一、问题的提出
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).10()(
)!1(
)(
)(
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)(
)(
2
)(
))(()()(
1
0
00
)1(
0
0
)(
2
0
0
000
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n
n
n
n
xx
n
xxxf
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
?
一元函数的泰勒公式：
意义：可用 n 次多项式来近似表达函数 )( xf,且
误差是当 0xx ? 时比 nxx )( 0? 高阶的无穷小．
问题,能否用多个变量的多项式来近似表达一个
给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小,
即 设 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内连续
且有直到 1?n 阶的连续偏导数,),(
00
hyhx ??
为此邻域内任一点,能否把函数 ),(
00
kyhxf ??
近似地表达为
00
,yykxxh ???? 的 n 次多项
式，且误差是当 0
22
??? kh? 时比
n
? 高阶的
无穷小．
定理 设 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内连
续且有直到 1?n 阶的连续偏导数,),( 00 hyhx ??
为此邻域内任一点,则有
二、二元函数的泰勒公式
)10(),,(
)!1(
1
),(
!
1
),(
!2
1
),(),(),(
00
1
0000
2
000000
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y
k
x
h
n
yxf
y
k
x
h
n
yxf
y
k
x
h
yxf
y
k
x
hyxfhyhxf
n
n
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其中记号
),( 00 yxfykxh ?
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),,(),( 0000 yxkfyxhf yx ?表示
),( 00
2
yxfykxh ?
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表示 ),,(),(2),( 00200002 yxfkyxhkfyxfh yyxyxx ??
一般地,记号 表示),( 00 yxfykxh
m
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.),(
0
00 yxpmp
m
pmp
m
p
p
m yx
pkhC
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??
证 引入函数
).10(),,()( 00 ?????? tktyhtxft
显然 ),,()0( 00 yxf??
).,()1( 00 kyhxf ????
由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得)(t?
),,(
),(),()(
00
0000
ktyhtxf
y
k
x
h
ktyhtxkfktyhtxhft
yx
???
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),(),(2
),()(
00
2
00
00
2
ktyhtxfkktyhtxh kf
ktyhtxfht
yyxy
xx
??????
???? ??
????
).,(
)(
00
1
),(1
11
0
1
1
)1(
00
ktyhtxf
y
k
x
h
yx
p
kht
n
ktyhtxpnp
nn
p
pnpp
n
n
C
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利用一元函数的麦克劳林公式，得
).10(),(
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1
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!
1
)0(
!2
1
)0()0()1(
)1()(
???
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???
?? ???? ?????
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nn
nn
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将 ),()0(
00
yxf??,),()1(
00
kyhxf ???? 及
上面求得的 )( t? 直到 n 阶导数在 0?t 的值,以及
)(
)1(
t
n ?
? 在 ??t 的值代入上式, 即得
)1(,),(
!
1
),(
!2
1
),(),(),(
00
00
2
000000
n
n
Ryxf
y
k
x
h
n
yxf
y
k
x
h
yxf
y
k
x
hyxfkyhxf
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其中
)2().10(
),,(
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?? kyhxf
y
k
x
h
n
R
n
n
证毕
公式 )1( 称为二元函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 的
n 阶泰勒公式,而
n
R 的表达式 )2( 称为 拉格朗日型
余项,
由二元函数的泰勒公式知,nR 的绝对值在
点 ),( 00 yx 的某一邻域内都不超过某一正常数 M,
于是,有下面的误差估计式,? ?
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)3(,
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2
s i nco s
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1
1
111
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n
n
nnn
n
M
n
n
M
kh
n
M
R
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???
其中,22 kh ???
由 )3( 式可知,误差 nR 是当 0?? 时比 n? 高阶
的无穷小,
当 0?n 时,公式 )1( 成为
),(
),(),(
),(
00
0000
00
kyhxkf
kyhxhfyxf
kyhxf
y
x
??
??
???
????
??
上式称为 二元函数的拉格朗日中值公式,
推论 如果函数 ),( yxf 的偏导数 ),( yxf x,),( yxf y
在某一邻域内都恒等于零,则函数 ),( yxf 在该区域
内为一常数,
在泰勒公式 )1( 中,如果取 0,0 00 ?? yx,
则 )1( 式成为 n 阶麦克劳林公式,
),,(
)!1(
1
)0,0(
!
1
)0,0(
!2
1
)0,0()0,0(),(
1
2
yxf
y
y
x
x
n
f
y
y
x
x
n
f
y
y
x
x
f
y
y
x
xfyxf
n
n
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)10( ?? ? )5(
例 1 求函数 )1l n(),( yxyxf ??? 的三阶麦
克劳林公式,
解,1 1),(),( yxyxfyxf yx ?????
,)1( 1),(),(),( 2yxyxfyxfyxf yyxyxx ??????
,)1( !2 33
3
yxyx
f
pp ?????
?
? ),3,2,1,0( ?p
,)1( !3 44
4
yxyx
f
pp ??????
?
? ),4,3,2,1,0( ?p
,)0,0()0,0()0,0( yxyfxffyyxx yx ?????
?
??
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??
?
??
,)(
)0,0()0,0(2)0,0(
)0,0(
2
22
2
yx
fyx yffx
f
y
y
x
x
yyxyxx
???
???
