定义 设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻
域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf ???,
如果
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
存在，则称
此极限为函数
),( yxfz ?
在点 ),( 00 yx 处对 x 的
偏导数，记为
一、偏导数的定义及其计算法
同理可定义 函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y ?
???
??
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxy
f
?
??
?
，
0
0
yy
xx
y
z
?
? 或 ),(
00
yxf
y
.
0
0
yy
xxx
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxx
f
?
??
?
，
0
0
yy
xxxz
?
? 或 ),( 00 yxf x,
如果函数 ),( yxfz ? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x, y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz ? 对
自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
?
?
，
x
f
?
?
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz ? 对自变量 y 的偏导
数，记作
y
z
?
?
，
y
f
?
?
，
y
z 或 ),( yxf
y
.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 在 处 ),,( zyxfu ? ),,( zx
,),,(),,(l i m),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx ?
????
??
,),,(),,(l i m),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy ?
????
??
.),,(),,(lim),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz ?
????
??
例 1 求 22 3 yxyxz ??? 在点 )2,1( 处的偏导数．
解 ???xz ;32 yx ? ???yz,23 yx ?
????
?
?
2
1
y
xx
z
,82312 ????
???
?
?
2
1
y
xy
z,72213 ????
例 2 设 yxz ? )1,0( ?? xx,
求证 z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
?
?
?
?
?
?
.
证 ???xz,1?yyx ???yz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
?
??
?
?
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11 ?? ?
yy xx ??,2z? 原结论成立．
例 3 设 22ar c s i n
yx
xz
?
?,求
x
z
?
?,
y
z
?
?,
解 ?
?
?
x
z
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
? x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
?
???
.|| 22 yx y??
|)|( 2 yy ?
???yz
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
? y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
?
????
yyx
x 1s g n
22 ??? )0( ?y
0
0
?
??
?
y
xy
z
不存在．
例 4 已知理想气体的状态方程 RTpV ?
（ R 为常数），求证,1??
?
?
?
?
?
?
?
?
p
T
T
V
V
p
.
证 ?? VRTp ;2VRTVp ????
?? pRTV ;pRTV ??? ?? RpVT ;RVpT ???
????????? pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1??pVRT??
偏导数 xu?? 是一个整体记号，不能拆分 ;
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如 ??
有关偏导数的几点说明：
１、
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用
定义求；
解 xxf
xx
0|0|lim)0,0(
0
???
?0? ).0,0(yf?
３、偏导数存在与连续的关系
例如,函数
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( ?? yx ff,
但函数在该点处并不连续, 偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
4、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM ?
如图
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的
斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的
斜率,
几何意义,
),,(2
2
yxfx zxzx xx?????????? ???? ),(2
2
yxfy zyzy yy?????
?
??
?
?
?
?
),,(
2
yxfyx zxzy xy??????????? ???? ),(
2
yxfxy zyzx yx??????
?
??
?
?
?
?
?
?
函数 ),( yxfz ? 的二阶偏导数为
纯偏导
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶
偏导数,
二、高阶偏导数
例 5 　设 13
323
???? xyxyyxz,
求
2
2
x
z
?
?
、
xy
z
??
?
2
、
yx
z
??
?
2
、
2
2
y
z
?
?
及
3
3
x
z
?
?
.
解 xz??,33 322 yyyx ??? yz?? ;92 23 xxyyx ???
2
2
x
z
?
?,6
2xy? 2
2
y
z
?
?;182 3 xyx ??3
3
x
z
?
?,6
2y?
xy
z
??
?2
.196 22 ??? yyxyx
z
??
?2
,196 22 ??? yyx
原
函
数
图
形
偏
导
函
数
图
形
偏
导
函
数
图
形
二
阶
混
合
偏
导
函
数
图
形
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导
函数图象间的关系：
例 6 设 byeu ax c o s?,求二阶偏导数,
解,co s byae
x
u ax?
?
? ;s i n bybe
y
u ax??
?
?
,c os22
2
byeax u ax???,c os22
2
byeby u ax????
,s in
2
byab eyx u ax?????,s in
2
byab exy u ax?????
