实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每
瓶进价 1元，外地牌子每瓶进价 1.2元，店主估
计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的
每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本
地牌子的果汁,瓶外地牌子的果汁
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可
取得最大收益？
x
y yx 4570 ??
yx 7680 ??
每天的收益为 ?),( yxf
)7680)(2.1()4570)(1( yxyyxx ???????
求最大收益即为求二元函数的最大值,
一、问题的提出
二、多元函数的极值和最值
的图形观察二元函数 22 yxe xyz ???
播放
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内
有定义，对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf ?,则称函数
在 ),(
00
yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式
),(),(
00
yxfyxf ?,则称函数在 ),(
00
yx 有极
小值；
1、二元函数极值的定义
极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
(1)
(2)
(3)
例 1
处有极小值．在
函数
)0,0(
43 22 yxz ??
例２
处有极大值．在
函数
)0,0(
22 yxz ???
例３
处无极值．在
函数
)0,0(
xyz ?
定理 1 （必要条件）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且
在点 ),(
00
yx 处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零,0),( 00 ?yxf x, 0),(
00
?yxf
y
.
2、多元函数取得极值的条件
不妨设 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 处有极大值,
则对于 ),( 00 yx 的某邻域内任意
?),( yx ),( 00 yx都有 ?),( yxf ),( 00 yxf,
证
故当 0yy ?, 0xx ? 时，有 ?),( 0yxf ),( 00 yxf,
说明一元函数 ),( 0yxf 在 0xx ? 处有极大值,
必有 0),( 00 ?yxf x ;
类似地可证 0),( 00 ?yxf y,
推广 如果三元函数 ),,( zyxfu ? 在点 ),,(
000
zyxP
具有偏导数，则它在 ),,(
000
zyxP 有极值的必要条
件为
0),,( 000 ?zyxf x, 0),,(
000
?zyxf
y
，
0),,( 000 ?zyxf z,
例如,点 )0,0( 是函数 xyz ? 的驻点，但不是极值点,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零
的点，均称为函数的 驻点,
驻点 极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
注意：
又 0),( 00 ?yxf x,0),( 00 ?yxf y,
令 Ayxf xx ?),( 00, Byxf xy ?),( 00,
Cyxf yy ?),( 00,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
?? BAC 时具有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
?? BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
?? BAC 时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例 4 求由方程 yxzyx 22222 ????
0104 ??? z 确定的函数 ),( yxfz ? 的极值
将方程两边分别对 yx,求偏导
?
?
?
???????
???????
04222
04222
yy
xx
zzzy
zzzx
由函数取极值的必要条件知,驻点为 )1,1( ?P,
将上方程组再分别对 yx,求偏导数,
解
,2 1|,0|,2 1| zzCzBzzA PyyPxyPxx ??????????????
故 )2(0
)2(
1
2
2 ??
?
??? z
z
ACB,
函数在 P 有极值,
将 )1,1( ?P 代入原方程,有 6,2 21 ??? zz,
当 21 ??z 时,041 ??A,
所以 2)1,1( ???? fz 为极小值；
当 62 ?z 时,041 ???A,
所以 6)1,1( ??? fz 为极大值,
求函数 ),( yxfz ? 极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A, B, C,
第三步 定出 2BAC ? 的符号，再判定是否是极值,
求最值的一般方法,
将函数在 D内的所有驻点处的函数值及在 D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最
大者即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的
极值来求函数的最大值和最小值,
3、多元函数的最值
例 5 求二元函数 )4(),( 2 yxyxyxfz ????
在直线 6?? yx, x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值,
解
先求函数在 D 内的驻点，
x
y
o
6?? yxD D
如图,
解方程组
?
?
?
??????
??????
0)4(),(
0)4(2),(
22
2
yxyxxyxf
yxyxxyyxf
y
x
得区域 D 内唯一驻点 )1,2(,且 4)1,2( ?f,
再求 ),( yxf 在 D 边界上的最值，
在边界 0?x 和 0?y 上 0),( ?yxf,
在边界 6?? yx 上，即 xy ?? 6
于是 )2)(6(),( 2 ??? xxyxf,
由 02)6(4 2 ????? xxxf x,
得 4,0 21 ?? xx,2|6 4 ???? ?xxy
,64)2,4( ??f
比较后可知 4)1,2( ?f 为最大值,
64)2,4( ??f 为最小值,
x
y
o
6?? yxD
例 6 求
122 ??
?
