一、区域连通性的分类
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连
续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q d yP d xd x d y
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
二、格林公式
定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdydx dyxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CAECBE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? E A CC B E dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxd yy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ???
??
?
?
LD QdyP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
dxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ
??? ?????? 321 LLL Qd yP d xQd yP d xQd yP d x
? ?? L Q dyP dx
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,
3
L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
dxd yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL Qd yP d x )(}3
? ?? L Q dyP dx
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Qd yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,
格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
x
y
o L
例 1 计算 ?
AB
x d y,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
1,简化曲线积分
三、简单应用
A
B
D
BOABOAL ???
应用格林公式,xQP ??,0 有
??? ?? L
D
x d yd x d y
,??? ??? BOABOA xd yxd yxd y
,0,0 ?? ?? BOOA xd yxd y由于
.41 2rdxdyxdy
D
AB
?????? ???
例 2 计算 ??
?
D
y
d x d ye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP ???,
2,简化二重积分
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q ??
?
??
?
?,
应用格林公式,有
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxed xd ye 22
?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1??? e
例 3 计算 ?
?
?
L yx
yd xx d y
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
(2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xx d y 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
?? ????? lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?????? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2??
(注意格林公式的条件 )
??? dr rr 2
2222 s i nc os ?? ?? 2
0
格林公式, ??? ???????
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP ??? 得??? ?? L
D
ydxxdydxdy2
闭区域 D 的面积 ? ??
L
yd xx d yA 21,
取,,0 xQP ?? 得 ??
L
xdyA
取,0,??? QyP 得 ? ??
L
y dxA
3,计算平面面积
曲线 A M O 由函数
],0[,axxaxy ??? 表示,
例 4 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴所
围成的面积,
解 O N A 为直线 0?y,
? ??? L yd xx d yA 21
?? ???? A M OON A y d xxdyy d xxdy 2121
)0,(aAN
M
? ?? A M O y dxxd y21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?
.614 20 adxxa a ?? ?
)0,(aAN
M
四、小结
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
3,格林公式的应用,
—— 格林公式 ; ??? ???
??
?
?
LD QdyP d xd x d yy
P
x
Q )(
若区域 如图为
复连通域，试描述格
林公式中曲线积分中 L
的方向。
??? ???????? ?????
LD
Q dyP dxdxd yyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G? ?
思考题
思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G?由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
BCDAB
EGFE