一、问题的提出
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中,
?d
?d
?dyxf ),(
?dyxf ),(),( yx
若要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量 U相应
地分成许多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且
在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时，
相应地部分量可近似地表示为 的形式，
其中 在 内．这个 称为所求量 U
的 元素,记为, 所求量的积分表达式为
???
D
dyxfU ?),(
dU
实例 　 一颗地球的同步轨道通讯
卫星的轨道位于地球的赤道平面
内，且可近似认为是圆轨道．通
讯卫星运行的角速率与地球自转
的角速率相同，即人们看到它在
天空不动．若地球半径取为 R,
问卫星距地面的高度 h 应为多少？
通讯卫星的覆盖面积是多大？
二、曲面的面积
卫星
h
o x
z
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dxoy 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
?
?
?
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面
轴的小于边界为准线，母线平行以
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
,面上的投影在为 xoydAd ??,c o s ?? ??? dAd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
????? dffdA yx 221
,1 22?? ????
D
yx dffA ?
曲面 S的面积元素
曲面面积公式为,d x d yA
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得
例 1 求球面 2222 azyx ???,含在圆柱体
axyx ?? 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA ?,
1D, axyx ?? 22
曲面方程 222 yxaz ???,
于是 ? ? ? ? 221 yzxz ???? ??,222 yxa
a
???
解
)0,( ?yx
面积 d x d yzzA
D
yx?? ???
1
2214
?? ???
1
2224
D
d xd y
yxa
a
?? ? ??? ? c o s0 220 14 2 a r drrada
.42 22 aa ???
例 2 求由曲面 azyx ?? 22 和 222 yxaz ???
)0( ?a 所围立体的表面积,
解 解方程组,2 22
22
?
?
?
???
??
yxaz
azyx
得两曲面的交线为圆周,
222
?
?
?
?
??
az
ayx
在 平面上的投影域为xy,,222 ayxD xy ??
得由 )(1 22 yxaz ??,2axz x ?,2ayz y ?
??? 221 yx zz
22 22
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
a
y
a
x
,441 222 yxaa ???
知由 222 yxaz ??? ??? 221 yx zz,2
dxdyyxaaS
xyD
?? ??? 222 441故 d xd y
xy
??? 2
r d rraad a ???? ?? ? 0 2220 4122 a??
).15526(6
2
???? a
),( yx
设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为
n
mmm,,,
21
?,则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
三、平面薄片的重心
当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
由元素法
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
例 3 设平面薄板由
?
?
?
??
??
)co s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t
与 x 轴围成，它的面密度 1??,求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A,
??? 20 t?, ax ???? 20
?
?? a dxxyA 2
0
)(? ? ??? 2
0 )]s i n([)c os1( ttadta
? ? ?? 20 22 )c os1( dtta,3 2a??
D a?2a?
)(xy
所以形心在 ax ?? 上，即 ax ??,
???
D
y d x d yAy 1 ?? ?? )(
0
2
0
1 xya yd ydx
A
? ??? a dxxya 20 22 )]([6 1 ? ? ??? 20 3]co s1[6 dtta,65?
所求形心坐标为 ),( 65 ?? a,
由于区域关于直线 ax ?? 对称,
设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为
n
mmm,,,
21
?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴
的 转动惯量 依次为
?
?
?
n
i
iix
ymI
1
2
,?
?
?
n
i
iiy
xmI
1
2
.
四、平面薄片的转动惯量
,),(2???
D
x dyxyI ??
.),(2???
D
y dyxxI ??
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于 轴的转动惯量x
薄片对于 轴的转动惯量y
例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
分别 为 a, b,求这三角形对其中任一直角边的
转动惯量,
解 设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图
a
b
o
y
x
对 y 轴的转动惯量为
,2 d x d yxI
D
y ??? ?
? ? ?? b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3 ?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
dx dyyI
D
x ???
2?,
12
1 3 ?ab?
例 5 已知均匀矩形板 （面密度为常数 ? ）的长
和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形
心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
解 先求形心,1 ???
D
xdxdyAx,1 ???
D
y dx dyAy
建立坐标系如图 o
y
x
,hbA ??区域面积
因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标 2
bx ?,
2
hy ?,
h
b
将坐标系平移如图
o
y
x
h
b
u
v
o?
对 u 轴的转动惯量
???
D
u dud vvI
2?
? ?? ?? 2 2 2 22h h b b dudvv?,12
3?bh
?
对 v 轴的转动惯量
???
D
v dud vuI
2?,
12
3 ?hb
?
薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的单位质点的 引力, )0( ?a
},,,{ zyx FFFF ?
,)( ),(
2
3222 ?
? d
ayx
xyxfF
D
x ?? ???,)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
yyxfF
D
y ?? ???
.)( ),(
2
3222 ?
? d
ayx
yxafF
D
z ?? ???? 为引力常数f
五、平面薄片对质点的引力
例 6 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形
薄片,222 Ryx ??, 0?z 对位于 z 轴上的
点 ),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0( ?a
解 由积分区域的对称性知,0?? yx FF
?? d
ayx
yxafF
D
z ?? ???? 23)(
),(
222
?? d
ayx
af
D
?? ???? 23)( 1 222o y
z
x
F
drr
ar
daf R??
?
???? ?
0 22
2
0 23)(
1
.112 22 ?????? ????? aaRfa
所求引力为
.112,0,0 22
??
?
??
? ?
?
??
?
? ?
?
?? a
aR
fa
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量、
对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
六、小结
思考题
.
)0(co s,co s
之间的均匀薄片的重心
求位于两圆 babrar ???? ??
a b x
y
o
薄片关于 轴对称x
,0?y则
??
??
??
??
?
D
D
d
dx
x
D
r d rrd
b
a
??
????
? ? ?
? ?
?
2
0
c o s
c o s
co s2
)(
)(
22
4
33
8
ab
ab
?
??
??
??
.)(2
22
ab
abab
?
???
思考题解答
一,求锥面
22
yxz ?? 被柱面 xz 2
2
? 所割下部分的
曲面面积,
二,设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆
?? c o s,c o s brar ?? )0( ba ?? 之间的闭区域,求
均匀薄片的重心,
三,设有一等腰直角三角形薄片,腰长为
a
,各点处的
面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片
的重心,
四,设均匀薄片 ( 面密度为常数 1) 所占闭区域
D
由抛物
线 xy
2
9
2
? 与直线 2?x 所围成,求 x
I
和
y
I,
练 习 题
五、求面密度为常量 ? 的匀质半圆环形薄片,
0,
22
2
22
1
????? zyRxyR 对位于 z 轴上点
)0)(,0,0(0 ?aaM 处单位质量的质点的引力 F,
六、设由 exoyxy ??? 及,ln 所围的均匀薄板 ( 密度 1 ),
求此薄板绕哪一条垂直于 x 轴的直线旋转时转动惯
量最小?
一,?2,
二,)0,
)(2
(
22
ba
baba
?
??
.
三,).
5
2
,
5
2
( aa
四,.
7
96
,
5
72
??
yx
II
五、
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?? ),( l n2
22
1
1
22
2
2
22
11
22
22
aR
R
aR
R
aRR
aRR
fF
?
?
?
?
?
?
?? )
11
(,0
22
1
22
2
aRaR
fa
练习题答案