山东建筑大学：结构力学：15

第十五章 结构的动力计算 §15—1 一、动力计算的特点和内容 静力荷载： （只研究静力平衡位置外载对结构的影响） 动力荷载：大小、方向、作用点 —> 内力随时间 发生变化，加速度较大—>惯性力 例：偏心质量的回转机器 —> 振动 动力荷载 —> 静力荷载、a很小、F与原P相比忽略不计 动力平衡：达朗伯原理 惯性力、外载、内力（位移） （考虑取时间作自变量） 风振、地震、爆炸、机器震动 —> 结构的影响 动力反应 结构动力学 结构本身的动力特性 动力荷载（干扰力）的变化规律 反应的大小主要取决与结构的自振频率、阻尼 振型 动力特性 自由振动：(自振频率、振型 强迫振动：(结构的动力反应 二、动力荷载的分类 根据动力荷载的变化规律及对结构的作用特点 简谐周期荷载（图） 一般周期荷载 冲击荷载 锻锤对桩基础的冲击作用 爆炸的冲击压力 随机荷载 地震荷载 风荷载：稳定风压；脉动风压 三、体系振动的自由度 质量的分布情况并计算质量的位移 ——> 考虑质量的惯性力 ——> 动力计算的简图 以质点的位移作为基本未知量 全部质点的独立的位移个数 ——> 体系的振动自由度 单自由度的体系 一个质块、两个线位移、一个角位移、 惯性力、 惯性力矩(略去) 略去梁的轴向变形 （变形后杆上两点之间的距离保持不变） ——> 自由度one 2、多自由度体系 三层平面刚架 水平方向的振动计算，梁、柱、楼板的质量都集中在结点上，略去梁柱的轴向变形，三个独立的位移未知量 3、无限自由度体系 ——>简化为有限自由度体系 具有质量块的体系 体系的振动自由度：与体系是否静态或超静态无关，也不一定就是质点的数目，既可以比它多，也可以比它少 三个集中质量 一个自由度 一个集中质量 两个自由度 集中质量法+广义坐标法：无限自由度 ——> 有限自由度 四、体系振动的衰减现象、阻尼力 钢结构模型、钢筋混凝土楼板、自由振动实验中所得位移（y）~时间（t）曲线的大致形状 振幅能量损耗 振幅位置的变形能~体系的全部机械能 结构材料的内摩擦阻力 周围介质对振动的阻力 支座结点等构件联结处的摩擦力 地基土等的内摩擦阻力 阻尼 结构的一个重要的动力特点 粘滞阻尼理论（伏伊特理论） R= -
(方向相反) 阻尼力 阻尼系数 位移速度 §15—2 常自由度体系的自由振动 自由振动：固有振动，初始速度，初始干扰，中途无干扰 运动微分方程：(一静一动) 力（假定方向 ，考虑正负） 以指向Y的正方向为正
速度、加速度也以向下为正
重力W
=
(
的含义) 弹性力 S（t）= －

惯性力 I（t）= －m


：
（w=

=0）


：使弹簧伸长或短缩单位长度所需之力使端点产生单位竖向位移时在端点，所需施加的竖向力
＝
柔度和多质量统一符号 另一种表达方式：
初始： 振幅： 初相角： 三、结构的自振周期和频率 自振周期T： 工程频率 圆频率 相频率 单自由度体系的自由振动：
→
单自由度体系的受迫振动：
一、简谐荷载：
初始速度与位移为0
（伴生自由振动、纯受迫振动、稳定受迫振动） 二、一般动力荷载：p(t)→特解 瞬时冲量作用下振动 一种思维方式：离散→叠加→积分→有限元 任意干扰力p(t)
不同动力荷载下的动力反应 叠加荷载 运动方程1）动力平衡方程
两种方式

另一种 位移方程 f11的含义

位移、加速度、惯性力三个变化规律及幅值大小 4个例子 第一个例子说明图乘法 第二个例子说明超静定结构位移 第三个例子说明刚度、柔度系数 第四个例子注意力的方向 §15—3 常自由度体系的受迫振动 运动微分方程


振幅　　　A＝
　　　　初相位　　
频率
　　　　　
+
y =
　　　　　
以和位移同向为正 一、简谐荷载 　　　　　　
＝P


+
y =
y =
+
其中：　
＝Bcos
+ C
齐次解 　　　　　　　
＝D
特解
y ＝　B cos
+ C
+ D
代入求D　　－D

+
D
=
－D
+
D =
D =

y = B cos
+ C
+

初始条件 　　　　t = 0 y = y0 = 0
= v0 = 0
B = 0 C = －

y(t) = －


+

两部分组成： 　　　伴生自由振动 　　　纯受迫振动――稳态受迫振动 　only
discuss
yt =

＝

＝



(
=
=
)

