第五章 静定平面桁架 §5-1 概述 梁刚架：受载后主要弯矩，应力不均匀（变截面；截面形式工形 拱式结构：M小N大，应力分布比较均匀；施工复杂，需要坚固的结构支承 桁架：M小，应力分布均匀，适用于较大空间，用料省自重轻 大跨屋架、托架、吊车梁、南京长江大桥主体结构 桁架定义： 桁架：由若干直杆在其两端全用铰连接而成的结构，当荷载只作用在结点上时，各杆只有N，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用。 桁架可分为 { 平面桁架：    空间桁架：（网架、井架）  实际桁架（较复杂、结合例子） }结点：焊接、铆接、近乎刚结、介于铰于刚结之间。 }轴线：不能绝对平、直。 }杆的结合区：各杆也不一定完全相交于一点。有个结合区域、应力十分复杂。 }自重：非结点荷载，荷载、支反力：不全是作用在结点上。 但经过实验和工程实践证明：以上因素对于桁架属次要因素，对桁架受力影响较小。 取桁架的计算简图时，引入如下假定：（计算时） 理想桁架：（计算简图）满足这些假定的桁架 桁架结点：所有结点为理想铰，光滑、无摩擦。 杆件的轴线：绝对平直、一平面内、通过铰的中心（理想轴）。 荷载、支反力：所有外力作用于结点上并且位于桁架平面内。（结点荷载） 线弹性材料，小变形。 主应力（基本应力）：按理想平面桁架计算得到的应力。按理想桁架计算，可以反映桁架的主要受力性能 次应力（附加应力）：实际桁架与理想桁架之间的差异引起杆件弯曲，产生附加的弯曲内力由此产生的应力 理想桁架，各杆只产生轴力(二力杆 、轴力杆) 桁架的组成名称 （坡屋顶、房子屋架） 弦杆(上弦杆、下弦杆)、 腹杆(竖杆、斜杆)、端斜杆(端柱) d:节间距离，l:跨度，H:桁高 桁架的分类（结合图例） 按外形特点分：平行弦桁架 三角形桁架 抛物线桁架 折弦桁架 按支座反力的性质分： 梁式桁架(无推力桁架) 拱式桁架(有推力桁架) 按静力特性：静定桁架（有无多余约束、计算方法） 拱式桁架 超静定桁架 按几何组成方式分： 简单桁架：由基础或一个基本的铰结三角形开始，每次用不在同一直线上的两链杆联结一新结点 联合桁架：由简单桁架组成；按两刚片规则组成的联合桁架、按三刚片规则组成的联合桁架 复杂桁架：凡不属于前两类的均为此类。 联合桁架 复杂桁架 四、桁架的计算方法 图解法： 解析法：截取桁架中的一部分作为隔离体，由隔离体所受力系的平衡，建立平衡方程，求解未知杆的轴力。又分为： 结点法：隔离体只含一个结点。适用于简单桁架全部杆件内力的求解。 截面法：隔离体含两个及以上的结点。适用于联合桁架，桁架少数指定杆件的内力计算。 联合法： 解一道题或求某个杆件内力，需要用到结点法和截面法。 §5-2 结点法 顺序（先求支座反力）： 从前面桁架的假定可知：桁架各杆的轴线汇交于各个结点，且桁架各杆只受轴力，因此作用于任一结点的各力（荷载、反力、杆件轴力）组成一个平面汇交力系，存在两个独立的平衡方程，每个结点两个未知力可解.因此一般从未知力不超过两个的结点开始依次计算。 2、未知杆的轴力 求解前未知杆的轴力所有都设为拉，背离结点，由平衡方程求得的结果为正，则假定正确，若为负则和假设相反，为压力。 3、已知杆的轴力（two ways） 按实际轴力方向代入平衡式，本身无正负。 由假定方向列平衡方程式，代入相应数值时考虑轴力本身的正负号。 内力本身的正负和平衡方程的正负属两套符号系统。 4、平衡方程形式：投影轴的选择 平衡方程可以是力的投影平衡式（也可以是力矩平衡式），但只有两个独立的，因此列平衡方程时，视实际情况选取合适的投影轴。尽量使每个平衡方程只含一个未知力，避免解联立方程，这时会用到力的分解问题，按平行四边形法则分成两个分力，分力和合力大小满足三角函数关系。