静定梁与静定刚架 §3-1 单跨静定梁 一、概述 单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁 简支梁、悬臂梁及伸臂梁。分析区别和应用 外力：恒、活、风、雪、地震+反力（和四种约束有关） 3个内力分量的规定：图示 （注：1、附加增量；2、成对出现：作用力与反作用力；3、正负号统一） 轴力N(截面上应力沿杆轴切线方向的合力)：拉力＋，压力－ 剪力Q(截面上应力沿杆轴法线方向的合力)：以绕截面邻近小段隔离体顺时针旋转为＋，反之为－ 弯矩M(截面上应力对截面形心的力矩)：弯矩使杆件下部受拉时为正，上侧受拉时为负 截面法、分离体、平衡方程：求指定截面的内力的基本方法。图示 将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力，取任一局部作为隔离体，作隔离体受力图（荷载、反力、内力组成平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的平衡条件可以确定所求截面的三个内力。平面一般力系平衡方程的三种形式。 注意：平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 受力平衡条件：平面一般力系，平衡方程不同形式（正负号：同方向同符号） 轴力＝截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和； 剪力＝截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和； 弯矩＝截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。 画隔离体受力图时，注意： (1)隔离体与其周围约束要全部截断，而以相应的约束力代替； (2)约束力要符合约束的性质。截断链杆以轴力代替，截断受弯构件时以轴力、剪力及弯矩代替，去掉支座时要以相应的支座反力代替。 (3)隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不画隔离体施给周围的力； (4)不要遗漏力。包括荷载及截断约束处的约束力； (5)未知力一般假设为正号方向，已知力按实际方向画。 （6）“三清”：截面左右分清、外力清楚、正负号清楚 内力图：图示 定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。 内力方程式：内力与x（表示横截面位置的变量）之间的函数表达式。 几点注意 弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负。 内力图名称、单位、控制竖标大小 大小长度按比例、直线要直、曲线光滑 隔离体受力图必须正确，不能漏力多力，已知力（大小方向作用点）、未知力（先假设为正方向，代入平衡方程，求出正值，说明方向假设正确，求出负值，说明实际方向和假设相反） 平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系统。 取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量 荷载与内力的关系 由平衡条件： ，    推导出：    均布荷载作用下： (1)若,N=const.；若 (均匀)，N图为斜直线； (2)若，Q＝const.(水平线)； M=斜直线; 若，Q=斜直线，M＝二次抛物线； (3) 当时(荷载向下)，则M图曲线向下凸。 若为集中荷载作用： ， ，   推导出：    上式说明：(1)作用，N图发生突变； (2) 作用，Q发生突变，导致M图斜率改变，出现尖点； (3)m作用，M发生突变，N、Q图无变化。 在绘制和校核内力图时十分有用。适用受弯构件。 二、分段叠加法作弯矩图 线弹性、小变形原理 2、 简支梁情况(材料力学研究情况)： 任意直杆段情况： (端部弯矩单独作用时弯矩图) (隔离体，可以看成相应简支梁问题) (跨间荷载单独作用时弯矩图) (总弯矩图)  荷载叠加法（材料力学）：当结构上同时作用有许多荷载（外力、温度、支座沉降等）时，先分别作出各荷载单独作用下的M图，再将各个弯矩图在M值发生突变处，将各弯矩竖标相叠加（代数和），便得到各荷载共同作用下的M图。 分段叠加法：对于结构中任意直杆区段，只要用截面法求出该段两端的截面弯矩竖标后，可先将两个竖标的顶点以虚线相联，并以此为基线，再将该段作为简支梁，作出简支梁在外荷载作用下（直杆区段上的荷载）的弯矩图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最后所得图线与直杆段的轴线之间所包围的图形就是实际的弯矩图。