=
= yj

yj为P引起的静力位移
＝　
　位移动力系数，放大系数 单自由度体系　　　位移动力系数＝内力动力系数 　　　　　　　　　　
　动力系数 　
＝　
　　
　　
＝
　频比 1)
<

< 1
> 1 同向　　　　　　动力位移>静力位移 极端　如：
<<


1 如果机器转速很小　
　静力荷载 2)
>

< 1
<0 极端　如：
>>


0 极微小的振动 3)
=

=1



　较大的内力和位移，尽力避免 　（共振）
至少差25% 二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动
t = dt ds = Pdt
初始条件（速度和位移）　自由振动 　　P = ma = m

dv =

=
=
dy =
dt =
(dt)2 t > dt时 P
0 dy (初位移)　dv(初速度) 的自由振动 t = 0 y0 = 0 v0 =
y(t) = Asin(
t +
) A =
y(t) =
sin
tdt =
sin
t 注意干扰力作用下的振动方程　　叠加法 dy(t) =
杜哈梅
y(t) =

y(t) = y0cos
t +
sin
t +

三种情况： 突加荷载 　　　　P(t) = 0 t<0 P t>0 15-19: t>0 y(t) =

y(t) =
= yj
[y(t)]max = 2yj 2)短时荷载 0
t0 有P 叠加 t=0 P t=t0 －P
0 a) 0<t<t0 y(t) = yj
b) t>t0 y(t) = yj
－ yj
y(t) = 2yj
sin
(t-
) ymax=2yj

=2
=2
2)爆炸荷载 P(t) P(1-
) t
t0 0 t>t0 t
t0 y(t) =

=yj
t>t0 y(t) =

=yj{
} §15—3 常自由度体系的受迫振动 运动微分方程


振幅　　　A＝
　　　　初相位　　
频率
　　　　　
+
y =
　　　　　
以和位移同向为正 一、简谐荷载 　　　　　　
＝P


+
y =
y =
+
其中：　
＝Bcos
+ C
齐次解 　　　　　　　
＝D
特解
y ＝　B cos
+ C
+ D
代入求D　　－D

+
D
=
－D
+
D =
D =

y = B cos
+ C
+

初始条件 　　　　t = 0 y = y0 = 0
= v0 = 0
B = 0 C = －

y(t) = －


+

两部分组成： 　　　伴生自由振动 　　　纯受迫振动――稳态受迫振动 　only
discuss
yt =

＝

＝



(
=
=
)

=
= yj

yj为P引起的静力位移
＝　
　位移动力系数，放大系数 单自由度体系　　　位移动力系数＝内力动力系数 　　　　　　　　　　
　动力系数 　
＝　
　　
　　
＝
　频比 1)
<

< 1
> 1 同向　　　　　　动力位移>静力位移 极端　如：
<<


1 如果机器转速很小　
　静力荷载 2)
>

< 1
<0 极端　如：
>>


0 极微小的振动 3)
=

=1



　较大的内力和位移，尽力避免 　（共振）
至少差25% 二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动
t = dt ds = Pdt
初始条件（速度和位移）　自由振动 　　P = ma = m

dv =

=
=
dy =
dt =
(dt)2 t > dt时 P
0 dy (初位移)　dv(初速度) 的自由振动 t = 0 y0 = 0 v0 =
y(t) = Asin(
t +
) A =
y(t) =
sin
tdt =
sin
t 注意干扰力作用下的振动方程　　叠加法 dy(t) =
杜哈梅
y(t) =

y(t) = y0cos
t +
sin
t +

三种情况： 突加荷载 　　　　P(t) = 0 t<0 P t>0 15-19: t>0 y(t) =

y(t) =
= yj
[y(t)]max = 2yj 2)短时荷载 0
t0 有P 叠加 t=0 P t=t0 －P
0 a) 0<t<t0 y(t) = yj
b) t>t0 y(t) = yj
－ yj
y(t) = 2yj
sin
(t-
) ymax=2yj