?
yx
yx
z 的最大值和最小值,
,0)1( )(2)1( 222
22
??? ????? yx yxxyxz x
,0)1( )(2)1( 222
22
??? ????? yx yxyyxz y
得驻点 )21,21( 和 )21,21( ??,
解 由
即边界上的值为零,
,21)21,21( ?z,21)21,1( ????z
所以最大值为 21,最小值为 21?,
因为 0
1
l i m 22 ?
??
?
??
?? yx
yx
y
x
无条件极值, 对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件,
实例,小王有 200元钱，他决定用来购买两
种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 张磁盘,盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为,设每张磁
盘 8元，每盒磁带 10元，问他如何分配这 200
元以达到最佳效果．
x y
yxyxU lnln),( ??
问题的实质：求 在条
件 下的极值点．
yxyxU lnln),( ??
200108 ?? yx
三、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
要找函数 ),( yxfz ? 在条件 0),( ?yx? 下的
可能极值点，
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ????,
其中 ? 为某一常数，可由
?
?
?
?
?
?
??
??
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
?
??
??
解出 ?,,yx,其中 yx,就是可能的极值点的坐标,
条件极值,对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数 ),,,( tzyxfu ? 在条件
0),,,( ?tzyx?, 0),,,( ?tzyx?
下的极值，
先构造函数 ?? ),,,(),,,( tzyxftzyxF
),,,(),,,(
21
tzyxtzyx ???? ?
其中
21
,?? 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
tzyx,,,
，即得极值点的坐标,
例 7 将正数 12 分成三个正数 zyx,,之和 使得
zyxu 23? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 ????? zyxzyxzyxF ?,
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
????
12
0
02
03
23
3
22
zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
?
?
?
解得唯一驻点 )2,4,6(,
.6912246 23m a x ????u
则
故最大值为
例 8 在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
的
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体
体积最小，求切点坐标,
解 设 ),,( 000 zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
???? czbyaxzyxF,
则 2 02|
a
xF
Px ??, 2
02|
b
yF
Py ??, 2
02|
c
zF
Pz ??
过 ),,( 000 zyxP 的切平面方程为
?? )( 020 xxax ?? )( 020 yyby 0)( 020 ?? zzcz,
化简为 12 02 02 0 ?????? c zzb yya xx,
该切平面在三个轴上的截距各为
0
2
x
ax ?,
0
2
y
by ?,
0
2
z
cz ?,
所围四面体的体积
000
222
66
1
zyx
cbaxyzV ??
,
在条件 12
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln 000 zyxu ???
),,( 000 zyxG
???? 000 lnlnln zyx )1(
2
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x
?,
由,
01
0,0,0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
?
?
?
?
?
????
??????
c
y
b
y
a
x
GGG
zyx
当切点坐标为
(
3
a
，
3
b
，
3
c
) 时,
四面体的体积最小 abcV 2 3m i n ?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
01
0
21
0
21
0
21
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
?
?
?
可得
即
3
0
a
x ?
3
0
b
y ?,
3
0
c
z ?
多元函数的极值
拉格朗日乘数法
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值
四、小结
思考题
若 ),( 0 yxf 及 ),( 0yxf 在 ),( 00 yx 点均取得
极值，则 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 是否也取得极值？
思考题解答
不是,例如 22),( yxyxf ??,
当 0?x 时,2),0( yyf ?? 在 )0,0( 取极大值 ;
当 0?y 时,2)0,( xxf ? 在 )0,0( 取极小值 ;
但 22),( yxyxf ?? 在 )0,0( 不取极值,
一,填空题,
1, 函数 )4)(6(),(
22
yyxxyxf ??? 在 _____ __ 点取
得极 _____ __ __ 值为 ___ __ ___ __ _.
2, 函数 xyz ? 在附加条件 1?? yx 下的极 ____ __ 值
为 _____ ___ __ __ _.
3, 方程 02642
222
??????? zyxzyx 所确定的
函数 ),( yxfz ? 的极大值是 ____ __ ___ __,极小值
是 _____ ___ __ __ _.二,在平面 xoy 上 求 一 点,使 它 到 0,0 ?? yx 及
0162 ??? yx 三直线的距离平方之和为最小,
三,求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体,
练 习 题
四,在第一卦限内作球面 1222 ??? zyx 的切平面,使
得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求
切点的坐标,
一,1, (3,2 ),大,3 6 ； 2,大,
4
1； 3, 7,-1,
二,)
5
16
,
5
8
(,
三、当长,宽,高都是
3
2 a
时,可得最大的体积,
四,).
3
1
,
3
1
,
3
1
(
练习题答案