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,)(2)0,0()0,0(3
)0,0(3)0,0()0,0(
332
23
3
yxfyfxy
yfxfxf
y
y
x
x
yyyx yy
xxyxxx
????
???
?
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?
?
?
又 0)0,0( ?f,故
,)(31)(21)1l n ( 332 Ryxyxyxyx ?????????
其中
).10(,
)1(
)(
4
1
),(
!4
1
4
4
4
3
??
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???
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??
??
yx
yx
yxf
y
y
x
xR
三、极值充分条件的证明定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 0),( 00 ?yxf x,0),( 00 ?yxf y,
令 Ayxf xx ?),( 00, Byxf xy ?),( 00,
Cyxf yy ?),( 00,
利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理 2．
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
?? BAC 时有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
?? BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
?? BAC 时可能有极值,
证 依二元函数的泰勒公式，
对于任一 )(),( 0100 PUkyhx ??? 有
),(),( 0000 yxfkyhxff ?????
),(2),([21 00002 kyhxh k fkyhxfh xyxx ???? ??????
)],( 002 kyhxfk yy ?? ??? ).10( ?? ? )6(
)1( 设 02 ?? BAC,即
? ?,0),(),(),( 2000000 ?? yxfyxfyxf xyyyxx )7( 因 ),( yxf 的二阶偏导数在 )( 01 PU 内连续,由
不等式 )7( 可知,存在点 0P 的邻域 )()( 0102 PUPU ?,
使得对任一 )(),( 0200 PUkyhx ??? 有
? ?,02 ?? xyyyxx fff )8(
注,将 ),( yxf xx 在点 ),( 00 kyhx ?? ?? 处的值
记为 xxf,其他类似,
由 )8( 式可知,当 )(),( 0200 PUkyhx ??? 时,
xxf 及 yyf 都不等于零且两者同号, 于是 )6( 式可写成
? ? ? ?? ?.2 1 222 xyyyxxxyxx
xx
fffkkfhfff ?????
当 kh, 不同时为零且 )(),( 0200 PUkyhx ???
时,上式右端方括号内的值为正,所以 f? 异于零且
与 xxf 同号,
又由 ),( yxf 的二阶偏导数的连续性知 xxf 与 A
同号,因此 f? 与 A 同号,当 0?A 时 ),( 00 yxf 为极
小值,当 0?A 时 ),( 00 yxf 为极大值,
)2( 设 02 ?? BAC,即
? ?,0),(),(),( 2000000 ?? yxfyxfyxf xyyyxx )9(
先假定,0),(),( 0000 ?? yxfyxf yyxx 则,0),( 00 ?yxf xy
分别令 hk ? 及 hk ??,则由 )6( 式可得
? ? ],),(2
),([
2
10101010
1010
2
kyhxfkyhxf
kyhxf
h
f
yyxy
xx
????
??
??????
????
及
? ? ],,),(2
),([
2
20202020
2020
2
kyhxfkyhxf
kyhxf
h
f
yyxy
xx
????
??
??????
????
其中,1,0 21 ?? ??
当 0?h 时,以上两式方括号内的式子分别
趋于极限 ),,(2),(2
0000 yxfyxf xyxy ?及
从而当 h 充分接近零时,两式方括号内的值有
相反的符号,因此 f? 可取不同符号的值,所以
),(
00
yxf 不是极值,
再证 ),(),( 0000 yxfyxf yyxx 与 不同时为零的情形,
不妨,0),( 00 ?yxf xy 先取 0?k,于是由 )6( 式得
).,(21 002 yhxfhf xx ????
当 h 充分接近零时,f? 与 ),( 00 yxf xx 同号,
但如果取,),(,),( 0000 syxfksyxfh xxxy ???其中 s 是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当
s 充分小时,f? 与 ),( 00 yxf xx 异号,
如此证明了, 在点 ),( 00 yx 的任意邻近,f? 可取
不同符号的值,因此 ),( 00 yxf 不是极值,
)3( 考察函数
42),( yxyxf ??及,),( 32 yxyg ??
容易验证,这两个函数都以 )0,0( 为驻点,且在点
)0,0( 处都满足 0
2
?? BAC, 但 ),( yxf 在点 )0,0(
处有极小值,而 ),( yxg 在点 )0,0( 处却没有极值,
1、二元函数的泰勒公式；
四、小结
2、二元函数的拉格朗日中值公式；
n3,阶麦克劳林公式；
4、极值充分条件的证明,
练 习 题
的泰勒公式．点
在一、求函数
)2,1(
5362),( 22
?
?????? yxyxyxyxf
的三阶泰勒公式．二、求函数 )1l n (),( yeyxf x ??
阶泰勒公式．的三、求函数 neyxf yx ??),(
练习题答案
．一,22 )2()2)(1()1(25),( ???????? yyxxyxf
24
.)233(
!3
1
)2(
!2
1
)1l n (
3
3
3222
x
x
e
R
Ryxyyxyxyy
ye
?
?
???????
?
其中
二、
.10),(
)!1(
)(
!
1
)2(
!2
1
)(1
11
1
1
)(
11
22
?????
?
?
?????
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
yx
n
n
nn
n
n
yx
yyxCx
n
e
R
RyyxCx
n
yxyxyxe
?
?
?
其中
三、