适用于结构中任意某直杆区段的弯矩图叠加。 弯矩图的叠加，指纵坐标的叠加，而不是指图形的简单拼合。 三、归纳内力图的基本作法 (1) 外力（中间连接力对局部研究对象而言是外力）：根据结构整体或局部平衡求支座反力和中间连接力。(避免解联立方程。适当选取隔离体，由平衡方程求解支座和联结处的约束力) (2)选定外力的不连续点为控制截面(控制截面：如支承点、集中荷载作用点、集中力偶作用点左右截面、分布荷载的起点及终点等)，求控制截面的内力值（采用截面法）； (3)分段画弯矩图。采用内力图与荷载的关系。当控制截面间无荷载时，根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值作出直线图形后，再叠加上这一段按简支梁求出的弯矩图； (4)分段画剪力图。根据控制截面的剪力竖标，无荷载区段，Q图连以水平线；均匀荷载区段，Q图连以斜直线； (5)分段画轴力图。根据控制截面的轴力竖标，在无轴向外荷载区段，N图连以水平线；在有均匀轴向外荷载区段，N图连以斜直线； (6)校核内力图 （7）N、Q图也可以通过M图由杆件平衡作出。 例1：悬臂梁、简支梁、外伸梁 四、斜梁的内力图： 单跨静定斜梁：梁式楼梯、板式楼梯、屋面斜梁，简支斜梁。及具有斜杆的刚架。 两种荷载形式 1、水平向均匀荷载：人群荷载 水平向均匀荷载q，斜角α 支座反力：考虑整体平衡  求截面K的内力方程：取AK段隔离体 （与相应水平简支梁完全一样）  3）、内力图： M图 Q图 N图 注： ）横截面： ）与等跨简支梁弯矩图相同：（由于竖向支座反力相同，而水平反力均为堆零。） 而N图和Q图有如下关系：   3、）若将B支座换成： 沿斜向荷载q1：楼梯自重，等效转换:根据同一微段上合力相等原则，换算成水平方向均布荷载：q=q1/cosα 因此内力图为（一）内力图除以cosα 3、推广到很多荷载共同作用，一段斜杆的内力图。 五、曲梁： 例2：P22页 解：1、求支座反力： 由    2.求控制截面的内力值： 3 作内力图 4 求最大弯矩值：剪力值为零K处。由，x=1.6m  §3-2 多跨静定梁 单跨梁：静定（平梁+斜梁）+超静定，多跨梁：静定+超静定（连续梁） 一、定义： 由若干根梁用铰连接而成、用来跨越几个相连跨度的静定梁。桥梁、房屋建筑中木檩条。连续变形太长导致附加应力和内力，如路面变形缝。 常见的几种形式： （1）无铰跨和两铰跨交替出现： （2）除第一跨外，其余各跨皆有一铰 （3）前两种组合方式 二、几何组成特性：若附属部分被切断或撤除，整个基本部分仍为几何不变，反之，若基本部分被破坏，则其附属部分的几何不变性也连同遭到破坏。 受力特点：基本部分上所受到的荷载对附属部分没有影响，附属部分上作用的外荷载必然传递到基本部分。 主梁或基本部分：在竖向荷载作用下能独立维持平衡，直接将荷载传到地基。 次梁或附属部分：依靠基本部分的支承才可以承受荷载并保持平衡的部分基本部分： 多级附属，相对性 二、多跨静定梁的计算： 原始解法：三个整体静力平衡条件＋在铰处截面弯矩为零，解联立方程求解。 从几何构造来看，组成的次序是先固定基本部分，后固定附属部分。因此，计算静定多跨梁时，先计算附属部分，再计算基本部分，将附属部分的支座反力反其指向，就是加于基本部分的荷载。这样，将多跨梁拆成单跨梁，避免解联立方程。 思路： 1、构造次序：计算次序与构造次序相反； 力的传递规律：主梁上外力只传给支座，不传给次梁；但次梁上外力传给主梁； 计算方法：分层法（对结构进行几何组成分析，分清基本部分和附属部分；先计算附属部分的反力和内力，再计算基本部分的反力和内力。） 将，就是多跨梁的内力图。 计算关键：基本部分和附属部分之间的相互连接力（作用力和反作用力），求出这些连接力后，各部分当作单跨静定梁来计算。分段作内力图。拼接 分析步骤： 几何组成分析：分清主次部分 分层法：将附属部分的支座反力反向指其基本部分，就是加于基本部分的荷载； 内力图：各单跨梁的内力图连在一起 例1：P25页 解：1.画层次图 2．逐段做内力图 3．拼合内力图 例2：P27页。 （1）应用弯矩图的形状特征以及叠加法，在某些情况下可以不计算反力而首先绘出弯矩图。铰结处由于剪力的相互作用，互相抵消，因此铰支座处剪力图不突变；铰不传递弯矩，弯矩为零。 （2）有了弯矩图，剪力图即可根据微分关系或平衡条件求得。 （3）由剪力图上竖标的突变值得到支座反力值。 