第六章 位移法 超静定结构两类解法： 力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。结合位移法例题中需要用到的例子。 有时太繁，例。别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。→ 位移法，E，超静定梁和刚架。 于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？ 我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定(内力一定(变形一定(位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。 力法：内力(位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移(内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。这就出现了位移法。 目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。 以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。 这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。 例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。 下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤： 一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角(B。且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。原结构的受力和变形情况和b是等价的。 B当作固定端又产生转角(B。   a（原结构） (  AB：  BC： b 如果把转角(B当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。  显然，只要知道(B，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是(B（位移法的基本未知量）。 关键：如何求(B？求出(B后又如何求梁的内力？又如何把a(b来计算？ 我们采用了这样的方法： 假定在刚结点B附加一刚臂（▼），限制B点转角，B(固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB、BC两个单跨超静定梁的组合体： AB： ，BC： 但现在和原结构的变形不符，(B，所以为保持和原结构等效，人为使B结点发生与实际情况相同的转角(B（以Z1表示，统一）。一紧一松，两者抵消，C结构和原结构等效，也就是：两者受力和变形相同。C称原结构的基本结构，a、b、c三个结构是相同的，现在我们可以用基本结构来代替原结构的计算，C的未知量是Z1，求Z1的条件是什么呢？ 附加刚臂本身没有，加上去限制转动后又放松，所以要等效，刚臂不应受力。（不产生反力）。也就是基本结构在原荷载q和Z1（(B）的共同作用下使附加刚臂上的反力偶等于0。取出B点作为隔离体R1=0，要求R1用叠加法。 qqq: Z1（(B） 1）基本结构在原结构荷载q单独作用下，用力法求出BC的M图，AB段=0，取出B作为隔离体，平衡，刚臂上反力偶R1P= —ql2/8（和Z1同向为+），基本结构在原荷载单独作用下在附加刚臂上产生的反力偶。  2）在Z1单独作用下力法求出（图），B隔离体。 ——基本结构在Z1单独作用下“▼”上的反力偶。 共同作用下，叠加：，，带Z1算不方便，也不通用，在Z1处加单位转角(f、图  位移法的典型方程，其中当r11、R1P和Z1同向为正。 求出后，最后M图叠加，，即原结构的M图，由杆件平衡作出Q图。 简单地重复一下思路： 比较力法和位移法可知：（异同点） 两者所选取的基本未知量不同； 力法： 位移法： 思路不同，途径不同； 但所遵循的原则是一致的：利用基本结构和原结构的受力和变形相同的条件求解。 力法的基本结构是静定结构，利用多余力处的位移条件建立力法典型方程，求多余力，将超静定结构(静定结构来求解 依据：静定结构的内力和位移计算。并且基本结构形式可能会很多。 位移法的基本结构（一般是唯一的）：单跨超静定梁的组合体（可以分开计算）。利用附加联系处的力的平衡条件建立位移法典型方程。