投影三角形：  杆件长度l；水平、竖直方向投影长度lx、ly 内力N；水平、竖直方向投影分量：Nx、Ny 5、结点平衡的特殊形式 a）不共线的两杆结点，无荷载作用两杆内力均为0； b）三杆结点上无荷载作用，且两杆在一条直线上，则S3=0，S1= S2（大小相等，同为拉，同为压）。 c）三杆相交的结点，二杆共线，另一杆有共线的外力P作用，则单杆的内力为P，其余两共线直杆内力相等； d）四杆结点无荷载作用，且四杆两两成直线，则同一直线上两杆轴力大小相等，性质相同，S1= S2，S3= S4 。 零杆：指杆件轴力为零的杆件，虽不受轴力，但不能理解成多余的杆件 因此，一般情况下，求桁架内力前，先判别一下有无0杆和内力相同的杆，以简化计算。 6、适用于：简单桁架所有杆件的内力 7、结点法求解简单桁架计算步骤： 1）、几何组成分析 2）、求支座反力 3）、结点法：注意次序 例1： 例：P55 §5-3 截面法 （结合例子说明） 已知桁架节点距离为d，高度为h。所受节点荷载为P。求N10-11、N34、N10-4、 截面法的要点：根据求解问题的需要，用一个合适截面切断拟求内力的杆件，将桁架分成两部分，从桁架中取出受力简单的一部分作为隔离体（至少包含两个结点），隔离体受力（荷载、反力、已知杆轴力、未知杆轴力）组成一个平面一般力系，可以建立三个独立的平衡方程，由三个平衡方程可以求出三个未知杆的轴力。 注意： 一般情况下，选截面时，截开未知杆的数目不能多于三个，不互相平行，也不交于一点。 截面截开后，未知杆的内力： ，已知杆轴力：同结点法。 据所选用的平衡条件的不同： 1）投影法：若三个未知力中有两个力的作用线互相平行，将所有作用力都投影到与此平行线垂直的方向上，并写出投影平衡方程，从而直接求出另一未知内力。 例：截面1-1截到三杆，其中两杆互相平行，求第三杆内力时，取截面左（或右）边为隔离体，将所有作用力都投影到与两平行杆垂直方向上，列平衡方程：   。Q3-4为与桁架同跨度的简支梁，在同样荷载作用下在节间3-4的剪力。 2）力矩法：以三个未知力中的两个内力作用线的交点为矩心，写出力矩平衡方程，直接求出另一个未知内力 ①  。M10为与桁架同跨度的简支梁，在同样荷载作用下在节点10的弯矩。 ② 。M4为与桁架同跨度的简支梁，在同样荷载作用下在节点4的弯矩。 注： 1）注意力的分解：合力矩定理，确定隔离体后，力可以沿着其作用线移动到某一个结点进行分解，不影响隔离体的平衡（不易确定力臂时）。 方程的三种形式：基本形式，二力矩形式，投影轴不能垂直于两个矩心，三力矩形式，三个矩心不能在一条直线上。可以根据需要选取。矩心的选择，尽量选多个未知力的交点，投影轴尽量平行（或垂直）于多个未知力的作用线方向。 投影法和力矩法：尽量使每个方程含有一个未知量 适用于：简单桁架中指定杆件的内力； 联合桁架 求解步骤： 一般先求支座反力（悬臂式可以不求支反力）； 用一假想截面把所求内力的杆切断，把桁架分成两部分，截取截面所有的未知内力的数目一般不超过三个（例外情况除外），它们的作用线不能交于一点，也不互相平行。 取其一部分为自由体，根据平衡条件，计算所求杆的内力。在写平衡方程时，应尽可能使每个方程只包含一个未知力，采用力矩平衡方程、投影平衡方程（尽量采用内力分量形式可使问题简化）。 截面法的两种特殊情况：（前说，一般情况下……）但在一些特殊情况下， 1）在截取的隔离体中，除需求的某一杆内力外，其余各杆未知力交于一点，则取该点为矩心，列力矩平衡式便可求解。 已知桁架节间距离4米，桁架高6米，P=6KN。求杆3-4及17-18内力。 截面1-1：  。   2）求某一指定杆内力时，若在所截取的隔离体中，除了该力以外，其余各未知力均相互平行，可以选取与平该力垂直的直线为投影轴，建立力的投影平衡式，便可求解。 