根：
例如：静力法
A，B，不全为0（根据y的表达式）
能量法：应变能，弹簧应变能
另一个例子：
～弹性支承取转动刚度系数，弹性支承处产生单位转角所需的力矩
～单位力矩在弹性固定端所产生的转角（位移），=1/
结构的稳定问题：第三节
第四节 变截面杆件的稳定
工程结构变截面杆类型：
1阶形杆
2截面的惯性矩按幂函数连续变化
阶形杆：两个微分方程、两个通解、五个边界条件。
位移连续：线位移，转角位移连续，共切线
1图15-16a所示阶形杆
平衡微分方程：
稳定方程：
2图15-17所示阶形杆
稳定方程：
最小根
三、截面的惯性矩按幂函数连续变化
第五节 偏心受压直杆的稳定
位移法求解有侧移刚架的叠加过程
三个位移未知量
先加约束，再放松(变形受力完全等效（分开叠加，内力、荷载、位移弹性范围内，线性比例关系）
变形的原因就是由荷载、内力（应力）应变（弯曲、剪切、拉伸）变形
刚架的失稳：假定中性平衡，Plj时，微弯曲平衡状态（假设）(可能的位移
叠加法：杆端内力是杆端位移的线性函数；荷载引起的约束反力（矩）等于0；稳定方程位移非0解(Plj
两者主要区别：转角位移方程不同；实际就是杆端内力与杆端位移之间的关系不同
离散：单跨超静定梁（柱）的组合体，作图时，柱有轴向荷载时不同。
结合两个例子作图说明。
第六节 剪力对临界荷载的影响
=
杆轴切线由于Q而产生的附加转角：
结合例子：
图15-19a所示两端铰支的等截面杆
A=0, B
；
欧拉临界荷载
修正系数
如果：G=8000，