求出结点位移未知量。 依据：以力法和单跨超静定梁的计算作为计算基础，单跨超静定梁的形式较少，计算可先列出通式算出来或制成表格直接查用。这是下一节的内容。 从一例 → 第一节 位移法的基本思路 a,b变形、受力、内力相同，a算→b算。若将、当作支座位移这一外因来算，原结构 → 两个单跨超静定梁的组合体分别计算，而两个单跨超静定如何计算？由力法推出的转角位移方程可以建立杆端内力←→杆端位移、荷载之间的关系： 例：  由具体荷载可以直接求出结果  显然：只有知道 刚结点A：，只有一个（结点A的转角）未知量（位移法基本未知量）。 求的方程，B点M平衡： ， 这就是解题步骤：1）... 2）... 3）... 4）... → 杆端内力作内力图 一、位移法的解题思路 超静定结构求解的前提： 当结构形式一定，所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定(内力、反力一定(变形一定(位移一定。也就是在一定的外因下，结构的内力和位移之间有确定的关系。 由思维的正、逆过程，分出超静定结构的两种解法：力法，内力(位移，以多余力作出基本未知量；位移法：位移(内力，以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力(求解一些超静定梁及刚架十分方便。 下面结合图10-11所示刚架来讨论一下位移法的解题思路： 原结构（受力P作用下变形如图，1处有一结点转角Z1） （在某些结点上加上一定的附加联系（附加刚臂或附加链杆）把这些结点(固定端或铰支，如图。 基本结构，代替原结构进行计算。（单跨超静定梁的组合体） （要使基本结构保持和原结构完全等效，也就是受力、变形相同）。 （再使各附加联系处发生与实际相符的位移，当作外因，称位移法的基本未知量） 由于基本结构和原结构完全等效（力、位移），每个附加联系处产生的约束反力等于0。 则（结论）：基本结构在原荷载及这些结点位移共同作用下在各个附加联系上产生的总约束力等于0的平衡条件建立位移法典型方程。（计算手段：人头顶砖） 利用叠加法分别求出基本结构在原荷载作用下的约束反力 基本结构在各结点未知量作用下的约束反力，叠加法。求这些约束反力的基础：单跨超静定梁的转角位移方程 (求解位移法典型方程，求出结点位移未知量 (叠加出最后M（杆件平衡）(Q（结点平衡）(N作出内力图。 弯矩正负问题。 正负的规定 M成对出现 弯矩方向和受拉边的关系 附加约束再放松结点位移是解题的一种思路和手段。 结合一个简单的刚架例子重述步骤。 位移法基本未知量可以通过作出位移变形图来确定，但比较麻烦，归纳出一般的规律，和基本结构的选取同时进行。 §10-2等截面直杆的转角位移方程 位移法中将杆件看作单跨超静定梁，杆端位移可看作单跨超静定梁的支座位移。单跨超静定梁在荷载、支座位移（杆端位移）作用下的杆端弯矩和剪力（杆端内力）之间的关系式，对于等截面直杆，它们的关系有一个统一的表达式，称为转角位移方程。 本节主要推导此关系式： 一、杆端内力及杆端位移的表示方法及正负号规定： 杆端内力（M、Q）： Mik、 Qik （i杆端，k同一杆的远端）；（ik为M所属的杆件） 杆端位移（(、Δ）：A：uA、vA、(A B：uB、vB、(B ΔAB=vB - vA AB两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移 (=ΔAB/l 弦转角表杆端的相对线位移  2、正负规定： 杆端弯矩MAB、MBA：绕杆端顺时针为正，逆时针为负。（对结点或支座而言，以逆时针为正） 杆端剪力QAB、QBA：绕隔离体以顺时针转动为+。 结点转角（杆端转角）(A、(B弦转角(AB（表杆轴弦转的方向）：以顺时针转动为正 两端的相对线位移：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。 注：对杆端弯矩作规定，对其它截面弯矩并没作规定。作弯矩图时，应先按此符号规定正确判定杆件的受拉边，M图画在受拉边，不标正负号。 二、位移法的计算假定： 忽略轴力产生的轴向变形的影响(①杆件变形前的直线长=变形后的曲线长度。 弯曲变形是微小，(、((Δ)很少(②杆件变形后的曲线长度=弦线长度 例：(A、(B、ΔAB、(AB、( ①②(推论1）：尽管杆件产生弯曲变形，但直杆件两端（杆件两端）点之间的沿杆的轴线方向的距离变形前后仍保持不变。也就是uA=uB；直杆两端的水平位移相等。 推论2）：直杆的一端不变动而杆发生弯曲变形时，杆的另一端的线位移⊥杆原轴线。 或两个不动点，引出两直杆的交点，也是不变动的。