求杆2-7（投影法） 求杆1-7（投影法） 求杆4-6（力矩法） §5-4截面法和结点法的联合应用 在各种桁架的计算中，若只需求解某几根指定杆件的内力，而单独应用结点法或截面法不能一次求出结果时，则联合应用结点法和截面法。 例1： 求杆10-18（b）及4-10(c)的内力。 由结点10的水平投影平衡条件： Nbx=-Ncx 取截面（实线所示）： 左（或右边）隔离体Y方向投影方程： 得： 例2：求联合桁架 { 1、两刚片 基本方法，分成简单桁架   2、三刚片   联合桁架 由两刚片组成，先截断联系杆，求出联系杆的内力，再求解； 由三刚片组成，用双截面法求解，每个截面4个未知力，两个截面6个未知力，6个方程，联立求解。 注意:① 正、负：未知杆设成拉杆，方向背离结点，对于不同隔离体，同一杆的内力方向不同，已知杆内力，列方程时应考虑正负。 ② 应先对平面桁架进行几何分析，判定其类型，再迭相应方法。 几点结论 求联合桁架的所有杆的内力，一般先用截面法截开简单桁架联接处的联结力（铰的相互作用力或联系杆的轴力）再用结点法求几个简单桁架的内力。 求某指定杆内力，若截断未知杆的任一隔离体中未知力数目多于3，且不属于特殊情况，则应先求出其中一些易求的杆件内力（结点法或另外再取隔离体（截面法）），使原隔离体能求解指定杆的内力。 解题的方法并不唯一。 §5-5 各式桁架比较 简支梁式桁架：平行弦桁架、抛物线桁架及三角形桁架 图5-18（P61页） 结论： 平行弦桁架的内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增，若每一节间改变截面，则增加拼接困难；若采用相同的截面，又浪费材料。 抛物线形桁架：内力分布均匀，在材料上使用最经济。但构造有缺点。应用在大跨度桥梁及大跨度屋架中 三角形桁架：应力分布也不均匀，弦杆内力在两端最大，且端结点处夹角甚小，构造布置较为困难。但其两斜面符合屋顶构造需要，故只在屋架中采用。 §5-6 组合结构的计算 平面杆件结构有五种形式： （组合结构有静定和超静定之分，后者居多，先讨论） 组合结构的定义 { 梁、刚架中梁式杆：杆受力后主要M（Q、N）   桁架中轴力杆：杆受力后只有N  两种杆组合而成的杆件结构。也就是由若干受弯杆件和链杆（一般均为直杆）组合而成的结构（铰、刚结点）。 通常由：梁＋桁架或刚架＋桁架构成。 例如：屋架、吊车梁、桥梁 两类杆件的区分： 这是求解组合结构的关键，目的是为了确定截面上未知内力分量的数目 { 轴力杆：直杆；两端完全铰结；无横向荷载作用。（同时满足）如   梁式杆：折杆；或 横向荷载作用的直杆；或 带有不完全铰的两端铰结杆件。如：   3、分析方法：（关键是截到梁式杆（M、Q、N）还是轴力杆（N）） 截面法：取隔离体平衡→未知杆内力 尽量避免截开梁式杆，因为M、N、Q未知量太多不便求解。 尽量截开轴力杆，先求轴力杆或截断联结铰，求相互联结力。 如果截断的全是链杆，桁架的计算方法及结论可以适用。 梁式杆的内力图作法同梁及刚架。 桁架的计算方法＋梁、刚架的计算方法 求解步骤 { 先求支反力   求轴力杆N   由荷载及轴力杆N、支反力→作梁式杆的M、N、Q图      例：P62页 解：1、求支反力 VA=5KN，VB=3KN 2、求轴力杆： NED=12KN（拉） 由D点平衡：NDF=-6KN（压）、 NDA=13。4KN（拉） 由E点平衡： 3、求梁式杆：取隔离体。 例2： { 对称：（算一半）   两类杆   支反力   轴力杆N   梁式杆M、Q、N  Step：反力；NEC、NDC；D→NGD、NED；E→NGE、NEF →AF杆 例3：