定理 如果函数 ),( yxfz ? 的两个二阶混合偏导数
xy
z
??
?
2
及
yx
z
??
?
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
问题,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
例 6 验证函数 22ln),( yxyxu ?? 满足拉普拉
斯方程
.02
2
2
2
?????? yuxu
解 ),l n (21ln 2222 yxyx ????
,22 yx xxu ?????,22 yx yyu ????
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
?
??
?
????
?
??
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
?
??
?
????
?
?
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
?
??
?
??
?
??
?
??,0?
偏导数的定义
偏导数的计算、偏导数的几何意义
高阶偏导数
（偏增量比的极限）
??
? 纯偏导
混合偏导 （相等的条件）
三、小结
若函数 ),( yxf 在点 ),(
000
yxP 连
续，能否断定 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
的偏导数必定存在？
思考题
思考题解答
不能,
,),( 22 yxyxf ??
在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff ? 不存在,
例如,
一,填空题,
1, 设
y
x
z ta nln?,则 ?
?
?
x
z
_____ ___; ?
?
?
y
z
_____ ____.
2, 设 ?
?
?
??
x
z
yxez
xy
则),( _______; ?
?
?
y
z
_____ ___.
3, 设,
z
y
xu ? 则 ?
?
?
x
u
______ ____ ; ?
?
?
y
u
_________ _;
?
?
?
z
u
______ ____ __.
4, 设,a rct a n
x
y
z ? 则 ?
?
?
2
2
x
z
______ __; ?
?
?
2
2
y
z
______ _;
?
??
?
yx
z
2
______ _____ _.
练 习 题
5,设 zyxu )(?,则 ???? yz u
2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列函数的偏导数,
1,
y
xyz )1( ?? ；
2,
z
yxu )a rcta n( ??,
三,曲线
?
?
?
?
?
?
?
?
4
4
22
y
yx
z
,在点 (2,4,5 ) 处的切线与正向
x
轴所成的倾角是多少?
四,设
x
yz ?,求,,
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
??
?
?
?
?
?
和
五、设
)l n ( xyxz ?
,求
yx
z
??
?
2
3
和
2
3
yx
z
??
?
.
六,验证,
1,
)
11
(
yx
ez
??
?,满足 z
y
z
y
x
z
x 2
22
?
?
?
?
?
?；
2,
222
zyxr ??? 满足
r
z
z
r
y
r
x
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
.
七、设
?
?
?
?
?
?
??
?
0,0
0,a rc ta na rc ta n
),(
22
xy
xy
y
x
y
x
y
x
yxf
求 xyx
ff,
.
一,1,
y
x
y
x
y
x
y
2
cs c
2
,
2
cs c
2
2
? ；
2, )1(
2
?? yxye
xy
,)1(
2
?? xxye
xy；
3, xx
z
x
z
y
z
y
z
y
ln
1
,
1?
,xx
z
y
z
y
ln
2
? ；
4,
222
22
222222
)(
,
)(
2
,
)(
2
yx
xy
yx
xy
yx
xy
?
?
?
?
?；
5, )ln
1
()(
y
x
y
z
yy
x
z
??,
二,1,
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
xy
xy
xyxy
y
z
xyy
x
z
yy
1
)1l n()1(,)1(
12;
练习题答案
2,
z
z
yx
yxz
x
u
2
1
)(1
)(
??
?
?
?
?
?
,,
)(1
)(
2
1
z
z
yx
yxz
y
u
??
??
?
?
?
?
z
yx
yxyx
z
u
2
)(1
)l n()(
??
??
?
?
?
.
三、
4
?
.
四、,)1(,ln
2
2
2
2
2
2
?
??
?
?
?
?
?
xx
yxx
y
z
yy
x
z
)1ln(
1
2
??
??
?
?
yxy
yx
z
x
.
五、
22
3
2
3
1
,0
yyx
z
yx
z
??
??
?
?
??
?
.
七、
?
?
?
?
?
?
?
????
???
??
?
0,0;0,0
0,0,
0,a rcta n2
yxyx
yxy
xyy
x
y
x
f
x
,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
0,0,1
0,
0,1
22
22
yx
xy
yx
yx
x
f
xy
.