也就是uA=uB=0 略去剪切变形对位移的影响，剪切角γ=0 推论3）：杆件轴挠曲线上某点之切线的倾角(（与杆原轴线夹角）便是该点横截面的转角。(=θ+r((=θ 在力法中也有类似的假定，只不过当时未强调而已。 在超静定梁、刚架的位移系数计算时： 1）不考虑N引起的轴向变形(位移 2）不考虑Q引起的剪力变形(位移 3）小变形假设 由力法对于单跨静定梁，杆端M、Q（内力）是由荷载和（(A、(B、ΔAB、(AB杆端位移所决定的。也就是它们之间存在有确定的关系，等截面直杆的转角位移方程。 三、等截面直杆的转角位移方程 三种常见形式的单跨超静定梁：由荷载作用、温度变化、支座移动引起的杆端力可由力法求得。一般特殊 1、两端固定的梁：  （1）受任意荷载作用（或温度变化）：  、、  、——固端弯矩。（可由力法求得）：表10-1。 （2）支座移动作用： (A、(B、ΔAB、（都假设为正）：也可由力法求得 （3）(A、(B、ΔAB和荷载共同作用下：由叠加原理：   （1） i=EI/l 杆件的线刚度。两端固定的单跨超静定梁转角位移方程。 注：也可用于刚架中有轴力的杆件。因为对于小挠度问题（小变形范围）可以不考虑N、M之间的相互影响，也就是轴向变形和弯曲变形之间是相互独立的。 2、一端固定，一端铰支的单跨超静定梁 （1）受任意荷载作用（或温度变化）：  、、  、（可由力法求得）：表10-1。 （2）支座移动作用： (A、ΔAB、（都假设为正）：也可由力法求得 （3）(A、ΔAB和荷载共同作用下：由叠加原理：   （2） 也可由（1）式得：  解出(B，代入（1）式就可得（2）式。 3、一端固定，一端定向的单跨超静定梁： 同理可得：   （3） 注：①表中杆端内力是根据图示方向的位移方向和荷载情况求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向和荷载情况，判断其杆端内力的正负号。 ②转角位移方程虽是针对单跨超静定梁（等截面）导出的，它们建立的关系对于刚架中任何一根等截面受弯杆件来说都是适用的。 ③特殊情况：单位角位移或单位线位移下杆件内力图： §10-3位移法的基本未知量和基本结构 （阐述： 根据第一节的分析，我们知道：位移法是以一些结点位移作为基本未知量的，先求这些位移，再求内力。 那么：到底以那些位移为基本未知量或位移法的基本未知量的数目如何确定呢？ 要解决这个问题，首先应该从它的解题思路开始，我们先回顾一下位移法的基本思路： 原结构（某些结点上加上一定的附加联系，把结点变成固定端或铰支） →基本结构（单跨超静定梁的组合体）再使各附加联系处发生与实际相符的位移。位移法的基本未知量（当作外因） →原结构，所以根据基本结构在原荷载及这些结点位移共同作用下，在附加联系处（上）产生的总约束力等于0的平衡条件 →建立位移法的典型方程 →求出这些结点位移未知量（以单跨静定梁的转角位移方程为基础）→最后内力。 显然，位移法的基本未知量数目指的是：原结构→基本结构（附加联系限制的位移数）或基本结构→原结构应放松的结点位移数。等于基本结构上所应具有的附加联系数目。 所以：确定位移法基本未知量的数目可以和位移法的基本结构的选取联系起来。 例：一个门式刚架，所受荷载P1、P2，（如何变形？）   原结构 变形 可能的变形：A、B固定端，无角位移和线位移，一般情况下，C、D应该各有三个位移（水平、竖向线位移、角位移） 但，由位移法假定→推论2可知：ΔCV=ΔDV=0（竖向线位移等于0） C只沿⊥AC轴方向移动ΔC D只沿⊥BD轴方向移动ΔD 由推论1：ΔC=ΔD=Δ 所以C、D两点共有三个独立的位移φC、φD、Δ。要使原结构→基本结构（三个单跨超静定梁的组合体）。也就是C、D→固定端需加三个附加联系两个刚臂，一个链杆，再使基本结构→原结构（受力、变形等效） 应该在附加联系处强迫产生与实际相同的位移φC、φD、Δ Z1、Z2、Z3 ） 一、基本未知量： 包括：独立刚结点角位移； 独立的结点线位移。 确定位移法基本未知量的方法 1、刚结点的独立角位移=结构中刚结点的数目=附加刚臂的数目。 因为原结构凡属各杆相互刚结的每个刚结点均有一个独立的角位移，变成基本结构，均需附加一个刚臂，所以只要数一下这种刚结点的数目即可； 2、独立的结点线位移数=附加链杆的数目。 要确定原结构→基本结构所需附加链杆的数目，主要依据为推论2：结构中两个不动点所引出的不共线的两直杆相交的结点也是不动的。忽略受弯杆件的轴向变形，并认为弯曲变形是微小的，进而假设受弯直杆两端间的距离在变形前后保持不变。 例1：如图，A、B、C不动；D、F加刚臂后仍有沿（DEF水平向）的线位移，在F加一链杆，F不动→E不动→D不动或在D附加一链杆，D不动→E不动→F不动。 （加在D或F效果相同，结果是唯一） 例2：B、C、D处应附加三个刚臂；B、C、D尚有线位移，B处加一链杆，B不动C、D还动，D处加一链杆，D不动，B、D不动(C不动。 （双铰门式刚架） 例3：A、E、G不动(D不动；在C加链杆，不动(B不动。  例4：对需要考虑轴向变形的二力杆，其两端距离不能看作不变的：情况 例5：情况： 3、有时，这种方法太烦，易出错，另一种方法：几何构造的分析方法。 把原结构所有的刚结点（包括固定端）全改为铰结点，要使铰接后的铰接体系成为不变体系时需添加的最少链杆数就是原结构的独立线位移的数目。 注：位移法的基本未知量数目和超静定次数无关。有的超静定梁、刚架用力法或用位移法方便，各有适用范围。 二、基本结构：单跨超静定梁的组合体 在原结构可能发生独立位移的结点上加上相应的附加约束： 在每个刚结点上施加附加刚臂“”，控制刚结点的转动，但不能限制结点的线位移； 在每个产生独立结点线位移的结点上，沿线位移方向施加附加链杆，控制该结点该方向的线位移； 原结构——彼此独立的单跨超静定梁。 例： §10-4位移法的典型方程及计算步骤 一、对无侧移刚架：(只有结点角位移) 基本未知量：结点角位移Z1 基本结构：结点上施加附加刚臂 为使原结构=基本结构 ①变形一致：附加刚臂的加入，阻止了结点的转动；但原结构具有转角位移的，因此令附加刚臂连同结点一起发生与原结构相同的转角Z1。。基本结构在荷载和结点位移（基本未知量）共同作用下的体系——基本体系。 ②受力一致：基本结构由于加入了附加刚臂，产生附加力矩R1，而原结构没有刚臂。因此，得静力平衡条件： R1=0 4、 基本结构在荷载、Z1共同作用下附加刚臂中的附加反力矩 ：基本结构在荷载作用下附加刚臂中的附加反力矩，可以求。  ：基本结构在Z1作用下附加刚臂中的附加反力矩，由于Z1未知，因此，仿力法： 没r11为单位Z1=1时附加刚臂产生的附加反力矩，则   位移法方程 5、系数r11：含义；由结点平衡条件求解。r11=8i 自由项：含义；由结点平衡条件求解. =-Pl/8 6、 7、 二、有侧移刚架：结点角位移+结点线位移 本未知量：结点角位移Z1、结点线位移Z2 基本结构：结点上施加附加刚臂、附加链杆 为使原结构=基本结构 ①变形一致：附加刚臂、链杆的加入，阻止了结点的转动、移动；但原结构具有转角位移、线位移的，因此令附加刚臂连同结点一起发生与原结构相同的转角Z1，附加链杆连同结点一起发生与原结构相同的线位移Z2。。基本结构在荷载和结点位移（基本未知量）共同作用下的体系——基本体系。 ②受力一致：基本结构由于加入了附加刚臂、附加链杆，产生附加力矩R1、附加反力R2，而原结构没有刚臂、链杆。因此，得静力平衡条件： R1=0 R2=0 4、基本结构在荷载、Z1、Z2共同作用下附加刚臂中附加反力矩 基本结构在荷载、Z1、Z2共同作用下附加链杆中附加反力 、：基本结构在荷载作用下附加刚臂、附加链杆中的附加反力矩、附加反力，可以求。 、 ：基本结构在Z1、Z2作用下附加刚臂中的附加反力矩，由于Z1未知，因此，仿力法：  同理：   位移法方程 注：系数和自由项分成两类：一是附加刚臂的反力矩r12、r11、R1P：含义；由结点平衡条件求解。 另一类是附加链杆上的反力r21、r22、R2P：含义；由杆件平衡条件求解. r12=-6i/l、r11=7i、R1P=pl/8 r21=--6i/l、r22=15i/l2、R2P=-p/2 5、代入求解：  6、 三、对三个未知量刚架： 一个刚架建立方程的依据：基本结构在荷载基本位移未知量Z11、Z2、Z3共同作用下每个附加联系上的总的约束反力等于0，也就是：附加刚臂上反力偶R1=0；R2=0；R3=0用叠加法来求 附加链杆上的反力 叠加：(a)Z1+(b)Z2+(c)Z3+(d) (原结构或基本结构    方程中系数自由项含义： 反力互等定理：线性变形体系中，支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r12=支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r21。 r12= r21；r13= r31；r23= r32 所以：方程中的付系数是对称的，只求一半。 从位移法的方程可以看出：R1=0，R2=0就表示1、2两点（刚结点）的力矩平衡；R3=0表示截断各竖柱的顶端所得的隔离体上面，各竖柱剪力之代数和应与隔离体上全部荷载的水平投影维持平衡。 也就是：位移法方程的实质就是静力平衡方程。 