=2
=2
2)爆炸荷载 P(t) P(1-
) t
t0 0 t>t0 t
t0 y(t) =

=yj
t>t0 y(t) =

=yj{
}
t0 < 0.35T
< 1 t0 >10T

2 §15——4 阻尼对振动的影响 　　　阻尼作用：结构材料的内摩擦阻力，周围介质对振动阻力，支座、结点等构件联结处的摩擦力，地基土的内摩擦阻力均为能量耗散因素 　　　阻尼的概念和计算方法： 　　　　　　粘滞阻尼理论　　R(t) = －c
　　　　　　　　R(t) : 阻尼力 　　　　　　　　 C:　　粘滞阻尼系数 　　　　　　　　
:　　位移速度 　　　　　
　　m
+ c
+ k11y = P(t) 一、阻尼自由振动 　　　　　P(t) = 0 m
+ c
+ k11y = P(t) 令
=

=

　　
+ 2


+
y = 0 常系数齐次线性微分方程 　　特征方程：r2 + 2

r +
= 0
r1,2 =
(－


) 三种情况 　　1）　
＜1　　　r1,2 =
(－

i
)
=

共轭单根 　　　　y(t) =
(c1
t0 < 0.35T
< 1 t0 >10T

2 §15——6 一般多自由度体系的自由振动 柔度法 单自由度体系 　　　　　　　　　y1(t)=－m1
(t)f11 　y1(t)=A1sin(
1+
1) 双自由度体系 y1(t)=－m1
(t)f11－m2
(t)f12 　　　　　　　　　y2(t)=－m1
(t)f21－m2
(t)f22


+
= 0 F
M

+ Y = 0
(1)
(2) Y(k) = A(k)sin(
(1), (2)叠加 　　　　　　　Y=
3、任意n个自由度体系 Y=
(FM－
kE)A(k) = 0 N(k)A(k) = 0 N(k)
(k) = 0 展开式
　
(k) = [
]T 二、刚度法 单自由度体系 　　　　m1
+ k11y1 = 0 双自由度体系 k11y1(t) + k12y2(t)+m1
(t) = 0 k21y1(t) + k22y2(t)+m2
(t) = 0

+

= 0 M

+ K
Y = 0 Y=
(K－
M)A = 0
L(k)A(k) = 0
L(k)
(k) = 0 展开 展开
　
(k) = [
]T §15——7　　多自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 柔度法： yi(t) = I1fi1 + I2fi2 + …… + Infin + yip yip : 所有干扰力 yip =
ipsin
t
ip=
F M
(t) + Y(t) = 0 特解： Y = Y0sin
t －
2 F M Y0 sin
t + Y0 sin
t =
psin
t

=

I0

共振区域 无统一的动力系数 §15——8　　振型分解法 广义坐标 　　　　　　Y　＝　y1e1 + y2e2 ＝　 x1
(1) + x2
(2) ＝　
x 二、受迫 　 　M
(t) + KY(t) = P（t） M

+ K
X = P（t） (
(i))T (利用振型的正交性) (
(i))TM(
(i))
i + (
(i))TK(
(i)) Xi = (
(i))T P（t）
i=


i +
Xi =
(t) 分解为w个单自由度体系受迫振动 　　　　　　　　　x1,x2,……xn
x
Y §15——10　　无限自由度（多自由度） 一、无阻尼自由振动 　　　　　　y（x，t）= y(x)sin(
t +
) 对时间求导数 　　　　　　v（x，t）=
= y(x)
cos(
t +
) 动能: V=0.5
dx Vmax U=0.5
dx = 0.5
dx Umax 两者相等 　　　
　
　　,　　Tmax 按第一振型振动 　　　　　y(x,t) = y(x) T(t) V=0.5myk2[
(t)]2 YkT(t)
m 　值

