如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
一、利用直角坐标系计算二重积分
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图，
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
则必须分割,
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式 ??
?
?
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy ?? 2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
= ? ? ??a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ?? 22 yaax ????
a2a
a2
a
例 4 求 ?? ?
D
d x d yyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
?
?
?
?
?
yx
xy
?? ?
D
d xd yyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求 ?? ?
D
y d xd yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
? ? dye y 2? 无法用初等函数表示解
? 积分时必须考虑次序
?? ?
D
y d x d yex 22 ?? ?? y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y? ?? ?1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y? ?? ? ).21(
6
1
e??
例 6 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 121 )( dxeex x,2183 ee ??
2xy?
xy?
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz ??, xyz ?, 1?? yx, 0?x, 0?y,
解 曲面围成的立体如图,
,10 ??? yx?,xyyx ???
所求体积 ?? ???
D
dxyyxV ?)(
? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx
? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
二、小结
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?［ Y－型］
［ X－型］
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf ??
1
0
)(,
求 ??
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题
? 1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令 ???
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
思考题解答
则原式 ???
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,
,)()( 010 ??? x dyyfdxxf
故 ???
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI ??? x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx ??? ??
.)()( 21010 Adyyfdxxf ?? ??
一,填空题,
1,
??
???
D
dyyxx ?)3(
323
_____ ____ _____ __,其中
,10,10,???? yxD
2, ??
??
D
dyxx ?)c o s ( _____ ____ _____ _,其中 D 是顶
点分别为 )0,0(, )0,( ?, ),( ?? 的三角形闭区域,
3,将二重积分 ??
D
dyxf ?),(,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
??? yryx 所围成的闭区域,化为先对 y
后对
x
的二次积分,应为 _____ _____ ____ _____ __.
练 习 题
4,将二重积分 ??
D
dyxf ?),(,其中 D 是由直线
2,?? xxy 及双曲线 )0(
1
?? x
x
y 所围成的闭区
域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
__ ___ ___ __ ___ _ ___ __ ___ __ __.
5,将二次积分 ??
?
?
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _,
6,将二次积分 ??
?
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
?
改换积分次序,
应为 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _,
7,将二次积分 ??
??
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
??
?
?
?
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1,
??
?
D
yx
de ?,其中 D 是由 1?? yx 所确定的闭区域,
2, ?? ??
D
dxyx ?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 ??? 及 所围成的闭区域,
3, ????
??
?
??
?
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
c o s
),( 。
4,,2?? ?
D
d x d yxy 其中 D, 20,11 ????? yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2?? yx xy ?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx ???,求该
薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz ?? 及
22
26 yxz ???,所围成的
立体的体积,
一,1, 1 ； 2,
2
3 ?
? ；
3,
??
?
?
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
????
?
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5,
??
??
?
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6, ????
?
??
?
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
a r c s i n
a r c s i n
1
0a r c s i n2
0
1
),(),(
??；
7,
??
?
?
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
练习题答案
二,1,
1?
? ee ； 2,
6
13； 3, ? ； 4,
23
5 ?
?,
三、
3
4
.
四,?6,