一、二重积分的换元法
?
?
?
??
??
.s i n
,co s
ry
rx
间的关系为
坐标与极坐标之平面上同一个点，直角
的一种变换，坐标平面
到直角标平面上式可看成是从直角坐
x o y
ro ?
换是一对一的．
，且这种变平面上的一点成
，通过上式变换，变面上的一点
平即对于
),(
),(
yxMxoy
rM
ro
??
?
.),()],(),,([),(
:)3(;0
),(
),(
),()2(
),(),,()1(
),(),,(:
),(
????
?
??
?
?
?
??
?
?
??
DD
d u d vvuJvuyvuxfd x d yyxf
DDT
vu
yx
vuJD
Dvuyvux
DxoyDu o v
vuyyvuxxT
Dxoyyxf
是一对一的，则有变换
上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在
且满足
，平面上的变为平面上的闭区域将
连续，变换
上平面上的闭区域在设定理
例 1
解
所围成的闭区域．线
轴和直轴、由其中计算
2
,
??
??
?
?
yx
yxDd x d ye
D
xy
xy
,,xyvxyu ????令
.2,2 uvyuvx ????则
,DD ??
D
x
y
o
2?? yx
D?
u
v
o
vu?vu ??
2?v
.22;0;0
????
???
????
vyx
vuy
vux即
),(
),(
vu
yxJ
?
??
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?
?
????
?
?
?
??
D
v
u
D
xy
xy
d u d ved x d ye
2
1
故
?? ??
v
v
v
u
duedv
2
02
1
? ??? 20 1 )(21 vd vee,1?? ee
例 2
解
所围成的闭区域．椭圆
为其中计算
1
,1
2
2
2
2
2
2
2
2
??
????
b
y
a
x
Ddxdy
b
y
a
x
D
.20,0,0,0 ??????? rba其中
??
?
??
??
,s i n
,c o s
bry
arx作广义极坐标变换
},20,10),{( ?????????? rrDD在这变换下
.),( ),( a b rr yxJ ???? ?
故换元公式仍成立，
处为零，内仅当在 0?? rDJ
?d r dabrrd x d ybyax
DD
????
?
????? 22
2
2
2
11,32 ab??
二、小结
的形式．同时也兼顾被积函数
的形状，于积分区域．作什么变换主要取决
),(
1
yxf
D
基本要求,变换后定限简便，求积容易．,
),(
),(
1
),(
),(
.2
yx
vuvu
yx
J
?
?
?
?
?
?
计算 ?de
yx
y yx
D
2)( ?
?? ?,其中 D, 1?? yx,
0?x 和 0?y 所围成,
思考题
令
?
?
?
?
??
yv
yxu
,
?
?
?
?
???
vy
vux
雅可比行列式 1),( ),( ???? vu yxJ,
变换后区域为
思考题解答
o x
y
1?? yx
D
o u
v vu?
D?
?deyx y yx
D
2)( ???
? ?? ?? D d ud vJvuf ||),(
dve
u
vdu uu 2
0
1
0
?? ?? dueu u 2
1
0 2
? ?? ).1(41 ?? e
D ?,1?? yx 1?? u
0?x 0??? vu
0?y 0?? v
一,作适当的变换,计算下列二重积分,
1,
??
D
d x d yyx
22
,其中 D 是由两条双曲线 1?xy 和
2?xy,直线 xy ? 和 xy 4? 所围成的在第Ⅰ象限
的闭区域,
2,
??
?
D
d x d yyx )(
22
,其中
D
是椭圆区域,
14
22
?? yx,
二,设
D
是由曲线
333
,4,yxxyxy ???,
3
4 yx ? 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积,
三、试证, ??
??
D
d x d ycbyaxf )(
?
?
????
1
1
222
)(12 ducbaufu,其中
D
为
0,1
2222
???? bayx 且
.
练 习 题
一,1, 2ln
3
7； 2, ?
32
5
.
二、
8
1
.
练习题答案