例3： MA=0.5×16×10+30×4-30×2=140（KN·m） YA=1×4×10+30×1-30×0.5=55（KN） §3-3 静定平面刚架 刚架的应用和形式 平面杆件结构：梁、刚架、桁架、拱、组合结构 混合结构、钢筋混凝土结构、钢结构、木结构、新型材料结构 钢筋混凝土结构：框架、框架剪力墙、全剪力墙、筒体、巨型框架 结构是在发展的：梁（混合结构）的缺点（应力沿杆轴线方向不均匀，自重大）薄腹梁、变截面梁：发展到钢筋混凝土刚架 刚架的形式： 静定（单跨+多跨）+超静定（单跨+多跨）在建筑工程中应用十分广泛，单层厂房、工业和民用建筑如主楼、教学楼、图书馆。6～15层房屋建筑承重结构体系主要是刚架：悬臂刚架（小报栏）、三铰刚架、两铰、简支、无铰、多层多跨、封闭刚架、多跨静定，绘图表示。其中大多数刚架是超静定结构，但静定刚架是超静定刚架计算的基础。 平面刚架的定义：由轴线在同一平面内的若干梁柱主要用刚结点组成的结构。 静定刚架常见形式举例： 悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架、组合刚架 二．刚架的特征（结合图进行说明） 变形：刚结点处，各杆端不能产生相对移动和转动，各杆所夹角度不变。 受力：刚结点能够承受和传递弯矩，使结构弯矩分布相对比较均匀，节省材料。 几何组成：两铰三铰刚架和四铰体系变为结构加斜杆比较，组成几何不变体系所需的杆件数目较少，且多为直杆，故净空较大，施工方便。 刚架的优点：梁柱形成一个刚性整体，增大了结构刚度并使内力分布比较均匀，节省材料，可以获得较大的净空。 刚架的内力计算 内力约定：同梁剪力和轴力，弯矩不分正负，画在受拉边 刚架的支座反力： ①悬臂刚架（可不求支座反力）、简支刚架：运用整体平衡条件求出全部支座反力 ②三铰刚架：运用整体平衡条件及铰结点处弯矩为零条件求出全部支座反力 , , 注：尽量避免求解联立方程组。 ③组合刚架：先进行几何组成分析，分清附属部分和基本部分，先计算附属部分的支座反力，再计算基本部分的支座反力 图示： 3、刚架的内力 刚架的内力是采用杆件法，即将刚架折成若干个杆件，先求出各杆的杆端内力（采用截面法），然后利用杆端内力分别作各杆内力图（运用内力图与荷载关系、区段叠加法），各杆内力图合在一起就是刚架的内力图。（图示） 要注意在结点处有不同的杆端截面：每个刚结点连接好几个杆件，各杆端内力并不完全相同。两个下标：近端和远端 隔离体的选择 每个切开的截面处有三个求知力，其中轴力、剪力以正方向绘出，弯矩以任意方向绘出 注意结点的平衡：校核 刚结点传递弯矩，无集中力偶作用，同在外或内受拉，大小相等 4、刚架分析步骤： 先求支座反力； 先根据截面法，求出各杆杆端内力；再根据各杆杆端内力，求各杆内力；外力不连续点、结点（支座结点），每个杆端也应作为控制截面。刚架的轴力一般不为零 校核：由于刚架结构组成受力比较复杂，内力比较复杂，易错，作出内力图后应该加以校核。原则：整体结构平衡时，结构中任一局部都应保持平衡，可以从结构中取出某一部分，画出隔离体受力图，平衡？ 5、 作内力图NQ的另一种方法：Q从M隔离体平衡，N根据Q结点平衡 例1： 解1、 例2：P29页 解1、计算支座反力：由整体平衡条件： 2、绘制弯矩图；3、绘制剪力图；4、绘制轴力图；5、内力图的校核：对于弯矩图，通常是检查刚结点处是否满足力矩平衡条件；为了校核剪力图和轴力图的正确性，可取刚架的任何部分为隔离体检查力的平衡条件及是否得到满足。 例3：P30页 例4：三铰刚架： 解：1、求支反力：   2、画M、Q图：分段绘出 3、画N图：根据结点平衡条件。 例5： 多跨静定刚架 P31页 几何组成分析：基本+附属 先算附属，求相互作用力 计算基本部分 校核 计算例题 方法简单、结构形式多种多样、荷载形式多种多样，方法应用比较灵活。 §3-4少求或不求反力绘制弯矩图 解：1、易知水平H=5KN的基础上，作出M图； 2、由求出的M图根据微分关系或杆件平衡条件作出Q图； 3、根据Q图，考虑结点的投影平衡条件作出N图。 §3-5 静定结构的特性 一、静力解答的唯一性： 二、在静定结构中，除荷载外，其他任何原因如温度改变、支座位移、材料收缩、制造误差等均不引起内力； 三、平衡力系的影响：当由平衡力系组成的荷载作用于静定结构的某一本身为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分的反力和内力均为零。 四、荷载等效变换的影响：合力相同（指主矢与对同一点的主矩均相等）的各种荷载称为静力等效的荷载；等效变换：指将一种荷载变换为另一种静力等效的荷载； 当作用在静定结构的某一本身几何不变部分上的荷载在该范围内作等效变换时，则只有该部分的内力发生变化，而其余部分的内力保持不变。 例：