　值 　　依据y(x) 第十五章 结构的动力计算 §15—1 一、动力计算的特点和内容 静力荷载： （只研究静力平衡位置外载对结构的影响） 动力荷载：大小、方向、作用点 —> 内力随时间 发生变化，加速度较大—>惯性力 例：偏心质量的回转机器 —> 振动 动力荷载 —> 静力荷载、a很小、F与原P相比 忽略不计 动力平衡：达朗伯原理 惯性力、外载、内力（位移） （考虑取时间作自变量） 风振、地震、爆炸、机器震动 —> 结构的影响 动力反应 结构动力学 结构本身的动力特性 动力荷载（干扰力）的变化规律 反应的大小主要取决与结构的自振频率、阻尼 振型 动力特性 自由振动： 自振频率、振型 强迫振动： 结构的动力反应 二 动力荷载的分类 根据动力荷载的变化规律及对结构的作用特点 简谐周期荷载（图） 一般周期荷载 冲击荷载 锻锤对桩基础的冲击作用 爆炸的冲击压力 随机荷载 地震荷载 风荷载 稳定风压 脉动风压 三 体系振动的自由度 质量的分布情况并计算质量的位移 ——> 考虑质量的惯性力 ——> 动力计算的简图 以质点的位移作为基本未知量 全部质点的独立的位移个数 ——> 体系的振动自由度 单自由度的体系 一个质块、两个线位移、一个角位移、 惯性力、 惯性力矩(略去) 略去梁的轴向变形 （变形后杆上两点之间的距离保持不变） ——> 自由度one 2、多自由度体系 三层平面刚架 水平方向的振动计算，梁、柱、楼板的质量都集中在结点上，略去梁柱的轴向变形，三个独立的位移未知量 3、无限自由度体系 ——> 简化为有限自由度体系 具有质量块的体系 体系的振动自由度： 与体系是否静态或超静态无关，也不一定就是质点的数目，既可以比它多，也可以比它少 三个集中质量 一个自由度 一个集中质量 两个自由度 集中质量法+广义坐标法： 无限自由度 ——> 有限自由度 四、 体系振动的衰减现象、阻尼力 钢结构模型、钢筋混凝土楼板、自由振动实验中所得位移（y）~时间（t）曲线的大致形状 振幅能量损耗 振幅位置的变形能~体系的全部机械能 结构材料的内摩擦阻力 周围介质对振动的阻力 支座结点等构件联结处的摩擦力 地基土等的内摩擦阻力 阻尼 结构的一个重要的动力特点 粘滞阻尼理论（伏伊特理论） R = -
(方向相反) 阻尼力 阻尼系数 位移速度 §15——2 常自由度体系的自由振动 自由振动：固有振动，初始速度，初始干扰，中途无干扰 运动微分方程 (一静一动) 力（假定方向 ，考虑正负） 以指向Y的正方向为正
速度、加速度也以向下为正
重力W　　　　
=
(
的含义) 弹性力　　　　S（t）= －
　　
惯性力 I（t）= －m

　　　　　　　　　
　：
　　　　　　　　　　（w=

=0）


使弹簧伸长或短缩单位长度所需之力 使端点产生单位竖向位移时在端点，所需施加的竖向力
　　＝　　
柔度 　和多质量统一符号 另一种表达方式：
初始： 振幅： 初相角： 三 结构的自振周期和频率 自振周期T： 工程频率 圆频率 相频率 §15——3 常自由度体系的受迫振动 运动微分方程


振幅　　　A＝
　　　　初相位　　
频率
　　　　　
+
y =
　　　　　
以和位移同向为正 一、简谐荷载 　　　　　　
＝P


+
y =
y =
+
其中：　
＝Bcos
+ C
齐次解 　　　　　　　
＝D
特解
y ＝　B cos
+ C
+ D
代入求D　　－D

+
D
=
－D
+
D =
D =

y = B cos
+ C
+

初始条件 　　　　t = 0 y = y0 = 0
= v0 = 0
B = 0 C = －

y(t) = －


+

两部分组成： 　　　伴生自由振动 　　　纯受迫振动――稳态受迫振动 　only
discuss
yt =

＝

＝



(
=
=
)

=
= yj

yj为P引起的静力位移
＝　
　位移动力系数，放大系数 单自由度体系　　　位移动力系数＝内力动力系数 　　　　　　　　　　
　动力系数 　
＝　
　　
　　
＝
　频比 1)
<

< 1
> 1 同向　　　　　　动力位移>静力位移 极端　如：
<<


1 如果机器转速很小　
　静力荷载 2)
>

< 1
<0 极端　如：
>>


0 极微小的振动 3)
=

=1



　较大的内力和位移，尽力避免 　（共振）
至少差25% 二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动
t = dt ds = Pdt
初始条件（速度和位移）　自由振动 　　P = ma = m

dv =

=
=
dy =
dt =
(dt)2 t > dt时 P
0 dy (初位移)　dv(初速度) 的自由振动 t = 0 y0 = 0 v0 =
y(t) = Asin(
t +
) A =
y(t) =
sin
tdt =
sin
t 注意干扰力作用下的振动方程　　叠加法 dy(t) =
杜哈梅
y(t) =

y(t) = y0cos
t +
sin
t +

三种情况： 突加荷载 　　　　P(t) = 0 t<0 P t>0 15-19: t>0 y(t) =

y(t) =
= yj
[y(t)]max = 2yj 2)短时荷载 0
t0 有P 叠加 t=0 P t=t0 －P
0 a) 0<t<t0 y(t) = yj
b) t>t0 y(t) = yj
－ yj
y(t) = 2yj
sin
(t-
) ymax=2yj