四、位移法典型方程 推广： 对于一个超静定结构，若加上几个附加联系后(基本结构（单跨超静定梁的组合体）相应地有n个位移（基本）未知量（独立的刚结点的角位移+独立的结点线位移），则依据基本结构在原荷载和n个基本未知量（位移）共同作用下使每个附加联系上的总约束力（总反力偶或反力）都等于0的静力平衡条件，（仿上例），便可写出n个方程。  (i=1、2…n) 位移法典型方程 注：1、和力法典型方程类似：组成上具有一定的规律，具有付系数互等的关系，且不管结构类型（形状）如何，只要具有n个基本位移未知量，位移法方程就有统一的形式，各项含义也一样。 2、主系数（主反力）rii：rii>0 付系数（付反力）rij（i(j and rij=rji）：rij≥0或<0 自由项（荷载项）Rip ：+、-、0 3、正负号规定：所有系数和自由项（力或力偶）与所属附加联系相应的位移所设方向一致为正，反之为负。 系数及自由项的求解： 从系数和自由项的含义可知：基本结构在结点单位位移或荷载的单独作用下附加联系上的反力或反力偶，所有只要分别作出基本结构在及荷载单独作用下的弯矩图和Mp，便可用结点力矩平衡条件和隔离体力的平衡条件求出所有的系数和自由项。 5、求出所有系数和自由项以后，代入位移法典型方程，求出所有基本未知量Zi，再用叠加法叠加出最后M图(Q图（杆件平衡）(N图（结点平衡） 五、总结位移法计算步骤 a：原结构（加上一定的附加联系）(基本结构（单跨超静定梁的组合体），同时确定了位移法的基本未知量； b：建立位移法典型方程。（统一形式） c：求出所有系数及自由项。（作出、Mp图由结点力矩或隔离体力的平衡条件） d：求出所有的基本未知量（解典型方程）Zi e：叠加出最后M图  f：取各杆平衡 M图(杆端剪力(Q图 各结点平衡：杆端轴力(N图 例：  则 ；；  例： §10-5直接由平衡条件建立位移法方程 这种位移法求超静定结构的最后内力比较死，步骤十分清楚，每步作法对不同题目类似，位移法方程已经统一形式，不易错。苏联人喜欢这样做，而英国绅士却不愿意这样做，他们喜欢比较自然的位移法，这就是我们今天要讨论的内容：以一些结点位移为基本未知量，不通过基本结构，直接依据转角位移方程利用原结构的平衡条件建立位移法方程。 下面用一个小例子来说明这种方法：忽略轴向变形及剪切变形产生(A。  (  +  将(A当成支座位移的外因，原结构的计算→两个单跨静定梁的计算。 AC： AB： 只要知道(A(杆端M(区段叠加法作M图(Q、N图。 A点刚结点，力矩平衡：MAB+MAC=0  7、一端固定、一端定向支承的等截面直杆（单跨超静定梁）的转角位移方程： 在用位移法计算下列半刚架时，有几个未知量呢？   求解步骤和以前一样（半），多了一个先处理和后处理。 §10-6对称性的利用 一、复习前面已讲过的内容： 1、对称结构 结构的几何形式和支承情况对某轴对称； 杆件截面尺寸（A、I）和材料性质（E、G、μ），也对此轴对称。（也就是：EA、GA、EI关于同轴对称） 也就是：结构沿某轴（对称轴）对折后，轴线两边部分将完全重合，这样的结构就是对称结构。 2、对称荷载（多余力）（变形）（图形）：绕对称轴对折后，轴线两侧部分的荷载（多余力）（变形）（图形）完全重合。（作用点，对应数值相等，方向相同） 3、反对称荷载（多余力）（变形）（图形）：绕对称轴对折后，轴线两侧部分的荷载（多余力）（变形）（图形）正好相反。（作用点相对应，数值相等，方向相反） 4、力法中：对称结构简化计算有四点结论： a：选一对称的静定基本结构，多余力分成对称的+反对称的，则力法方程分成两组：一个仅含对称多余力；另一个仅含反对称多余力；（和荷载无关） b：对称荷载作用下：反对称多余力等于0，结构的最后反力、内力、变形是对称的M、N图对称，Q图反对称； c：反对称荷载作用下：结构的对称的多余力等于0，结构的最后反力、内力、变形放对称， M、N反对称，Q图正对称； d：结构受任意荷载作用(对称荷载（分别计算叠加）+反对称荷载。 5、半刚架法：顾名思义利用对称性，取半个刚架（连续梁）的计算简图代替原对称刚架（连续梁）进行分析的方法。 （1）对称荷载作用：奇数跨；偶数跨 （2）反对称荷载作用：奇数跨；偶数跨 （3）任意荷载作用： 对称荷载+反对称荷载 二、半边结构计算时： a、对称或反对称荷载作用下的奇、偶跨超静定梁、刚架直接取相应的半结构计算，作出M、N、Q图（半），再由对称或反对称的性质作出另一半的。 b、对称结构受任意荷载作用时，对称+反对称，分别取半结构计算出最后的内力图，再叠加。 c、半结构的计算内力可用力法，也可用位移法以方便为原则。 例：   例： 双向对称，取1/4结构计算。力法位移法均只有一个未知量。     例： 对称 反对称      例：