=2
=2
2)爆炸荷载 P(t) P(1-
) t
t0 0 t>t0 t
t0 y(t) =

=yj
t>t0 y(t) =

=yj{
}
t0 < 0.35T
< 1 t0 >10T

2 第十五章 结构的动力计算 §15——1 一、 动力计算的特点和内容 静力荷载 （只研究静力平衡位置外载对结构的影响） 动力荷载 大小、方向、作用点 —> 内力随时间 发生变化，加速度较大—>惯性力 eg： 偏心质量的回转机器 —> 振动 动力荷载 —> 静力荷载、a很小、F与原P相比 忽略不计 动力平衡：达朗伯原理 惯性力、外载、内力（位移） （考虑取时间作自变量） 风振、地震、爆炸、机器震动 —> 结构的影响 动力反应 结构动力学 结构本身的动力特性 动力荷栽（干扰力）的变化规律 反应的大小主要取决与结构的自振频率、阻尼 振型 动力特性 自由振动：自振频率、振型 强迫振动：结构的动力反应 二 动力荷栽的分类 根据动力荷栽的变化规律及对结构的作用特点 简谐荷栽（图） 一般周期荷栽 冲击荷栽 锻锤对桩基础的冲击作用 爆炸的冲击压力 随机荷栽 地震荷栽 风荷栽 稳定风压 脉动风压 三 体系振动的自由度 考虑质量的惯性力《——质量的风布情况并计算质量的位移 动力计算的简图 以质点的位移作为基本未知量 全部质量的独立的位移个数 ——》体系的振动自由度 单自由度的体系 一个质块、两个线位移、一个角位移、惯性力、惯性力矩 略去梁的轴向变形（变形后杆上两点之间的距离保持不变）——》自由度ONE 2、多自由度体系 三层平面钢架 水平方向的振动计算、梁、柱、数板的质量都集中在结点上，略去梁柱的轴向变形，三个独立的位移未知量 3、无限自由度体系 ——》简化有限自由度体系 有质量块取体系 体系的振动自由度：与体系是否静态OR超静态无关，也不一定就是质量的数目，既可以比它多，也可以比它少 三个集中质量：一个自由度 一个集中质量：两个自由度 集中质量法+广义坐标法：无限自由度——》有限自由度 四 体系振动的衰减现象、阻尼力 钢结构模型、钢筋混凝土、自由振动实验中所得位移（Y）~时间（T）曲线的大致形状 振幅能量损耗 振幅位置的变形能~体系的全部机械能 结构材料的内摩擦阻力 周围介质对振动的阻力 支座结点等构件联系处的摩擦力 地基土等的内摩擦阻力 阻尼，结构的一个重要的动力特点 粘滞阻尼理论（伏伊特理论） 阻尼力、阻尼导数、位移速度 15——2常自由度体系的自由振动 自由振动：固有振动，初始速度，初始干扰，中途无干扰 运动微分方程 力（假定方向 ，考虑正负）以指向Y的正方向为正 速度、加速度也以向下为正 重力W 弹性力S（T）= 惯性力I（T）= K11 使弹簧伸长OR短缩量位长度所需动 使端点产生单位竖向位移时在端点所需旋加的 竖向力 （速度）和多质量统一符号 另一种表达方式： 初始： 振幅： 初相角： 三 结构的自振周期和频率 自振周期T： 工程频率 圆频率 向频率 14——7组合压杆的稳定 压杆的临界荷哉： 与EI成正比（杆载面的 惯性矩） 与（UL） 成反比（杆的计算长度） ——》1）增加I 件约束，减小杆的计算长度） 截面面积不变的条件下，将材料布置在离截面形心较远的位置，其I提高很多 EF； -。工程结构中，不增大截面面积，采用组合杆件提高压杆的稳定性 而为了保证工作（共同）肢杆之间需用缀合杆件联结起来。 缀条式，缀板式——》作图 二 位移法——》稳定方程 第一类稳定 随迁平衡，满足静力平衡条件 SOME，微弯平衡 叠加发法：基本结构——（放松，加约束）原结构 注意M的不同（无P作用，有P作用两种不同情形） 稳定方程： 假定钢架处于微弯的随迂平衡状态，利用位移法建立典型方程，需要用到（轴向压力作用下）端固定柱（一端固定，一端铰支）在（受）发生转角，相对侧移时两端内力大小，可以利用静力法推出相应的转角位移方程 由于典型方程是关于位移未知量的齐次线形方程组，两种解的结果，IE，根据位移非0时维持随迂平衡的先决条件得稳定方程——》最小根——》P（IJ） 书上三个例子